命題を組み立てる Well-Formed


数学の用語について、ざっとぱっと見ていきます。


まずは記号のことについて

次に用語について見ていきましょう。

スポンサーリンク





目次


記号について

   論理記号「数学をするために必須な記号」

   非論理記号「別に無くても数学はできる記号」


「いわゆる一個のもの」

論理式「いわゆる命題がこれ」

   原子論理式「項と項を繋いだ、論理式の最小単位」


まとめ







論理記号 Logical Symbol


|| 論理な記号ってどういう意味?

いわゆる「必須で明らかな記号」ってやつです。

厳密に定められています。



以下の記号は「数学の基礎」に当たるものです。

「一つの記号が複数の意味を持つ」ことは許されません。



といってもまあ、そう難しくはありません。

いつだったか、見覚えのある記号ばかりですし。



そうそう「同じ意味に捉えてしまう」というような、

区別ができない、みたいなことは起こり得ません。

(ただし 0,1 には要注意)






結合記号


∧,∨,¬,→(⇒),↔(⇔,≡) 」のこと。



詳しくは「命題論理」で解説していきます。






量化記号


∀,∃ 」のこと。



左を「全称量化(全部正しい)」といって、

右を「存在量化(正しいのがある)」と言います。

詳しくは「述語論理」の項目で紹介します。






括弧


(,)[,] 」 ←こんなの



当然のようですが、これも記号です。






等号


= 」のことです。



これについては、特に何を言う必要も無いでしょう。

実は曲者なのですが、それについては後ほど。






変数


これに関しては少々込み入っています。



個体」という概念が出てくるのですが、とりあえずこれは保留で。

といっても、基本は単純です。




1 変数、2 変数、3 変数 ... n 変数の全てが、記号として解釈されます。

V=x 」だとか「 V=(x,y) 」みたいな( V は変数のことです)

詳しくは「変数」の項目で、







非論理記号 Non-(Logical Symbol)


|| 非って?

一言で言えば「論理記号じゃない記号」のことです。



見ての通り、論理記号以外の記号はたくさんあります。

(+,-,×,÷), f(x),f 」やら「 <,> 」やら「 0,1,2,10 」とか。



これらは大きく分けて3つ存在します。

簡単なものから見ていきましょう。




あっと、その前に一つの用語を紹介しておきます。

あまり使いませんが、それなりに重要なので覚えておきましょう。




アリティ


「記号がいくつの引数を持つか」を示す値のこと。

=,< 」なら、引数は2つ必要なので、アリティは 2 になります。

a=b なら、引数は ab のこと)






定数記号


名前の通り、定数を表す記号のことです。



具体的には「 0,1,2,10,100,100000 」とかのことです。




これらはあくまで記号なので、

「解釈されるまで意味を持たない」ことに注意。

というのも、例えば「 5 」を「 n0 」と表しても問題ありません。



なぜかというと、両者の『意味の解釈』は「後付け」されるので。

(どちらも 1+1+1+1+1 とすれば一緒)




そんなわけで「定数を表す記号」のことを、定数記号と言います。

「定数を表していなければ」その記号は定数記号ではありません。




例えば「 0 」に「 数値としての 0 ではない意味 」を持たせれば、

(「今日は、良い天気ですね」とか)



この場合、「 0 」は定数記号ではありません。

(また 0 を偽と解釈すれば論理記号となるので、

定数記号にはなりません)






関数記号


元のものからなにかを得る「操作」を表す記号のことです。



大体は、1つか2つのものから、1つのものを得ます。

必ず1つだけ

用語を使えば、写像(集合論)や射(圏論)の中で、

「ただ一つの値だけを返す」ということを表す記号のことです。




代表的なものだと「 +,-,×(*,・),÷(/) 」なんかがそうです。



+,- 」は「 1,2 」などから、

+1,-1,1+2,1-1 」などを得ますし。



×,÷ 」は「 1,4,9 」などから、

1×1,4×9,4÷1 」などを得ます。




関数「 f(x),f,g 」なんかも、そのまま関数記号と言えます。



「3つ以上のものを1つのものにするもの」だと、

この操作くらいしかないでしょうか。



例えば三次元の空間座標から、

距離や体積を導いたりする操作はこれですね。




定数記号と同様、

これも基本的にはどんな記号とも置き換えが可能です。



基本的には上のものになりますが、分かり易ければ何でも良いです。

(ちなみに「アリティ 0 の関数記号」は「定数記号」と言えます)






述語記号


一言で言うなら「状態」を表す記号のことです。

「なには、こういう状態だよ」みたいな。



代表的なものだと「 >,<,⊂,∈,∀,∃ 」なんかがあります。

a<b 」だと「 ab よりも小さいよ 」ということを表しますし、

x∈A 」だと「 xA に属してるよ」ということを表します。




述語論理は、この考え方を命題論理に持ち込んだものです。

ですので「 ∀,∃ 」には元となったものがあります。



というのも「 」は「 の集まり」ですし、

」は「 の集まり」です。



これについては、詳しくは述語論理にて行います。




続いて、以上を踏まえた上で理解できる単語について見ていきます。







項 Term


|| 分かるようで分からない単語

一言で言えば「定数と変数」のことです。



一つの数」「なんらかの一つの値」と言っても良いです。

ここに「関数記号によって得られたもの」も含まれます。






具体例


定数だと「 0,1,2,3,10,500,1000000 」なんかが。

変数だと「 x,y,z,k,n,m 」みたいなものが。



関数記号との組合せだと「 -1,+x,f(3,x)=(3+x) 」とかが。




この辺りのものを、まとめて項と呼んでいます。

要は「一塊の記号の列」のことですね。(その塊の定義は↓)






厳密な定義


帰納的に定義されています。「 n を自然数とします」

といっても、最初と最後のものは当たり前なので、そこはポンポンと。




規則1(当然)


「定数記号」と「変数」は、すべて項である。




規則2(一般化)


t_1,t_2,...,t_n 」が項で、

f 」が、アリティ n の関数記号なら、

f(t_1,t_2,...,t_n) 」は、項である。




要は「 t_1,t_2 」が項で、「 f 」がアリティ 2 の関数記号なら、

f(t_1,t_2) 」もまた、項だということ。(これを n 個にしただけ)



具体的な値を入れてみれば「 f(1,2)=(1+2) 」という感じ。

+ はアリティ 2 の関数記号 )




規則3(限定)


上記の規則1,2で定めたものだけが、項である。

(他の規則勝手につけちゃダメ)







論理式・整式 Well-Formed Formula


|| 字面からは意味が掴みにくい

要約すれば「命題を表すもの」のことです。



さて、さてさて、ここでようやく「命題」が登場しました。

そう、これまで登場した全てのものは、ここに集約されるのです。



そしてこの論理式が、今後の言語における基本的な単位になります。

いわゆる「数学で扱う一番小さな意味あるもの」がこれです。






具体例


アリティ 2 の述語記号で見ていくと、以下のようなものが。


x=a, x>y, x∈A, ∀x\,[x>0]



アリティ n の記号を作れば、どんなやつでも作れます。






厳密な定義


論理式(あるいは式 Formula)を説明するために、

まずは「原子論理式」について見ていきます。




原子論理式 Atomic Formula


|| 最小サイズの論理式

いわゆる「一番簡単な文」のことです。

この一文で「項と項の関係」が完結しています。



アリティ n の述語記号 P と、

n 個のt_1,t_2,...,t_n 」があって、



このとき「 P(t_1,t_2,...,t_n) 」という記号の列が、原子論理式です。

(ここで真偽が割り当てできるようになる)




具体例としては、例えばアリティ 2 の述語記号なら、

P(x,y)\,≡\,x>y 」とか「 P(x,f(x))\,≡\,x=f(x) 」とか。






※この概念の注意点


定義に書いてある通り、

これは採用される「記号」によって定義が変化します。



ある形式で「使う記号」が決定されて、

その後に、この概念は完全に定義されるわけです。






そしてこれを用いることで、論理式は定義されます。



規則1(そりゃそうだ)


「原子論理式」は、論理式である。



この「原子論理式」が、論理式の最小単位となります。

後はこれらを繋げることで、いろんな命題が出来上がるわけです。






規則2(結合記号について)


φ,ψ 」が論理式を表す記号であるなら、

φ∧ψ,φ∨ψ,¬φ,φ→ψ,φ↔ψ 」も論理式である。



単に、論理式同士を結合記号を使って繋げても、

そいつは論理式だと言ってるだけです。




「あいつは最低だ」と「あいつは面白い」っていう論理式があって、

「あいつは最低で、かつ面白い」も論理式だ、みたいな感じ。






規則3(量化記号について)


φ 」が論理式で、「 x 」が変数なら、

∀x\,φ,∃x\,φ 」もまた、論理式である。



これも単に、量化(大量に繋げる感じ)しても、

論理式は論理式だと言ってるだけです。




「論理式 A_1,A_2,... 」があったら、

∀A:=A_1∧A_2∧… 」も論理式だって言ってるだけ。






規則4(限定)


規則1,2,3を満たすものだけが、論理式である。



項と同じく、ここで限定して論理式を定義します。







まとめ


記号いっぱい

→「関数記号」と「定数記号」と「変数」で『』が出来上がり

→「述語記号」と「」で『原子論理式』完成(真偽割り当て待ち)

→「原子論理式」と「論理記号」から『論理式』が誕生しましたとさ


おしまい