整礎関係 Well-founded


|| 要は下地、基盤、基礎がしっかりしてるって感じ

「正の整数」での「 0 」みたいなものがあると。

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めっちゃ下の方に戻ってみたら、そこにちゃんと地面がある感じ。

あるいは天井と言っても良いでしょう。

要は『ちゃんと出発点がある』ということです。




こいつはあれです。超超超ヨタヨタゼータな感じで重要です。

重要というか、これが無いと議論すらままなりません。



というのも、基礎が無ければいくらでも好きなことが言えます。

その基礎自体に正当性がなくとも、なんか言えるわけです。

めちゃくちゃなやつに適当に名前を付けるとか、そんな感じに。




ちなみに「集合論的な数学」だと『空集合』が下地になります。

天井は今のところ「到達不能基数」ですね( ZFC+GCH では)






整礎関係の厳密な定義


要は、「関係 R 」についての「極小元」がある、

というようなことを言いたいわけです。



これは「集合 S 」上でも、

当然、「部分集合 S_{pt} 」上でも成立します。




そこで『二項関係 R_{found} 』が「整礎」だということは、

「基礎」となる『極小元 e_{min} がある』ことなので、



常に『 e_{min}<e∈S 』ですから、

e<e_{min} 」となることは無いわけです。




つまり「整礎関係 R_{found} 」上では、

e\,R_{found}\,e_{min} 」はダメってことですね。



これをどうにか表したいので『関係 R_{found} 』の集合を作ってみます。






そこで「関係 R_{found} 」を、

二つの項を使って、「直積集合 (e_1,e_2)∈R_{found} 」とみなし、



関係の左側に e_1 で、右側に e_2 とすると( e_1\,R_{found}\,e_2

(e_1,e_2)∈R_{found} 』が得られます。


(具体的には、例えば 0<5 とか)






これを使うと「対 (e,e_{min}) 」は、

e_{min} が極小元』なら、『直積集合 R_{found} 』には含まれません。






以上のことから、

『二項関係 R_{found} 』が「整礎関係」なら、



∀S_{pt}⊆S\,[\,(S_{pt}≠∅)⇒(\textcolor{skyblue}{∃e_{min}}\,(∀e\,[\,(e,e_{min})∉R_{found}\,])\,]

を満たすと言えるわけです。




これが『整礎関係』の厳密な定義になります。

↑の通り、要は「極小元」があるっていってます。




論理式の文脈だと、

「この関係にならない元(極小元)がある」って感じですね。











以上が「整礎関係」になります。

これは『帰納的定義』とも深く関連があるので、

なんでしょう、重要って言葉じゃちょっと足りないかもです。




整列集合の定義について、

なんとなくおしゃれに書くと↓みたいに書けます。

[\,\mathrm{well\,Ordered}\,]:=(\mathrm{Total\,Ordered})∧(\mathrm{well\,Founded})




こういう感じに見ると、なんかわかりやすくないですか?

整理するときはこうするとけっこういい感じな気がします。