エルミート演算子 Hermitian

 

|| 観測可能量がこれ、って言われる

とりあえず『実数を返すやつ』って覚えときゃOK。

これはまあそんなやつですね。

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目次

 

量子について <<最初の話

ヒルベルト空間について <<前の記事

 

 

エルミート演算子「観測可能量はこれで表す」

 

   固有値方程式「基礎方程式はこれ」

   三角行列「固有値を求めやすい形の行列」

   ユニタリ行列「かなり 1 っぽい行列」

 

   ディラック記法「縦と横のベクトルを区別して書く」

 

   エルミート演算子の性質「固有値が実数になる」

 

 

 

 

 


随伴作用素/エルミート演算子

 

|| 固有値が実数になる都合の良い行列

これは『実数にしたい』っていう要求を満たすものでして、

厳密には『観測値(固有値)を実数にするためのもの』です。

 

 

まあどういうことかというと、

「観測可能量は実数」なわけですよ。

 

 

いやだって、エネルギーとか重さとか、

実数じゃなく、例えば複素数とかだかったら、

数の意味がよくわかんないじゃないですか。

 

 

まあだから『意味を読み取りやすい』ように、

計算結果は「実数であってほしい」わけですよ。

 

 

 

んで、この自然な要求を保証するにあたって、

当たり前なんですけど、

そういう『操作』が必要になったわけです。

 

 

はい、とまあそんな感じで、

「エルミート演算子」はそういうものなんですね。

 

 

↑の要求をを実現できる、

都合の良い性質を持つように定義されてます。

 

\begin{pmatrix} a&bi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\-bi \end{pmatrix}=a^2+b^2

 

\begin{array}{rll} z&=a+bi \\ \\ \\ \displaystyle z&=\overline{z} &⇒b=0 \\ \\ z&=\overline{z}&=a \end{array}

 

もっとも単純で分かりやすい形で表すと、

実現したいのはこんな感じですね。

後はこれをベクトル→行列の範囲に広げる感じ。

 

 

 

まあこれ、要はただの「計算上の手続き」です。

 

 

『複素数が使われてる計算』から、

『実数だけを取り出したい』ってのを実現するのに、

「必要になる行列」の話でしかないんですよ。

 

 

 

ちょっとだけ具体的な話をしておくと、

波動関数は「複素関数」で、

それを含む計算結果を実数にしたい、みたいな。

 

 

今の時点じゃわかんないとは思いますが、

「波の状態/振幅(複素数)」→「確率(実数)」

って感じの操作をするときに使います。

 

 

 

まとめると、『複素数を計算で使う』けど、

『計算結果は実数であってほしい』時、

エルミート演算子ってのが出てきます。

 

 

つまり『観測可能量は実数』という制約のもと、

都合の良い性質を持つ計算手続きを作った結果、

「エルミート演算子が生まれた」って感じ。

 

 

ですから、基本はこじつけ。

これ自体に意味を見出す必要はあまりありません。

 

 

 

まあともかく、

エルミート演算子ってのはそういう類のものです。

これ自体は特に重要ではありません。

 

 

単に「共役複素数が持つ性質」を、

『行列』のパターンで使えるように「一般化」しただけ。

 

 

つまりは「 (a+bi)(\overline{a+bi})=a^2+b^2 」を、

行列でできるようにした結果の産物だ、

みたいに思っておけばOKです。

 

 

 

 

 

エルミート随伴・共役

 

これは『共役複素数』の感覚を一般化したやつです。

具体的には↓みたいなことをしたいので、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \begin{pmatrix} z_{11}&z_{12} \\ z_{21}&z_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \overline{z_{11}}&\overline{z_{12}} \\ \overline{z_{21}}&\overline{z_{22}} \end{pmatrix}^{\mathrm{tr}} \\ \\ =\begin{pmatrix} \textcolor{pink}{z_{11}\overline{z_{11}}+z_{12}\overline{z_{12}}}&z_{11}\overline{z_{21}}+z_{12}\overline{z_{22}} \\ z_{21}\overline{z_{11}}+z_{22}\overline{z_{12}}&\textcolor{pink}{z_{21}\overline{z_{21}}+z_{22}\overline{z_{22}}} \end{pmatrix} \end{array}

 

この→にあるやつが欲しい、という感じ。

 

 

これを使えば、対角にある要素だけですが、

その部分だけは間違いなく実数に変換できてますし。

 

 

でこれ、まんま複素共役の感じがしませんか?

 

X=\begin{pmatrix} z_{11}&z_{12} \\ z_{21}&z_{22} \end{pmatrix}

 

\begin{array}{rll} \displaystyle X^*&=X^{\dagger} \\ \\ \overline{X}^{\mathrm{tr}}&=\overline{X^{\mathrm{tr}}}&=\begin{pmatrix} \overline{z_{11}}&\overline{z_{12}} \\ \overline{z_{21}}&\overline{z_{22}} \end{pmatrix}^{\mathrm{tr}} \\ \\ &&=\begin{pmatrix} \textcolor{skyblue}{\overline{z_{11}}}&\overline{z_{21}} \\ \overline{z_{12}}&\textcolor{skyblue}{\overline{z_{22}}} \end{pmatrix} \end{array}

 

はい、まあそんな感じで、

この「 X^*\,\,\,X^{\dagger}\,\,\,\overline{X}^{\mathrm{tr}} 」が

『エルミート随伴』って言われてるものになります。

 

 

 

ちなみに具体的な使い方なんですけど、

↓みたいな行列を導くときに使いますね。

 

\begin{array}{rrl} \displaystyle &A&=\begin{pmatrix} 1&1-i \\ 1+i&1 \end{pmatrix} \\ \\ A^{\dagger}&=\overline{A}^{\mathrm{tr}}&=\begin{pmatrix} 1&1-i \\ 1+i&1 \end{pmatrix} \end{array}

 

んでほかにも、

↓みたいなことをやるときも使います。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle\psi|&=\begin{pmatrix} z_{1}&z_2&\cdots&z_{n}&\cdots \end{pmatrix} \\ \\ \langle\psi|\langle\psi|^{\dagger}&=\begin{pmatrix} z_{1}&\cdots&z_{n}&\cdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{z_{1}} \\ \overline{z_{2}} \\ \vdots \\ \overline{z_{n}} \\ \vdots \end{pmatrix} \\ \\ &=z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}+...+z_n\overline{z_n}+... \end{array}

 

\psi=\overline{\psi}\,\,\,⇒

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle\psi|^{\dagger}&=|\psi\rangle \\ \\ |\psi\rangle^{\dagger}&=\langle\psi| \end{array}

 

こういう『複素数を中身に持ってる』

↑のブラケットベクトルの関係とか、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle UU^*&=U^*U \\ \\ &=\hat{1} \end{array}

 

↑の性質を満たす U っていう行列の存在とか、

こういうのを考えるとき、

エルミート共役を使うと楽に書けるんですね。

 

 

ちなみにこの「 U 」は『ユニタリ行列』と呼ばれてます。

詳細は後で。

 

 

 

まとめると、

『複素数を使いたい』し、

『行列も使いたい』んだけど、

 

 

『実数みたいな感覚で使いたい』し、

『計算結果は実数が良い』。

 

 

んで、そういう我儘・都合を考えた時、

↑のエルミート共役が使える、ってわけですね。

 

 

 

 

 

エルミート演算子

 

んで肝心の「エルミート演算子」ですが、

これは、エルミート共役という操作を行っても

『同じになる行列』のことで、

 

 

「エルミート共役」とはまた違った概念です。

 

 

具体的には↓の条件を満たしてる行列 A が、

「エルミート演算子」と言われてるものになります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle AX,Y\rangle&=\langle X,AY\rangle \\ \\ A&=A^{\dagger} \end{array}

 

専門的な言い回しとしては、

これを満たす「 A 」を、内積についての

「エルミート演算子」って言ったりもしますね。

 

 

 

極端な例ですが、

具体的には↓みたいなやつもエルミート行列です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle I&=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \\ \\ I^{\dagger}&=\begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0} \\ \overline{0}&\overline{1} \end{pmatrix}^{\mathrm{tr}}\\ \\&=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \\ \\ \\ I&=I^{\dagger} \end{array}

 

\begin{array}{lrl} \displaystyle IX=X\,\,\,\,\,&\langle IX,Y\rangle &=\langle X,Y\rangle \\ \\ IY=Y\,\,\,\,\,&\langle X,IY\rangle &=\langle X,Y\rangle \\ \\ &\langle IX,Y\rangle &=\langle X,IY\rangle \end{array}

 

この他に、↓とかも A=A^{\dagger} を満たします。

 

A=\begin{pmatrix} 1&i \\ -i&1 \end{pmatrix}

 

はい、まあエルミート演算子の概要はこんな感じ。

詳しくは「固有値方程式」の後に話します。

 

 

 

話は変わりますが、

ここで慣例の話をしておきます。

 

 

記号についての話なんですけど、

行列を演算子として表す時、「 \hat{A} 」みたいに、

\hat{ } 」この記号を上に書く場合が多いです。

 

 

といっても「行列」であることに変わりはないので、

『演算子だ』ってことを強調してるだけ、

という風に考えてください。

 

 

 

ちなみに I は「単位行列」なんですけど、

これは「恒等作用素」なんて呼ばれたりもします。

そのときは \hat{1},\hat{I},\hat{E} って書かれたりしますね。

 

 

はい、まあ演算子についてはこんな感じです。

性質を確かめてないので実感しにくいでしょうけど、

なんか「 ×1,×r っぽい」な、ってのが分かればOK。

 

 

 

 

 

固有値方程式

 

|| 行列の固有値?と固有ベクトル?を求める方程式

これは『固有値』と『固有ベクトル』を求めるものです。

量子力学の基礎方程式が、実はこれ。

 

 

「量子力学」の用語で言い換えるなら、

『観測値』が「固有値」に、

『状態』が「固有ベクトル」に対応してます。

 

 

なんのこっちゃよく分からんと思いますが、

いったんさておいて、

固有値方程式は↓みたいな式のことを言います。

 

\begin{array}{rlr} \displaystyle A\vec{x}&=λ\vec{x}&(x≠\vec{0}) \\ \\ A|\vec{x}\rangle&=λ|\vec{x}\rangle&(x≠\vec{0}) \\ \\ (A-λI)\vec{x}&=\vec{0}&(x≠\vec{0}) \end{array}

 

A が「行列」で、

\vec{x} が「固有ベクトル(基底みたいなもの)」で、

λ が「固有値(スカラー値)」です。

 

 

まあつまりこれ、内容としては

『行列が』無回転で λ 倍の伸縮をさせている、

ということを意味しています。

 

 

 

とりあえず2×2で見てみると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}&=λ\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}&=λ\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \left( \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} - λ\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}

 

固有値方程式はこんな感じ。

馴染みのない人からすると、

ほんとこれ、何を求めるのかわけ分かんないと思います。

 

 

結論としては、「行列 A だけ」がわかってて、

そこから「 λ\vec{x} 」が求められる、って感じです。

 

 

 

というわけでこの求め方なんですけど、

まず「行列 A が確定した状態」からスタートします。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle A&→(A-λI)\vec{x}=\vec{0} \\ \\ &→\det(A-λI)=0&→λ \\ \\ &→(A-λI)\vec{x}=\vec{0}&→\vec{x} \end{array}

 

そうすると、最初に「固有値 λ 」が求められます。

んで「固有ベクトル \vec{x} 」はその次ですね。

 

 

 

より具体的な流れとしては、

まず当然の話として、

\vec{x} 」に「 0 ベクトル」が来ちゃいます。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle (A-λI)\vec{x}&=\vec{0} \\ \\ \vec{x}&=\vec{0}&=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{pmatrix}a_{11}-λ&a_{12}\\a_{21}&a_{22}-λ\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

 

しかしこれ、特に意味のある結果を導きませんよね。

だからなに? で話は終わっちゃいます。

 

 

まあですから、

「意味のあるものを求める」ためには、

「固有ベクトル」は『 \vec{0} ではない』としないといけません。

 

\begin{array}{rlc} A^{-1}A\vec{x}=\vec{0}&→\vec{x}=\vec{0} \\ \\ \det(A)≠0&→\vec{x}=\vec{0} \end{array}

 

てことは、↑がまずいってことがわかります。

逆行列が存在すると↑の操作ができちゃうので。

 

 

そう、この操作を認めてしまうと、

方程式の値を見ればわかるように、

『固有ベクトルは必ず \vec{0} になってしまう』んです。

 

 

ということは、

仮に「 \vec{x}≠\vec{0} だ」ってことにすると、

固有値方程式は「解けない」ってことになっちゃいます。

 

 

ただ、逆を言えば、

↑の操作ができないとするのなら、

\vec{x}\vec{0} ベクトルじゃないかもしれない』わけで。

 

 

つまり「逆行列が存在しない」場合、

『固有ベクトルは存在する可能性がある』し、

『固有ベクトルは \vec{0} にならない』とできそうです。

 

 

てことで、以上のことから、

\vec{0} 以外の固有ベクトルを求める場合、

 

\mathrm{det}(A-λI)=0

 

これが最低限の条件として導けるんですね。

んで固有値は、これを根拠にして導いていきます。

 

 

 

2×2だと『固有値 λ 』の計算は↓みたいな感じ。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \mathrm{det}(A-λI)&=0 \\ \\ \left| \begin{array}{ccc}a_{11}-λ&a_{12}\\a_{21}&a_{22}-λ\end{array} \right|&=0 \\ \\ (a_{11}-λ)(a_{22}-λ)-a_{12}a_{21}&=0 \end{array}

 

んでこの後は、二次方程式の解の計算ですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle λ^2-(a_{11}+a_{22})λ+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&=0 \\ \\ \displaystyle \left(λ-\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})\right)^2-\left(\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})\right)^2&=-\mathrm{det}A \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \left(λ-\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})\right)^2&\displaystyle=-\mathrm{det}A+\left(\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})\right)^2 \\ \\ λ&=λ_1,λ_2 \\ \\ \end{array}

 

これで「固有値 λ 」が計算できます。

 

 

てなわけで次、

『固有ベクトル \vec{x} 』を導いていきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}&=λ\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} λx_1 \\ λx_2 \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=λx_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=λx_2 \end{cases}

\begin{cases} a_{11}α+a_{12}β&=λα \\ a_{21}α+a_{22}β&=λβ \end{cases}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle a_{11}α+a_{12}β&=λα \\ \\ a_{12}β&=(λ-a_{11})α \end{array}

 

\displaystyle \begin{cases} α&=c \\ \displaystyle β&\displaystyle =\frac{λ-a_{11}}{a_{12}}c \end{cases}

 

まあそのまま連立方程式ですね。

特に説明の必要はないでしょう。

 

 

ただ、中学校時代じゃ見慣れないこともしていますね。

x_1,x_2 のどちらかを好きな定数 c で固定しちゃってます。

 

 

これ、していいの? って思う人もいると思いますが、

していいです。値が確定しない(なんでもいい)ので。

 

\displaystyle \begin{cases} α&=c \\ \\ \displaystyle β&\displaystyle =\frac{λ-a_{11}}{a_{12}}c \end{cases}

 

はい、とにかくこのようにすると、

「固有ベクトル」を導くことができます。

 

 

 

以上、「固有値方程式」の、

『固有値』『固有ベクトル』導出までの流れはこんな感じです。

 

 

 

 

 

対角和/トレース

 

これは「行列からスカラー値を得る」計算です。

そこそこ重要なので覚えてください。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A&=\begin{pmatrix} \textcolor{pink}{1}&2&3 \\ 4&\textcolor{pink}{5}&6 \\ 7&8&\textcolor{pink}{9} \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \mathrm{Tr}(A)&=1+5+9 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A&=\begin{pmatrix} \textcolor{pink}{a_{11}}&a_{12}&a_{13}&\cdots \\ a_{21}&\textcolor{pink}{a_{22}}&a_{23}&\cdots \\ a_{31}&a_{32}&\textcolor{pink}{a_{33}}&\cdots \\ \vdots&\vdots&\vdots& \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \mathrm{Tr}(A)&=a_{11}+a_{22}+a_{33}+... \\ \\ &\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}a_{ii} \end{array}

 

なんで重要かについては、

↓を見るとなんとなくわかると思います。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Ax&=λx \\ \\ \displaystyle λ&=λ_1,λ_2,λ_3,... \\ \\ \\ \displaystyle \mathrm{Tr}(A)&=λ_1+λ_2+λ_3+... \end{array}

 

まあこんな感じに、

『固有値の和』と「対角和」は、

等しくなるんですよ。

 

 

んでこれ、量子力学では、

「確率の和」とかで使われてます。

 

 

 

ちなみに「行列式」と『固有値』にも

↓みたいな関係があります。

 

\displaystyle \mathrm{det}(A)=λ_1λ_2λ_3…

 

こっちもそこそこ重要。

 

 

てなわけなので、

このあたりに関する「行列」の話について、

ちょっと深堀しておきましょうか。

 

 

 

 

 

三角行列

 

これは『整理された行列』とでも言うべきでしょうか。

「三角」ってのは、見た目を指してると思っておけばOK。

 

\begin{array}{rlc} Λ_{2×2}^{↑}&=\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ 0&a_{22} \end{pmatrix} \\ \\ Λ_{3×3}^{↑}&=\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ 0&a_{22}&a_{23} \\ 0&0&a_{33} \end{pmatrix}\\ \\ Λ_{3×3}^{↑}&=\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&0&0 \\ a_{21}&a_{22}&0 \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} \end{array}

 

具体的にはこういうのが「三角行列」って呼ばれてて、

 

\displaystyle Λ^{↑}=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&\cdots \\ 0&a_{22}&a_{23}&a_{24}&\cdots \\ 0&0&a_{33}&a_{34}&\cdots \\ 0&0&0&a_{44}&\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{pmatrix}

 

\displaystyle Λ^{↓}=\begin{pmatrix} a_{11}&0&0&0&\cdots \\ a_{21}&a_{22}&0&0&\cdots \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&\cdots \\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{pmatrix}

 

「上三角行列」と「下三角行列」があります。

 

 

んでこれ、実はけっこう特殊な性質を持ってるんですよ。

まあ、メタ的にそうだろなって思うでしょうけど。

 

 

 

 

 

三角行列と固有値

 

まあともかく性質についてですが、

実はこいつの「固有値」を計算すると、

その値は『対角成分 a_{ii} 』になるんです。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle Λx&=λx \\ \\ \displaystyle λx-Λx&=O \\ \\ \\ \displaystyle (λI-Λ)x&=O \\ \\ \displaystyle |λI-Λ|&=0 \end{array}

 

\displaystyle λI-Λ=\begin{pmatrix} λ-a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&\cdots \\ 0&λ-a_{22}&a_{23}&a_{24}&\cdots \\ 0&0&λ-a_{33}&a_{34}&\cdots \\ 0&0&0&λ-a_{44}&\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{pmatrix}

 

\begin{array}{rlc}\displaystyle A&=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ 0&a_{22}&a_{23} \\ 0&0&a_{33} \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle \mathrm{det}(A)&=\begin{array}{rlc} a_{11}\left| \begin{array}{cc} a_{22}&a_{23} \\ 0&a_{33} \end{array} \right|\\ \\ +a_{12}\left| \begin{array}{cc} 0&a_{23} \\ 0&a_{33} \end{array} \right|\\ \\+a_{13}\left| \begin{array}{cc} 0&a_{22} \\ 0&0 \end{array} \right| \end{array} \\ \\ \\ &\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+0+0 \end{array}

 

この計算には、

「左端が全部0の行列」の性質を使ってます。

 

\displaystyle \left| \begin{array}{ccc} 0&*&*&\cdots \\ 0&*&*&\cdots \\ 0&*&*&\dots \\ \vdots & \vdots &\vdots \end{array} \right|=0

 

行列式 \mathrm{det} の計算手順を考えれば、

これはすぐに納得できるかと。

 

\begin{array}{rrc}\displaystyle \left| \begin{array}{cccc} 0&*&*&* \\ 0&*&*&* \\ 0&*&*&* \\ 0&*&*&* \end{array} \right|&=0\left| \begin{array}{ccc} *&*&* \\ *&*&* \\ *&*&* \end{array} \right| \\ \\ &\displaystyle +*\left| \begin{array}{ccc}0&*&* \\ 0&*&* \\ 0&*&*\end{array} \right| \\ \\ &+*\left| \begin{array}{ccc}0&*&* \\ 0&*&* \\ 0&*&* \end{array} \right| \\ \\ &+*\left| \begin{array}{ccc}0&*&* \\ 0&*&* \\ 0&*&* \end{array} \right| &=0 \end{array}

 

ちなみに * の中身はなんでも良いです。

 

\displaystyle |λI-Λ|=\left| \begin{array}{ccccc} λ-a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&\cdots \\ 0&λ-a_{22}&a_{23}&a_{24}&\cdots \\ 0&0&λ-a_{33}&a_{34}&\cdots \\ 0&0&0&λ-a_{44}&\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{array} \right|

\begin{array}{rrc} |λI-Λ|&=\displaystyle (λ-a_{11})\left| \begin{array}{ccc} λ-a_{22}&a_{23}&\cdots \\ 0&λ-a_{33}&\cdots \\ \vdots &\vdots \end{array} \right| \\ \\ &+a_{12}\left| \begin{array}{ccc} 0&a_{23}&\cdots \\ 0&λ-a_{33}&\cdots \\ \vdots &\vdots \end{array} \right| \\ \\ & \vdots \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (λI-Λ)x&=O \\ \\ |λI-Λ|&=\displaystyle (λ-a_{11})(λ-a_{22})(λ-a_{33})\cdots \\ \\ &=0 \end{array}

 

\displaystyle λ=a_{11},a_{22},a_{33},\cdots

 

んで、固有値はこうなります。

 

\displaystyle \mathrm{Tr}(Λ)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots

 

これで分かって欲しいですが、

分からない場合は

5×5行列を手計算でやってみてください。

 

 

 

 

 

三角化可能

 

「正方行列( n×n の行列)」は、

全て、三角行列にすることができる。

これはそういう事実についての話です。

 

\displaystyle P^{-1}AP=Λ

 

具体的には、これを満たす

『三角化する行列 P が存在する』って話で、

「行列は整理できる」って話の根拠がこれ。

 

 

 

んで、この『三角行列の固有値』なんですが、

これが『行列 A の固有値』になるんですよ。

証明は後で。

 

 

まあとりあえず、

まずは「三角化可能」の証明をしておきます。

重要なんで、ちょっと丁寧に証明しましょうか。

 

 

帰納法を使います。

全体の流れをざっと説明すると、

「固有ベクトル」→「三角化する行列」という感じです。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle PP^{-1}&=I &=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P&=\begin{pmatrix} p_1\\p_2 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle P^{-1}&=\begin{pmatrix} r_1&r_2 \end{pmatrix}\\ \\ \\ \displaystyle P^{-1}P&=\begin{pmatrix} r_1\\r_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_1&p_2 \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} r_1p_1&r_1p_2 \\ r_2p_1&r_2p_2 \end{pmatrix} \end{array}

 

\displaystyle r_ip_j=δ_{ij}=\left\{ \begin{array}{cl} 0&i≠j \\ 1&i=j \end{array} \right.

 

加えて、逆行列のこの性質も使います。

結論の式を見れば使い方は想像がつくかと。

 

 

はい、てなわけで固有値方程式を考えて、

これが『解けている』とします。

 

 

まあつまり、行列式を使って計算した後、

「固有値」も「固有ベクトル」も分かってる、とします。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Ap_1&=λ_1p_1 \\ \\ \displaystyle A&=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \end{array}

 

ここで「三角化する行列を作る行列 P_1 」を、

『縦の固有ベクトル p_1 でできてる』とします。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P_1&=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{11}\\p_{12} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle P_2&=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} p_{21}\\p_{22} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Ap_1&=λ_1p_1 \end{array}

 

計算して整理しておきましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle AP&=A\begin{pmatrix} p_1&p_2 \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} Ap_1&Ap_2 \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} a_{11}p_{11}+a_{12}p_{12} & a_{11}p_{21}+a_{12}p_{22} \\ a_{21}p_{11}+a_{22}p_{12} & a_{21}p_{21}+a_{22}p_{22} \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle AP_1&=A\begin{pmatrix} p_1&|1\rangle \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} Ap_1&A|1\rangle \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} a_{11}p_{11}+a_{12}p_{12} & a_{11}0+a_{12}1 \\ a_{21}p_{11}+a_{22}p_{12} & a_{21}0+a_{22}1 \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} a_{11}p_{11}+a_{12}p_{12} & a_{12} \\ a_{21}p_{11}+a_{22}p_{12} & a_{22} \end{pmatrix}\end{array}

 

これを見てわかると思いますが、

このように『単位行列の列ベクトル』を使うと、

「1列だけ」変更できることがわかると思います。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P_1P_2&=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{11}\\p_{12} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} p_{21}\\p_{22} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} p_{11}&0\\p_{12}&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&p_{21}\\0&p_{22} \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} p_{11}&p_{11}p_{21}\\p_{12}&p_{12}p_{21}+p_{22} \end{pmatrix} \end{array}

 

ただ、結論として導かれる「三角化できる行列」は、

固有ベクトルをそのまま使うとごちゃついてしまいます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P_2&=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} p_{21}\\p_{22} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} 1 & \textcolor{pink}{0}\\0 & p_{22} \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P_1P_2&=\begin{pmatrix} p_{11}&p_{11}p_{21}\\p_{12}&p_{12}p_{21}+p_{22} \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} p_{11}&0\\p_{12}&p_{22} \end{pmatrix} \end{array}

 

なので、余計な場所に影響を与えないように、

「影響を与えた個所」である『1行目と1列目』に、

影響を与えないようにします。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P^{-1}AP&=\begin{pmatrix} r_1\\r_2 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} p_1&p_2 \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} r_1\\r_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Ap_1&Ap_2 \end{pmatrix} \\ \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} r_1Ap_1&r_1Ap_2 \\ r_2Ap_1&r_2Ap_2 \end{pmatrix} \end{array}

 

あとは「 δ_{ij} 」を使うためにこうやって、

 

 

加えて、固有値方程式 Ax=λx を使えば、

行列 A をスカラー λ にできるので、

交換法則を使えるようにすることも。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Ap_1&=λ_1p_1 \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} r_1Ap_1&r_1Ap_2 \\ r_2Ap_1&r_2Ap_2 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} r_1λ_1p_1&r_1Ap_2 \\ r_2λ_1p_1&r_2Ap_2 \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} λ_1r_1p_1&r_1Ap_2 \\ λ_1r_2p_1&r_2Ap_2 \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle r_2p_1&=0 \\ \\ \displaystyle r_1p_1&=1 \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} λ_1r_1p_1&r_1Ap_2 \\ λ_1r_2p_1&r_2Ap_2 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} λ_1&r_1Ap_2 \\ 0&r_2Ap_2 \end{pmatrix} \end{array}

 

そうするとまあこのように、

「1列を、対角成分以外 0 にできる」し、

「1列目の対角成分を固有値にできる」のがわかるかと。

 

 

んで、2×2 より大きい行列の場合は、

この操作を繰り返す感じですね。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle A_{k×k}P_{1} & →λ_1,p_1 \\ \\ & → (P_{1}^{-1}AP_{1})_{k×k} \\ \\ (P_{1}^{-1}AP_{1})_{k-1×k-1}P_{2}^{\prime} & →λ_2,p^{\prime}_{2} \\ \\ & → (P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2})_{k×k} \\ \\ &\vdots \\ \\ P_{1}P_{2}\cdots P_{k-1}&=P \end{array}

 

はい、とまあこんな感じの流れで、

固有値方程式から得られた「固有ベクトル」から、

『三角化する行列』を導けます。

 

 

 

ちょっと飛びますが、

k×k の感じが↓なのは分かりますよね?

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P^{-1}_{1}AP_{1}&=\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\ \vdots \\ r_k \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} p_1&p_2&\cdots&p_k \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} r_1Ap_1& r_1Ap_2 & r_1Ap_3 & \cdots & r_1Ap_k \\ r_2Ap_1&r_2Ap_2&r_2Ap_3&\cdots&r_2Ap_k \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ r_kAp_1&r_kAp_2&r_kAp_3&\cdots&r_kAp_k \end{pmatrix} \end{array}

 

\displaystyle Ap_1=λ_1p_1

\begin{array}{rlc} \displaystyle P^{-1}_{1}AP_{1}&=\displaystyle \begin{pmatrix} r_1λ_1p_1& r_1Ap_2 & r_1Ap_3 & \cdots & r_1Ap_k \\ r_2λ_1p_1&r_2Ap_2&r_2Ap_3&\cdots&r_2Ap_k \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ r_kλ_1p_1&r_kAp_2&r_kAp_3&\cdots&r_kAp_k \end{pmatrix} \end{array}

 

\displaystyle r_ip_j=δ_{ij}=\left\{ \begin{array}{cl} 0&i≠j \\ 1&i=j \end{array} \right.

\begin{array}{rlc} \displaystyle P^{-1}_{1}AP_{1}&=\displaystyle \begin{pmatrix} λ_1r_1p_1& r_1Ap_2 & r_1Ap_3 & \cdots & r_1Ap_k \\ 0&r_2Ap_2&r_2Ap_3&\cdots&r_2Ap_k \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ 0&r_kAp_2&r_kAp_3&\cdots&r_kAp_k \end{pmatrix} \end{array}

 

はい、とまあこうなりますから、

この次に 1 行目と 1 列目を除いた行列を考えて、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P_{2}&=\begin{pmatrix} 1&0&0&\cdots \\ 0&p^{\prime}_{22}&p^{\prime}_{23}&\cdots \\ 0&p^{\prime}_{32}&p^{\prime}_{33}&\cdots \\ \vdots \end{pmatrix} \\ \\ P_{2}^{\prime}&=\begin{pmatrix} p^{\prime}_{22}&p^{\prime}_{23}&\cdots \\ p^{\prime}_{32}&p^{\prime}_{33}&\cdots \\ \vdots&\vdots \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} p^{\prime}_{2}&p^{\prime}_{3}&p^{\prime}_{4}&\cdots \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle (P^{-1}_{1}AP_{1})_{k-1}&=\begin{pmatrix} r_1Ap_2 & r_1Ap_3 & \cdots & r_1Ap_k \\ r_2Ap_2&r_2Ap_3&\cdots&r_2Ap_k \\ \vdots&\vdots& &\vdots \\ r_kAp_2&r_kAp_3&\cdots&r_kAp_k \end{pmatrix} \end{array}

 

こういう行列を使って、

↑と同じようなことをすると、

 

\begin{array}{rll} \displaystyle (P^{-1}_{1}AP_{1})_{k-1}p^{\prime}_{2}&=λ_2p_{2}^{\prime} \end{array}

 

\begin{array}{llc} \displaystyle P_{1}^{-1}AP_{1}\\ \\=\begin{pmatrix} λ_1& r_1Ap_2 & r_1Ap_3 & \cdots & r_1Ap_k \\ 0&r_2Ap_2&r_2Ap_3&\cdots&r_2Ap_k \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ 0&r_kAp_2&r_kAp_3&\cdots&r_kAp_k \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle P^{-1}_{2}P^{-1}_{1}\textcolor{pink}{A}P_{1}P_{2}\\ \\=\begin{pmatrix} λ_1& * & * & \cdots & * \\ 0&r^{\prime}_{2}r_2Ap_2p^{\prime}_{2}&*&\cdots&* \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ 0&r^{\prime}_{k}r_kAp_2p^{\prime}_{2}&r^{\prime}_{k}r_kAp_3p^{\prime}_{3}&\cdots& r^{\prime}_{k}r_kAp_kp^{\prime}_{k} \end{pmatrix}\\ \\=\begin{pmatrix} λ_1& * & * & \cdots & * \\ 0&r^{\prime}_{2}λ_2p^{\prime}_{2}&*&\cdots&* \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ 0&r^{\prime}_{k}λ_2p^{\prime}_{2}&r^{\prime}_{k}r_kAp_3p^{\prime}_{3}&\cdots& r^{\prime}_{k}r_kAp_kp^{\prime}_{k} \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle r^{\prime}_{2}p^{\prime}_{2}&=1 \\ \\ r^{\prime}_{k}p^{\prime}_{2}&=0&k≠2 \end{array}

 

\begin{array}{llc} \displaystyle P^{-1}_{2}P^{-1}_{1}\textcolor{pink}{A}P_{1}P_{2} \\ \\ =\begin{pmatrix} λ_1& * & * & \cdots & * \\ 0&λ_2&*&\cdots&* \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ 0&0&r^{\prime}_{k}r_kAp_3p^{\prime}_{3}&\cdots& r^{\prime}_{k}r_kAp_kp^{\prime}_{k} \end{pmatrix} \end{array}

 

とまあこのようにして、

後はこの作業を k 回くらいやり続ければ、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (P^{-1}_{2}P^{-1}_{1}AP_{1}P_{2})_{k-2}p^{\prime\prime}_{3}&=λ_3p^{\prime\prime}_{3} \\ \\ \end{array}

\begin{array}{llc} \displaystyle P^{-1}_{3}P^{-1}_{2}P^{-1}_{1}\textcolor{pink}{A}P_{1}P_{2}P_{3} \\ \\ =\begin{pmatrix} λ_1& * & * & \cdots & * \\ 0&λ_2&*&\cdots&* \\ 0&0&λ_3&\cdots&* \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots \\ 0&0&0&\cdots& r^{\prime\prime}_{k}r^{\prime}_{k}r_kAp_kp^{\prime}_{k}p^{\prime\prime}_{k} \end{pmatrix} \end{array}

\displaystyle \vdots

 

「三角化する行列 P 」の存在が導けて、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle P^{-1}_{1} \cdots P^{-1}_{k-1}P^{-1}_{k}\textcolor{pink}{A}P_{k}P_{k-1}P_{k-2}\cdots P_{1}&=Λ \\ \\ \displaystyle P_{k}P_{k-1}P_{k-2}\cdots P_{1} &=P\end{array}

 

こんな感じに、三角行列に変換できます。

手順を整理すると、

 

 

「固有値の計算」

→「固有ベクトルを選ぶ」

→「1列を変換する行列を固有ベクトルから作る」

 

→「列を変換したい行列に作用させる」

→「行列の1列を変換する」

で後はこの繰り返しって感じですね。

 

 

 

ちなみに「あらゆる行列 A 」の、

「固有値が n 個すべて異なる」場合に限り、

三角化だけでなく対角化もできます。

 

 

 

おさらいしておくと、

こいつが有用な理由は↓です。

 

\displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix} a_{11}&*&*&* \\ 0&a_{22}&*&* \\ 0&0&a_{33}&* \\ 0&0&0&a_{44} \end{pmatrix}

 

この行列の固有値が、

『行列 A の固有値』になる。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle |λI-P^{-1}AP| \\ \\ =(λ-a_{11})(λ-a_{22})(λ-a_{33})(λ-a_{44}) \end{array}

 

同じになる証明は↓に書いておきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |Λ-λI|&=|P^{-1}AP-λI| \\ \\ &\displaystyle =|P^{-1}AP-P^{-1}PλI| \\ \\ &\displaystyle =|P^{-1}(AP-PλI)| \\ \\ \\ &\displaystyle =|P^{-1}(AP-λIP)| \\ \\ &\displaystyle =|P^{-1}(A-λI)P| \end{array}

 

\displaystyle \det AB=\det A \det B

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |P^{-1}(A-λI)P|&=|P^{-1}|\,|A-λI|\,|P| \\ \\ &\displaystyle =|P^{-1}|\,|P|\,|A-λI| \\ \\ \\ &\displaystyle =|P^{-1}P|\,|A-λI| \\ \\ &\displaystyle =|I|\,|A-λI| \\ \\ &=|A-λI| \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |Λ-λI|&=|A-λI| \\ \\ &=0 \end{array}

 

ただの式変形ですね。

分かりやすいと思います。

 

 

 

んでまあ、「三角行列」はこの性質を満たすわけですよ。

つまり『すでに三角化されている』のなら、

固有値が簡単に求まる、と言えるじゃないですか。

 

 

加えて、あらゆる正方行列は三角化可能です。

つまり「三角化してから」計算できます。

 

 

そう、行列を「初めから」

そのように整理してしまえば、

固有値の計算に全く手間がかからないんですよ。

 

 

まあですから、

『整理されている状態』の形として、

これは重要なんですね。

 

 

 

 

 

ユニタリ行列

 

めちゃくちゃ『 1 っぽい行列』がこれ。

厳密には『 1 を分解したもの』なんですけど。

 

 

使い道としては、

「あんまり変化させない」みたいな、

そういう感じのを表現するときに使われます。

 

 

具体的には「時間発展」っていう、

いわば『時間による変化』を扱う時とかに使いますね。

これの詳細は記事の後半で話します。

 

 

ともかく、こいつが持ってる性質は↓です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ||Uq||&=||q|| \\ \\ \\ \displaystyle Ux=λx&→|λ|=1 \\ \\ \\\displaystyle \det(U)&=|U|\\ \\&=1 \end{array}

 

んで、こいつの「列/行」は、

『両方とも、正規直行の基底』になります。

 

 

 

イメージしにくいかもしれないんで、

具体的なやつを求めてみましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle z&=r(\cosθ+i\sinθ) \\ \\ \displaystyle \overline{z}&=r(\cosθ-i\sinθ) \end{array}

 

\begin{array}{rll} \displaystyle UU^{\dagger}&=U^{\dagger}U \\ \\ &=I&=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle U&=\begin{pmatrix} z_{11}&\textcolor{pink}{z_{12}} \\ \textcolor{skyblue}{z_{21}}&z_{22} \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle U^{\dagger}&=\begin{pmatrix} \overline{z_{11}}&\overline{\textcolor{skyblue}{z_{21}}} \\ \overline{\textcolor{pink}{z_{12}}}&\overline{z_{22}} \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle UU^{\dagger}&=\begin{pmatrix} \textcolor{pink}{z_{11}\overline{z_{11}}+z_{12}\overline{z_{12}}} & z_{11}\overline{z_{21}}+z_{12}\overline{z_{22}} \\ {z_{21}\overline{z_{11}}+z_{22}\overline{z_{12}}} & \textcolor{pink}{{z_{21}\overline{z_{21}}+z_{22}\overline{z_{22}}}} \end{pmatrix} \\ \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} \end{array}

 

まあこんな感じになってて、

かなりいろいろ考えられるので、

適当に「 r=1 」にして考えてみます。

 

\displaystyle \begin{array}{rl} z\overline{z} & =r(\cosθ+i\sinθ)r(\cosθ-i\sinθ)\\ \\ & =r^2(\cos^2θ-i^2\sin^2θ) \\ \\ \\ & =\cos^2θ-i^2\sin^2θ \\ \\ & =\cos^2θ+\sin^2θ \\ \\ &=1 \end{array}

 

\displaystyle \begin{pmatrix} \textcolor{pink}{z_{11}\overline{z_{11}}+z_{12}\overline{z_{12}}} & z_{11}\overline{z_{21}}+z_{12}\overline{z_{22}} \\ {z_{21}\overline{z_{11}}+z_{22}\overline{z_{12}}} & \textcolor{pink}{{z_{21}\overline{z_{21}}+z_{22}\overline{z_{22}}}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+1 & * \\ * & 1+1 \end{pmatrix}

 

1にならないので、

「1になるようにする(規格化)」と、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle z_{11}\overline{z_{11}}+z_{12}\overline{z_{12}}&=1 \\ \\ \displaystyle z_{21}\overline{z_{21}}+z_{22}\overline{z_{22}}&=1 \\ \\ \\ \displaystyle ±\frac{1}{\sqrt{2}}z±\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{z}&\displaystyle =\frac{1}{2} \end{array}

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle z_{11}=±\frac{1}{\sqrt{2}}z&\displaystyle z_{12}=±\frac{1}{\sqrt{2}}z \\ \\ \displaystyle z_{21}=±\frac{1}{\sqrt{2}}z&\displaystyle z_{22}=±\frac{1}{\sqrt{2}}z \end{array} \right.

 

こうなります。

「正規直交」の「正規」の由来はここですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle 2r^2&=1 \\ \\ \displaystyle r^2&\displaystyle =\frac{1}{2} \end{array}

 

ちなみに r は↑の計算手順から、

必ずこの値になることが分かります。

 

 

んで次は 0 のところですけど、

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} z_α\overline{z_β} & =(\cos α+i\sin α)(\cos β-i\sin β) \\ \\ \\ & =\cos α\cos β - i^2 \sin α \sinβ \\ \\ & \,\,\,\,\,+\,i\,(\sin α \cos β -\cos α \sin β)\\ \\ \\ & =\cos(α-β)+i\sin(α-β) \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} z_{11}\overline{z_{21}}+z_{12}\overline{z_{22}} & =\cos(θ_{11}-θ_{21})+i\sin(θ_{11}-θ_{21}) \\ \\ & \,\,\,\,\,+\,\cos(θ_{12}-θ_{22})+i\sin(θ_{12}-θ_{22}) \end{array}

 

\displaystyle z_{11}\overline{z_{21}}+z_{12}\overline{z_{22}}=0

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \cos(θ_{11}-θ_{21})+\cos(θ_{12}-θ_{22})&=0 \\ \\ \sin(θ_{11}-θ_{21})+\sin(θ_{12}-θ_{22})&=0 \end{array} \right.

 

はい、こんなのが導けました。

ここは「直行」の由来になってる部分になります。

 

 

というわけで、

ここにも適当に値をぶち込んでみます。

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{rlc} \cos(θ_{11}-θ_{21})&=0 \\ \\ \cos(θ_{12}-θ_{22})&=0 \end{array} \right.

 

ここは何でも良いんですけど、

計算がしやすいので 0 を採用しましょうか。

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{rlc} \displaystyle θ_{11}-θ_{21}&\displaystyle =\frac{π}{2}+nπ \\ \\ \displaystyle θ_{12}-θ_{22}&\displaystyle =\frac{π}{2}+mπ \end{array} \right.

 

ここで n=0 を採用すると、

\sin θ の値を見てみた時、

調整が必要なことが分かります。

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{rlc} \sin(θ_{11}-θ_{21})&=1 \\ \\ \sin(θ_{12}-θ_{22})&=-1 \end{array} \right.

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{rlc} \displaystyle θ_{11}-θ_{21}&\displaystyle =\frac{π}{2} \\ \\ \displaystyle θ_{12}-θ_{22}&\displaystyle =\frac{π}{2}+π \end{array} \right.

 

はい、とまあここまで導けました。

   

\begin{array}{rlc} \displaystyle U_{\mathrm{example}}&=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ_{11}+i\sin θ_{11}) & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ_{12}+i\sin θ_{12}) \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ_{21}+i\sin θ_{21}) & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ_{22}+i\sin θ_{22}) \end{pmatrix} \\ \\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \displaystyle \cos θ_{11}+i\sin θ_{11} & \displaystyle \cos θ_{12}+i\sin θ_{12} \\ \\ \displaystyle \cos θ_{21}+i\sin θ_{21} & \displaystyle \cos θ_{22}+i\sin θ_{22} \end{pmatrix} \end{array}

 

ただ、これ以上は特に定まらないので、

また適当に、計算しやすい値を採用してみます。

 

\displaystyle \left\{ \begin{array}{lrl} θ_{11}=0 &\displaystyle 0-θ_{12}&\displaystyle =\frac{π}{2} \\ \\ θ_{21}=0 &\displaystyle 0-θ_{22}&\displaystyle =\frac{π}{2}+π \end{array} \right.

 

\left\{\begin{array}{rlc} \sin θ_{12}&\displaystyle =\sin \left( -\frac{π}{2} \right)\\ \\&\displaystyle=\sin \left( 2π-\frac{π}{2} \right)\\ \\ &=-1 \\ \\ \\ \sin θ_{22}&\displaystyle =\sin \left( -\frac{3}{2}π \right) \\ \\ &\displaystyle =\sin \left( 2π-\frac{3}{2}π \right) \\ \\ &=1 \end{array}\right.

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \displaystyle \cos θ_{11}+i\sin θ_{11} & \displaystyle \cos θ_{12}+i\sin θ_{12} \\ \\ \displaystyle \cos θ_{21}+i\sin θ_{21} & \displaystyle \cos θ_{22}+i\sin θ_{22} \end{pmatrix} \\ \\ =\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \displaystyle \cos 0+i\sin 0 & \displaystyle \cos \left( -\frac{π}{2} \right)+i\sin \left( -\frac{π}{2} \right) \\ \\ \displaystyle \cos 0+i\sin 0 & \displaystyle \cos \left( -\frac{3}{2}π \right)+i\sin \left( -\frac{3}{2}π \right) \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1+0 & 0-i \\ 1+0 & 0+i \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix} \end{array}

 

するとまあこのような、

「ユニタリ行列」の具体例の1つが求まります。

 

 

これはシュレーディンガー方程式が終わった後、

「時間発展」の説明で使うので覚えておきましょう。

 

 

 

 

 


\mathrm{bra‐ket} 表記法/ディラック記法

 

|| 縦と横でベクトルの書き方をわけよう

これはいわば「ベクトルの表現方法の1つ」で、

ただの『書かれ方の1つ』です。いわばルール。

 

 

結論としては、

「1行」のベクトルのことを『ブラ-ベクトル』と呼び、

「1列」のベクトルのことを『ケット-ベクトル』と言います。

 

 

一応はっきりさせておくと、

「行」は『横に並んでる』ってことで、

「列」は『縦に並んでる』ってことです。

 

 

つまり定義としては、

まず「ブラ-ベクトル」については、

 

\langle\psi|=(a_1\,\,a_2\,\,a_3\,\,...\,\,a_n\,\,...)

 

んで「ケット-ベクトル」については、

 

\displaystyle |\phi\rangle=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_n \\ \vdots \end{pmatrix}

 

こんな感じになるんですね。

具体的には↓みたいな感じになります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi&=\begin{pmatrix} 1&2 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \langle \psi|&=\begin{pmatrix} 1&2 \end{pmatrix} \\ \\ |\psi\rangle&=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \end{array}

 

そして〈〉の向きについては、

ベクトルの『内積』っていう操作が由来になってます。

 

 

↓の形を覚えておけば

こんがらがることはないでしょう。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle\psi|\phi\rangle&=(a_1\,\,a_2\,\,…\,\,a_n\,\,…)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_n \\ \vdots \end{pmatrix} \\ \\ &=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n+\cdots \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |\phi\rangle \langle\psi|&=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_n \\ \vdots \end{pmatrix}(a_1\,\,a_2\,\,…\,\,a_n\,\,…) \\ \\ &=\begin{pmatrix} b_1a_1&b_1a_2&b_1a_3&\cdots \\ b_2a_1&b_2a_2&b_2a_3&\cdots \\ b_3a_1&b_3a_2&b_3a_3&\cdots \\ \vdots&\vdots&\vdots \\ b_na_1&b_na_2&b_na_3&\cdots \\ \vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix} \end{array}

 

↓でちょっとだけ詳しく解説してますが、

わざわざこうする理由については、

 

 

『こういう風に表記した方が都合が良いから』ってのが、

↑みたいにする一番でかい理由ですね。

 

 

これは単なる「表現のやり方」でしかないので、

そこまで難しく考えなくていいです。

ただただ覚えてください。

 

 

 

 

 


エルミート演算子と実数

 

これ、『定義からの証明』はよく見ますが、

『なぜその定義になったのか』はあまり見ません。

なので、その話をメインにしていきます。

 

 

より厳密な言い回しをするなら、

「行列→実数の固有値」って話の説明で、

「定義→証明可能 だけ」じゃ不十分だ、って感じですかね。

 

 

まあつまり一言で言うなら、

『発想→定義』の話をする感じです。

 

 

 

大まかな流れとしては、

『固有値方程式』で「固有値」を求めて、

その「固有値が実数になる」って話なわけですが、

 

 

『固有値が実数になる条件(定義)』ってのは、

「後で分かること」じゃないですか。

 

 

んで『定義からの証明』ってのは、

『後で分かったものが正しいかどうかの検証』なわけで、

「定義の出所」は不明なまま、はっきりしません。

 

 

そう、順番を考えると、

肝心の「発想の元になったもの」が欠けてるんです。

 

 

まあそんなわけなので、

これからそこをはっきりさせていく感じですね。

 

 

 

結論としては、

エルミート演算子の性質というのは、

『固有値を実数にしたい』から求められています。

 

 

定義は、その条件を一般化した結果でしかありません。

 

 

つまり「定義から」↓で証明を行いますが、

これは『検算・結果論』になります。

 

 

これが『定義になる前』の段階は、

「こうじゃね?(仮説)」です。

 

 

それを検算してみると大丈夫だったから、

定義として認められたわけですね。

 

 

 

ただまあこれだけだとよく分かんないと思うので、

順番に、エルミート演算子の定義を求めてみましょうか。

 

 

 

そのために、まず『観測可能量』が、

「演算子(行列)」に変換できる、って事実を考えます。

 

 

これはシュレーディンガー方程式の話ですね。

今は、とりあえずそういうものだと思っておいてください。

 

 

んで次、『固有値方程式』ですが、

当然の話として、これは「固有値」を算出できます。

 

 

んでその「固有値の意味」は

この場合だと『物理量(位置とか)』ですから、

『実数であって欲しい』じゃないですか。

 

 

 

まとめると、

求めることになる「固有値」は、

『物理量を意味する』場合があるので、

 

 

『行列表示された観測可能量』には、

一定の性質を満たしていて欲しい、って感じ。

 

 

 

んでまあそれが、

「固有値が実数であって欲しい」っていう要望で、

 

 

結果論になりますが、

↓の条件を満たしていて欲しいんですよ。

 

\begin{array}{rlc} A^{\dagger}&=\overline{A}^{\mathrm{tr}} \\ \\ A&=A^{\dagger} \end{array}

 

これは『複素共役をとっても同じ値になる』っていう、

「複素数が実数であるための条件」とだいたい同じ、

みたいに考えると楽かも?

 

 

 

まあともかく、順を追って

この条件に行き着くまでの流れを整理してみましょうか。

 

 

 

実数の条件

 

というわけでまず、

『ある複素数が実数であることの確認がしたい』ので、

『複素共役』を、とりあえずとってみます。

 

\begin{array}{rlr} \displaystyle z&=a+bi \\ \\ z^*&=a-bi \\ \\ \\ z&=z^* \\ \\ &=a &(b=0) \end{array}

 

この発想に行き着くのは、

そこそこ自然なことですよね?

 

 

でまあそうなると、

『複素共役の性質』も欲しくなりませんか?

 

 

具体的には『掛けると絶対値が求まる』っていう、

「内積」の感覚が欲しい気がするような。

 

 

んでまあそれを考えると、

最も都合の良い操作として、

「転置」が候補に挙がってくる、みたいな。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle z&=a+bi \\ \\ zz^*&=a^2+b^2 \\ \\ \\ Z&=\begin{pmatrix} z_1&z_2 \end{pmatrix} \\ \\ Z(Z^*)^{\mathrm{tr}}&=\begin{pmatrix} z_1&z_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z_{1}^{*} \\ z_{2}^{*} \end{pmatrix} \\ \\ &=z_1z_{1}^{*}+z_2z_{2}^{*} \end{array}

 

ここまで、単に『複素共役を使いたい』だけなので、

特に疑問の余地はないかと。

 

 

でまあこの流れから、

『行列版の複素共役』として、

『エルミート共役』って操作が生まれた感じですね。

 

A^{\dagger}=(A^*)^{\mathrm{tr}}

 

ここまで、特に不自然な部分は無いと思います。

 

 

 

固有値が実数

 

話は変わるんですが、

そもそも、知りたいのは「固有値」ですよね?

 

 

↑の話は「実数の条件」の話。

関わりはあっても、固有値の話とはまた別です。

 

 

まあそういうわけなので、

一旦、おさらいしておきましょうか。

 

 

まず『固有値方程式』の形を。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A \vec{x} &= λ \vec{x} \\ \\ A \psi &= λ \psi \\ \\ A |\psi\rangle &= λ |\psi\rangle \end{array}

 

んで、この「固有値 λ 」ですけど、

これが『実数であって欲しい』ので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A\psi&=λI\psi \\ \\ (A-λI)\psi&=\vec{0} \end{array}

 

この関係を想定すると、

この「演算子 A (行列)」には、

なにかしらの性質を満たしていてほしい、ですよね?

 

 

はい、まあそんな感じなので、

その条件が何なのか考えてみます。

 

 

するとまあ、とりあえず『 λ は実数』

という条件は、確実に使えると分かりますよね。

求めたい条件ですし。当然。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle λI&=\begin{pmatrix} λ&0 \\ 0&λ \end{pmatrix} \\ \\ \\(λI)^{\dagger}&=\begin{pmatrix} \overline{λ}&0 \\ 0&\overline{λ} \end{pmatrix} \\ \\ &=\overline{λ}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle λ^{\dagger}&=\overline{λ} \\ \\ (λA)^{\dagger}&=\overline{λ}A^{\dagger} \end{array}

 

とりあえず記号の確認をしておくと、こう。

 

\begin{array}{rlr} \displaystyle z&=a+bi \\ \\ z^*&=a-bi \\ \\ \\ z&=z^* \\ \\ &=a \\ \\ \\ λ&=λ^{\dagger} \end{array}

 

んで『固有値が実数』だっていうのがこうで、

最低限、この条件は確定させることができます。

 

 

 

というわけで、ここから順番を入れ替えて、

『条件の推定』を行っていきます。

 

 

具体的には「求めたい条件」が、

λ=λ^{\dagger} を満たす条件』なら、

A の固有値は実数になる」って言いたい感じ。

 

 

まあ要は『それっぽい条件』を考えて、

それが「 λ=λ^{\dagger} を満たすかどうか」確認して、

『合っているなら』それを求めたい条件だとします。

 

 

まあつまり、その『条件』っていうのが何なのかは、

↑の段階ではまだわかりません。

 

 

 

はい、てなわけなので、

ここから試行錯誤がスタート。

 

 

「良さそうな条件」を考えて、

その『 A の条件』が「 λ=λ^{\dagger} 」を満たすかどうか、

確かめていきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle あるAの条件 & →λ=λ^{\dagger} \\ \\ \\ ×&→その条件はダメ \\ \\ 〇&→その条件が求めたいやつ \end{array}

 

でまあ過去の人たちが良さそうなのを試してみて、

結果、いけるやつを見つけた、という感じですね。

順番は「行けそう→行けた」になります。

 

A=A^{\dagger}

 

この他にもいろいろあるんですが、

A=A^{\dagger} 」がおそらく最も自然な発想で、

以下が「性質であり定義でもある」ものです。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle AX,Y \rangle&=\langle X,AY \rangle \\ \\ \\ \langle AX,Y \rangle&=\langle X,A^{\dagger}Y \rangle \\ \\ \langle A\psi,\phi \rangle&=\langle \psi,A^{\dagger}\phi \rangle \\ \\ &=\langle \psi,A\phi \rangle \end{array}

 

これらは全て『エルミート作用素の定義』で、

どの定義からスタートしても、

お互いを導くことが出来ます。

 

 

 

はい、というわけなんで、

一応、確かめてみましょうか。

 

 

「エルミート演算子の定義 A=A^{\dagger} 」から、

λ=λ^{\dagger}\,\,(=\overline{λ}) 」を導けるかどうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A&=A^{\dagger} \\ \\ A\psi&=λ\psi \end{array}

 

てなわけで、使って良い条件を整理しておきます。

 

 

それと、証明を行う前に、

固有値方程式の具体的な中身を見てみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A\psi&=λ\psi \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} λ_1&0&0 \\ 0&λ_2&0 \\ 0&0&λ_3 \end{pmatrix}\psi&=λ\psi \\ \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} λ_1&0&0 \\ 0&λ_2&0 \\ 0&0&λ_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}&=λ_1\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} λ_1&0&0 \\ 0&λ_2&0 \\ 0&0&λ_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}&=λ_2\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \end{array}

 

 

分かりやすい具体例で書くと、って感じですが、

まあこんな感じになってると思ってください。

そうすると、ちょっとイメージしやすいかも?

 

 

ともかく話は戻って、

次は証明で使うものを確認しておきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (A\psi)^{\dagger}&=(λ\psi)^{\dagger} \\ \\ (A|\psi\rangle)^{\dagger}&=(λ|\psi\rangle)^{\dagger} \\ \\ \\ |\psi\rangle^{\dagger}&=\langle \overline{\psi} | \\ \\ \langle \overline{\psi} |^{\dagger}&=|\psi\rangle \\ \\ \\ \langle \psi |A^{\dagger}&=\langle \psi |λ^{\dagger} \\ \\ &=λ^{\dagger}\langle \psi | \end{array}

 

これもよく分かんないかもしれないんで、

具体的なやつを↓に書いときます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}^{\dagger}&=\begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}&\overline{0} \end{pmatrix}\\ \\&=\begin{pmatrix} 1&0&0 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} 1&0&0 \end{pmatrix}^{\dagger}&=\begin{pmatrix} \overline{1}\\\overline{0}\\\overline{0} \end{pmatrix}\\ \\&=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} λ_1&0&0 \\ 0&λ_2&0 \\ 0&0&λ_3 \end{pmatrix}&=λ_2\begin{pmatrix} 0&1&0 \end{pmatrix} \end{array}

 

んで、この感覚が分かると、

↓に書いてあることが分かると思います。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A|\psi_i\rangle&=λ_i|\psi_i\rangle \\ \\ \\ (A|\psi_j\rangle)^{\dagger}&=(λ_j|\psi_j\rangle)^{\dagger} \\ \\ \langle \psi_j |A^{\dagger}&=λ_j^{\dagger}\langle \psi_j | \end{array}

 

でまあこうなるんで、

次、この形を合わせてみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A|\psi_i\rangle&=λ_i|\psi_i\rangle \\ \\ \langle \psi_j |A|\psi_i\rangle&=\langle \psi_j |λ_i|\psi_i\rangle \\ \\ \langle \psi_j |A|\psi_i\rangle&=λ_i\langle \psi_j |\psi_i\rangle \\ \\ \\ \langle \psi_j |A^{\dagger}&=λ_j^{\dagger}\langle \psi_j | \\ \\ \langle \psi_j |A^{\dagger}|\psi_i\rangle&=λ_j^{\dagger}\langle \psi_j |\psi_i\rangle \end{array}

 

そうすると、こういう風に書けます。

ただの式変形なので簡単ですね。

 

\begin{array}{rlc} \langle \psi_j |A|\psi_i\rangle&=λ_i\langle \psi_j |\psi_i\rangle \\ \\ \langle \psi_j |A^{\dagger}|\psi_i\rangle&=λ_j^{\dagger}\langle \psi_j |\psi_i\rangle \end{array}

 

で、欲しかったのがこれになります。

そして、準備はここまで。

 

A=A^{\dagger}

 

ここから、この条件を考えてみます。

まああれです。要はここから証明開始。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle \psi_j |A|\psi_i\rangle&=\langle \psi_j |A^{\dagger}|\psi_i\rangle \\ \\ λ_i\langle \psi_j |\psi_i\rangle&=λ_j^{\dagger}\langle \psi_j |\psi_i\rangle \end{array}

 

使うのはこの関係式ですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (λ_i-λ_j^{\dagger})\langle \psi_j |\psi_i\rangle&=0 \end{array}

 

んでこれを変形するとこう。

 

 

そして求めたいのは i=j の場合ですから、

その場合を考えると、

 

\langle \psi_i |\psi_i\rangle≠0

 

固有ベクトルの制約 |\psi_i\rangle≠0 から、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (λ_i-λ_i^{\dagger})\langle \psi_i |\psi_i\rangle&=0 \\ \\ \displaystyle (λ_i-λ_i^{\dagger})&=0 \\ \\ \\ λ_i&={λ_i}^{\dagger} \end{array}

 

関係式を満たす条件として、

このように「 λ_i={λ_i}^{\dagger} 」が導かれるんですね。

 

 

「それっぽい条件 A=A^{\dagger} 」から、

「実数である条件 λ_i=λ_i^{\dagger} 」がちゃんと導かれました。

 

 

はい、とまあこれにて証明終了。

 

 

『演算子 A の条件 A=A^{\dagger} 』は

『固有値 λ は実数』を導く

と言えることがわかりました。

 

 

 

んでまあ「結果論」として、

A=A^{\dagger} は『固有値 λ が実数になる行列 A の条件』だったので、

「エルミート演算子の定義」として扱われるようになったんですね。

 

 

 

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