フーリエ解析 fourier transform


|| 波形でいろんな図形が表せるんだよってやつ

これは『三角関数の積分』と『直交性』から得られた、

『仮説』を検証した「結果」になります。

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目次


フーリエ解析の感覚「単純な波形を組み合わせる」

 

ベクトルと関数「同じものを表現できる」

基底と完全系「いろんな関数を表せるやつ」

 

内積と直交「掛けると 0 になるやつ」

 

フーリエ級数「ほとんどの関数はこれで表せる」

複素関数の一般形「オイラーの公式を使ってみた」

 

 

 

 

 



フーリエ解析というと、

見た目がかなりごついあれです。

 

 

初見だとほんとよくわからないというか、

とにかく直感的に理解しにくいです。

 

 

『テイラー展開』を理解している人であれば、

「正しいだろうな」とはわかるんですけど、

それでも『なんでこれを導けたのか』とか、

 

 

いわゆる「発想の元」みたいな、

『仮説が得られるまで』の過程とか、

フーリエ級数を求めるための情報はよくわかりません。

 

 

 

てなわけなので、

この記事ではその話をメインでしていきます。

 

 

それと、ちょっとやりすぎなくらい詳しくやるつもりです。

まあ「テイラー展開」はさすがに省略しますが。

 

 

 

ちなみに具体的なイメージについては、

\mathrm{myFourierEpicycles} 」これで検索してみてください。

 

 

図形を描くソフトなんですけど、

たぶんこれがフーリエ級数展開のイメージの中で、

もっとも直感的に分かりやすいものだと思います。

 

 

 


 


関数とベクトル


|| 関数とベクトルは似たようなもんだよねっていう話

「横にいくつか・縦にいくつか」と

x 軸にいくつか・ y 軸にいくつか」

 

 

まあ要は↓みたいなのは、

『ほとんど同じようなものに見える』よねって話。

「ベクトル」は『原点からの座標』を表してますし。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \vec{a}&=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle 2\vec{a}&=\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=2x \end{array}

 

はい、これ見てわかると思いますが、

少なくとも「傾き」については

間違いなく一致してるのが分かります。

 

 

 

傾き以外も考えたいなら、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=2x+5 \\ \\ \displaystyle f(x)&=\begin{pmatrix} 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1 \end{pmatrix} \end{array}

 

こうするのも良いですよね。

 

 

んでまあこれを一般化すると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1\\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1\\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \\ \\ &=1 \end{array}

 

こんな感じに、

好きな関数を作ることができます。

 

 

まあ要は「変数」と「係数」を、

『分離して考えてる』だけのことで、

「関数とベクトルは等価だ」って言ってるだけです。

 

 

 

 

 

基底と完全系

 

↑の話を一般化した、

用語についての話をしていきます。

 

 

『基底』については、とりあえず

「いろいろ表せる基準」とでも思っておいてください。

 

 

具体的には、例えば↑の場合だと、

↓みたいなやつを「基底」って呼んでいて、

 

\displaystyle \begin{pmatrix} x^0\\x^1\\x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}

 

これは「係数を良い感じに決める」と、

『ほとんど全ての関数を表すことが可能』ですから、

「基準」として考えることができるじゃないですか。

 

 

まあつまり「明確に意味のあるもの」ですから、

「基底」って名前が付けられてるんですね。

 

 

 

これが正しい理由の説明は

「テイラーの定理」を使う必要があるので、

詳しくは別の記事でやりますが、

 

\displaystyle \begin{pmatrix} x^0\\x^1\\x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}

 

まあともかく「基底」の中でも、

特に、↑みたいな便利なやつがあって、

 

 

こういう『ほぼ全て表せる便利な基準』を、

「完全系」って呼んだりするんです。

 

 

 

んで、実はフーリエ級数の主張っていうのが、

↓も完全系だ、って言ってる感じなんですよ。

 

\displaystyle \begin{pmatrix} \cos 0x \\ \sin 0x \\ \cos 1x \\ \sin1x \\ \vdots \\ \cos nx \\ \sin nx \end{pmatrix}

 

実数の範囲だと↑

複素数の範囲だと↓

 

\displaystyle \begin{pmatrix} e^{i0x} \\ e^{i1x} \\ e^{i2x} \\ \vdots \\ e^{inx} \end{pmatrix}

 

まあ、この時点じゃよくわかんなくて当然なので、

こうなる理由はいったんスルーしておいてください。

説明は↓でしていきます。

 

 

まあともかく、この用語とか性質とか、

こういうのがあるってことを覚えておいてください。







内積と直交


|| 掛けて 0 になると、嬉しい時

『内積』って操作があるんですけど、

これは「連続」値の場合だと↓みたいに表せるんですよ。

 

\displaystyle \langle f(x),g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)\,dx

 

ちなみに『内積』っていうのは↓みたいな操作です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ||x||&=\sqrt{x^2} \\ \\ & =\sqrt{\langle x,x \rangle} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\langle a,b \rangle}{||a||\,||b||}&=\cosθ \end{array}

 

この意味としては、

「長さの求め方を一般化した操作」って感じ。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \vec{a}&=(a_1,a_2) \\ \\ \displaystyle \langle \vec{a},\vec{a} \rangle&=a_1a_1+a_2a_2 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} A&=(a_1,a_2,...,a_n) \\ \\ B&=(b_1,b_2,...,b_n) \\ \\ \\ \displaystyle \langle A,B \rangle&=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \end{array}

 

他にも↓みたいに、

『間にあるちょっと邪魔なやつの話』とも言えます。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \vec{a}&=(a_1,a_2) \\ \\ \vec{b}&=(b_1,b_2) \\ \\ \\ \displaystyle (\vec{a}+\vec{b})^2&=|| \vec{a} ||^2+2\vec{a}・\vec{b}+|| \vec{b} ||^2 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \vec{a}^2&=||\vec{a} ||^2 \\ \\ &=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^2 \\ \\ \\ \vec{b}^2&=||\vec{b} ||^2 \\ \\ &=\left(\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)^2 \\ \\ \\ \displaystyle \vec{a}・\vec{b}&=\langle \vec{a},\vec{b} \rangle \end{array}

 

こう見ると、もしかしたら

こっちの方が分かりやすいかもしれません。

 

 

 

で、これの一般形なんですけど、

これは↓みたいな感じで見ていくと分かりやすいかも?

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} f(x)g(x)&=f(0)g(0)+f(1)g(1)+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} f(x)g(x) ×1&=f(0)g(0)+f(1)g(1)+\cdots \end{array}

 

これは「間隔 dx=1 」のパターンで、

↓は、この「間隔を小さくしたもの」だと考えてください。

 

\displaystyle \lim_{dx→0} \sum_{x=-\infty}^{\infty} f(x\,dx)g(x\,dx)\,dx

 

すると、これが↓の結果と一致することが分かります。

てか、意味がほとんど同じになります。

 

\displaystyle \langle f(x),g(x) \rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x) \,dx

 

はい、とまあこんな感じで、

『連続値の場合の内積』はこうなるわけですね。

 

 

とりあえずこの時点では

へー、ってくらいに思っておいてください。

 

 

 

フーリエ級数を考える場合に重要なのは、

これを使った場合の「性質」でして、

 

 

具体的には「 0 」になるパターンと、

「特定の場合以外に 0 」になるパターンが大事なんですよ。

 

 

具体的には↓の場合が重要で、

 

\displaystyle \cos \left(\frac{π}{2}+nπ\right)=0

 

これは見た目の上では

「2つのベクトルが 90° で交わってる」

ってことを表してます。

 

 

んでまあこういう『直角に交わってる感じのやつ』が、

「直交系」って呼ばれてるんですよ。

 

 

これ、けっこう便利でして、

この場合は↓の操作ができます。

 

\displaystyle || \vec{x} || \, || \vec{y} ||\,\cos \frac{π}{2}=0

 

こういう風に「排除したい部分がある」時に、

「直交系」が使われる感じです。

 

 

フーリエ級数を考える時もこれが使われてます。

てか、使わないと成立しません。

 

 

 

 

 

直交が完全である

 

「直交」ってのを『縦横 90° 』として、

『片方を横、片方を縦と考える』感じの話がこれ。

 

 

具体的には↓みたいな感じです。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix}&=2\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}&+3\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&=2\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&+3\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \end{array}

 

これは結果的には「完全系」に通ずる話で、

いろんなものを統一的に表現する時、

よく使われる考え方になります。

 

 

まあこれ見て何となくわかると思いますが、

関数の表現で「ベクトルが使える」わけですから、

 

 

その計算に「内積」が絡むパターンがある

というのは想像できると思います。

 

 

 

本題に移ると、特に広い範囲を扱える直交系は

直交系の中でも「完全だ」って言われていて、

有名なやつだと↓みたいなのがあるんですよ。

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle a_n\cos nx+b_n\sin nx &\begin{pmatrix} \cos 0x\\ \sin 0x\\ \cos 1x\\ \sin 1x \\ \vdots \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle c_n e^{inx} &\begin{pmatrix} e^{i0x}\\ e^{i1x}\\ e^{i2x}\\ \vdots \\ e^{inx} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{array}

 

これ、そのままフーリエ級数で使うやつですね。

使うというか、これの由来がフーリエ級数なんですが。

 

\displaystyle \begin{pmatrix} a_0&b_0&a_1&b_1&\cdots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos 0x \\ \sin0x \\ \cos1x \\ \sin1x \\ \cos2x \\ \sin2x \\ \vdots \end{pmatrix}

 

\displaystyle f(x)=\begin{array}{ccc} a_0\cos 0x+a_1\cos 1x+\cdots+a_n\cos nx +\cdots \\ \\ +\, b_0\sin 0x+b_1\sin1x+\cdots+b_n\sin nx +\cdots \end{array}

 

まあともかくこれを使うと、

この「定数 a_i,b_i 」を好きに定めれば、

いろんな図形・関数を表現できます。

 

 

 

具体的な話をするなら、

実数値関数であれば、だいたいこれで表せます。

 

 

稀に表せないものもありますが、

それはだいたい「無限」が絡んでる場合くらい。

具体的には「部分的に積分できない」やつとか。

 

 

見た目の上ではどんなのかというと、

例えば、1か所だけ「無限」になってるやつとかですね。

この場合、全部の区間を積分することができません。

 

 

とまあそんな感じで、

そういう異常な関数を除けば、

「完全系」は全部の図形を表現することができます。

 

 

 

 

 

直交系が完全だってことの感覚

 

と言っても↑のじゃよく分からんと思います。

なんか見た目、すごい複雑ですし。

 

 

てなわけでもっと具体的にしてみましょうか。

↓のやつとかどうですかね。

 

\displaystyle f(θ)=a\cos θ + b\sin θ

 

これは『1変数関数』なんですけど、

x 座標の変化量を a\cos θ

y 座標の変化量を b\sin θ 」と考えることができます。

 

 

これはあれです。

複素数の極座標による表現と

本質的に同様のものですね。

 

 

んで、見てわかると思いますが、

『両方の座標を決める』ものは、

『変数 θ だけ』じゃないですか。

 

 

逆に言えば『変数 θ の値だけ』決まれば、

全体である「 f(θ) 」の値も定まるわけですよ。

 

 

んでこれは、

ベクトルで表すと、要は↓みたいな感じでして、

 

\displaystyle \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}

 

フーリエ級数は、この関数の足し算を

「回数無制限で行える」って感じなんです。

 

 

具体的には↓みたいな感じですね。

 

\displaystyle f(x)=f_0(0x)+f_1(1x)+f_2(2x)+\cdots

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f_0(0x)&=a_0\cos 0x + b_0 \sin 0x \\ \\ f_1(1x)&=a_1\cos 1x + b_1 \sin 1x \\ \\ f_2(2x)&=a_2\cos 2x + b_2 \sin 2x \\ \\ &\vdots \end{array}

 

まあ要は『表現したい形に近づける』って意味での、

『補正』ってやつを「無限回行える」わけですよ。

 

 

んでここが超重要なんですけど、

直交系は『係数に影響を与えず』に、

この操作を行えるんです。

 

 

まあそういうわけですから、

この直交系は特別なんですね。

 

 

 

この時点じゃよくわからんと思いますが、

今はそれでいいです。

 

 

とりあえずなんとなく、

『なんどでも補正できる』とでも思っておいてください。

この理由は後述。







フーリエ級数


|| 細かくグルグルを組み合わせるといろいろ表せる

「直交系で完全系を作れんじゃね?」っていう、

『仮説』から得られた完全系がこれ。

 

 

結論としては↓みたいなやつです。

この時点じゃ意味わからなくて当然なので一端スルーで。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)& \displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx+b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos kx \,dx \\ \\\displaystyle b_k&\displaystyle =\frac{1}{π} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\sin kx \,dx \end{array}

 

「使うとき」は↑のが分かりやすいんですけど、

「意味を考える」場合は↓の方が良いかも?

 

\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\cos ωt+b_ω\sin ωt

 

ω 」は『角速度』ってやつで、

t 」は『時間』を表しています。

まあ要は『角度の時間変化』で書いたのが↑です。

 

 

 

はい、てなわけでこれを導いていきましょうか。

↑の結論だけじゃ、ほんとよく分かんないんで。

 

 

 

 

 

三角関数の重要な性質

 

↑の話を説明するのに重要になるのは↓です。

周期関数なので、計算しなくても値は分かるかと。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-π}^{π} \cos ωt \,dt &=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} \sin ωt \,dt &=0 \end{array}

 

一応、計算のやり方を言っておくと、

「上の半円」と「下の半円」を足して相殺する感じです。

 

 

といってもこの時点じゃ、

これが「なんで必要なのか」

については分かんないと思います。

 

 

結論としては、

『この時点では』特に意味は無い、という感じ。

 

 

というのも、

『あらゆる関数 f(x) を積分する』時に、

この性質が超重要になる理由が分かるんですけど、

 

 

これは、その前の段階の話なんですよ。

まあつまり、計算で言うところの

1+1=2 」みたいなものなんです。これ。

 

 

まあとりあえず、今は見たまま、

『積分すると無くなる』とでも思っておいてください。

 

 

 

でここから話は変わって、

「直交している」ということ、

つまり「三角関数の内積」を使った話に移ります。

 

 

これはまあ、要は↑のを使う話でして、

具体的には↓みたいな計算の話です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle \cos x ,\sin 3x \rangle &\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty}\cos x \sin 3x \,dx \\ \\ &=0 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \sin(α+β)&=\sin α \cos β +\sin β \cos α \\ \\ \sin(α-β)&=\sin α \cos β -\sin β \cos α \\ \\ \\ \sin(2-1)x+\sin(2+1)x&=2\sin 3x \cos x \end{array}

 

計算結果が 0 になって消えるので、

どうやら「 \cos x 」と「 \sin 3x 」の2つは

『直交していると言える』わけですね。

 

 

んでこれの範囲、

実はこれだけじゃなくかなり広いようで、

「あらゆる整数 n,m 」で成立しちゃうみたいなんですよ。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \sin(α+β)&=\sin α \cos β +\sin β \cos α \\ \\ \sin(α-β)&=\sin α \cos β -\sin β \cos α \\ \\ \\ \sin(α+β)+\sin(α-β)&=2\sin α \cos β \end{array}

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx \\ \\ =\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\sin(nx+mx)+\frac{1}{2}\sin(nx-mx) \right)\,dx \\ \\=0\end{array}

 

加えて↓のパターンでもこんな感じになります。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \cos(α+β)&=\cos α \cos β-\sin α \sin β \\ \\ \cos(α-β)&=\cos α \cos β+\sin α \sin β \\ \\ \\ 2\cos α \cos β&=\cos(α-β)+\cos(α+β) \\ \\ 2\sin α \sin β&=\cos(α-β)-\cos(α+β) \end{array}

 

n≠m

\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos nx \cos mx \,dx &=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin nx \sin mx \,dx &=0 \end{array}

 

n=m

\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos nx \cos nx \,dx &\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x-\cos 2nx \Bigr) \,dx \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin nx \sin nx \,dx &\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x+\cos 2nx \Bigr) \,dx \end{array}

 

この計算は「周期 -π≤nx≤π 」で

「同じ形を繰り返している」だけと考えれば、

↓のように、この部分が分かれば十分だと分かります。

 

\begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-π}^{π} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x±\cos 2nx \Bigr) \,dx &\displaystyle =\int_{-π}^{π} \frac{1}{2} \,dx±0 \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2}\Bigl[ x \Bigr]_{-π}^{π} \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2}(π-(-π))=π \end{array}

 

重要なのは「形」ですから、

この「1周期の形」さえ押さえておけば、

 

 

これ以上の範囲の大きさは、

後はこれを繰り返すだけと考えればOK。

なので、基本的にこの範囲だけあれば十分です。

 

 

1周期であれば良いので、

ここは 0≤nx≤2π とかでも構いません。

 

 

 

んでまあ話は戻って、↑の計算結果から、

三角関数の内積は「 n=m 」で、

0 以外の値になることが分かりました。

 

 

そう、つまるところ『三角関数』というのは、

\cos x 」と「 \sin x 」の2つ、

そして「 n=m の場合以外」は 0 になるんです。

 

δ_{nm}=\begin{cases} \displaystyle 0&n≠m \\ 1&n=m \end{cases}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos nx \cos mx\,dx&=πδ_{nm} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \sin mx\,dx&=πδ_{nm} \end{array}

 

てことは n≠m のパターンでは、

『積分すると邪魔な部分が 0 になる』わけで。

 

 

てことは、内積(積分)をとった時、

『必要な部分以外を排除できる』っていう、

そういう事実がある、ってことが確定するわけですよ。

 

 

 

とまあ、いわゆるこれが『直交系の性質』ってやつで、

その性質が、非常に便利なんですね。

 

 

 

 

 

直交性と全体の感覚

 

フーリエ級数のイメージは、

『波の重ね合わせ』が基本なんですけど、

なんか、直観的にはよく分かんないと思います。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} f(x)&≒f(0) \\ \\ &≒f(0)+f^{\prime}(0)x^1 \\ \\ &\displaystyle ≒f(0)+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2 \\ \\ &\displaystyle ≒f(0)+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 \\ \\ &\vdots \end{array}

 

テイラー展開の場合だと、

「微分」で『点の傾き』を求めて、

『線の形の精度を上げる』ことで、

 

 

「正確な形に近づけていく」っていうのが、

なんとなく、感覚的に分かると思います。

 

 

実際↑の場合だと『 x=0 の周り』が、

どんどん「 f(x) 」に近づくのが分かるかと。

 

 

 

しかしフーリエ級数の場合は、

テイラー級数のようなイメージはしにくいです。

けれど、それじゃなんか嫌ですよね。

 

 

フーリエ級数にも、そのイメージの基本となる

「点の傾き」にあたるものが欲しいです。

てなわけで、ここではその話をしていきます。

 

 

まず『大まかな形』についてなんですけど、

基本となるのは『円』だと思ってください。

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} x=a\cos ωt \\ \\ y=b\sin ωt \end{array} \right.

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(t)&=\cos ωt+\sin ωt \\ \\ \displaystyle f(t)&=a\cos ωt+b\sin ωt \end{array}

 

これがイメージの基礎になります。

 

 

はい、まあともかく、

これで「円が描ける」ことと、

 

 

a,b で伸縮」して、

「楕円が描ける」ことは確定しましたね。

 

 

それと「図を描く出発点」として↓が来るのも分かるかと。

 

\displaystyle f(0)=a_0

 

これは「図の中心の位置」

という風に言っても良いかもしれません。

 

 

具体的な値はおいておいて、

ともかくこれ自体は普通に分かると思います。

 

 

加えて、この「 a_0 だけ」を考えれば、

「横の直線が描ける」ことも確定しますね。

 

 

具体的な値を好きに入れることで、

「高さ」を調整するだけですから。

 

 

 

とまあ、ここまでが基礎なんですけど、

フーリエ級数の式が主張しているのが、

『波の平均を重ねてる』みたいな、

 

 

そういう感じになってるのが、

なんとなーく、分かりませんか?

 

 

ある図形 f(t) の、

「すごく大まかな形」が a_0 で、

 

f(t)≒a_0

 

ちょっとだけ「細かな形を付け足した」のが↓

 

f(t)≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t

 

という感じに。

 

 

 

確認しておくと、「他の円・波を加えていく」と、

『いろんな図形を描ける』っていうのが

フーリエ級数展開の主張です。

 

 

加えて「三角関数の直交性」を考えると、

『他の円』の具体的な中身として、

「角速度が異なるもの」が来ます。

 

 

具体的には↓みたいな円・楕円を加えると、

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} x_{2}&=a_2\cos 2t \\ \\ y_2&=b_2\sin 2t \end{array}

 

『前の図形に余計な影響を与えない』で、

『良い感じに波形を加える』ことになりますよね。

 

 

そして「波を加える」場合、

間違いなく『形は変わる』じゃないですか。

 

\begin{array}{rlc} a_n\cos nt+b_n\sin nt&≠0 \\ \\ \displaystyle f(t)+a_n\cos nt+b_n\sin nt&≠f(t) \end{array}

 

んでこれは「角速度 ω 」の全パターンでやれるので、

事実上、『無限(無制限)』の回数

補正を加え続けることが出来る、って言えますよね?

 

 

 

まあ要は「無限回試すこと」ができるわけで、

その結果、最終的に求めたい形にする、というわけですね。

 

 

試す段階で一度確定させた係数 a_n,b_n にしても、

また良い感じになるように調整すればいいので、

求めたい形には確実に近付けられます。

 

 

てことは、かなり時間は掛かるでしょうが、

最終的には「求めたい図形に近づける」ことが、

↑を使えば、なんか、できそうじゃないですか?

  

 

はい、とまあ要はこういう話でして、

これが「フーリエ級数の感覚」になります。

 

 

 

まとめると、

n のパターンにおける係数 a_n,b_n を、

その n のパターンでの『関数の平均とする』と、

 

 

その『関数の平均を重ね続ける』ことで、

求めたい関数の形に近づくんじゃ? みたいな。

 

 

フーリエ級数の発想ってのはこんな感覚なので、

結果、↓のやつが『予想』できた、という感じ。

 

\displaystyle f(x)=\begin{array}{lcc} a_0\cos 0x+a_1\cos 1x+a_2\cos 2x+\cdots \\ \\ +b_0\sin 0x+b_1\sin 1x+b_2\sin 2x+\cdots \end{array}

 

はい、とまあそういうわけで、

これでいけんじゃないの? っていうのが、

フーリエ級数の雛型となった『仮説』になるわけです。

 

 

 

もう一度確認しておきましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(t)&≒a_0 \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t+a_2\cos 2t +b_2\sin 2t \\ \\ \vdots \end{array}

 

『表したい図形の平均・重心』から、

『平均が一致する波形を加えていく』というのが、

フーリエ級数のやってることです。

 

 

んで数学的な操作としても、

『直交性』が保証されているので、

『積分によって a_n,b_n が求められる』と予想できます。

 

 

 

ついでにメタ的な話をすると、

「オイラーの公式」を理解しているなら

フーリエ級数が正しそうな理由はなんとなくわかります。

 

 

ただこれはメタが過ぎるので、

あまり参考にはなりません。

 

 

 

 

 

平均と係数

 

↑で言った『平均・重心とする』って考え方と、

「係数 a_n,b_n 」の関係について話していきます。

 

 

まず『図形の出発点 a_0 』については、

わりと簡単に求めることが出来るので、説明はざっくりと。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} f(0)&=c \\ \\ f(t)&\displaystyle =c+\sum_{ω=1}^{\infty} a_n\cos ωt+b_n\cos ωt \\ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(t) \,dt &=\displaystyle\int_{-π}^{π} c \,dt +\int_{-π}^{π} \sum_{ω=1}^{\infty} a_n\cos ωt+b_n\cos ωt \,dt \\ \\ &\displaystyle =c\int_{-π}^{π} \,dt+0 \\ \\ &\displaystyle =c \Bigl[ t \Bigl]_{-π}^{π}=2πc \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle 2πc&=\displaystyle\int_{-π}^{π} f(t) \,dt \\ \\ c&=\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt \end{array}

 

「三角関数の積分」は 0 になるので、

特に疑問なくわかると思います。

 

\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt

 

で、この『意味』なんですけど、

これ、なんか「中間の線」を求めてる、

という感じじゃありませんか?

 

 

やってることは↓の連続値バージョンですし。

 

\displaystyle \begin{array}{llc} 1+2+3&=3c \\ \\ 1+2+3+4+5&=5c \\ \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)=nc \end{array}

 

これを連続値にすると、

範囲指定なので、積分を使うことになって、

 

\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt

 

結果、これが「平均」を表すことになる

というわけです。

 

 

まあつまりこの c

「中心の軸線」を表してる感じなんですね。

故に、これが初期値になります。

 

 

 

んで、直交性を考えると、

他の係数も↑と同じように求めることができて、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos nx \,dx&\displaystyle=a_n\int_{-π}^{π} \cos nx\cos nx \,dx \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin nx \,dx&\displaystyle=b_n\int_{-π}^{π} \sin nx\sin nx \,dx \end{array}

 

その計算で、「内積」を使うことになります。

 

 

具体的な値を入れて計算してみましょうか。

とりあえず「 a_1 」を取り出してみます。

 

 

直交性を考えると、この場合は「 \cos 1x 」を使えば、

↓みたいになるのが分かるかと。

 

\displaystyle \begin{array}{lc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 1x \,dx \\ \\ =\displaystyle\int_{-π}^{π} \Bigl(a_0\cos 1x +a_1\cos 1x \cos 1x+ \cdots\Bigr)\,dx \\ \\ +\displaystyle\int_{-π}^{π} \Bigl(b_1\sin 1x \cos 1x + b_2\sin 2x \cos 1x + \cdots\Bigr)\,dx \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 1x \,dx&=\displaystyle\int_{-π}^{π} a_1\cos 1x \cos 1x\,dx \\ \\ &=a_1\displaystyle\int_{-π}^{π} \cos^2 x \,dx \\ \\ \\ &=a_1\displaystyle\int_{-π}^{π} \frac{1+\cos (x+x)}{2} x \,dx \\ \\&=a_1π \end{array}

 

\displaystyle a_1=\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos x \,dx

 

同じように、

a_2 」の場合も↓みたいになります。

 

\displaystyle a_2=\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 2x \,dx

 

んでまあ当然、同様の計算手順で、

↓が正しいことも分かっちゃうんですよ。

 

\displaystyle a_k=\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx

 

んで、これが係数になるんですね。

厳密には「重み」って感じですけど。

 

 

 

んでまあ「 b_n 」も似たような感じで、

この場合は「 \sin kx 」を使えば、

b_k 」を取り出せます。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx&=\displaystyle\int_{-π}^{π}b_k\sin kx\sin kx \,dx+0 \\ \\ &=\displaystyle b_k\int_{-π}^{π} \frac{1-\cos(kx+kx)}{2} \,dx \\ \\ &=b_k π \end{array}

 

まとめると、

係数は↓の式で導けることが分かりました。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx \end{array}

 

はい、てな感じで、

計算してみると、簡単に具体的な係数が求まります。

 

 

「三角関数の性質」から、

『こうなるだろうと予想されていた』わけですが、

見事に、ちゃんと求めることが出来たわけですね。

 

 

 

んで最後、忘れないように、

初期値の調整をしておきます。

 

\begin{array}{rlc} c&\displaystyle =\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \\ \\ \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \end{array}

 

これは慣例なんですけど、統一的に書きたいので、

↓のように手直しをされることが多いですね。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} c&=\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(x) \,dx \\ \\ &=\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}a_0&\displaystyle =\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \end{array}

 

\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx

 

これは計算手順としてはそんなに重要ではありませんが、

↓で話す複素数を考えるとき、ちょっと必要になります。







複素関数の一般形


|| オイラーの公式で複素数に対応させる

「複素数でもいけんじゃね?」バージョンがこれ。

「オイラーの公式 e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ 」が使われてます。

 

 

結論から行くと↓ですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n}c_k e^{ikx} \\ \\ \displaystyle f(t)&\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{ω=-n}^{n}c_ω e^{iωt} \end{array}

 

オイラーの公式については、

とりあえず、ここでは覚えてください。

証明には「テイラーの定理」が必要になって長いので。

 

 

ともかく、オイラーの公式は別の記事でやるとして、

ひとまずこれを飲み込むと、

複素数版のやつが、こうなることが分かります。

 

 

 

というのも、↓を見れば何となく分かるかと。

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc} \displaystyle e^{ix}&=\cos x +i\sin x \\ \\ e^{i(-x)}&=\cos x -i\sin x \end{array}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc} \displaystyle e^{ix}+e^{-ix}&=2\cos x \\ \\ e^{ix}-e^{-ix}&=2i\sin x \end{array}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc} \displaystyle \cos x&\displaystyle=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\ \\ \displaystyle\sin x&\displaystyle=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{array}\right.

 

まあ要はただの式変形ですよ。

これを実数のやつに入れるだけです。

 

\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx

 

まあ、ちょっと複雑ですけど。

 

 

 

とりあえず、実際に計算してみましょうか。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} f(t)&\displaystyle= \frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\cos ωt +b_ω\sin ωt \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\frac{e^{iωt}+e^{-iωt}}{2} +b_ω\frac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2i} \\ \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω}{2}e^{iωt} + \frac{a_ω}{2}e^{-iωt} +\frac{b_ω}{2i}e^{iωt}-\frac{b_ω}{2i}e^{-iωt} \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω}{2}e^{iωt} + \frac{a_ω}{2}e^{-iωt} -\frac{ib_ω}{2}e^{iωt}+\frac{ib_ω}{2}e^{-iωt} \\ \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt} \end{array}

 

ここまでやってみてもかなりごちゃついてるので、

整理するために指数を合わせてみます。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt}&\displaystyle=\frac{a_1+ib_1}{2}e^{-it}+\frac{a_2+ib_2}{2}e^{-2it}+\cdots \\ \\ &=\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{-1}\frac{a_{-ω}+ib_{-ω}}{2}e^{iωt} \end{array}

 

ここ、ちょっと特殊な操作になりますね。

初期値と最終位置に気を付けなければなりません。

 

 

んでこれを使って、

定数部分を「 c_ω 」とおいて整理すると、

 

\displaystyle \begin{array}{llc} \displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt} \\ \\ =\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=-\infty}^{-1}\frac{a_{-ω}+ib_{-ω}}{2}e^{iωt} \\ \\ \\ =\displaystyle c_0e^{i0t}+\sum_{ω=1}^{\infty} c_ωe^{iωt} +\sum_{ω=-\infty}^{-1}c_ωe^{iωt} \\ \\ =\displaystyle \sum_{ω=-\infty}^{-1}c_ωe^{iωt}+c_0e^{i0t}+\sum_{ω=1}^{\infty} c_ωe^{iωt} \\ \\ \\ =\cdots+c_{-2}e^{i(-2)t}+c_{-1}e^{i(-1)t}+c_0e^{i0t}+c_1e^{i1t}+c_2e^{i2t}+\cdots \\ \\ =\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{\infty} c_ω e^{iωt} \end{array}

 

とりあえず、こんな感じになります。

 

 

この時点じゃ係数はよく分かりませんが、

これも『直交系』なので、

同様の手順で導けるのは想像できるかと。

 

 

 

 

 

複素数の内積と係数

 

結論としては↓が係数を求める式になります。

『複素共役』を使って『内積をとった』結果ですね。

 

\displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt=2πc_ω

 

\displaystyle c_ω=\frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt

 

これを求める流れ自体は

実数の場合と似たようなものなんですが、

 

 

『複素数の場合の内積』を知らないと、

なにをしているのか分からないと思います。

というわけでその話をしていきましょうか。

 

 

 

まず『内積』なんですけど、

実はこいつ、↓の制約に縛られてるんですよ。

 

\displaystyle \langle z,z \rangle = || z ||^2

 

まあ要は、

「長さ(測度)を求める時に使う」っていう、

 

 

「使い方」という点での、

『欲しい性質』があって、

内積は、この性質を持っていて欲しいわけです。

 

 

まあつまり計算結果は、

『長さを表すことにしたい』ので、

必ず「プラス・正の数」になって欲しい、というわけ。

 

 

まあなので「複素数」の場合もそうしたくて、

内積の操作を行う場合

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle z=a+bi \\ \\ \overline{z}=a-bi \end{array}

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \langle z,z \rangle &=z\overline{z} \\ \\ &=a^2+b^2 \end{array}

 

このように「複素共役をとることにした」わけです。

↓のように『ただ2乗しても正にならない』場合があるので。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle z&=i \\ \\ z^2&=-1 \end{array}

 

それに、この複素共役っていう操作自体は

「実数の場合はなんの変化も起こさない」ので、

特に問題なく内積の制約として追加できます。

 

 

 

はい、とまあ複素数の場合の内積はこんな感じで、

「正にするため」に『複素共役』をとるんですね。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \overline{e^{iωt}} &= \overline{\cos ωt+i\sin ωt} \\ \\ &=\cos ωt-i\sin ωt \\ \\ \\ &=\cos (-ωt)+i\sin (-ωt) \\ \\ &=e^{-iωt} \end{array}

 

てなわけで係数についてですけど、

これは↓が分かればだいたいわかると思います。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_αe^{iαt} e^{-iβt} \,dt&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=2πc_ω \end{array}

 

見た目ごついですけど、

↓みたいに単純に考えてみてください。

 

n≠m

\displaystyle \begin{array}{llc} \displaystyle e^{int} e^{-imt} \\ \\ \displaystyle =(\cos nt +i\sin nt)(\cos (-mt) +i\sin (-mt)) \\ \\ \displaystyle =(\cos nt +i\sin nt)(\cos mt -i\sin mt) \\ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} e^{int} e^{-imt} \,dt \\ \\ =\displaystyle\int_{-π}^{π} (\cos nt +i\sin nt)(\cos mt -i\sin mt) \,dt \\ \\ =0 \end{array}

 

こっちは「三角関数の性質」から、

明らかにこうなることがわかります。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle e^{iωt} e^{-iωt}&=e^{iωt-iωt} \\ \\ &=e^0=1 \end{array}

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=c_ω\displaystyle \int_{-π}^{π} 1 \,dt \\ \\ &\displaystyle =c_ω\Bigl[\, t \,\Bigr]_{-π}^{π} \\ \\ &=c_ω2π \end{array}

 

んでこっちはこうです。

指数法則の基本を考えれば、

明らかにこうなるのが分かるかと。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ne^{int} e^{-imt} \,dt&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=2πc_ω \end{array}

 

はい、とまあこんな感じに、

特に疑問もなく↑が導けると思います。

 

 

 

というわけで本題の係数なんですけど、

↑が分かってればもうだいたいわかるかと。

 

\displaystyle f(t)=\sum_{ω=-\infty}^{\infty} c_ω e^{iωt}

 

\begin{array}{rlc} \vdots \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i(-1)t} \,dt&=2πc_{-1} \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i0t} \,dt&=2πc_0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i1t} \,dt&=2πc_1 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i2t} \,dt&=2πc_2 \\ \\ \vdots \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt&=2πc_ω \\ \\ \vdots \end{array}

 

まあこんな感じですね。

 

 

複素数の場合だと、

このようにわざわざ正弦波と余弦波に分けないで、

見た目、簡単に表すことができます。

 

 

実数のよりも、こっちのほうがシンプルですね。

まあ、証明はごちゃついてるんですけど。

 

 

 

 

 

最後、まとめておきます。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&\displaystyle =\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle a_k &\displaystyle =\frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&\displaystyle=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx\end{array}

 

実数のバージョンは↑で、

複素数のバージョンは↓です。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x) &\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle c_k &\displaystyle = \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π} f(x) e^{-ikx} \,dx \end{array}

 

この記事の内容を理解していれば、

これの意味はもうはっきり分かると思います。

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&\displaystyle =\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx & \displaystyle =a_kπ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx &\displaystyle =b_kπ\end{array}

 

\displaystyle\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x) &\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(x) \overline{e^{ikx}} \,dx &\displaystyle =c_k 2π\end{array}

   

分かりにくければこっちで覚えましょう。

こちらの方が「意味」は分かりやすいと思います。

 

 

 

それと発想の元についてなんですけど、

これは『三角関数の直交性』と『内積』がそれで、

 

δ_{nm}=\begin{cases} \displaystyle 0&n≠m \\ 1&n=m \end{cases}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos nx \cos mx\,dx&=πδ_{nm} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \sin mx\,dx&=πδ_{nm} \end{array}

 

イメージの基準には、

「単純な図形」の『平均の重なり』が来る感じですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f(t)&≒a_0 \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t+a_2\cos 2t +b_2\sin 2t \\ \\ \vdots \end{array}

 

 

 

 

はい、とまあフーリエ級数については以上になります。

 

 

オイラーの公式関連については

まあよく分かんないかもしれませんが、

そこを除けば、そんなに難しくはなかったかと。

 

 

もしわからなかった場合は、

分からない箇所をちゃんと見つけて、

そこを重点的に見直してみてください。

 

 

基本的に難しいことは何も言ってません。

難しいと感じたのなら、それは気のせいです。