|| 波形でいろんな図形が表せるんだよってやつ
これは『三角関数の積分』と『直交性』から得られた、
『仮説』を検証した「結果」になります。
スポンサーリンク
目次
フーリエ解析の感覚「単純な波形を組み合わせる」
ベクトルと関数「同じものを表現できる」
基底と完全系「いろんな関数を表せるやつ」
内積と直交「掛けると 0 になるやつ」
フーリエ級数「ほとんどの関数はこれで表せる」
複素関数の一般形「オイラーの公式を使ってみた」
フーリエ解析というと、
見た目がかなりごついあれです。
初見だとほんとよくわからないというか、
とにかく直感的に理解しにくいです。
『テイラー展開』を理解している人であれば、
「正しいだろうな」とはわかるんですけど、
それでも『なんでこれを導けたのか』とか、
いわゆる「発想の元」みたいな、
『仮説が得られるまで』の過程とか、
フーリエ級数を求めるための情報はよくわかりません。
てなわけなので、
この記事ではその話をメインでしていきます。
それと、ちょっとやりすぎなくらい詳しくやるつもりです。
まあ「テイラー展開」はさすがに省略しますが。
ちなみに具体的なイメージについては、
「 \mathrm{myFourierEpicycles} 」これで検索してみてください。
図形を描くソフトなんですけど、
たぶんこれがフーリエ級数展開のイメージの中で、
もっとも直感的に分かりやすいものだと思います。
関数とベクトル
|| 関数とベクトルは似たようなもんだよねっていう話
「横にいくつか・縦にいくつか」と
「 x 軸にいくつか・ y 軸にいくつか」
まあ要は↓みたいなのは、
『ほとんど同じようなものに見える』よねって話。
「ベクトル」は『原点からの座標』を表してますし。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \vec{a}&=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle 2\vec{a}&=\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=2x \end{array}
はい、これ見てわかると思いますが、
少なくとも「傾き」については
間違いなく一致してるのが分かります。
傾き以外も考えたいなら、
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=2x+5 \\ \\ \displaystyle f(x)&=\begin{pmatrix} 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1 \end{pmatrix} \end{array}
こうするのも良いですよね。
んでまあこれを一般化すると、
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1\\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^0\\x^1\\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \\ \\ &=1 \end{array}
こんな感じに、
好きな関数を作ることができます。
まあ要は「変数」と「係数」を、
『分離して考えてる』だけのことで、
「関数とベクトルは等価だ」って言ってるだけです。
基底と完全系
↑の話を一般化した、
用語についての話をしていきます。
『基底』については、とりあえず
「いろいろ表せる基準」とでも思っておいてください。
具体的には、例えば↑の場合だと、
↓みたいなやつを「基底」って呼んでいて、
\displaystyle \begin{pmatrix} x^0\\x^1\\x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}
これは「係数を良い感じに決める」と、
『ほとんど全ての関数を表すことが可能』ですから、
「基準」として考えることができるじゃないですか。
まあつまり「明確に意味のあるもの」ですから、
「基底」って名前が付けられてるんですね。
これが正しい理由の説明は
「テイラーの定理」を使う必要があるので、
詳しくは別の記事でやりますが、
\displaystyle \begin{pmatrix} x^0\\x^1\\x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}
まあともかく「基底」の中でも、
特に、↑みたいな便利なやつがあって、
こういう『ほぼ全て表せる便利な基準』を、
「完全系」って呼んだりするんです。
んで、実はフーリエ級数の主張っていうのが、
↓も完全系だ、って言ってる感じなんですよ。
\displaystyle \begin{pmatrix} \cos 0x \\ \sin 0x \\ \cos 1x \\ \sin1x \\ \vdots \\ \cos nx \\ \sin nx \end{pmatrix}
実数の範囲だと↑
複素数の範囲だと↓
\displaystyle \begin{pmatrix} e^{i0x} \\ e^{i1x} \\ e^{i2x} \\ \vdots \\ e^{inx} \end{pmatrix}
まあ、この時点じゃよくわかんなくて当然なので、
こうなる理由はいったんスルーしておいてください。
説明は↓でしていきます。
まあともかく、この用語とか性質とか、
こういうのがあるってことを覚えておいてください。
内積と直交
|| 掛けて 0 になると、嬉しい時
『内積』って操作があるんですけど、
これは「連続」値の場合だと↓みたいに表せるんですよ。
\displaystyle \langle f(x),g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)\,dx
ちなみに『内積』っていうのは↓みたいな操作です。
\begin{array}{rlc} \displaystyle ||x||&=\sqrt{x^2} \\ \\ & =\sqrt{\langle x,x \rangle} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\langle a,b \rangle}{||a||\,||b||}&=\cosθ \end{array}
この意味としては、
「長さの求め方を一般化した操作」って感じ。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \vec{a}&=(a_1,a_2) \\ \\ \displaystyle \langle \vec{a},\vec{a} \rangle&=a_1a_1+a_2a_2 \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} A&=(a_1,a_2,...,a_n) \\ \\ B&=(b_1,b_2,...,b_n) \\ \\ \\ \displaystyle \langle A,B \rangle&=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \end{array}
他にも↓みたいに、
『間にあるちょっと邪魔なやつの話』とも言えます。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \vec{a}&=(a_1,a_2) \\ \\ \vec{b}&=(b_1,b_2) \\ \\ \\ \displaystyle (\vec{a}+\vec{b})^2&=|| \vec{a} ||^2+2\vec{a}・\vec{b}+|| \vec{b} ||^2 \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} \vec{a}^2&=||\vec{a} ||^2 \\ \\ &=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^2 \\ \\ \\ \vec{b}^2&=||\vec{b} ||^2 \\ \\ &=\left(\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)^2 \\ \\ \\ \displaystyle \vec{a}・\vec{b}&=\langle \vec{a},\vec{b} \rangle \end{array}
こう見ると、もしかしたら
こっちの方が分かりやすいかもしれません。
で、これの一般形なんですけど、
これは↓みたいな感じで見ていくと分かりやすいかも？
\begin{array}{llc} \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} f(x)g(x)&=f(0)g(0)+f(1)g(1)+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} f(x)g(x) ×1&=f(0)g(0)+f(1)g(1)+\cdots \end{array}
これは「間隔 dx=1 」のパターンで、
↓は、この「間隔を小さくしたもの」だと考えてください。
\displaystyle \lim_{dx→0} \sum_{x=-\infty}^{\infty} f(x\,dx)g(x\,dx)\,dx
すると、これが↓の結果と一致することが分かります。
てか、意味がほとんど同じになります。
\displaystyle \langle f(x),g(x) \rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x) \,dx
はい、とまあこんな感じで、
『連続値の場合の内積』はこうなるわけですね。
とりあえずこの時点では
へー、ってくらいに思っておいてください。
フーリエ級数を考える場合に重要なのは、
これを使った場合の「性質」でして、
具体的には「 0 」になるパターンと、
「特定の場合以外に 0 」になるパターンが大事なんですよ。
具体的には↓の場合が重要で、
\displaystyle \cos \left(\frac{π}{2}+nπ\right)=0
これは見た目の上では
「２つのベクトルが 90° で交わってる」
ってことを表してます。
んでまあこういう『直角に交わってる感じのやつ』が、
「直交系」って呼ばれてるんですよ。
これ、けっこう便利でして、
この場合は↓の操作ができます。
\displaystyle || \vec{x} || \, || \vec{y} ||\,\cos \frac{π}{2}=0
こういう風に「排除したい部分がある」時に、
「直交系」が使われる感じです。
フーリエ級数を考える時もこれが使われてます。
てか、使わないと成立しません。
直交が完全である
「直交」ってのを『縦横 90° 』として、
『片方を横、片方を縦と考える』感じの話がこれ。
具体的には↓みたいな感じです。
\begin{array}{lll} \displaystyle \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix}&=2\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}&+3\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&=2\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&+3\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \end{array}
これは結果的には「完全系」に通ずる話で、
いろんなものを統一的に表現する時、
よく使われる考え方になります。
まあこれ見て何となくわかると思いますが、
関数の表現で「ベクトルが使える」わけですから、
その計算に「内積」が絡むパターンがある
というのは想像できると思います。
本題に移ると、特に広い範囲を扱える直交系は
直交系の中でも「完全だ」って言われていて、
有名なやつだと↓みたいなのがあるんですよ。
\begin{array}{ccc} \displaystyle a_n\cos nx+b_n\sin nx &\begin{pmatrix} \cos 0x\\ \sin 0x\\ \cos 1x\\ \sin 1x \\ \vdots \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle c_n e^{inx} &\begin{pmatrix} e^{i0x}\\ e^{i1x}\\ e^{i2x}\\ \vdots \\ e^{inx} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{array}
これ、そのままフーリエ級数で使うやつですね。
使うというか、これの由来がフーリエ級数なんですが。
\displaystyle \begin{pmatrix} a_0&b_0&a_1&b_1&\cdots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos 0x \\ \sin0x \\ \cos1x \\ \sin1x \\ \cos2x \\ \sin2x \\ \vdots \end{pmatrix}
\displaystyle f(x)=\begin{array}{ccc} a_0\cos 0x+a_1\cos 1x+\cdots+a_n\cos nx +\cdots \\ \\ +\, b_0\sin 0x+b_1\sin1x+\cdots+b_n\sin nx +\cdots \end{array}
まあともかくこれを使うと、
この「定数 a_i,b_i 」を好きに定めれば、
いろんな図形・関数を表現できます。
具体的な話をするなら、
実数値関数であれば、だいたいこれで表せます。
稀に表せないものもありますが、
それはだいたい「無限」が絡んでる場合くらい。
具体的には「部分的に積分できない」やつとか。
見た目の上ではどんなのかというと、
例えば、１か所だけ「無限」になってるやつとかですね。
この場合、全部の区間を積分することができません。
とまあそんな感じで、
そういう異常な関数を除けば、
「完全系」は全部の図形を表現することができます。
直交系が完全だってことの感覚
と言っても↑のじゃよく分からんと思います。
なんか見た目、すごい複雑ですし。
てなわけでもっと具体的にしてみましょうか。
↓のやつとかどうですかね。
\displaystyle f(θ)=a\cos θ + b\sin θ
これは『１変数関数』なんですけど、
「 x 座標の変化量を a\cos θ 」
「 y 座標の変化量を b\sin θ 」と考えることができます。
これはあれです。
複素数の極座標による表現と
本質的に同様のものですね。
んで、見てわかると思いますが、
『両方の座標を決める』ものは、
『変数 θ だけ』じゃないですか。
逆に言えば『変数 θ の値だけ』決まれば、
全体である「 f(θ) 」の値も定まるわけですよ。
んでこれは、
ベクトルで表すと、要は↓みたいな感じでして、
\displaystyle \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}
フーリエ級数は、この関数の足し算を
「回数無制限で行える」って感じなんです。
具体的には↓みたいな感じですね。
\displaystyle f(x)=f_0(0x)+f_1(1x)+f_2(2x)+\cdots
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f_0(0x)&=a_0\cos 0x + b_0 \sin 0x \\ \\ f_1(1x)&=a_1\cos 1x + b_1 \sin 1x \\ \\ f_2(2x)&=a_2\cos 2x + b_2 \sin 2x \\ \\ &\vdots \end{array}
まあ要は『表現したい形に近づける』って意味での、
『補正』ってやつを「無限回行える」わけですよ。
んでここが超重要なんですけど、
直交系は『係数に影響を与えず』に、
この操作を行えるんです。
まあそういうわけですから、
この直交系は特別なんですね。
この時点じゃよくわからんと思いますが、
今はそれでいいです。
とりあえずなんとなく、
『なんどでも補正できる』とでも思っておいてください。
この理由は後述。
フーリエ級数
|| 細かくグルグルを組み合わせるといろいろ表せる
「直交系で完全系を作れんじゃね？」っていう、
『仮説』から得られた完全系がこれ。
結論としては↓みたいなやつです。
この時点じゃ意味わからなくて当然なので一端スルーで。
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)& \displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx+b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos kx \,dx \\ \\\displaystyle b_k&\displaystyle =\frac{1}{π} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\sin kx \,dx \end{array}
「使うとき」は↑のが分かりやすいんですけど、
「意味を考える」場合は↓の方が良いかも？
\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\cos ωt+b_ω\sin ωt
「 ω 」は『角速度』ってやつで、
「 t 」は『時間』を表しています。
まあ要は『角度の時間変化』で書いたのが↑です。
はい、てなわけでこれを導いていきましょうか。
↑の結論だけじゃ、ほんとよく分かんないんで。
三角関数の重要な性質
↑の話を説明するのに重要になるのは↓です。
周期関数なので、計算しなくても値は分かるかと。
\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-π}^{π} \cos ωt \,dt &=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} \sin ωt \,dt &=0 \end{array}
一応、計算のやり方を言っておくと、
「上の半円」と「下の半円」を足して相殺する感じです。
といってもこの時点じゃ、
これが「なんで必要なのか」
については分かんないと思います。
結論としては、
『この時点では』特に意味は無い、という感じ。
というのも、
『あらゆる関数 f(x) を積分する』時に、
この性質が超重要になる理由が分かるんですけど、
これは、その前の段階の話なんですよ。
まあつまり、計算で言うところの
「 1+1=2 」みたいなものなんです。これ。
まあとりあえず、今は見たまま、
『積分すると無くなる』とでも思っておいてください。
でここから話は変わって、
「直交している」ということ、
つまり「三角関数の内積」を使った話に移ります。
これはまあ、要は↑のを使う話でして、
具体的には↓みたいな計算の話です。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle \cos x ,\sin 3x \rangle &\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty}\cos x \sin 3x \,dx \\ \\ &=0 \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} \sin(α+β)&=\sin α \cos β +\sin β \cos α \\ \\ \sin(α-β)&=\sin α \cos β -\sin β \cos α \\ \\ \\ \sin(2-1)x+\sin(2+1)x&=2\sin 3x \cos x \end{array}
計算結果が 0 になって消えるので、
どうやら「 \cos x 」と「 \sin 3x 」の２つは
『直交していると言える』わけですね。
んでこれの範囲、
実はこれだけじゃなくかなり広いようで、
「あらゆる整数 n,m 」で成立しちゃうみたいなんですよ。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \sin(α+β)&=\sin α \cos β +\sin β \cos α \\ \\ \sin(α-β)&=\sin α \cos β -\sin β \cos α \\ \\ \\ \sin(α+β)+\sin(α-β)&=2\sin α \cos β \end{array}
\begin{array}{llc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx \\ \\ =\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\sin(nx+mx)+\frac{1}{2}\sin(nx-mx) \right)\,dx \\ \\=0\end{array}
加えて↓のパターンでもこんな感じになります。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \cos(α+β)&=\cos α \cos β-\sin α \sin β \\ \\ \cos(α-β)&=\cos α \cos β+\sin α \sin β \\ \\ \\ 2\cos α \cos β&=\cos(α-β)+\cos(α+β) \\ \\ 2\sin α \sin β&=\cos(α-β)-\cos(α+β) \end{array}
n≠m
\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos nx \cos mx \,dx &=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin nx \sin mx \,dx &=0 \end{array}
n=m
\displaystyle \begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos nx \cos nx \,dx &\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x-\cos 2nx \Bigr) \,dx \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin nx \sin nx \,dx &\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x+\cos 2nx \Bigr) \,dx \end{array}
この計算は「周期 -π≤nx≤π 」で
「同じ形を繰り返している」だけと考えれば、
↓のように、この部分が分かれば十分だと分かります。
\begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{-π}^{π} \frac{1}{2}\Bigl( \cos 0x±\cos 2nx \Bigr) \,dx &\displaystyle =\int_{-π}^{π} \frac{1}{2} \,dx±0 \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2}\Bigl[ x \Bigr]_{-π}^{π} \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2}(π-(-π))=π \end{array}
重要なのは「形」ですから、
この「１周期の形」さえ押さえておけば、
これ以上の範囲の大きさは、
後はこれを繰り返すだけと考えればOK。
なので、基本的にこの範囲だけあれば十分です。
１周期であれば良いので、
ここは 0≤nx≤2π とかでも構いません。
んでまあ話は戻って、↑の計算結果から、
三角関数の内積は「 n=m 」で、
0 以外の値になることが分かりました。
そう、つまるところ『三角関数』というのは、
「 \cos x 」と「 \sin x 」の２つ、
そして「 n=m の場合以外」は 0 になるんです。
δ_{nm}=\begin{cases} \displaystyle 0&n≠m \\ 1&n=m \end{cases}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos nx \cos mx\,dx&=πδ_{nm} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \sin mx\,dx&=πδ_{nm} \end{array}
てことは n≠m のパターンでは、
『積分すると邪魔な部分が 0 になる』わけで。
てことは、内積（積分）をとった時、
『必要な部分以外を排除できる』っていう、
そういう事実がある、ってことが確定するわけですよ。
とまあ、いわゆるこれが『直交系の性質』ってやつで、
その性質が、非常に便利なんですね。
直交性と全体の感覚
フーリエ級数のイメージは、
『波の重ね合わせ』が基本なんですけど、
なんか、直観的にはよく分かんないと思います。
\displaystyle \begin{array}{rlc} f(x)&≒f(0) \\ \\ &≒f(0)+f^{\prime}(0)x^1 \\ \\ &\displaystyle ≒f(0)+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2 \\ \\ &\displaystyle ≒f(0)+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 \\ \\ &\vdots \end{array}
テイラー展開の場合だと、
「微分」で『点の傾き』を求めて、
『線の形の精度を上げる』ことで、
「正確な形に近づけていく」っていうのが、
なんとなく、感覚的に分かると思います。
実際↑の場合だと『 x=0 の周り』が、
どんどん「 f(x) 」に近づくのが分かるかと。
しかしフーリエ級数の場合は、
テイラー級数のようなイメージはしにくいです。
けれど、それじゃなんか嫌ですよね。
フーリエ級数にも、そのイメージの基本となる
「点の傾き」にあたるものが欲しいです。
てなわけで、ここではその話をしていきます。
まず『大まかな形』についてなんですけど、
基本となるのは『円』だと思ってください。
\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} x=a\cos ωt \\ \\ y=b\sin ωt \end{array} \right.
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(t)&=\cos ωt+\sin ωt \\ \\ \displaystyle f(t)&=a\cos ωt+b\sin ωt \end{array}
これがイメージの基礎になります。
はい、まあともかく、
これで「円が描ける」ことと、
「 a,b で伸縮」して、
「楕円が描ける」ことは確定しましたね。
それと「図を描く出発点」として↓が来るのも分かるかと。
\displaystyle f(0)=a_0
これは「図の中心の位置」
という風に言っても良いかもしれません。
具体的な値はおいておいて、
ともかくこれ自体は普通に分かると思います。
加えて、この「 a_0 だけ」を考えれば、
「横の直線が描ける」ことも確定しますね。
具体的な値を好きに入れることで、
「高さ」を調整するだけですから。
とまあ、ここまでが基礎なんですけど、
フーリエ級数の式が主張しているのが、
『波の平均を重ねてる』みたいな、
そういう感じになってるのが、
なんとなーく、分かりませんか？
ある図形 f(t) の、
「すごく大まかな形」が a_0 で、
f(t)≒a_0
ちょっとだけ「細かな形を付け足した」のが↓
f(t)≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t
という感じに。
確認しておくと、「他の円・波を加えていく」と、
『いろんな図形を描ける』っていうのが
フーリエ級数展開の主張です。
加えて「三角関数の直交性」を考えると、
『他の円』の具体的な中身として、
「角速度が異なるもの」が来ます。
具体的には↓みたいな円・楕円を加えると、
\displaystyle \begin{array}{rlc} x_{2}&=a_2\cos 2t \\ \\ y_2&=b_2\sin 2t \end{array}
『前の図形に余計な影響を与えない』で、
『良い感じに波形を加える』ことになりますよね。
そして「波を加える」場合、
間違いなく『形は変わる』じゃないですか。
\begin{array}{rlc} a_n\cos nt+b_n\sin nt&≠0 \\ \\ \displaystyle f(t)+a_n\cos nt+b_n\sin nt&≠f(t) \end{array}
んでこれは「角速度 ω 」の全パターンでやれるので、
事実上、『無限（無制限）』の回数
補正を加え続けることが出来る、って言えますよね？
まあ要は「無限回試すこと」ができるわけで、
その結果、最終的に求めたい形にする、というわけですね。
試す段階で一度確定させた係数 a_n,b_n にしても、
また良い感じになるように調整すればいいので、
求めたい形には確実に近付けられます。
てことは、かなり時間は掛かるでしょうが、
最終的には「求めたい図形に近づける」ことが、
↑を使えば、なんか、できそうじゃないですか？
はい、とまあ要はこういう話でして、
これが「フーリエ級数の感覚」になります。
まとめると、
n のパターンにおける係数 a_n,b_n を、
その n のパターンでの『関数の平均とする』と、
その『関数の平均を重ね続ける』ことで、
求めたい関数の形に近づくんじゃ？ みたいな。
フーリエ級数の発想ってのはこんな感覚なので、
結果、↓のやつが『予想』できた、という感じ。
\displaystyle f(x)=\begin{array}{lcc} a_0\cos 0x+a_1\cos 1x+a_2\cos 2x+\cdots \\ \\ +b_0\sin 0x+b_1\sin 1x+b_2\sin 2x+\cdots \end{array}
はい、とまあそういうわけで、
これでいけんじゃないの？ っていうのが、
フーリエ級数の雛型となった『仮説』になるわけです。
もう一度確認しておきましょうか。
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(t)&≒a_0 \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t+a_2\cos 2t +b_2\sin 2t \\ \\ \vdots \end{array}
『表したい図形の平均・重心』から、
『平均が一致する波形を加えていく』というのが、
フーリエ級数のやってることです。
んで数学的な操作としても、
『直交性』が保証されているので、
『積分によって a_n,b_n が求められる』と予想できます。
ついでにメタ的な話をすると、
「オイラーの公式」を理解しているなら
フーリエ級数が正しそうな理由はなんとなくわかります。
ただこれはメタが過ぎるので、
あまり参考にはなりません。
平均と係数
↑で言った『平均・重心とする』って考え方と、
「係数 a_n,b_n 」の関係について話していきます。
まず『図形の出発点 a_0 』については、
わりと簡単に求めることが出来るので、説明はざっくりと。
\displaystyle \begin{array}{rlc} f(0)&=c \\ \\ f(t)&\displaystyle =c+\sum_{ω=1}^{\infty} a_n\cos ωt+b_n\cos ωt \\ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(t) \,dt &=\displaystyle\int_{-π}^{π} c \,dt +\int_{-π}^{π} \sum_{ω=1}^{\infty} a_n\cos ωt+b_n\cos ωt \,dt \\ \\ &\displaystyle =c\int_{-π}^{π} \,dt+0 \\ \\ &\displaystyle =c \Bigl[ t \Bigl]_{-π}^{π}=2πc \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle 2πc&=\displaystyle\int_{-π}^{π} f(t) \,dt \\ \\ c&=\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt \end{array}
「三角関数の積分」は 0 になるので、
特に疑問なくわかると思います。
\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt
で、この『意味』なんですけど、
これ、なんか「中間の線」を求めてる、
という感じじゃありませんか？
やってることは↓の連続値バージョンですし。
\displaystyle \begin{array}{llc} 1+2+3&=3c \\ \\ 1+2+3+4+5&=5c \\ \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)=nc \end{array}
これを連続値にすると、
範囲指定なので、積分を使うことになって、
\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) \,dt
結果、これが「平均」を表すことになる
というわけです。
まあつまりこの c は
「中心の軸線」を表してる感じなんですね。
故に、これが初期値になります。
んで、直交性を考えると、
他の係数も↑と同じように求めることができて、
\begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos nx \,dx&\displaystyle=a_n\int_{-π}^{π} \cos nx\cos nx \,dx \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin nx \,dx&\displaystyle=b_n\int_{-π}^{π} \sin nx\sin nx \,dx \end{array}
その計算で、「内積」を使うことになります。
具体的な値を入れて計算してみましょうか。
とりあえず「 a_1 」を取り出してみます。
直交性を考えると、この場合は「 \cos 1x 」を使えば、
↓みたいになるのが分かるかと。
\displaystyle \begin{array}{lc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 1x \,dx \\ \\ =\displaystyle\int_{-π}^{π} \Bigl(a_0\cos 1x +a_1\cos 1x \cos 1x+ \cdots\Bigr)\,dx \\ \\ +\displaystyle\int_{-π}^{π} \Bigl(b_1\sin 1x \cos 1x + b_2\sin 2x \cos 1x + \cdots\Bigr)\,dx \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 1x \,dx&=\displaystyle\int_{-π}^{π} a_1\cos 1x \cos 1x\,dx \\ \\ &=a_1\displaystyle\int_{-π}^{π} \cos^2 x \,dx \\ \\ \\ &=a_1\displaystyle\int_{-π}^{π} \frac{1+\cos (x+x)}{2} x \,dx \\ \\&=a_1π \end{array}
\displaystyle a_1=\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos x \,dx
同じように、
「 a_2 」の場合も↓みたいになります。
\displaystyle a_2=\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 2x \,dx
んでまあ当然、同様の計算手順で、
↓が正しいことも分かっちゃうんですよ。
\displaystyle a_k=\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx
んで、これが係数になるんですね。
厳密には「重み」って感じですけど。
んでまあ「 b_n 」も似たような感じで、
この場合は「 \sin kx 」を使えば、
「 b_k 」を取り出せます。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx&=\displaystyle\int_{-π}^{π}b_k\sin kx\sin kx \,dx+0 \\ \\ &=\displaystyle b_k\int_{-π}^{π} \frac{1-\cos(kx+kx)}{2} \,dx \\ \\ &=b_k π \end{array}
まとめると、
係数は↓の式で導けることが分かりました。
\begin{array}{rlc} \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx \end{array}
はい、てな感じで、
計算してみると、簡単に具体的な係数が求まります。
「三角関数の性質」から、
『こうなるだろうと予想されていた』わけですが、
見事に、ちゃんと求めることが出来たわけですね。
んで最後、忘れないように、
初期値の調整をしておきます。
\begin{array}{rlc} c&\displaystyle =\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \\ \\ \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \end{array}
これは慣例なんですけど、統一的に書きたいので、
↓のように手直しをされることが多いですね。
\displaystyle \begin{array}{rlc} c&=\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(x) \,dx \\ \\ &=\displaystyle \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle a_k&\displaystyle =\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}a_0&\displaystyle =\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \end{array}
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx
これは計算手順としてはそんなに重要ではありませんが、
↓で話す複素数を考えるとき、ちょっと必要になります。
複素関数の一般形
|| オイラーの公式で複素数に対応させる
「複素数でもいけんじゃね？」バージョンがこれ。
「オイラーの公式 e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ 」が使われてます。
結論から行くと↓ですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n}c_k e^{ikx} \\ \\ \displaystyle f(t)&\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{ω=-n}^{n}c_ω e^{iωt} \end{array}
オイラーの公式については、
とりあえず、ここでは覚えてください。
証明には「テイラーの定理」が必要になって長いので。
ともかく、オイラーの公式は別の記事でやるとして、
ひとまずこれを飲み込むと、
複素数版のやつが、こうなることが分かります。
というのも、↓を見れば何となく分かるかと。
\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc} \displaystyle e^{ix}&=\cos x +i\sin x \\ \\ e^{i(-x)}&=\cos x -i\sin x \end{array}\right.
\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc} \displaystyle e^{ix}+e^{-ix}&=2\cos x \\ \\ e^{ix}-e^{-ix}&=2i\sin x \end{array}\right.
\displaystyle \left\{\begin{array}{rlc} \displaystyle \cos x&\displaystyle=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\ \\ \displaystyle\sin x&\displaystyle=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{array}\right.
まあ要はただの式変形ですよ。
これを実数のやつに入れるだけです。
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx
まあ、ちょっと複雑ですけど。
とりあえず、実際に計算してみましょうか。
\displaystyle \begin{array}{rlc} f(t)&\displaystyle= \frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\cos ωt +b_ω\sin ωt \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} a_ω\frac{e^{iωt}+e^{-iωt}}{2} +b_ω\frac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2i} \\ \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω}{2}e^{iωt} + \frac{a_ω}{2}e^{-iωt} +\frac{b_ω}{2i}e^{iωt}-\frac{b_ω}{2i}e^{-iωt} \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω}{2}e^{iωt} + \frac{a_ω}{2}e^{-iωt} -\frac{ib_ω}{2}e^{iωt}+\frac{ib_ω}{2}e^{-iωt} \\ \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt} \end{array}
ここまでやってみてもかなりごちゃついてるので、
整理するために指数を合わせてみます。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt}&\displaystyle=\frac{a_1+ib_1}{2}e^{-it}+\frac{a_2+ib_2}{2}e^{-2it}+\cdots \\ \\ &=\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{-1}\frac{a_{-ω}+ib_{-ω}}{2}e^{iωt} \end{array}
ここ、ちょっと特殊な操作になりますね。
初期値と最終位置に気を付けなければなりません。
んでこれを使って、
定数部分を「 c_ω 」とおいて整理すると、
\displaystyle \begin{array}{llc} \displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=1}^{\infty}\frac{a_ω+ib_ω}{2}e^{-iωt} \\ \\ =\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{ω=1}^{\infty} \frac{a_ω-ib_ω}{2}e^{iωt} +\sum_{ω=-\infty}^{-1}\frac{a_{-ω}+ib_{-ω}}{2}e^{iωt} \\ \\ \\ =\displaystyle c_0e^{i0t}+\sum_{ω=1}^{\infty} c_ωe^{iωt} +\sum_{ω=-\infty}^{-1}c_ωe^{iωt} \\ \\ =\displaystyle \sum_{ω=-\infty}^{-1}c_ωe^{iωt}+c_0e^{i0t}+\sum_{ω=1}^{\infty} c_ωe^{iωt} \\ \\ \\ =\cdots+c_{-2}e^{i(-2)t}+c_{-1}e^{i(-1)t}+c_0e^{i0t}+c_1e^{i1t}+c_2e^{i2t}+\cdots \\ \\ =\displaystyle\sum_{ω=-\infty}^{\infty} c_ω e^{iωt} \end{array}
とりあえず、こんな感じになります。
この時点じゃ係数はよく分かりませんが、
これも『直交系』なので、
同様の手順で導けるのは想像できるかと。
複素数の内積と係数
結論としては↓が係数を求める式になります。
『複素共役』を使って『内積をとった』結果ですね。
\displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt=2πc_ω
\displaystyle c_ω=\frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt
これを求める流れ自体は
実数の場合と似たようなものなんですが、
『複素数の場合の内積』を知らないと、
なにをしているのか分からないと思います。
というわけでその話をしていきましょうか。
まず『内積』なんですけど、
実はこいつ、↓の制約に縛られてるんですよ。
\displaystyle \langle z,z \rangle = || z ||^2
まあ要は、
「長さ（測度）を求める時に使う」っていう、
「使い方」という点での、
『欲しい性質』があって、
内積は、この性質を持っていて欲しいわけです。
まあつまり計算結果は、
『長さを表すことにしたい』ので、
必ず「プラス・正の数」になって欲しい、というわけ。
まあなので「複素数」の場合もそうしたくて、
内積の操作を行う場合
\begin{array}{rlc} \displaystyle z=a+bi \\ \\ \overline{z}=a-bi \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \langle z,z \rangle &=z\overline{z} \\ \\ &=a^2+b^2 \end{array}
このように「複素共役をとることにした」わけです。
↓のように『ただ２乗しても正にならない』場合があるので。
\begin{array}{rlc} \displaystyle z&=i \\ \\ z^2&=-1 \end{array}
それに、この複素共役っていう操作自体は
「実数の場合はなんの変化も起こさない」ので、
特に問題なく内積の制約として追加できます。
はい、とまあ複素数の場合の内積はこんな感じで、
「正にするため」に『複素共役』をとるんですね。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \overline{e^{iωt}} &= \overline{\cos ωt+i\sin ωt} \\ \\ &=\cos ωt-i\sin ωt \\ \\ \\ &=\cos (-ωt)+i\sin (-ωt) \\ \\ &=e^{-iωt} \end{array}
てなわけで係数についてですけど、
これは↓が分かればだいたいわかると思います。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_αe^{iαt} e^{-iβt} \,dt&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=2πc_ω \end{array}
見た目ごついですけど、
↓みたいに単純に考えてみてください。
n≠m
\displaystyle \begin{array}{llc} \displaystyle e^{int} e^{-imt} \\ \\ \displaystyle =(\cos nt +i\sin nt)(\cos (-mt) +i\sin (-mt)) \\ \\ \displaystyle =(\cos nt +i\sin nt)(\cos mt -i\sin mt) \\ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} e^{int} e^{-imt} \,dt \\ \\ =\displaystyle\int_{-π}^{π} (\cos nt +i\sin nt)(\cos mt -i\sin mt) \,dt \\ \\ =0 \end{array}
こっちは「三角関数の性質」から、
明らかにこうなることがわかります。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle e^{iωt} e^{-iωt}&=e^{iωt-iωt} \\ \\ &=e^0=1 \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=c_ω\displaystyle \int_{-π}^{π} 1 \,dt \\ \\ &\displaystyle =c_ω\Bigl[\, t \,\Bigr]_{-π}^{π} \\ \\ &=c_ω2π \end{array}
んでこっちはこうです。
指数法則の基本を考えれば、
明らかにこうなるのが分かるかと。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ne^{int} e^{-imt} \,dt&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} c_ωe^{iωt} e^{-iωt} \,dt&=2πc_ω \end{array}
はい、とまあこんな感じに、
特に疑問もなく↑が導けると思います。
というわけで本題の係数なんですけど、
↑が分かってればもうだいたいわかるかと。
\displaystyle f(t)=\sum_{ω=-\infty}^{\infty} c_ω e^{iωt}
\begin{array}{rlc} \vdots \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i(-1)t} \,dt&=2πc_{-1} \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i0t} \,dt&=2πc_0 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i1t} \,dt&=2πc_1 \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-i2t} \,dt&=2πc_2 \\ \\ \vdots \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(t) e^{-iωt} \,dt&=2πc_ω \\ \\ \vdots \end{array}
まあこんな感じですね。
複素数の場合だと、
このようにわざわざ正弦波と余弦波に分けないで、
見た目、簡単に表すことができます。
実数のよりも、こっちのほうがシンプルですね。
まあ、証明はごちゃついてるんですけど。
最後、まとめておきます。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&\displaystyle =\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle a_k &\displaystyle =\frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&\displaystyle=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx\end{array}
実数のバージョンは↑で、
複素数のバージョンは↓です。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x) &\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle c_k &\displaystyle = \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π} f(x) e^{-ikx} \,dx \end{array}
この記事の内容を理解していれば、
これの意味はもうはっきり分かると思います。
\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle f(x)&\displaystyle =\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx & \displaystyle =a_kπ \\ \\ \displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx &\displaystyle =b_kπ\end{array}
\displaystyle\begin{array}{rlc} \displaystyle f(x) &\displaystyle =\lim_{n→\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle \int_{-π}^{π} f(x) \overline{e^{ikx}} \,dx &\displaystyle =c_k 2π\end{array}
分かりにくければこっちで覚えましょう。
こちらの方が「意味」は分かりやすいと思います。
それと発想の元についてなんですけど、
これは『三角関数の直交性』と『内積』がそれで、
δ_{nm}=\begin{cases} \displaystyle 0&n≠m \\ 1&n=m \end{cases}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \cos mx\,dx&=0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos nx \cos mx\,dx&=πδ_{nm} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin nx \sin mx\,dx&=πδ_{nm} \end{array}
イメージの基準には、
「単純な図形」の『平均の重なり』が来る感じですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle f(t)&≒a_0 \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t \\ \\ f(t)&≒a_0+a_1\cos t +b_1\sin t+a_2\cos 2t +b_2\sin 2t \\ \\ \vdots \end{array}
はい、とまあフーリエ級数については以上になります。
オイラーの公式関連については
まあよく分かんないかもしれませんが、
そこを除けば、そんなに難しくはなかったかと。
もしわからなかった場合は、
分からない箇所をちゃんと見つけて、
そこを重点的に見直してみてください。
基本的に難しいことは何も言ってません。
難しいと感じたのなら、それは気のせいです。
