|| なんか入ってる枠っぽいもの
まずは『集合論』の確認からお願いします。
『集合』についての基礎知識はここに載っていますので。
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目次
・集合演算「集合を使ってできる操作」
基本的な演算
和集合「集合と集合を合体させる」
積集合「集合と集合の共通部分だけを抜き出す」
補集合「その集合以外の要素を抜き出す」
差集合「集合から、ある集合の要素を取り除く」
特殊な演算
冪集合「ある集合の部分集合を全部集めた集合」
直積集合「集合の要素を別の集合と対にした集合」
商集合「ある条件で仕分けした集合」
類別「集合を余さず区分けするやり方」
同値類「ある条件に合う要素だけを抜き取る」
まず基本的な知識をざっと確認。
・集合「中身が分かる輪っかみたいなもの」
・元（要素）「集合の中身のこと」
・空集合「中身が無いことが分かってる集合のこと」
・外延的記法「定義の方法で、中身を全部書くやつ」
・内延的記法「定義の方法で、中身の条件だけ書くやつ」
・帰属関係「なにが集合の元（要素）かを表すやつのこと」
・包含関係「なにが集合の一部分かを示すやつのこと」
以上、基礎的な知識の概要はこんな感じ。
集合演算 Set Operations
|| 集合に対して定義できる操作
「集合」の間にある「演算」のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle A∪B&:=&\{x \mid x∈A∨x∈B\} \\ \\ A \cap B &:=& \{x \mid x∈A∧x∈B\} \\ \\ A^C&:=&\{x \mid x∉A\} \\ \\ A\setminus B&:=&\{x \mid x∈A∧x∉B\} \\ \\ \\ 2^A&:=& \{A \mid A⊆S\} \\ \\ A×B&:=&\{(a,b) \mid a∈A∧b∈B\} \\ \\ A/R&:=&\{a∈A \mid aRb\} \end{array}
集合演算って言ったら、だいたい
「ある集合から新しい集合を作る」やつを指します。
感覚的には「数字」のやつと似たようなものですね。
\begin{array}{lllll} \displaystyle A∪B&:=&\{x \mid x∈A∨x∈B\} \\ \\ a+b&=&c \end{array}
というか、この数値計算は集合演算で定義されています。
基礎的と言えるのは、どっちかというと集合演算の方です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \cup && \mathrm{Union} \\ \\ \cap && \mathrm{Intersection} \\ \\ {}^C&&\mathrm{Complement} \\ \\ \setminus && \mathrm{Minus} \\ \\ \\ 2^\mathrm{Set}&&\mathrm{Power} \\ \\ ×&&\mathrm{Direct} \\ \\ /&&\mathrm{Quotient} \end{array}
よく使われるのは 4+3 個あります。
他はあんま見ないので、出てきたら調べましょう。
ただ「配置集合」だけはどこかでやるべきかも？
というのも、これは「写像を要素とする集合」
っていうのを扱う上では基本になるので。
基本的な集合演算
基本的なもの「 4 」つ。
\begin{array}{llllllll} \displaystyle A∪B&:=&\{x \mid x∈A∨x∈B\} \\ \\ A \cap B &:=& \{x \mid x∈A∧x∈B\} \\ \\ A^C&:=&\{x \mid x∉A\} \\ \\ A\setminus B&:=&\{x \mid x∈A∧x∉B\} \end{array}
「 := 」この記号の意味は、
「左のやつを、右みたいに定義します」って意味です。
説明のための準備
もとい「記号の意味」を以下のように定めます。
「 x 」は「個体」
「 A,B 」は「集合」を表す記号
「 x∈A 」と「 x∈B 」は論理式（命題）
「命題記号」は命題論理のもの
和集合・合併 Union
|| 集合の足し算みたいなやつ
「命題記号」の「 ∨ 」に相当します。
感覚的には「集合」の『足し算』的なやつです。
\begin{array}{lllllll} \displaystyle A∪B&:=&\{x \mid x∈A∨x∈B\} \end{array}
繰り返しになりますが
この操作は「新しい集合」を作ってます。
この事実は地味に大切なので覚えておきましょう。
和集合を無限回行う場合
「有限回」の和集合操作については
↑ と同様の形式で説明できますが
\begin{array}{ccc}\displaystyle \bigcup_{n=1}^{k} A_n&=& \{ x \mid x\in A_1 ∨ x\in A_2 ∨ \cdots ∨ x\in A_k \} \end{array}
「無限回」行う場合
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n&=& \{ x \mid x\in A_1 ∨ \cdots ∨ x\in A_k ∨ \cdots \} \end{array}
右側の点々の部分が曖昧になるので
うまく説明できません。
そこで必要になるのが
\begin{array}{ccc} \exists n\in N \,\, x\in A_n &\equiv&\displaystyle \Bigl( \bigvee_{n\in N} x\in A_n \Bigr) \,\, \mathrm{is \,\, True} \end{array}
これを使うことによって
「和集合」操作の「無限回」は
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n&=& \{ x \mid \exists n\in N \,\, x\in A_n \} \\ \\ \displaystyle\bigcup_{λ\in Λ} A_λ&=& \{ x \mid \exists λ\in Λ \,\, x\in A_λ \} \end{array}
このような形で定義されています。
（自然数 N の範囲よりも大きくとれる）
積集合・共通部分 Intersection
|| 確率の感じで見ると確かに積っぽい感覚
「命題記号」の「 ∧ 」に相当するやつ
\begin{array}{llllllll} \displaystyle A \cap B &:=& \{x \mid x∈A∧x∈B\} \end{array}
「四則演算」の中にはないやつで
「どっちにもある要素」だけをこの操作は取り出します。
また「無限回」の操作については
「和集合」と同様
\begin{array}{ccc} \forall n\in N \,\, x\in A_n &\equiv&\displaystyle \Bigl( \bigwedge_{n\in N} x\in A_n \Bigr) \,\, \mathrm{is \,\, True} \end{array}
「全称量化」によって
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n&=& \{ x \mid \forall n\in N \,\, x\in A_n \} \\ \\ \displaystyle\bigcap_{λ\in Λ} A_λ&=& \{ x \mid \forall λ\in Λ \,\, x\in A_λ \} \end{array}
このような形で定義されています。
補集合 Complement
|| その他、みたいな感じのもの
「命題記号」の「否定」に当たるやつ。
\begin{array}{lllll} \displaystyle A^C&:=&\{x \mid x∉A\} \\ \\ \overline{A} &:=&\{x \mid x∉A\} \end{array}
引き算っぽいけど、これも「四則演算」にはないかも。
全体と補集合
「補集合（それ以外）」を扱うには、
当然「 A とそれ以外」を含む『全体』が無いといけません。
\begin{array}{llll} \displaystyle U&=&A∪A^C \end{array}
まあつまりこういう「全体集合 U 」が必要で、
「補集合」を扱う場合、これは意識する必要があります。
差集合 Set Difference
|| 引き算みたいなやつ
これは↑のと違って「命題記号」には無いやつですね。
「四則演算」の「引き算」に似ています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle A\setminus B&:=&\{x \mid x∈A∧x∉B\} \end{array}
「要素を取り除く」感じの操作で、
定義には「積集合」と「補集合」が使われてます。
以上、基本的なものはこんな感じです。
ただ、よく使われるものは他にも「 3 」つあるんで、
それらも合わせて基本だと思った方が良いかもしれません。
冪集合 Power Set
|| 集合の部分集合を全部集めるやつ
これはパッと説明するのが難しいです。
具体例を見せた方が分かり易いかもしれません。
\begin{array}{llllllll} \displaystyle 2^S &:=&\{A \mid A⊆S\} \\ \\ \mathcal{P}(S)&:=&\{A \mid A⊆S\} \\ \\ \mathfrak{P}(S)&:=&\{A \mid A⊆S\} \\ \\ \mathrm{Power}(S) &:=&\{A \mid A⊆S\} \end{array}
「ある集合 S 」の
「部分集合 A を全部集めた集合」のことなんですけど、
なんというか、字面がちょっと酷い。
これだけじゃよくわからんと思います。
具体例
具体例の為に、元（Original）の集合 S を用意します。
とりあえず「 S=\{1,2,3\} 」としましょうか。
そうするとこの「冪集合」は↓なんですが
\begin{array}{lllll} 2^S&=&\{∅, \\ \\ &&\{1\},\{2\},\{3\}, \\ \\ &&\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}, \\ \\ &&\{1,2,3\}\} \end{array}
これ、分かりますか？
特に「空集合 ∅ 」が入る部分とか
ちょっと疑問だと思うんですけど。
部分集合と空集合
結論から言っておくと、
「空集合（中身の無い集合）」は、
『全ての集合の部分集合』になります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{\}&⊂& \{\} \\ \\ \{\}&⊂& \mathrm{Set}_{\mathrm{any}} \end{array}
いやなんで？と思うのは当然なんですけど、
これはまあ、ぶっちゃけ「決まり（ルール）」で、
\begin{array}{rlc} \displaystyle 2^∅&=&\{ ∅ , \{∅\} \} \end{array}
こういうことも出来ていろいろ都合が良いし、
そういう風に見なしても特に問題が無い。
だからこうなってる、って感じです。
2 の由来
表記「 2^S 」の 2 の由来は
冪集合の「要素の数」から来ています。
\begin{array}{llllll} \mathrm{Set} \\ \\ \displaystyle 2^{\mathrm{Set}} \\ \\ \\ \mathrm{Cardinal}(\mathrm{Set})&=&n \\ \\ \mathrm{Cardinal}(2^{ \mathrm{Set} }) &=&2^n \end{array}
とだけ言われても分からんと思いますが、
『二項定理』を知ってる人はピンと来るかも？
というのも、このべき集合の操作を行うと、
出来上がった冪集合の要素は
必ず「 2^{ Sの要素数} 個」になるんですよ。
例えば「要素数 2 」なら、
「要素を 0 個選んで作った集合（空集合）」と、
「要素を 1 個選んで作った集合（一元集合）」と、
「要素を 2 個選んで作った集合（全体）」
これが「冪集合」の『要素』なので、
\begin{array}{lllll} \displaystyle {}_{2}\mathrm{C}_{0}&&{}_{2}\mathrm{C}_{1}&&{}_{2}\mathrm{C}_{2} \end{array}
要素数はこの合計ですから、
全部足すと「 1+2+1=4=2^2 」になりますよね。
いや、結果論じゃん と思うかもしれませんが、
実はこれを「一般化」して考えると、
つまり「要素数 n 」で考えると、
「要素を 0 個選んで作った集合（空集合）」
「要素を 1 個選んで作った集合」
「要素を 2 個選んで作った集合」
\vdots
「要素を n-1 個選んで作った集合」
「要素を n 個選んで作った集合（全体）」
こうですから、
「要素数」の全体は必ず↓のように。
\begin{array}{llllll} \displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}+…+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}&=&\displaystyle \sum_{i=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{i} \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{n}1^{i} \cdot 1^{n-i}{}_{n}\mathrm{C}_{i} \\ \\ &=&(1+1)^n &(∵\mathrm{Binomial\,theorem}) \\ \\ &=&2^n \end{array}
つまり結果論じゃなく、
ちゃんと要素数は「 2^n 個」になるんですよ。
直積集合 Direct Product
|| 軸を二つ以上使って図形を作る、あの感じ
これは「ペア・セット」を作るやつです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle A×B&=&\{(a,b) \mid a∈A∧b∈B\} \end{array}
なにか「元・要素」があったとして、
それとそれ、を１つのものにする時に使われます。
\begin{array}{lllllll} \displaystyle A_1×A_2×…×A_n \\ \\ :=\{(a_1,a_2,...,a_n)\,|\,a_1∈A_1∧a_2∈A_2∧…∧a_n∈A_n\} \end{array}
これは一般化形式の方が良く見るかも？
まあ、このままの形を見るわけではありませんが、
具体例はわりとこの形式だと思います。
直積集合の具体例
実はこれ、みんなよく使ってます。
例えば「因果関係」なんかはこれで、
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ (c,r) \mid c\in\mathrm{Cause} ∧ r\in\mathrm{Result} \} \end{array}
「あれ（原因）」だと「これ（結果）」になる、みたいな
こういう要領で直積集合は使われていたりします。
（この例だと主に統計とかもこれ）
視覚的には「座標」を考えればよくて、
例えば「 a,b を x,y 」に置き換えてみると、
(x,y) が「座標」を表しているのが分かると思います。
この他にも、例えばプログラミングなら、
これは「リスト」を表現する時にも使われていて、
\begin{array}{lllllcccll} \displaystyle \mathrm{Set}_{\mathrm{attribute}}&&=&&( &\mathrm{ID} ,&\mathrm{Name},&\mathrm{Age} &) \\ \\ \mathrm{Set}_{\mathrm{list}}&&=&&(& 0001,&\mathrm{Maeda}, &37 &) \end{array}
例えば「データベース」の「レコード」なんかは、
実は「直積集合」の形をとっています。
商集合 Quotient Set
|| 分けて新しいのを作るやつ
名前の通り「割り算」っぽいやつです。
\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathrm{Set}/R&=&\{e∈\mathrm{Set} \mid e \, R \, \mathrm{variable}\} \end{array}
「関係 R 」とするとこんな感じで、
この条件を元に「集合」をいくつかに「分割」
そうやってできた「分割された部分集合」を
『全て集めた集合』を「商集合」と呼びます。
商集合のルール
↑の説明だけだとよくわからんと思います。
というのも、これは本当に「分割」で、
『中身』を「いくつかのまとまり」にするんですよ。
まあつまり「類別」ってやつをするんですが、
そもそもこの言葉の意味が分からんですよね。
要は「要素」について、
抜けたりしちゃだめ、増えてもだめ、重複もだめ
みたいなルールがある感じなんですが
まあとりあえず、
まずは「類別」についての話をしてみます。
類別 Classification
|| 仕切りを使って分ける感じ
これは「グループ分け」と考えて良いです。
\begin{array}{lllll} S&=&\{α,β,γ,ω,χ,ε,ζ\} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ &\{α,β\},&\{γ\},&\{ω,χ,ε,ζ\} &\} \end{array}
実際に「類別」するとこんな感じで、
「仕切り」みたいなもので集合を分割している
っていうのが分かると思います。
で、これ見てわかると思うんですが、
これはあくまで「仕切りによる分割」なので、
要素が不足してはいけません
要素が増えてはいけません
要素が重複してはいけません
以上、これが「類別」なんですが、
どうでしょうか。なんとなくでも分かりましたか？
同値類 Equivalence Class
|| 同じってことにしたやつで分ける感じ
なんかの決まりで分けたもの。
厳密に言うなら、
「同値関係」を使った「類別」でできた
「要素」にあたる『集合の１つ』です。
いわゆる「 \mathrm{if} 文」的なやつで、
これは『条件に合う要素だけでできた集合』を指します。
どういうことかというと、
例えば「同値関係 R 」があって、
それを「 kRn 」みたいに書くとして、
とりあえずこの kRn を
「 k は n と合同（法は 2 ）」と読んでみます。
具体的には k≡2 \,\, (\mathrm{mod} \, 2) みたいな感じで。
\begin{array}{lllll} \displaystyle \{\{1,3,5,7,...\},\{2,4,6,8,...\}\} \end{array}
すると「同値類」ごとに「類別」すれば、
k,n の範囲を自然数に限定すればこうなるわけで
つまり、この時の『同値類』は
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{1,3,5,7,...\} \\ \\ \{2,4,6,8,...\} \end{array}
この２つを指している、と。
まあ要はこんな感じです。
ちなみに代表的な同値関係は
=,\equiv,\equiv_{T} こういうのがあります。