同値 Equivalence


|| 感覚的には分かってるような?

これはまあ、読んだままですね。

「値」が「同じ」だと、そういうことを示しています。

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目次


関係「集合の中にある要素同士がどうか」

   二項関係「二つの要素の関係」

      反射律「自身との関係が成立する」

      対称律「入れ替えても関係が成立する」

      推移律「成立する関係が他のとも成立する」


同値関係「二つを同じとみなしていい」

   同値関係の奇妙さ「迂闊に使えない関係」


同値類「同値関係を使った類別」

   代表元「同値類の中にある要素のこと」


相等関係「要素同士が完全に一致してる」

   =はそんなに使えないよ、っていうお話








重要なのは「値」がという点ですね。

とどのつまり「値」でしか「同じ」かどうか確認してません。




といっても、やはり数学ですから「感覚的な同じ」に近いです。

なので「同じ」とはなにか、なんて疑問の一つの答えとして、

この「同値」という概念は役に立ちます。



というわけでさっそく、

「同値」という概念について見ていきましょうか。






関係 Relation


|| 同値関係を語る前に

これについての概要は『関係』で行ってます。確認を。

ざっとまとめると「集合内での元(要素)の対応」のことです。



だいぶざっくり言うなら、

「その中にあるそれとあれはあんな感じ」みたいな。




注意点としては「関係」なので「述語」になります。

元同士を結びつける「結合記号(命題記号)」とは異なります。

「 ~ と ~ は、~です」(おっきいとか)みたいになるので。




「集合論」的には「直積」の操作がこれに当たります。

「二項関係 ↓」なら二つの「集合」の「直積」がこれです。

それが何を表すか、というのがその「中身」になります。






二項関係 Binary Relation


|| 関係っつたらだいたいこれ

要は『 2 つの』の「関係」のことで、

もういっそのこと普通に「関係」っていっちゃって良いです。




ともかく、この「二項関係」の中で、

すっごい重要(根本的)な「関係」を紹介します。( 3 つ)




具体的には『同値』を説明するためのやつです。

逆に言えば、同値は基本的な性質を満たします。




ただ、「同値関係」それ自体は本質的じゃないです。

これはいろいろ条件が満たされた上で成り立つもので、

あくまで「結果論」だと考えるべきかと。




というわけで、さっそく見ていきましょう。

形式的な定義のところで「量化記号」を使います。






反射関係 Reflexive Relation


|| 自分自身との関係

「それ自身」との「関係」があること(ん?)




具体例で見ましょう。こんなです。「 a≧a,a=a

この性質は『反射律』なり『反射的』とか言われます。




満たさないものだと『 a>a,a≠a 』とか( ¬(eRe)




形式的には↓みたいな感じ。



反射的な関係 R は、『 ∀e∈S\,eRe 』を満たす



意訳は「全部 eRe でOKなら、その関係は反射的」






対称関係 Symmetric Relation


|| 入れ替えても関係の意味が変わらない

字面通りの感じで「入れ替えて良いよ」みたいな関係です。



『対称律』とか『対称的』とか言われます。

これはまあ、ほぼ「等しい」と同じ意味です。

ですからこいつが『同値』の本質に一番近いかと。




とにかく、これは形式で見た方が分かりやすいと思うので、

さっそく見てみましょう。




形式的な定義↓



対称的な関係 R は『 ∀e_1,e_2∈S\,\,\,e_1Re_2→e_2Re_1 』を満たす



要は「 e_1Re_2 が正しいなら e_2Re_1 もOK」って感じ。




具体的にはこんなん「 [\,a=b\,]→[\,b=a\,]

(「 ab は、家族だ」とかも)






推移関係 Transitive Relation


|| 自分はこれが数学の本質に近いと思います

これはいわゆる「三段論法」とか、そんな感じのものです。




「あれならこれ」「これならそれ」

だったら、「あれならそれ」みたいな感じのやつ。



これを『推移律』とか『推移的』とか言ったりします。




『使いやすい関係』は、だいたいこれを満たします。

というか、これを満たさないものはかなり使いにくいです。

ほとんどの「二項関係」はこれを満たしてると思って良いでしょう。




さて、これもさっさと形式で見ましょうか。

そっちの方がたぶんわかりやすいと思うので。




形式的な定義↓



推移的な関係 R は↓を満たす。

∀e_1,e_2,e_3∈S\,\,\,[\,(e_1Re_2∧e_2Re_3)→(e_1Re_3)\,]




これを具体例で見ると、要はこんなのとか↓

(A⊂B⊂C)→(A⊂C)

(A=B=C)→(A=C)






はい、というわけで、これで準備は終わりました。

なのでさっそく「同値関係」をやっていこうと思います。







同値関係 Equivalence


|| ぱっと見なんか分かる感じ

a≡b,a≡_Rb 」こんなんですね。

「同じようなこと」だよって言ってる感じ。

当然「真理値」由来ですが。




厳密な定義は↓



反射的で対称的推移的な『二項関係』



これを「同値関係」と言います。

直観的には、同値関係がこれらの性質を満たす感じ。




上の条件はまとめて「同一律」って言ったりも。

基本的に『同値』って概念はかなーり本質的なので。




でもまあ、なんかわかりにくいですよね。

なので、とりあえず確認だけはしておきましょうか。






まず『反射律』について『 a,b が同じ』なら、

a≡a 』はどう考えても成立します。



『対称律』は『 a,b が同じ』なら、

a≡b\,\,\,→\,\,\,b≡a 』もどっちも意味は同じ。



『推移律』は『 a,b,c が同じ』なら、

[(a≡b)∧(b≡c)]→(a≡c) 』これも当然。






同値関係の特別性


でもまあ、これだけだと「んで?」ってなりますよね。

私もなります。つまり、なんで特別なの?って。




結論としては「結果論」になります。

えーって感じですけど、意外に本質的なものはこれが多いです。

公理とか定義とかもそうですし。




ともかく、「同値関係」の特別さというのはかなり分かりにくいです。

というのも、その確認方法がとにかく厄介なんです。

具体例を列挙していく形になるので、どうしても長くなります。






さて、ともあれ「結果論」だという主張の確認をしましょうか。

↓の例が、たぶん、一番しっくりくる特異性になると思います。




まず結論から述べるのなら、

「同値関係」は「それ以外に考えられない」感じのものになります。

上の 3 つの性質を満たすのは「同値」だけなんです。




というのも、

結果的に見て、『対称律』と『推移律』は両立しにくいです。

「同値」の本質は、この二つの性質の両立と言って良いでしょう。




なにせ、まず『対称律』がそもそもガッチガチなんです。

入れ替えを許すんで「大小や包含、帰属」なんかは軒並みアウトです。

つまり代表的な記号『 >,≧,⊂,⊆,∈, 』これ全部ダメです。




そしてこの『対称律』が、意外に人の勘違いを生んだりします。

これは具体例を挙げた方が良いでしょう。

いくつか見ていきましょうか。




例えば『対称律』を満たす「関係」は、↓みたいなのです。

ab は、友人だ」←「 aRb

ab は、人間だ」←「 aRb




見て分かる通り、かなり「同値」の「関係」に近いです。

意訳すると、どっちも「 ab は~だ」って、

『同じカテゴリーに含まれてる』って言ってるわけですからね。




つまるところ、この『対称律』こそが『同値』のキーなわけです。

しかしこの『対称律』だけでは、実は問題が発生します。



この問題こそが、人間が陥る勘違いの要因です。

よく覚えておきましょう。






放置してしまいましたが、ここで『推移律』が登場します。

これは結論の先取りになるので、具体例を見ましょうか。




先ほどの例から拝借して『推移的』という観点で見てみましょう。



ちょっと残酷な例えですが、

ab は友人だ」と「 bc は友人だ」から、

ac は友人だ」は、必然的には導かれません。


(友人の友人は、友人とは限りませんよね? 親子とかだと尚更)




するとあら不思議、『推移関係』が存在しないと、

aRc 」という「関係」が成立しなくなってしまいました。

『同じ』っぽかったのに、成立しなくなっちゃったわけです。




「同値」なら、『対称律』と『推移律』はセットじゃないと。

このことが分かる理由は、↑のような例がたくさんあるからです。




そして人は、意外にも『対称律』だけで、

その性質からくる「同じな感じ」のせいで、

その「関係」が「同値関係」だと勘違いしちゃうことがあります。




例えば「~と~は似ている」とかいう「関係」なんかが。

他にも「~と~は近い」とかもそうですね。

いわゆる確率が関連する項目です。




↑みたいな例は、離れていけばいくほど遠ざかります。

23 経由すれば『推移関係』は破綻するでしょう。




しかし一見、この「関係」は成立してるように見えてしまう。

そんな時に、人は「同じ」だと勘違いを起こしちゃうわけですね。






というわけで『同値関係』についての説明はここまでです。

凡そのことは分かったと思いますが、どうでしょう?




なんか込み入ってて複雑な感じがする。

『推移関係』が途中で破綻することもある。

『対称関係』は「同値関係」以外、『推移律』で破綻する。



この辺りを覚えていれば、まあ大丈夫です。

誰かに説明するときは、その場で適当に具体例でも出しましょう。




逆に言うと、具体例じゃないと納得できないから、

どうしても『同値関係』は「結果論」になるわけですね。







同値類 Equivalence Class


|| 同値な類別っていってもなんか

「同値関係」を使った「分け方」のことですね。

要は「それとそれは同じってことにしよう」みたいな。




これ、わりと皆が日常的にやってることです。

要は「分類」のことですからね。

トランプとかやる時にスペードとハートを仕分けするみたいな。




『同値類』については、詳しくは↓の「代表元」でやります。






同値類による類別


「集合論」的に見ると、

これは『商集合』を作る操作で使われます。

もっというなら、「類別」で使われます。




形式的には、「同値関係 R_{eq} 」が与えられたとき、



『集合 S 』の「商集合」は『 S/R_{eq} 』となります。




一般化は具体例を見ないと理解しにくいですよね。

なので、さっさと具体例を見てみましょうか。




良く使われている「同値関係 R_{2n} 」を定義します。

n_1n_2 は、 2 で割った余りが同じ』としましょうか。

いわゆる偶数と奇数の分け方です。



そして、「集合」の範囲を『自然数 N 』とすると、

「商集合 N/R_{2n} 」が定義できます。



これの中身は「 \{\{1,3,5,7,...\},\{2,4,6,8,...\}\} 」です。




当然ですが、これの「元・要素」

例えば「 \{2,4,6,8,...\} 」にも名前があります。

これが「同値類」です。



そして「同値類」の中にある「要素」のことを「代表元」と呼びます。




形式はちょっと複雑ですが、やってること自体はほんとに単純です。

例えば「トランプの模様で仕分けする」とか、そんなのですから。






代表元 Representative


|| 代表と言えば、まあ代表っぽいけど、項に近い感じ

『同値類を得る』操作と「類別」との違いは、

その「集合」内の「要素の一部」を作る段階で止まるところです。




全てをまとめる前段階として作った一つの「部分集合」。

その「部分集合」こそが、「同値類」になります。




形式的な定義は↓で、『 [r] 』を「同値類」と言います。



[r]:=\{e∈S\,|\,rR_{eq}e\}



ここでの「 r 」が「代表元」です。




↑の例で見るなら、

例えば「 2 で割った余りが 1 」のやつなら、

\{1,3,5,7,...\} 」が同値類になります。






「類別」はわりと見るので、よく覚えておきましょう。

具体的には『代数学』とかでよく見ます。

それに、そもそもみなさん日常的にやってますしね。







相等関係 Equality


|| 相等って書くと難しく見える

要は『 = 』のことです。



見ての通り、これは「二項関係」になります。

それでいて「同値関係」の一種です。






これは数学を代表する「記号」とも言えますが、

もっとも突っ込みどころの多い記号でもあります。

ですから、基本的に『取り扱い厳重注意』です。




なんで厳重注意かというと、これ、実用性はほぼほぼありません。

なのに、なんか当たり前みたいに使われてますよね?

そのせいか、とにかくこいつは勘違いの温床になってます。




例えば人間がよくやる間違いは、「集合」関連で見られます。

いえ、よく、というのはちょっと語弊がありますね。

やばいくらい、と言うくらいがちょうどいいかもしれません。




結論から行きましょう。

人はこの記号を使うとき↓みたいな使い方をしがちです。



e∈S

なのに e=S


もしくは


\displaystyle \frac{|S_A∩S_B|}{|S_A∪S_B|}≒1

なのに S_A=S_B




え、ほんと? って気がしますが、ほんとです。

例えば「平等」や「差別」って概念で起きがちな勘違いは、

ほぼ間違いなく、この記号のせいです。



例えば、ちょっと考えるだけでも、

「犯罪を犯した男がいた」→「男は犯罪を犯す」とか。

「頭の悪い女がいた」→「女は頭が悪い」とか。



なんかこういうこと平気で言っちゃう人がいますけど、

いや、違いますよね?

この考え方は、普通におかしいです。




はい、というわけでなんとなく分かったかと思いますが、

こういう勘違いは、 = が原因で起きてます。



↑の例だとどっちも e∈S なのに、

e=S で考えちゃってるんです。




そう、多くの人が「イコールだと思っているもの」は、

ほぼ全て『所属関係がある』か『共通部分が多い』なんです。

「相等関係 = 」ではありません。





ともあれ、こういう勘違い、ありふれてますよね?

それこそどこぞの掲示板なりを見れば、ありふれています。

テレビのコメントとかでもこういうこと言っちゃう人いますし。




はい、というわけで、

『取り扱い厳重注意』というのは、要はそういうことです。

これ、使う場面って実はほとんど無いんですよ。






実用的数学


これに関して、多くの人に知ってもらうために動画で解説します。

ただ、原理的な話はここに書いておきます。

根拠は↓なんですが、具体例があまりにも多いので。






さて、では根拠を詳しく解説していきましょうか。

「使える場面がほとんどない」という、その根拠を。




まず、事実確認から。

「等号」は、「関係」です。(同値関係の一種)

ですから同じ集合内でしか成立しません。



この時点で、あっ、って感じですけど、ともかく続けます。




はい、まあ、要はそういうことです。

「集合」と「元(要素)」では、 = は成立しないんです。

これはマクロとミクロの観点から、直観的にも理解できます。



例えば「平均」と「データ」は基本的に同じじゃないとか。

「国家」とそれを構成する「個人」の意志は同じじゃないとか。






なのでこの「 = 」を使うときは、



e_1∈S,e_2∈Se_1=e_2 はあり得る

けど e_1=S はまずあり得ないから、ダメ



ってことに注意しなければいけません。




このダメなやつをやっちゃうから、重大な勘違いが生まれるわけです。

「~は、~だ」とかの文の扱いでよく起きるのはこれですね。

= を使えないのに、使っちゃってるわけです。




なので、これを使う場合、とても気を付けて使うようにしましょう。



でもまあ、なんとなく分かると思いますが、

気を付けて使おうとすると、最終的に使えなくなります。

なぜなら、使える場面なんてほとんど無いので。




だったらいっそ、使わない方が良いかもしれませんね。

「前提が全て一致」しないと使えませんし、実用性はほぼほぼ皆無。

どうせ使えないんで、いっそのこと使用禁止でも良いでしょう。




使える場面は『パラメーターを無視した場合だけ』で、

「集合」に直すと『全ての要素が一致する』場合に限られます。



つまり『それ自身がそれ自身である』ということを言う場合か、

『特定のパラメーターに着目して、それ以外を無視する』場合か、

大まかにはこの2パターンでしか使うことはできません。



また『特定のパラメーターに着目して、それ以外を無視する』場合は、

「違うもの同士」を『同じということにしている』ので、

この時点で実際とはズレることになります。




はい、つまり「合理性が保証されている」のは、

『それ自身がそれ自身である』というパターンのみで、

それ以外のパターンは、前提からして不合理なんですね。






ここで重要なのが、それでも使われるという点です。

はい、不合理と分かっていて、それでも使われます。



この話の核になるのは『共通部分が多い』です。

これに着目すると、なぜ「同じだとしたい」のかが分かります。




ここで出てくるのが「平等」という考え方です。

いわゆる『区別するのが面倒くさい』という場面で、

この「=」と「平等」が出てきます。



はい、この「実態」は『共通部分が多い』なんですね。

これを「同じということにする」のが、↑の考え方になります。




これで、例えば「一人、二人・・・」「一個、二個・・・」という、

かなりありふれた、数えるという行為が可能になるわけです。



どういうことかというと、

「違うけど、共通部分が多い」から、

『だいたい同じ』だとしても、特に問題が出ないって話です。



例えば「大きいリンゴ」と「小さいリンゴ」でも、

「リンゴの個数は、数えたら2個」なんです。



これが「イコール = 」「平等」の感覚になります。

つまり横着してるだけです。

単なる『簡単に考えるための考え方』なわけですね。




はい、つまりこのようになるので、

『違うものを同じとする』わけですから、

当然のようにおかしな結論が最終的には導かれます。



簡単に捉える為には役に立ちますが、

少なくとも「精確に判断したい」のなら、

イコールという記号は使えないわけです。




ですから皆さん、身の回りからイコールを撲滅していきましょう。

そうすれば、かなり勘違いが減ります。



仮にイコールが出てきたら、

きちんと『所属関係がある』か『共通部分が多い』か、

このどちらであるか確かめてみましょう。