|| 最も抽象化された外測度の名前
「外測度とは」という疑問の解答
スポンサーリンク
事前知識
ジョルダン測度「分かりやすい測度の雛型」
ルベーグ外測度「ジョルダン外測度を一般化したもの」
目次
カラテオドリ外測度「ルベーグ外測度を一般化したやつ」
カラテオドリの可測条件「扱いやすい可測条件」
カラテオドリの外測度 Outer Measure
|| ルベーグ外測度を一般化したやつ
「ルベーグ外測度 μ^* 」も満たしている
「すごく広い範囲」をカバーできる「測度」の条件
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}⊂A &&→&&μ^*(A_{\mathrm{part}})≤μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
かなり条件が緩いので
「カラテオドリの外測度」は
そのまま「外測度」と呼ばれることがあります。
念のため補足しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
「互いに素 \mathrm{disjoint} 」の場合にこうなるという
「完全加法性」についてはまた別の話になります。
（ヴィタリ集合では完全加法性が成立しない）
カラテオドリの可測条件 Measurable
|| 使いやすい可測の条件
「可測」であることを表す条件の１つ
（ S は全体 X の任意の部分集合で A の判定を行う）
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
初見じゃよく分からんと思いますが
\begin{array}{ccl} \displaystyle \mathrm{Inner} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) =\textcolor{steelblue}{μ_*}(A) \\ \\ \mathrm{Measurable} &→&\textcolor{steelblue}{μ_*}(A)\textcolor{pink}{=}μ^*(A) \\ \\ \\ \mathrm{General} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) \textcolor{pink}{≤}μ^*(A) \\ \\ \mathrm{Measurable} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) \textcolor{pink}{=}μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle S⊃A &&→&& S∩A=A \end{array}
「ルベーグ内測度 \textcolor{steelblue}{μ_*} 」を深堀していくと導かれる関係
その１つでしかないのでそう難しく考えなくて良いです。
（視覚的な話は別の記事で）
可測条件の導出
確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{steelblue}{μ_*}(A)&\textcolor{pink}{≤}&μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(S)-μ^*(S∩A^c)&≤&μ^*(A) \\ \\ \displaystyle μ^*(S)&≤&μ^*(A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
根本的に
「外測度 μ^* 」は「内測度 \textcolor{steelblue}{μ_*} 」より大きいので
「可測ではない」場合を含む一般形はこうなります。
なので「可測」条件を考えた時
\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{steelblue}{μ_*}(A)&\textcolor{pink}{=}&μ^*(A) \end{array}
「外測度 μ^* 」と「内測度 \textcolor{steelblue}{μ_*} 」の一致から
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^*(A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
この「すぐ分かる可測の条件」が得られて
後は以下の「集合の関係」を考えると
\begin{array}{llllll} \displaystyle S⊃A &&→&& S∩A=A \\ \\ S⊂A &&→&& S∩A=S \end{array}
「可測」の条件は
\begin{array}{llllll} \displaystyle S⊃A &&→&& S∩A=A \\ \\ S=A &&→&& S∩A=A \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^*(A)+μ^*(S∩A^c) \\ \\ μ^*(S)&=&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
この場合と
以下の場合から
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}⊂A &&→&&μ^*(A_{\mathrm{part}})≤μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle S⊂A &&→&&\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)≤μ^*(A) \\ \\ S∩A=S \end{array} \end{array}
「カラテオドリ外測度 μ^* の定義」より
\begin{array}{llllll} μ^*(S)&=&μ^*(A)+μ^*(S∩A^c) \\ \\ \\ μ^*(S)&\textcolor{pink}{≥}&μ^*(S)+μ^*(S∩A^c) \\ \\ μ^*(S)&\textcolor{pink}{≥}&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
このように書き替えられることが分かります。
等号が成立する
そしてここまで分かれば
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&\textcolor{pink}{≥}&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
この条件と
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(∅)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
「カラテオドリ外測度 μ^* の定義」から
\begin{array}{llllll} S⊂A &&→&& S∩A=S \\ \\ S⊂A &&→&& S∩A^c=∅ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&\textcolor{pink}{=}&μ^*(S∩A)+μ^*(∅) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle S&=&S∩X \\ \\ &=&S∩(A∪A^c) \\ \\ &=& (S∩A)∪(S∩A^c) \end{array}
\begin{array}{llllll} & \displaystyle μ^* \Bigl( (S∩A)∪(S∩A^c)∪∅∪∅∪\cdots \Bigr) \\ \\ ≤&\displaystyle μ^*(S∩A) + μ^*(S∩A^c) + μ^*(∅) +\dots \end{array}
いくつかの方法で
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&\textcolor{pink}{=}&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
この結論に辿り着けます。
（カラテオドリ外測度上で）
ルベーグ外測度はカラテオドリ外測度
「前測度」の話と同様
こちらも順番は「ルベーグ外測度」が先で
\begin{array}{ccccc} & \mathrm{Generalize} & \\ \\ μ_{\mathrm{Lubesgue}} &\to& μ_{\mathrm{Carathéodory}} &&〇 \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Lubesgue}} &←& μ_{\mathrm{Carathéodory}} &&？ \\ \\ & \mathrm{Proof} & \end{array}
「カラテオドリ外測度」は
これを一般化したものになります。
なので「カラテオドリ外測度」の中に
「ルベーグ外測度」は含まれるんですが
こちらもこの時点ではまだ分からないため
定義に問題が無いか、念のため確認しておきます。
定義の確認
まず「カラテオドリ外測度」の定義を確認
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}⊂A &&→&&μ^*(A_{\mathrm{part}})≤μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
「ルベーグ外測度」の定義は ↓
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{lebesgue}}(A)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ_{\mathrm{base}}(I_k) \right) \end{array}
以上が使える前提で
これ以外には使えないとします。
基本集合の定義
「ルベーグ外測度」を定義する上で
「ジョルダン測度」と同様
\begin{array}{lll} \displaystyle I&=&[a,b) \\ \\ I_X\times I_Y &=&[a_x,b_x)\times [a_y,b_y) \end{array}
「基本集合」は定義する必要があって
これは以下のように定義されています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{base}}\Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \\ \\ μ_{\mathrm{base}}\Bigl( [a_x,b_x)\times [a_y,b_y) \Bigr)&=&(b_x -a_x)(b_y -a_y) \end{array}
この辺りについては当たり前すぎるので
特に言うことはありません。
（厳密な話は少し面倒）
ルベーグ外測度の定義域
そもそもの話
「基本集合の測度 μ_{\mathrm{base}}(I_n) は正の値」なので
（長さの公理より正の値とも言って良い）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf \left(\sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \right) \end{array}
これが正の値になることは明らかですが
この時点ではまだちょっと曖昧なので
ちゃんとそうなるか確認してみます。
区間の定義と基本集合
「基本集合」の中身になる「区間」は
「半開区間」で定義されていて
\begin{array}{llllll} \displaystyle [a,b)&=&\{ x∈R \mid a≤x<b \} \end{array}
その「区間」の定義はこうなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle a<b &&→&& [a,b)≠∅ \\ \\ a≥b &&→&& [a,b)=∅ \end{array}
「 a<b 」の範囲以外は
当然ですが「空集合」になります。
区間の長さの下限
「空集合」はとりあえず置いておくとして
\begin{array}{llllll} a<a+ε &&→&& \displaystyle [a,a+ε) \end{array}
「任意の正の値 ε>0 」を定めて
「 a<b 」の範囲で考えると
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ_{\mathrm{base}}\Bigl( [a,a+ε) \Bigr)&=&(a+ε)-a \\ \\ &=&ε \end{array}
「区間の長さ μ_{\mathrm{base}} 」はこのようになることから
「ルベーグ外測度」の定義より
これの「下限」をとると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf\left( μ_{\mathrm{base}}\Bigl( [a,a+ε) \Bigr) \right)&=&0 \end{array}
「区間の長さの下限」は 0 になる
この事実が明らかなこととして導けます。
区間の長さと任意の実数
当然の話ですが
念のため確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle [a,b) &&→&& [0,b-a) \end{array}
a,b が任意の実数であることから
b-a を「任意の正の実数 r 」とすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle [0,r)&⊂&[0,r) \end{array}
このシンプルな図形は
区間 [0,r) でカバーできるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( [0,r) \Bigr)&=&μ_{\mathrm{base}}\Bigl( [0,r) \Bigr)\\ \\ &=&r \end{array}
「ルベーグ外測度 μ^* 」は
「任意の正の実数を返す」と言えます。
区間の長さの上限
「実数全体 R=(-\infty,\infty) 」や
「無限区間 [0,\infty) 」を考えた時
\begin{array}{ccl} \displaystyle (-\infty,\infty)&⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}[-n,n) \\ \\ [0,\infty)&⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}[0,n) \end{array}
これはこのようにすれば
「区間の集まり」でカバーすることができます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sup \left( μ^*\Bigl( [0,r) \Bigr) \right) &=&\infty \end{array}
またこれの「上限」をとると
明らかに「無限」になるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0≤μ^*(A)<\infty &&[0,\infty) \\ \\ &↓ \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty &&[0,\infty] \end{array}
このようになると言えます。
（終域は像全体を含んでればなんでもOK）
空集合と長さの定義
これは「区間・区間塊の長さ」
「ジョルダン測度」と同様で
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}[a,a+ε)&=&[a,a+ε)∪[a,a+ε)∪\cdots \\ \\ &=&[a,a+ε) \end{array}
「空集合（要素を持たない集合）」が
「全ての集合の部分集合である」ことと
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∅&⊂&S \end{array}
「長さの非負値性（正の値になる）」より
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&≤&μ^*(∅)&≤&\displaystyle \inf \left( μ^*\Bigl( [a,a+ε) \Bigr) \right) \end{array}
↓ で説明する「単調性」という性質から
こんな感じになると言えるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(∅)&=&0 \end{array}
当然の帰結ですが
「空集合の長さ」は 0 になると言えます。
（長さが正の実数というのは公理）
単調性とかいう性質
「基本集合 I_n 」を考えて
\begin{array}{llllll} \displaystyle A&⊂&B&&⊂&&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \end{array}
この状態を定義すると
「 B をカバー（被覆）できる集合」は
「 A をカバーできる」以上
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left\{ \{I_1,I_2,...\} \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} &&&&\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \\ \\ \displaystyle \left\{ \{I_1,I_2,...\} \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} &&&&\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}
図形 B よりも小さい
「 A をカバーできる図形の数」より
「 B をカバーできる図形の数」は少ないため
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} &\textcolor{pink}{⊃}&\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}
「ルベーグ外測度」で定義される
「図形をカバーする図形」の「集まり」は
それぞれこのようになると言えます。
そしてこの結果から
「より大きい集合」の方が
「小さな要素を含む」可能性があることより
\begin{array}{llllll} \displaystyle X⊂Y&&→&&\inf(X)\textcolor{pink}{≥}\inf(Y) \end{array}
「下限」は必ずこのようになるので
\begin{array}{rcr} \displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} &\textcolor{pink}{⊃}&\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \\ \\ \displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} &\textcolor{pink}{≤}&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}
整理するとこうなりますから
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\left( A \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \\ \\ μ^*\left( B \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}
\begin{array}{ccc} A&⊂&B \\ \\ \displaystyle μ^*\left( A \right) &≤&\displaystyle μ^*\left( B \right) \end{array}
結果、こうなると言えます。
劣加法性とかいう性質
最後、以下の性質については
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
ちょっと大変ですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle A&⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \end{array}
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*(A)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_n) \\ \\ μ^*(A)&≤&\displaystyle \inf\left( \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_n) \right) \end{array}
このようになる
「基本集合の集まり \{I_n\} 」と
\begin{array}{llllll}\displaystyle \inf\left( \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_n) \right) &→& \displaystyle μ^*(A) \end{array}
「下限」の性質を考えると
（どこまでも μ^*(A) に近付けることができる）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_n)&=& μ^*(A) + α \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_n)&<& μ^*(A) + ε \end{array}
このような関係にある
「基本集合の集まり \{I_n\} が存在する」と言えるので
\begin{array}{rcr} \displaystyle A_m&⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{mn} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m&⊂&\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{mn} \end{array}
この関係と「単調性」より
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &≤&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{mn} \right) \end{array}
こうなると言えて
これを変形するために
\begin{array}{rcr} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}I_{mn} \right)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_{mn}) \\ \\ \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{mn} \right)&=&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{base}}(I_{mn}) \end{array}
I_{nm} が基本集合で定義できる図形であることと
\begin{array}{rcr} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_{mn})&<& μ^*(A_m) + ε \\ \\ \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_{mn})&<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + ε \Bigr) \end{array}
この関係にあることを利用すると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + ε \Bigr) \end{array}
結果として、この欲しい関係が得られます。
発散しないように調整
式を見れば分かると思いますが
これをこのまま扱うと
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + ε \Bigr) \end{array}
ε が発散してしまいます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots&=&1 \end{array}
なので ε>0 を調整するために
\begin{array}{c} \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + ε \Bigr) \\ \\ ↓ \\ \\ \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + \frac{ε}{2^m} \Bigr) \end{array}
こういう収束する数列を考える必要があって
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + \frac{ε}{2^m} \Bigr)&=& \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) \Bigr)+ε \end{array}
これにより
総和の演算子の中から
有限値としての ε を取り出すことで
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + \frac{ε}{2^m} \Bigr) \end{array}
発散しないように調整し
欲しい結論に近付ける必要があります。
上限・下限の存在
以上
式変形により
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) \Bigr)+ ε \end{array}
この関係が得られたことから
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) \Bigr)+ 10^{-1000} \\ \\ \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) \Bigr)+ 10^{-10^{10}} \end{array}
上限や下限の定義より
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} μ^*(A_m) \end{array}
ε が任意の正の実数であることから
こうなると言えて
後は「基本集合 I の存在」より
等号 = は成立し得ると言えるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &≤&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} μ^*(A_m) \end{array}
結果として、この結論が得られます。