条件付き確率 Conditional Probability


|| 前に起きたことが後のことに影響する感じ

「複数の事象を考えた確率」のこと

前後を考える時は「複数回の試行」が前提に

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目次

 

条件付き確率「前に起きた上で後に起きる確率のこと」

 

   定義「全事象が変わるだけ」

 

   事前確率「前に起きたことの確率(条件付確率)」

   事後確率「後に起きたことの確率(条件付確率)」

 

   周辺確率「他の影響を考えなくていい確率」

   同時確率「二つの事象がどちらとも起きる確率」

 

 

 

 



 

「前に起きたことが後に影響を及ぼす」

これは普通の感覚です。

 

 

例えば「今日やったこと」が

「明日の成果につながる」のは当然で

ここに疑問の余地はまあ無いでしょう。

 

 

で、これはもちろん確率でも同じことが言えて

例えば「コインの表が 10 連続で出た」とします。

 

 

そしたら「その後に 10 回」コインを投げれば

まあ「ほぼほぼ間違いなく 1 回は裏が出る」だろう、と

そう人間は考えますよね?

 

 

まあ要はそういう話で

「条件付き確率」はこの感覚の説明で出てきます。

 

 

 

 

 

条件付き確率の感覚

 

「前に起きたこと」と

「その後に起きたこと」の 2 つ。

 

 

これを考えた時

例えばサイコロとかコインで考えるなら

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle U&=&\{1,2,3,4,5,6\} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{1}{6}\times \frac{1}{6} \end{array}

 

最初に「 1 が出る」

その後に「 2 が出る」

この確率はこんな感じになります。

 

 

このパターンだと前後を入れ替えても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}\times \frac{1}{6} \end{array}

 

こうなりますが

 

 

例えば「偶数が出る確率」は

2,4,6 が出る確率」なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}&=&\displaystyle \frac{3}{6}\end{array}

 

こうなって

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{3}{6} && \displaystyle \frac{2}{6} \end{array}

 

この「偶数が出る」という『事象』は

24 が出る」という『事象』と

『同時』に発生することがあり得ます。

 

 

この時の「 A が起きて B が起きる」を

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩B \end{array}

 

「両方とも起きる」の言い換えとして

「共通する部分が起きる」点から

こう書くとして

 

\begin{array}{llllll} P(A∩B)&≠&0 \\ \\ \displaystyle P(\{2\}∩\{2,4,6\})&=&P(\{2\}) \\ \\ \\ P(A∩B)&=&0 \\ \\ \displaystyle P(\{2,4\}∩\{3,5\})&=&P(\{\}) \end{array}

 

このように表現することができます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩B=\{\} &&\to&& P(A∩B)=0 \end{array}

 

で、こういう「同時に起きない事象」だと

まあ当然こんな感じになるわけですが

 

\begin{array}{cccccccccc} 1,1&1,2&1,3&1,4&1,5&1,6 \\ \\ 2,1&2,2&2,3&2,4&2,5&2,6 \\ \\ &&\vdots \end{array}

 

1 回の試行では同時に起きない」けど

「複数回の試行でならどちらも起こる」

そういうパターンを考えると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A \,|\, B)&=&\displaystyle \frac{|A∩B|}{|B|} \end{array}

 

こういうやつを考えることができる。

(記号 |A| は集合 A要素数を意味する)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A&=&\{(1,1)\} \\ \\ B&=&\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\} \end{array}

 

「最初に 1 が出た」上で

「次に 1 が出る確率」

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(A \,|\, B)&=&\displaystyle \frac{|A∩B|}{|B|} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{6} \end{array}

 

このような P(A \,|\, B)

条件付き確率と呼ばれているもので

 

 

他にも「コイン」とかで考えるなら

「1回は表が出る」という事象 A

「2回とも表が出る」という事象 B を考えた時

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle U&=&\{表表,表裏,裏表,裏裏\} \\ \\ A&=&\{表表,表裏,裏表\} \\ \\ B&=&\{表表\} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩B&=&\{表表\} \end{array}

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(B \,|\, A)&=&\displaystyle \frac{|A∩B|}{|A|} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{3} \end{array}

 

その確率はこのように表現されます。

 

 

 

 

 

条件付き確率の定義

 

定義自体は意外と直感的です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|B|} \end{array}

 

全事象 U ではなく

事象 B を全体とする確率がこれで

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(A)&=&\displaystyle\frac{|A|}{|U|} \\ \\ \displaystyle P(B)&=&\displaystyle\frac{|B|}{|U|} \\ \\ \displaystyle P(A∩B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|U|} \end{array}

 

まあこんな感じ。

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|B|} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{\frac{|A∩B|}{|U|}}{\frac{|B|}{|U|}} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{P(A∩B)}{P(B)} \\ \\ \displaystyle P(A\,|\,B)P(B)&=&P(A∩B) \end{array}

 

で、これはこのような関係を持ちます。

 

 

 

 

 

条件付き確率の意味

 

事象 B が起こった上で

事象 A が起きる確率

なんて言われたりします。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|B|} \end{array}

 

実態は

「事象 B が起こる全ての事象の数」で

「事象 A∩B が起こる全ての事象の数」を割った数

 

 

つまり「 B 上の A の割合」って感じで

B を全事象に置き換える感じになっています。

A∩B は真ん中の濃いとこ)

 

 

 


 


事前確率 Prior Probability

 

|| 前の事象が起きる確率

相対的に見て「前に起きる事象の確率」のこと。

基本的に「事前と事後はセット」になります。

 

P(E_{\mathrm{pre}}\,|\,E_{\mathrm{af}})

 

記号の表現は見ての通りそのまま。

 

 


 

 

事後確率 Posterior Probability

 

|| 後の事象が起きる確率のこと

「事前の影響をうけるかもしれない確率」のこと。

 

P(E_{\mathrm{af}}\,|\,E_{\mathrm{pre}})

 

これもそのまま。

「事前」とセットで定められます。

 

 

ちなみに「事前」の影響を受けない時

これは単に「 P(E_{\mathrm{af}}) 」と表せます。

(この場合は事前確率も P(E_{\mathrm{pre}}) になることが)

 

 


 

 

周辺確率 Marginal Probability

 

|| 他の影響を受けない事象の確率

「影響を考えなくても良い確率」のこと。

まあ要は直観的で一般的な確率のことで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A∩B)&=&P(A) P(B)\end{array}

 

「あらゆる事象 B 」と比較して

↓ のようになる事象 A

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |A∩B|&≤&1 \end{array}

 

1 元集合である』が仮定された

「基礎となる事象」の確率を

「周辺確率」と言います。

 

\begin{array}{ccrrrrrrrrrrr} \displaystyle & &\displaystyle \textcolor{pink}{\frac{1}{3}} & \displaystyle \textcolor{pink}{\frac{1}{2}} &\displaystyle \textcolor{pink}{\frac{1}{6}} \\ \\ \\ \displaystyle \textcolor{pink}{\frac{1}{3}} &&\displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3} &\displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} &\displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{6} \\ \\ \displaystyle \textcolor{pink}{\frac{1}{2}}&&\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{1}{3} &\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} &\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{1}{6} \\ \\ \displaystyle \textcolor{pink}{\frac{1}{6}}&&\displaystyle\frac{1}{6}\times\frac{1}{3} &\displaystyle\frac{1}{6}\times\frac{1}{2} &\displaystyle\frac{1}{6}\times\frac{1}{6} \end{array}

 

「周辺」の由来は表にすると分かると思います。

(この時の表の中にあるやつが同時確率)

 

 

ちなみに「サイコロ」とかだと

1 回ふって 1 が出る確率」

みたいなのが周辺確率です。

 

 


 

 

同時確率 Simultaneous Probability

 

|| 一緒に起きる確率

「2つの事象がどちらも起きる確率」のこと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A∩B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|U|} \end{array}

 

「事象 A が起きる」上で

「事象 B も起きる確率」がこれ

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(\{2,4,6\}∩\{2,4\})&=&\displaystyle \frac{|\{2,4,6\}∩\{2,4\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{|\{2,4\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{2}{6} \\ \\ \\ \displaystyle P(\{2,4,6\}∩\{1,3,5\})&=&\displaystyle \frac{|\{2,4,6\}∩\{1,3,5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{|\{\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{0}{6} \end{array}

 

「同時に起きない(排反)」時は当然 0 です。

 

 

 

 

 

前後

 

「試行回数」が 2 以上で考える時

「前後」という概念が登場します。

 

\begin{array}{llllll} P(A \,|\, B)&=&P(A) \\ \\ P(B \,|\, A)&=&P(B) \end{array}

 

1 回目で 1 が出る」

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) \end{array}

 

2 回目で 2 が出る」

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (1,2),(2,2),(2,2),(4,2),(5,2),(6,2) \end{array}

 

これらの元となる事象

1 が出る」「 2 が出る」は

互いに影響を及ぼさないので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}\times\frac{1}{6} \end{array}

 

同時確率はこう。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle B&=&\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\} \\ \\ A&=&\{(1,2),(2,2),(2,2),(4,2),(5,2),(6,2)\} \end{array}

 

事象をこのようにしてみても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩B&=&\{(1,2)\} \end{array}

 

\begin{array}{cccl} \displaystyle P(B)&=&\displaystyle\frac{|B|}{|U|} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{6}{36} \\ \\ \displaystyle P(A)&=&\displaystyle\frac{|A|}{|U|} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{6}{36} \end{array}

 

これはまあ当然こうなるし

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle P(A∩B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|U|} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{36} \end{array}

 

1 回目で 1 が出る」

その上で「 2 回目で 2 が出る確率」

というのはこのようになります。

 

 

 

この時

事象 A が「前」

事象 B を「後」と考えることができて

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(A \,|\, B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|B|} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{|(1,2)|}{|{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}|} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A∩B)&=&P(A \,|\, B)P(B) \end{array}

 

2 回目の確率』については

このように考えることができるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(E_{\mathrm{pre}}∩E_{\mathrm{af}})&=&P(E_{\mathrm{af}} \,|\, E_{\mathrm{pre}})P(E_{\mathrm{pre}}) \end{array}

 

同時確率はこのように定めることができます。

(「試行回数 2 回」で 1 回という感じで)

 

 

 

 

 

以上が「条件付き確率」の感じになります。

 

 

ベイズ統計学」の基礎となる

ベイズの定理」なんかで出てくるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A \,|\, B)&=&P(B \,|\, A)P(A) \\ \\ P(A \,|\, B)P(B)&=&\displaystyle \frac{P(B \,|\, A)P(A)}{P(B)} \end{array}

 

これを理解したい場合

この「条件付き確率」は必須になります。