|| 要は下地、基盤、基礎がしっかりしてるって感じ
「正の整数」での「 0 」みたいなものがあると。
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めっちゃ下の方に戻ってみたら、そこにちゃんと地面がある感じ。
あるいは天井と言っても良いでしょう。
要は『ちゃんと出発点がある』ということです。
こいつはあれです。超超超ヨタヨタゼータな感じで重要です。
重要というか、これが無いと議論すらままなりません。
というのも、基礎が無ければいくらでも好きなことが言えます。
その基礎自体に正当性がなくとも、なんか言えるわけです。
めちゃくちゃなやつに適当に名前を付けるとか、そんな感じに。
ちなみに「集合論的な数学」だと『空集合』が下地になります。
天井は今のところ「到達不能基数」ですね（ ZFC+GCH では）
整礎関係の厳密な定義
要は、「関係 R 」についての「極小元」がある、
というようなことを言いたいわけです。
これは「集合 S 」上でも、
当然、「部分集合 S_{pt} 」上でも成立します。
そこで『二項関係 R_{found} 』が「整礎」だということは、
「基礎」となる『極小元 e_{min} がある』ことなので、
常に『 e_{min}<e∈S 』ですから、
「 e<e_{min} 」となることは無いわけです。
つまり「整礎関係 R_{found} 」上では、
「 e\,R_{found}\,e_{min} 」はダメってことですね。
これをどうにか表したいので『関係 R_{found} 』の集合を作ってみます。
そこで「関係 R_{found} 」を、
二つの項を使って、「直積集合 (e_1,e_2)∈R_{found} 」とみなし、
関係の左側に e_1 で、右側に e_2 とすると（ e_1\,R_{found}\,e_2 ）
『 (e_1,e_2)∈R_{found} 』が得られます。
（具体的には、例えば 0<5 とか）
これを使うと「対 (e,e_{min}) 」は、
『 e_{min} が極小元』なら、『直積集合 R_{found} 』には含まれません。
以上のことから、
『二項関係 R_{found} 』が「整礎関係」なら、
∀S_{pt}⊆S\,[\,(S_{pt}≠∅)⇒(\textcolor{skyblue}{∃e_{min}}\,(∀e\,[\,(e,e_{min})∉R_{found}\,])\,]
を満たすと言えるわけです。
これが『整礎関係』の厳密な定義になります。
↑の通り、要は「極小元」があるっていってます。
論理式の文脈だと、
「この関係にならない元（極小元）がある」って感じですね。
以上が「整礎関係」になります。
これは『帰納的定義』とも深く関連があるので、
なんでしょう、重要って言葉じゃちょっと足りないかもです。
整列集合の定義について、
なんとなくおしゃれに書くと↓みたいに書けます。
[\,\mathrm{well\,Ordered}\,]:=(\mathrm{Total\,Ordered})∧(\mathrm{well\,Founded})
こういう感じに見ると、なんかわかりやすくないですか？
整理するときはこうするとけっこういい感じな気がします。
