フーリエ解析 fourier transform


|| 波形でいろんな図形が表せるんだよってやつ

これは『三角関数の積分』と『直交性』から得られた

『仮説』を検証した「結果」になります。

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目次


フーリエ解析の感覚「単純な波形を組み合わせる」

 

ベクトルと関数「同じものを表現できる」

基底と完全系「いろんな関数を表せるやつ」

 

内積と直交「掛けると 0 になるやつ」

 

フーリエ級数「ほとんどの関数はこれで表せる」

複素関数の一般形「オイラーの公式を使ってみた」

 

 

 

 

 



フーリエ解析というと

見た目がかなりごついあれです。

 

 

初見だとほんとよくわからないというか

とにかく直感的に理解しにくいものだと思います。

 

 

 

『テイラー展開』を理解している人であれば

まあ「正しいだろうな」とはわかるんですけど

 

 

それでも『なんでこれを導けたのか』とか

 

 

いわゆる「発想の元」みたいな

『仮説が得られるまで』の過程とかの

 

 

フーリエ級数を求めるための手順

についてはよくわからないと思います。

 

 

 

実際、自分もよく分かんなかったので

この記事ではその話をメインで扱っていきます。

 

 

ちょっとやりすぎなくらい詳しくやるつもりです。

まあ「テイラー展開」はさすがに省略しますが。

 

 

 

ちなみに具体的なイメージについては、

\mathrm{myFourierEpicycles} 」これで検索してみてください。

 

 

図形を描くソフトなんですけど、

たぶんこれがフーリエ級数展開のイメージの中で

もっとも直感的に分かりやすいものだと思います。

 

 

一応、近似していくイメージは作りましたが

 

 

 

最後、ちょっと雑です。

 

 

 


 


関数とベクトル


|| 関数とベクトルは似たようなもんだよねって話

「横にいくつか・縦にいくつか」と

x 軸にいくつか・ y 軸にいくつか」

 

 

まあ要は↓みたいなのは

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \vec{a}&=&\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle 2\vec{a}&=&\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=&2x \end{array}

 

『ほとんど同じようなものに見える』よねって話です。

「ベクトル」は『原点からの座標』を表してますし

 

 

少なくとも「傾き」については

間違いなく一致してるのが分かると思います。

 

 

 

傾き以外も考えたいなら、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=&2x+5 \\ \\ \displaystyle f(x)&=&\begin{pmatrix} 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1 \end{pmatrix} \end{array}

 

こうするのも良いです。

 

 

一般化すると

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=&\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1\\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=&\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1\\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \\ \\ &=&1 \end{array}

 

こんな感じに

好きな関数を作ることができますし。

 

 

 

 

 

基底と完全系

 

↑ の話を一般化した

用語についての話をしていきます。

 

 

『基底』については、とりあえず

「いろいろ表せる基準」とでも思っておいてください。

 

 

具体的には

例えば ↑ の場合だと

↓ みたいなやつを「基底」って呼んでいて、

 

\displaystyle \begin{pmatrix} x^0\\x^1\\x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}

 

これは「係数を良い感じに決める」と

『ほとんど全ての関数を表すことが可能』ですから

「基準」として考えることができる。

 

 

まあつまり

「明確に意味のあるもの」なので

「基底」って名前が付けられてる

 

 

とまあそんな感じで

フーリエ級数ではこの基底に三角関数を用います。

 

 

 

 

 

なぜ正しいのか

 

これが正しい理由の厳密な説明には

「代数学の基本定理」「テイラーの定理」など

主題がズレるのでここでは解説しません。

 

\displaystyle \begin{pmatrix} x^0\\x^1\\x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}

 

ここでは

とりあえず「基底」の中でも

特に ↑ みたいな便利なやつがあって

 

 

こういう『ほぼ全て表せる便利な基準』を

「完全系」と呼ぶ。

 

 

これをなんとなく覚えておいてください。

 

 

 

 

 

フーリエ級数の主張

 

フーリエ級数の主張は

↓ も完全系だ、って言ってる感じで

 

\displaystyle \begin{pmatrix} \cos 0x \\ \sin 0x \\ \cos 1x \\ \sin1x \\ \vdots \\ \cos nx \\ \sin nx \end{pmatrix}

 

実数の範囲だと ↑

複素数の範囲だと ↓

 

\displaystyle \begin{pmatrix} e^{i0x} \\ e^{i1x} \\ e^{i2x} \\ \vdots \\ e^{inx} \end{pmatrix}

 

まあこの時点じゃよくわかんなくて当然なので

こうなる理由はいったんスルーしておいてください。

これの説明は ↓ でしていきます。

 

 

 

この時点では

とりあえず用語とか性質とか

なんかそういうのがあることを覚えてください。

 

 

 


 


内積と直交

 

|| 掛けて 0 になると嬉しい

『内積』って操作があるんですけど

これは「連続」値の場合だと↓みたいに表せます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \langle f(x),g(x) \rangle &=&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)\,dx \end{array}

 

ちなみに『内積』っていうのは

↓ みたいな操作です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ||x||&=&\displaystyle\sqrt{x^2} \\ \\ & =&\displaystyle\sqrt{\langle x,x \rangle} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\langle a,b \rangle}{||a||\,||b||}&=&\cosθ \end{array}

 

これの意味は

「長さの求め方を一般化した操作」って感じで

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \vec{a}&=&(a_1,a_2) \\ \\ \displaystyle \langle \vec{a},\vec{a} \rangle&=&a_1a_1+a_2a_2 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} A&=&(a_1,a_2,...,a_n) \\ \\ B&=&(b_1,b_2,...,b_n) \\ \\ \\ \displaystyle \langle A,B \rangle&=&a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \end{array}

 

他にも↓みたいに

『間にあるちょっと邪魔なやつ』とか

 

\displaystyle \begin{array}{clllc} \vec{a}&=&(a_1,a_2) \\ \\ \vec{b}&=&(b_1,b_2) \\ \\ \\ \displaystyle (\vec{a}+\vec{b})^2&=&|| \vec{a} ||^2+2\vec{a}・\vec{b}+|| \vec{b} ||^2 \end{array}

 

なんかそんな感じで

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \vec{a}^2&=&||\vec{a} ||^2 \\ \\ &=&\displaystyle\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^2 \\ \\ \\ \vec{b}^2&=&||\vec{b} ||^2 \\ \\ &=&\displaystyle\left(\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)^2 \\ \\ \\ \displaystyle \vec{a}・\vec{b}&=&\langle \vec{a},\vec{b} \rangle \end{array}

 

こう見ると

もしかしたら分かりやすいかもしれません。

 

 

 

 

 

内積の一般形

 

これの一般形なんですけど

これは ↓ みたいな感じで見ていくと

もしかしたら分かりやすいかもしれません。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} f(x)g(x)&=&f(0)g(0)+f(1)g(1)+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} f(x)g(x) ×1&=&f(0)g(0)+f(1)g(1)+\cdots \end{array}

 

これは「間隔 dx=1 」のパターンで、

↓はこの「間隔を小さくしたもの」だと考えてください。

 

\displaystyle \lim_{dx→0} \sum_{x=-\infty}^{\infty} f(x\,dx)g(x\,dx)\,dx

 

すると

これが ↓ の結果と一致することが分かります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \langle f(x),g(x) \rangle&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x) \,dx \end{array}

 

ちょっとややこしいですが

『連続値の場合の内積』については

感覚的にはこんな感じです。

 

 

とりあえずこの時点では

へー ってくらいに思っておいてください。

 

 

 

 

 

直交と 0

 

フーリエ級数を考える場合に重要なのは

これを使った場合の「性質」でして

 

 

具体的には「 0 」になるパターンと

「特定の場合以外に 0 」になるパターンが大事になります。

 

 

具体的には ↓ のパターンが重要で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \cos \left(\frac{π}{2}+nπ\right)&=&0 \end{array}

 

これは見た目の上では

「2つのベクトルが 90° で交わってる」

 

 

つまり

『直角に交わってる』感じなので

そこから「直交系」って名前が来ていて

 

 

これがけっこう便利でして

この場合 ↓ の操作ができることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle || \vec{x} || \, || \vec{y} ||\,\cos \frac{π}{2}&=&0 \end{array}

 

こういう風に「排除したい部分がある」時

「直交系」が良い感じに使えたりします。

 

 

 

 

 

直交系と完全系

 

「直交」ってのを『縦横 90° 』として

『片方を横 もう片方を縦 と考える』感じにすると

 

\begin{array}{lllllllllllll} \displaystyle \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix}&=&2\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}&+3\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&=&2\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&+3\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \end{array}

 

これはこんな感じにできます。

 

 

で、これは結果的に「完全系」の話に関わる感じで

いろんなものを統一的に表現する時

よく使われる考え方になります。

 

 

まあそれだけ言われてもって感じかもしれませんが

 

 

関数の表現で「ベクトルが使える」

その計算に「内積」が絡むパターンがある

 

 

こういう事実から

これはなんとなく想像できると思います。

 

 

 

実際、特に広い範囲を扱える直交系は

直交系の中でも「完全だ」って言われていて

有名なやつだと ↓ みたいなのが。

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle a_n\cos nx+b_n\sin nx &\begin{pmatrix} \cos 0x\\ \sin 0x\\ \cos 1x\\ \sin 1x \\ \vdots \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle c_n e^{inx} &\begin{pmatrix} e^{i0x}\\ e^{i1x}\\ e^{i2x}\\ \vdots \\ e^{inx} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{array}

 

見て分かると思いますが

これらが「フーリエ級数」の基盤となる

「完全系」って言われてるやつで

 

\displaystyle \begin{pmatrix} a_0&b_0&a_1&b_1&\cdots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos 0x \\ \sin0x \\ \cos1x \\ \sin1x \\ \cos2x \\ \sin2x \\ \vdots \end{pmatrix}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\begin{array}{ccc} a_0\cos 0x+a_1\cos 1x+\cdots+a_n\cos nx +\cdots \\ \\ +\, b_0\sin 0x+b_1\sin1x+\cdots+b_n\sin nx +\cdots \end{array} \end{array}

 

これを使うと

この「定数 a_i,b_i 」を好きに定めれば

いろんな図形・関数を表現できたりします。

 

 

 

具体的には

実数値関数であればだいたいこれで表せます。

 

 

稀に表せないものもありますが

そういうのはだいたい「無限」が絡んでる場合で

 

 

「部分的に積分できない」やつとか

「連続じゃない関数」とか

 

 

そういう異常な関数を除けば

「完全系」は全部の図形を表現することができます。

 

 

 

 

 

直交系が完全だってことの感覚

 

これは言葉より、シミュレーションとか

そういうので見た方が分かりやすいんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(θ)&=&a\cos θ + b\sin θ \end{array}

 

『1変数関数』とかで見てみると

x 座標の変化量を a\cos θ

y 座標の変化量を b\sin θ 」とおいて

 

 

複素数の極座標による表現

あるいはベクトルによる表現みたいにすると

 

 

『両方の座標を決める』ものは

『変数 θ だけ』になることから

 

 

『変数 θ の値だけ』決まれば

全体である「 f(θ) 」の値も定まると言えて

 

 

これはベクトルで表すと

↓ みたいな感じになりますから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}&=&a\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{array}

 

これで「フーリエ級数」が

この『関数の足し算』を

「回数無制限で行える」

 

 

みたいな感覚がなんとなく掴めると思います。

 

 

具体的には ↓ みたいな感じに。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=&f_0(0x)+f_1(1x)+f_2(2x)+\cdots \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{llclllllll} \displaystyle f_0(0x)&=&a_0\cos 0x + b_0 \sin 0x \\ \\ f_1(1x)&=&a_1\cos 1x + b_1 \sin 1x \\ \\ f_2(2x)&=&a_2\cos 2x + b_2 \sin 2x \\ \\ &&\vdots \end{array}

 

まあ要は

『表現したい形に近づける』って意味での

『補正』ってやつを「無限回行える」

 

 

とまあこんな感じで

「直交系」は『係数に影響を与えず』に

この操作を行えることから

 

 

「完全系」に応用できる

とまあこんな感じで

この直交系は完全系と関わってるんです。

 

 

 

と言っても

この時点じゃよくわからんと思います。

 

 

なのでとりあえず

なんとなく分かれば今はそれでOK

 

 

『なんどでも補正できる』

みたいな感じに思ってれば

だいたいそれで合ってます。

 

 

 


 


フーリエ級数

 

|| 細かくグルグルを組み合わせるといろいろ表せる

「直交系で完全系を作れんじゃね?」っていう

『仮説』から得られた完全系がこれ。

 

\begin{array}{rllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx+b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle a_k&=&\displaystyle \frac{1}{π} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos kx \,dx \\ \\\displaystyle b_k&=&\displaystyle \frac{1}{π} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\sin kx \,dx \end{array}

 

式はこんな感じ。

 

 

初見じゃ意味わからなくて当然なので

とりあえずこれの意味については一端スルーで。

 

 

 

 

 

なんとなくの意味

 

「使うとき」は ↑ のが分かりやすいんですけど

「意味を考える」場合は ↓ みたいに書く方が良いかも?

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(t)&=&\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\cos ωt+b_ω\sin ωt \end{array}

 

ω 」は『角速度(角度の時間変化)』

t 」は『時間』だと考えると

ちょっとだけ式の意味が分かると思います。

 

 

 

 

 

三角関数の重要な性質

 

フーリエ級数を説明する上で最も重要になるのは

↓ の三角関数の積分になります。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-π}^{π} \cos ωt \,dt &=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} \sin ωt \,dt &=&0 \end{array}

 

周期関数ですし

図形の見た目で計算しなくても値は分かると思います。

(「上の半円」と「下の半円」を足して相殺する感じ)

 

 

といってもこの時点じゃ

これが「なんで必要なのか」

については分かんないと思います。

 

 

結論としては

『この時点では』特に意味は無いんですが

 

 

『あらゆる関数 f(x) を積分する』時に

この性質が超重要になる理由が分かります。

 

 

これはその前の段階の話で

まあつまり、これは計算で言うところの

1+1=2 」みたいなものに当たります。

 

 

とりあえずこの時点では

『積分すると無くなる』

という事実だけ理解できればOKです。

 

 

 

 

 

三角関数の内積

 

「三角関数の性質」を調べていく過程で

当然「三角関数の内積」を使った話は出てくる。

 

\begin{array}{llllllll} \displaystyle \langle \cos x ,\sin 3x \rangle &=&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos x \sin 3x \,dx \\ \\ &=&0 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{llllllll} \sin(α+β)&=&\sin α \cos β +\sin β \cos α \\ \\ \sin(α-β)&=&\sin α \cos β -\sin β \cos α \\ \\ \\ \sin(2-1)x+\sin(2+1)x&=&2\sin 3x \cos x \end{array}

 

すると必然的に ↑ のような計算が出てくるので

「計算結果が 0 になって消える」ものが

新たに発見できます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos x \sin 3x \,dx &=&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin(2-1)x \,dx+\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin(2+1)x \,dx \\ \\ &=&0+0 \end{array}

 

で、これは内積ですから

どうやら「 \cos x 」と「 \sin 3x 」の2つは

『直交している』と言えるわけで

 

 

結果として

「あらゆる整数 n,m 」で調べてみると

 

\displaystyle \begin{array}{lllllll} \sin(α+β)&=&\sin α \cos β +\sin β \cos α \\ \\ \sin(α-β)&=&\sin α \cos β -\sin β \cos α \\ \\ \\ \sin(α+β)+\sin(α-β)&=&2\sin α \cos β \end{array}

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx & =&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\sin(nx+mx)+\frac{1}{2}\sin(nx-mx) \right)\,dx \\ \\ &=&0\end{array}

 

どの整数でも成立することが分かります。

 

 

 

 

 

0 にはならないパターン

 

↑ を調べたということは

当然 ↓ のパターンも調べられています。

 

\displaystyle \begin{array}{llllll} \cos(α+β)&=&\cos α \cos β-\sin α \sin β \\ \\ \cos(α-β)&=&\cos α \cos β+\sin α \sin β \\ \\ \\ 2\cos α \cos β&=&\cos(α-β)+\cos(α+β) \\ \\ 2\sin α \sin β&=&\cos(α-β)-\cos(α+β) \end{array}

 

n≠m

\displaystyle \begin{array}{llll}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos nx \cos mx \,dx &=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin nx \sin mx \,dx &=&0 \end{array}

 

n=m

\displaystyle \begin{array}{lllll}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos nx \cos nx \,dx &=&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x-\cos 2nx \Bigr) \,dx \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin nx \sin nx \,dx &=&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x+\cos 2nx \Bigr) \,dx \end{array}

 

この計算は一見すると大変ですが

「全ての区間 -π≤nx≤π 」は円なので

 

\begin{array}{llllll}\displaystyle \int_{-π}^{π} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x±\cos 2nx \Bigr) \,dx &=&\displaystyle \int_{-π}^{π} \frac{1}{2} \,dx±0 \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl[ x \Bigr]_{-π}^{π} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{2}(π-(-π))&=&π \end{array}

 

この部分が分かれば十分だと分かります。

 

 

重要なのは「全体であること」ですから

この「1周期の形」さえ押さえておけば

これ以上の範囲の大きさは考える必要はありません。

 

 

 

ちなみに1周期であれば良いので

ここは 0≤nx≤2π とかでもOK

 

 

-π≤nx≤π 」にしてるのは

計算が分かりやすいから

ただそれだけの理由になります。

 

 

 

 

 

0 になる場合とそれ以外

 

↑ の計算結果から

三角関数の内積は「 n=m 」で

0 以外の値になることが分かりました。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle δ_{nm}&=&\begin{cases} \displaystyle 0&&n≠m \\ 1&&n=m \end{cases} \end{array}

 

\begin{array}{lllllll} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx&=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos nx \cos mx\,dx&=&πδ_{nm} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \sin mx\,dx&=&πδ_{nm} \end{array}

 

てことは n≠m のパターンでは

『積分すると邪魔な部分が 0 になる』わけで

 

 

てことは、内積(積分)をとった時

『必要な部分以外を排除できる』っていう

そういう事実が確定するわけです。

 

 

これがいわゆる『直交系の性質』ってやつで

完全系はこれを利用して作られています。

 

 

 

 

 

直交性と全体の感覚

 

フーリエ級数のイメージは

『波の重ね合わせ』が基本なんですけど

なんか直観的にはよく分かんないと思います。

 

\displaystyle \begin{array}{lllllll} f(x)&≒&f(0) \\ \\ &≒&f(0)+f^{\prime}(0)x^1 \\ \\ &\displaystyle ≒&\displaystyle f(0)+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2 \\ \\ &\displaystyle ≒&\displaystyle f(0)+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 \\ \\ &&\vdots \end{array}

 

テイラー展開の場合だと

「微分」で『点の傾き』を求めて

『線の形の精度を上げる』ことで

 

 

「正確な形に近づけていく」っていうのが

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle f(x)&≒&f(a)+f^{\prime}(x-a) \\ \\ y&=&f(a)+f^{\prime}(x-a) \end{array}

 

x=0 の周り』で

どんどん「 f(x) 」に近づくことが

なんとなく感覚的に分かるんですけど

 

 

フーリエ級数に関しては

テイラー級数のようなイメージはしにくいです。

 

 

 

 

 

イメージの目安

 

フーリエ級数にも、イメージの基本となる

「点の傾き」にあたるものが欲しい。

 

 

この要望を叶えるためには

まず『大まかな形』を考える必要があって

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} x&=&a\cos ωt \\ \\ y&=&b\sin ωt \end{array} \right.

 

とりあえず

「非常に単純な形」である1次式から

『円』の形を読み取ってみます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(t)&=&\cos ωt+\sin ωt \\ \\ \displaystyle f(t)&=&a\cos ωt+b\sin ωt \end{array}

 

すると

これがイメージの基礎になりそうな

なんかそんな感じがしますがどうでしょうか。

 

 

 

 

 

円の変形

 

「円が描ける」こと

a,b で伸縮」して

「楕円が描ける」ことは確定しました。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(0)&=&a_0 \end{array}

 

加えて「図を描く出発点」として

↑ の線が来るのも分かります。

 

 

これは「図の中心の位置」

という風に言えるもので

 

 

具体的な値はさておき

これが「元の形 f(x) 」の

「平均・大まかな高さ」を表すのは分かると思います。

 

 

 

 

 

円と全体の高さと補正

 

ここまでが基礎として

フーリエ級数の式が主張しているのが

『波の平均を重ねてる』みたいな

 

 

そういう感じなんですが

この時点でなんとなーくその感覚が分かりませんか?

 

 

ある図形 f(t)

「すごく大まかな形」が a_0

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(t)&≒&a_0 \end{array}

 

ちょっとだけ「細かな形を付け足した」のが ↓

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(t)&≒&a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \end{array}

 

以下、徐々に近づいていく、みたいな

 

 

 

 

 

ただの予想

 

「他の円・波を加えていく」と

『いろんな図形を描けそう』

 

 

式だけを見ても

直感的にはこれ以上のことは分かりません。

 

 

でも ↓ みたいな円・楕円を加えると

 

\displaystyle \begin{array}{lllll} x_{2}&=&a_2\cos 2t \\ \\ y_2&=&b_2\sin 2t \end{array}

 

『前の図形に余計な影響を与えない』で

『良いように波形を加える』ことができる

 

 

そして「波を加える」場合

間違いなく『形は変わる』

 

\begin{array}{rlc} a_n\cos nt+b_n\sin nt&≠0 \\ \\ \displaystyle f(t)+a_n\cos nt+b_n\sin nt&≠f(t) \end{array}

 

これを『無限(無制限)』の回数行える

 

 

この事実から

「いろんな図形を表現できそう」

これがなんとなく正しそうなのは分かると思います。

 

 

 

 

 

予想できる形

 

フーリエ級数の発想ってのはこんな感覚なので

直交系の性質から ↓ のやつが『予想』できる

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=&\begin{array}{lcc} a_0\cos 0x+a_1\cos 1x+a_2\cos 2x+\cdots \\ \\ +b_0\sin 0x+b_1\sin 1x+b_2\sin 2x+\cdots \end{array}\end{array}

 

とまあそんな感じで

これでいけんじゃないの? っていうのが

フーリエ級数の雛型となった『仮説』になります。

 

 

 

もう一度確認しておくと

 

\begin{array}{llll} \displaystyle f(t)&≒&a_0 \\ \\ f(t)&≒&a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \\ \\ f(t)&≒&a_0+a_1\cos t +b_1\sin t+a_2\cos 2t +b_2\sin 2t \\ \\ &&\vdots \end{array}

 

『表したい図形の平均・重心』から

任意の関数を復元できそう。

 

 

これが予想で

根拠は『直交性』が保証されていることと

『積分によって a_n,b_n が求められる』可能性があること

 

 

 

ついでにメタ的な話として

「オイラーの公式」を理解しているなら

フーリエ級数が正しそうな理由がなんとなくわかります。

 

 

以上がフーリエ級数に至るまでの話で

以下、これが正しいかどうかの確認作業

まあつまり計算を行っていきます。

 

 

 

 

 

平均と係数

 

まず『図形の出発点 a_0 』については

わりと簡単に求めることが出来るので

説明はざっくりと。

 

\displaystyle \begin{array}{rllll} f(0)&=&c \\ \\ f(t)&=&\displaystyle c+\sum_{ω=1}^{\infty} a_n\cos ωt+b_n\sin ωt \\ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(t) \,dt &=&\displaystyle\int_{-π}^{π} c \,dt +\int_{-π}^{π} \sum_{ω=1}^{\infty} a_n\cos ωt+b_n\sin ωt \,dt \\ \\ &=&\displaystyle c\int_{-π}^{π} \,dt+0 \\ \\ &=&\displaystyle c \Bigl[ t \Bigl]_{-π}^{π} \\ \\ &=& 2πc \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rllll} \displaystyle 2πc&=&\displaystyle\int_{-π}^{π} f(t) \,dt \\ \\ c&=&\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt \end{array}

 

「三角関数の積分」は 0 になるので

この辺りは特に疑問なくわかると思います。

 

\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt

 

で、これの『意味』なんですけど

これ、なんか「中間の線」って感じがしませんか?

 

 

やってることは ↓ の連続値バージョンですし。

 

\displaystyle \begin{array}{llc} 1+2+3&=&3c \\ \\ 1+2+3+4+5&=&5c \\ \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)&=&nc \end{array}

 

\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt

 

この c は「全体の平均」のようなもの。

だからこれが「すごい大雑把な形」を表してる。

これはなんとなく分かると思います。

 

 

 

 

 

係数 a_n,b_n

 

直交性を考えると

他の係数も ↑ と同じように求めることができます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos nx \,dx&=&\displaystyle a_n\int_{-π}^{π} \cos nx\cos nx \,dx \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin nx \,dx&=&\displaystyle b_n\int_{-π}^{π} \sin nx\sin nx \,dx \end{array}

 

「内積」を使うと

「直交する部分」は 0 になるので

このようにすれば「 a_n,b_n 」を取り出せる。

 

 

これが確かなので

例えば「 \cos 1x 」を抜き出すと

 

\displaystyle \begin{array}{lc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 1x \,dx & =& \displaystyle\int_{-π}^{π} \Bigl(a_0\cos 1x +a_1\cos 1x \cos 1x+ \cdots\Bigr)\,dx \\ \\ && +\displaystyle\int_{-π}^{π} \Bigl(b_1\sin 1x \cos 1x + b_2\sin 2x \cos 1x + \cdots\Bigr)\,dx \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 1x \,dx&=&\displaystyle\int_{-π}^{π} a_1\cos 1x \cos 1x\,dx \\ \\ &=&a_1\displaystyle\int_{-π}^{π} \cos^2 x \,dx \\ \\ \\ &=&a_1\displaystyle\int_{-π}^{π} \frac{1+\cos (x+x)}{2} x \,dx \\ \\&=&a_1π \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle a_1&=&\displaystyle\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos x \,dx \end{array}

 

こんな感じに。

 

 

同じように

a_2 」の場合も ↓ みたいになります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle a_2&=&\displaystyle\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 2x \,dx \end{array}

 

必然、同様の計算手順で

↓ が正しいことも分かる。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle a_k&=&\displaystyle\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \end{array}

 

とまあこんな感じで

係数 a_n が定まることも分かりました。

 

 

 

同様に「係数 b 」も

\sin kx 」を使えば

特に問題なく「 b_k 」を取り出せます。

 

\displaystyle \begin{array}{llll} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx&=&\displaystyle\int_{-π}^{π}b_k\sin kx\sin kx \,dx+0 \\ \\ &=&\displaystyle b_k\int_{-π}^{π} \frac{1-\cos(kx+kx)}{2} \,dx \\ \\ &=&b_k π \end{array}

 

まとめると

係数は ↓ の式で導けることが分かりました。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle a_k&=&\displaystyle \frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&=&\displaystyle \frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx \end{array}

 

以上で

計算してみると具体的な係数が求まる

ということが分かったので

 

 

「三角関数の性質」から

『こうなるだろうと予想されていた』わけですが

 

 

見事にちゃんと求めることが出来たので

これで f(x) を再現できることが分かりました。

 

 

 

 

 

初期値 a_0 の書き方

 

最後、忘れないように

初期値の調整をしておきます。

 

\begin{array}{rlllllll} c&\displaystyle =&\displaystyle\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \\ \\ \displaystyle a_k&\displaystyle =&\displaystyle\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \end{array}

 

これは慣例なんですけど

 

 

統一的に書きたいので

↓ のように手直しをされることが多いです。

 

\displaystyle \begin{array}{rllllllll} c&=&\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(x) \,dx \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \end{array}

 

\begin{array}{rlllll} \displaystyle a_k&\displaystyle =&\displaystyle\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}a_0&\displaystyle =&\displaystyle\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \end{array}

 

これは計算手順としては

そんなに重要ではありません。

でも複素数を考える時ちょっと必要になります。

 

 

 


 


複素関数の一般形

 

|| オイラーの公式で複素数に対応させる

「複素数でもいけんじゃね?」バージョンがこれ。

「オイラーの公式 e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ 」が使われてます。

 

\begin{array}{lllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n}c_k e^{ikx} \\ \\ \displaystyle f(t)&=&\displaystyle \lim_{n→\infty} \sum_{ω=-n}^{n}c_ω e^{iωt} \end{array}

 

オイラーの公式については

とりあえずここでは覚えてください。

証明には「テイラーの定理」が必要になって長いので。

 

 

 

 

 

オイラーの公式と三角関数

 

複素数の範囲では

三角関数は指数関数に統一できます。

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{lllll} \displaystyle e^{ix}&=&\cos x +i\sin x \\ \\ e^{i(-x)}&=&\cos x -i\sin x \end{array}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{llllll} \displaystyle e^{ix}+e^{-ix}&=&2\cos x \\ \\ e^{ix}-e^{-ix}&=&2i\sin x \end{array}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{llllll} \displaystyle \cos x&=&\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\ \\ \displaystyle\sin x&=&\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{array}\right.

 

ただの式変形

オイラーの公式を飲み込めば

これはすぐに理解できると思います。

 

 

 

 

 

複素数の範囲とフーリエ級数

 

↑ のを実数のやつに入れて

式を良い感じに整理すれば

フーリエ級数の複素数形は導かれます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \end{array}

 

ちょっと複雑ではありますが。

 

\displaystyle \begin{array}{llllll} f(t)&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\cos ωt +b_ω\sin ωt \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\frac{e^{iωt}+e^{-iωt}}{2} +b_ω\frac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2i} \\ \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω}{2}e^{iωt} + \frac{a_ω}{2}e^{-iωt} +\frac{b_ω}{2i}e^{iωt}-\frac{b_ω}{2i}e^{-iωt} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω}{2}e^{iωt} + \frac{a_ω}{2}e^{-iωt} -\frac{ib_ω}{2}e^{iωt}+\frac{ib_ω}{2}e^{-iωt} \\ \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt} \end{array}

 

ここまでやって

整理するために指数を合わせてみると

 

\displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt}&=&\displaystyle\frac{a_1+ib_1}{2}e^{-it}+\frac{a_2+ib_2}{2}e^{-2it}+\cdots \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{-1}\frac{a_{-ω}+ib_{-ω}}{2}e^{iωt} \end{array}

 

ここでちょっと特殊な操作を使って

初期値と最終位置に気を付けて

最後に定数部分を「 c_ω 」とおいて整理すれば

 

\displaystyle \begin{array}{lll} f(t)&=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=-\infty}^{-1}\frac{a_{-ω}+ib_{-ω}}{2}e^{iωt} \\ \\ \\ &=&\displaystyle c_0e^{i0t}+\sum_{ω=1}^{\infty} c_ωe^{iωt} +\sum_{ω=-\infty}^{-1}c_ωe^{iωt} \\ \\ &=&\displaystyle \sum_{ω=-\infty}^{-1}c_ωe^{iωt}+c_0e^{i0t}+\sum_{ω=1}^{\infty} c_ωe^{iωt} \\ \\ \\ &=&\cdots+c_{-2}e^{i(-2)t}+c_{-1}e^{i(-1)t}+c_0e^{i0t}+c_1e^{i1t}+c_2e^{i2t}+\cdots \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{\infty} c_ω e^{iωt} \end{array}

 

とりあえずこんな感じになります。

 

 

この時点じゃ係数はよく分かりませんが

これも『直交系』なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt&=&2πc_ω \end{array}

 

同様の手順で導けるのは

なんとなく予想できると思います。

 

 

 

 

 

複素数の内積と係数

 

結論は予想の通りになります。

やることは『複素共役』を使って

実数のパターンのように『内積をとる』だけ。

 

\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt&=&2πc_ω \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt&=&c_ω \end{array}

 

これを求める流れ自体は

実数の場合と似たようなものなんですが

 

 

『複素数の場合の内積』を知らないと

なにをしているのか分からないと思います。

 

 

 

 

 

複素数の内積

 

『複素数の内積』は

『実数に変換したい』という要望から

↓ の制約に縛られています。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \langle z,z \rangle &=& || z ||^2 \end{array}

 

この制約は「ノルム」の定義における

『長さ(測度)を求めたい』から来ていて

 

 

内積の操作を行う場合

↓ のように

 

\begin{array}{llr} \displaystyle z&=&i \\ \\ z^2&=&-1 \end{array}

 

『ただ2乗しても正にならない』場合があるので

 

\begin{array}{lll} \displaystyle z&=&a+bi \\ \\ \overline{z}&=&a-bi \end{array}

\displaystyle \begin{array}{llll} \displaystyle \langle z,z \rangle &=&z\overline{z} \\ \\ &=&a^2+b^2 \end{array}

 

このように「複素共役」をとって

実数 a,b のみを抜き出す。

 

 

こうすると

「実数にはなんの変化も起こさない」ので

特に問題なく内積の制約として追加できます。

 

 

 

 

 

係数と内積

 

「正にするため」に『複素共役』をとる

 

\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \overline{e^{iωt}} &=&\displaystyle \overline{\cos ωt+i\sin ωt} \\ \\ &=&\displaystyle\cos ωt-i\sin ωt \\ \\ \\ &=&\displaystyle\cos (-ωt)+i\sin (-ωt) \\ \\ &=&\displaystyle e^{-iωt} \end{array}

 

この手順が分かれば

係数についてはだいたいわかると思います。

 

\displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_αe^{iαt} e^{-iβt} \,dt&=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=&2πc_ω \end{array}

 

見た目ごついですけど

これは ↓ みたいに考えてみても

 

n≠m

\displaystyle \begin{array}{rlllll} \displaystyle e^{int} e^{-imt} &=& \displaystyle (\cos nt +i\sin nt)(\cos (-mt) +i\sin (-mt)) \\ \\ &=&\displaystyle (\cos nt +i\sin nt)(\cos mt -i\sin mt) \\ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} e^{int} e^{-imt} \,dt &=&\displaystyle\int_{-π}^{π} (\cos nt +i\sin nt)(\cos mt -i\sin mt) \,dt \\ \\ &=&0 \end{array}

 

「三角関数の性質」から

明らかにこうなることがわかります。

 

\displaystyle \begin{array}{llll} \displaystyle e^{iωt} e^{-iωt}&=&e^{iωt-iωt} \\ \\ &=&e^0 \\ \\ &=&1 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{lllllll} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=&\displaystyle c_ω\displaystyle \int_{-π}^{π} 1 \,dt \\ \\ &=&\displaystyle c_ω\Bigl[\, t \,\Bigr]_{-π}^{π} \\ \\ &=&c_ω2π \end{array}

 

んでこっちはこう。

指数法則の基本を考えれば

明らかにこうなるのはすぐに分かると思います。

 

\displaystyle \begin{array}{llllllll} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ne^{int} e^{-imt} \,dt&=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=&2πc_ω \end{array}

 

でまあこんな感じに

特に疑問もなく ↑ が導くことができる。

 

 

 

結果、係数が分かったので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(t)&=&\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{\infty} c_ω e^{iωt} \end{array}

 

\begin{array}{lllllllll} &\vdots \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i(-1)t} \,dt&=&2πc_{-1} \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i0t} \,dt&=&2πc_0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i1t} \,dt&=&2πc_1 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i2t} \,dt&=&2πc_2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt&=&2πc_ω \\ \\ &\vdots \end{array}

 

複素数の場合でのフーリエ級数が

わざわざ正弦波と余弦波に分けないで

見た目、簡単に表せることが分かります。

 

 

 

 

 


まとめ

 

フーリエ級数は のようになります。

 

\displaystyle \begin{array}{rlll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle a_k &=&\displaystyle \frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&=&\displaystyle\frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx\end{array}

 

実数のバージョンは↑で

複素数のバージョンは↓

 

\displaystyle \begin{array}{rllll} \displaystyle f(x) &=&\displaystyle \lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle c_k &=&\displaystyle \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π} f(x) e^{-ikx} \,dx \end{array}

 

この記事の内容を理解していれば

これの意味はもうだいたい分かると思います。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx &=& \displaystyle a_kπ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx &=&b_kπ \end{array}

 

\displaystyle\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x) &=&\displaystyle \lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(x) \overline{e^{ikx}} \,dx &=&\displaystyle c_k 2π\end{array}

   

分かりにくければこっちで覚えましょう。

こちらの方が「意味」は分かりやすいので。

 

 

 

 

 

導出に至るまでの発想

 

フーリエ級数の発想の基盤は

『三角関数の直交性』『内積』の2つがメイン

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle δ_{nm}&=&\displaystyle\begin{cases} \displaystyle 0&&n≠m \\ 1&&n=m \end{cases} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx&=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos nx \cos mx\,dx&=&πδ_{nm} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \sin mx\,dx&=&πδ_{nm} \end{array}

 

イメージの基準には

「単純な図形」『平均の重なり』が来る

 

\begin{array}{rll} \displaystyle f(t)&≒&a_0 \\ \\ f(t)&≒&a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \\ \\ f(t)&≒&a_0+a_1\cos t +b_1\sin t+a_2\cos 2t +b_2\sin 2t \\ \\ &&\vdots \end{array}

 

オイラーの公式関連

その辺りについてはよく分かんないかもしれませんが

そこを除けばだいたい分かると思います。