宇宙 Universe


|| ゆにばーす(*^▽^*)

言っちゃえば『在るもの全部』のことです。

実体の集合という意味で「議論領域」なんて言ったりもします。

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目次


議論領域「宇宙の本質に当たる概念で、より広い意味」



グロタンディーク宇宙「集合論で作れる最大の大きさ」

フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」



構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」








代表的なものだと「実数」で閉じてるなら『実数全体』のことです。

他にも「複素数」で議論が閉じてるなら『複素数全体』になります。

いわば「その議論の中にある実体ぜんぶ」のことなので。






議論領域 Domain of Discourse


|| 基礎と、基礎から創ることができる全部のこと

いわゆる「関心の向いてる先」だとか、

「現実の実体をモデル化したもの」だとか、そんなです。




具体的には「『』の集合」になります。

基本的には「一階述語論理」でのお話ですね。

当然、それ以外の「項」の定義も含むわけですが。




数学で扱うので『一階述語論理』での説明に限定します。

その場合だと↓みたいな意味になります。



「項」から『演繹』によって得られたもの(論理式)全体の集合




『一階』での「演繹」による推論では、正しいものだけ得られます。

量化」されたものも含むので「無限」も扱えると。



『議論領域』は、それで得られるもの全てを指してます。

言い換えるなら『論理式』全体と言っても良いかもしれません。






要は「中身が分かってる入れ物(集合)」です。

全ての議論は、その中で行われてる感じ。

ですので「宇宙」は、その外側のものは含みません。




例えるなら、「なんらかの話題」の話をしてる最中に、

いきなり「別の話」が始まるとわけわかんなくなる、あの感じ。

いや、今その話してないんだけどってなりますよね。




そう、この場合は「なんかの話題」こそが『宇宙』なわけです。

別の話は、当然その話題の中には含まれません。







グロタンディーク宇宙 Grothendieck


|| 意味のある中でもっともでかいサイズ

要は「数学的に扱えるもの全て」のことになります。



ちょっとあり得ないくらい凄まじく広いです。

更に言うと、ほとんどの中身は人間には扱えません。

ただ、人間に扱えるものは間違いなく内包しています。




そんな「グロタンディーク宇宙 U 」は、

↓の 4 つの性質を満たします。



・推移的集合『 (S_X∈S_Y∈U)⇒(S_X∈U)

・対の公理『 (e_x,e_y∈U)⇒(\{e_x,e_y\}∈U)

・冪集合の公理『 (S∈U)⇒(2^S∈U)

・和集合の公理『 (\{S_α\}_{α∈I}∈U)∧(I∈U) 』なら、

\displaystyle \left(\bigcup_{α∈I}S_α\right)∈U




見ての通り、主に「操作」に関する決め事が主です。

これを元にしてみてみれば、数学で使う集合が全部導けます。




小さいものを作りたいなら、

『推移的集合』の性質を使えば、一番下まで行けます。

そこでは任意(なんでも)の「単元集合(要素が一個)」があります。




大きなものを作りたいのであれば、

ペアを作りたいなら『対の公理』を利用して。

別のと別のを一緒にするなら『和集合の公理』を用いて。

もとのやつより確実にでかいのを作るなら『冪集合の公理』を使って。






示すと長くなるので、また別に書きます。



それと、これの存在は『到達不能基数』の存在と同値です。

これについての説明も長くなるので別の記事で扱います。







フォン・ノイマン宇宙 Von Neumann


|| 直観でわかるものを全部集めてみました

これは『順序数』基準で作られた「宇宙」になります。

『順序数』由来なんで、かなり直観に近いです。




「順序数」で作られてるんで、

作られ方は基本的に『順序数』と一緒です。




初期値はいつもの『空集合』。

V_0=∅



確実に大きくするために『冪集合』で後者を。

V_{α+1}:=2^{V_α}



『極限順序数』の場合だけは「前の集合全体」を。

\displaystyle V_α:=\bigcup_{β<α}V_β




『順序数』由来なんで『宇宙 V 』はクラスになります。

それも「真のクラス」です。集合じゃありません。




ただ、その要素になる『 V_α 』は集合です。

定義自体が『整礎的集合』なんで、ちゃんと中身が全部わかります。






なんとなくの話をすると、

ここで作られたものを使っていろいろやる感じです。

自然数とかだと、見た目、支柱っぽい場所にある集合を使います。




具体的には↓みたいな感じ。

V_0=∅

V_1=\{∅,\{∅\}\}

V_2=\{∅,\{∅\},\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\}\}\}

V_3=\{∅,\{∅\},\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\}\},…,\{∅,\{∅\},\{\{∅\}\},\{∅,\{∅\}\}\}\}



これの一番右にあるやつが自然数です。







構成可能宇宙 Costructible


|| 人間が扱えるものだけ集めてみました

恐らく考え得る限り『最小の宇宙』がこれ。



基本は↑の「フォン・ノイマン宇宙」と同じで、

2 番目の「後者」の規則に条件が加わっています。

その制約の本質が『人間に扱えるように』という感じ。




通例では、『構成可能宇宙』は「 L 」と表されます。

これもまた↑と似たように定義されてますね。




初期値は当然のように『空集合』。

L_0:=∅



『極限順序数』だった場合は、

\displaystyle L_α:=\bigcup_{β<α}L_β




『後者』について「フォン・ノイマン宇宙」と違う点は、

L_{α+1}:=\{S⊆L_α\,|\,L_α⊨φ(S)\}



ここで『 L_α⊨φ(S) 』は↓みたいな意味。

L_α の上で、命題 φ(S) が『定義可能』






これでどうして人間に扱える程度になるかは、別記事で。

ちょっとどころじゃない長さになるので小分けになるかと。



雰囲気だけ伝えるとするなら、

濃度が決まってるものの内側に納まってる上で、

更には『有限』の長さで定義できることが確定している、みたいな。

(レーヴェンハイム・スコーレムの定理などが理由)



だから、人間に扱える程度の大きさになっている、みたいな感じ。

いわゆる「帰納的に定義できる」とか、そんなです。






というわけで、大雑把な紹介に関してはこの辺りで。

詳細は小分けにして別の記事にします。