整礎的集合 Well-Founded Set


|| 基礎があるって感じ

ここでの基礎は『空集合』のことです。

なにもかもこれから作られている感じになります。

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とりあえず形式から見てみましょう。

中身は別記事の『整礎関係』と似たような感じになります。





さて、ともあれ「実現したいこと」は単純です。

要は『基礎が欲しい』わけなので。




そのために必要なことは、大きく分けて二つです。




一つが『下地がある』ことになります。

』みたいな。



もう一つが『下地があることを確かめられる』ことです。

α∈α+1 』から「 ∅∈1∈2∈…∈α∈α+1 」とか。




↑を満たせば『正則性』が生まれます。

正則っていうのは、なんか「分かる感じ」のことです。




ともかく↑が分かれば、

無限に下に続いて地面が見えない、なんてことは起きませんし、

確実に「前と後を判別する」こともできます。






定義


そんな『整礎的集合 V_α 』は、再帰的に定義されてます。

中身としては、初期値と再帰処理と、特別な場合の事例が。




V の由来は下から上に広がってく感じですかね。

いや、フォン・ノイマンから来ているのかもしれません。

どっちも根本的には同じような話ですし。




・初期値


V_0=∅


これが『整礎的集合』の核の一つです。




・再帰処理


V_{α+1}=2^{V_α}


冪集合の定義から『 V_α∈V_{α+1} 』です。




・特殊パターン


α が「極限順序数」のときの処理。



\displaystyle V_α=\bigcup_{β<α}V_β


「順序数」の基本的な定義です。

自然数全体 ω の時とかの。







集合の階数 Rank


|| 下地と次の決まりから

『整礎集合』には、どうみても階層っぽいものがあります。



例えば、確実に『 V_α∈V_{α+1} 』ですから、

少なくとも上下がはっきりと存在してるわけです。




というわけで、具体的に「階層を表す数」を考えてみましょうか。

これを表すために『順序数 α 』を使ってみます。



とりあえず「整礎的集合 V_α 」なら、

『階数』は「 α 」とするのが妥当でしょう。

まあ、この辺は当然な感じですね。




初期値を『 0 階層目』とすれば、

それ以降は「 +1 」されていって、

「極限順序数 ω 」に至った後は「 ω+1 」になります。






後は、これをどう確認すればいいかってところですか。

このままじゃちょっと直観に頼り過ぎる感じですし。




なのでとりあえず『整礎的集合を V_x 』としてみましょう。




そこで『 V_x∈V_{α+1} 』が分かるとします。

となると、階数が「 rank(V_x)=x≤α 」だと分かります。

当然の話ですね。




ただまあ、このままだと「上限が無い」ので、

α 」を、上の方にいくらでも大きく取れてしまいます。

ですから、その候補の中での最小値にすれば良い感じになりそうです。




つまり『階数 rank(V_x) 』は、

↓みたいな感じに定義するのが良さそうです。



rank(V_x)=min\{α\,|\,V_x∈V_{α+1}\}



処理の中身を大雑把に見ると、

とりあえず、いったんでっかいのとって、

そこに含まれてたら一個ずつ下げてく、って感じですかね。






ともかく、これで集合に「階数」が定義できます。



だからなんじゃいって話ですけど、一応覚えておきましょう。

基数の定義なんかでこれが使われたりしますので。