|| なんか入ってる枠っぽいもの
まずは『集合論』の確認からお願いします。
『集合』についての基礎知識はそこに載っています。
スポンサーリンク
目次
・集合演算「集合を使ってできる操作」
基本的な演算
和集合「集合と集合を合体させる」
積集合「集合と集合の共通部分だけを抜き出す」
補集合「その集合以外の要素を抜き出す」
差集合「集合から、ある集合の要素を取り除く」
特殊な演算
冪集合「ある集合の部分集合を全部集めた集合」
直積集合「集合の要素を別の集合と対にした集合」
商集合「ある条件で仕分けした集合」
類別「集合を余さず区分けするやり方」
同値類「ある条件に合う要素だけを抜き取る」
まず基本的な知識をざっと確認しましょうか。
・集合「中身が分かる輪っかみたいなもの」
・元（要素）「集合の中身のこと」
・空集合「中身が無いことが分かってる集合のこと」
・外延的記法「定義の方法で、中身を全部書くやつ」
・内延的記法「定義の方法で、条件だけ書くやつ」
・帰属関係「なにが集合の元（要素）かを表す関係のこと」
・包含関係「なにが集合の一部分かを示す関係のこと」
以上が、基礎的な知識の概要になります。
というわけで、もっと詳しく見ていきましょうか。
集合演算 Set Operations
|| 集合に対して定義できる操作
「集合」の間にある「演算」のことです。
二つの「集合」から「新しい集合」を作ります。
感覚的には「数」と同じようなものです。
あれも、例えば「 + 」を使って「新しい数」を作りますよね。
そんな感じです。
良く使われるものだけ、とりあえず「 7 」つ紹介します。
他はあんまり見ないんで、覚えなくても良いでしょう。
ただ「配置集合」だけはどこかでやるべきかも。
なにせ「写像」を「要素」とする「集合」がこれなので。
（でも後回し）
基本的なものを「 4 」つ。
色々書くのめんどくさいので記号を使います。
「左のやつを、右みたいに定義します」って意味の記号とか。
「 := 」
準備のための宣言を、とりあえず形だけ。
「 x 」は「個体」として、
「 A,B 」は「集合」を表すことにします。
「 x∈A 」と「 x∈B 」は論理式（命題）です。
「命題記号」も使います。
和集合・合併 Union
|| 集合の足し算みたいな
「命題記号」の「 ∨ 」に相当するやつ。
「集合」の足し算的なものです。
繰り返しになりますが、「新しい集合」を作ってます。
これが地味に大事な話なのでしっかり押さえときましょう。
形式的な定義は↓
A∪B:=\{x\,|\,x∈A∨x∈B\}
以上が「和集合」の決まりになります。
基本の基本みたいなやつなので確実に押さえましょう。
積集合・共通部分 Intersection
|| 確率の感じで見ると、確かに積っぽい感じ
「命題記号」の「 ∧ 」がこれに該当します。
これは「四則演算」の中にはないやつですね。
「どっちにも共通する要素」だけを抜き出して新しく作ります。
形式は『 A∩B:=\{x\,|\,x∈A∧x∈B\} 』
補集合 Complement
|| その他、みたいな感じのもの
「命題記号」の「否定」に当たるやつ。
これも引き算っぽいけど、「四則演算」にはないかも。
形式的な定義は↓
A^C:=\{x\,|\,x∉A\}
他にも『 \overline{A} 』とも書かれます。
これを扱うには、当然「 A 」を含むとして、
「 A 」以外も含む「全体」が無いといけません。
それを「全体集合 U 」とします。
だから必ず『 U=A∪A^C 』になることに注意。
差集合 Set Difference
|| 引き算みたいなやつ
これは「命題記号」には無いやつですね。
「四則演算」の「引き算」に当たるやつです。
A\,∖\,B:=\{x\,|\,x∈A∧x∉B\}
こうやって定義されてます。
「積集合」と「補集合」を使って定義されてますね。
続いて、特殊なものを「 3 」つ。
冪集合 Power Set
|| 集合の集合を作るやつ
これはパッと説明するのが難しいです。
具体例を見せた方が、どういうものか分かり易いかと。
強いて一言で表すなら、
「部分集合を全部集めた集合」のことです。
「 A 」を「 S 」の「部分集合」だとします。
このとき、形式的には↓みたいに表されます。
『 P(S):=\{A\,|\,A⊆S\} 』（集合が要素です）
『 2^S,Power(S) 』などとも書かれます。
具体例
具体例の為に、元（Original）の集合を用意します。
とりあえず「 S=\{1,2,3\} 」としましょうか。
そうしたら、この「冪集合」は↓です。
2^S=\{∅,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}
「冪集合」はこんな感じになります。
いわば「集合の集合」を作る操作というわけです。
めっちゃ大事なので確実に覚えておきましょう。
それと見て分かる通り、その性質上、
「元となった集合」と「空集合」を必ず含みます。
なので「空集合の冪集合」は『 2^∅=\{∅,\{∅\}\} 』です。
（これが数学の本質にめっちゃ近い）
表記の「 2 」の由来は「要素の数」です。
『二項定理』から分かる通り、その「要素数」は、
必ず「 2 」を「元の集合の要素数」回掛けたものになります。
例えば「要素数 2 」なら、
「要素を 0 個選んで作った集合（空集合）」と、
「要素を 1 個選んで作った集合（一元集合）」と、
「要素を 2 個選んで作った集合（全体）」
これが「冪集合」の『要素』になります。
要素数は上から「 {}_{2}\mathrm{C}_{0},{}_{2}\mathrm{C}_{1},{}_{2}\mathrm{C}_{2} 」（数え上げ）
全部足すと「 1+2+1=4=2^2 」になります。
いや、結果論じゃん。
となると思うんで、これを「一般化」して考えると、
つまり「要素数 n 」で考えると、
「要素を 0 個選んで作った集合（空集合）」
「要素を 1 個選んで作った集合」
「要素を 2 個選んで作った集合」
…
「要素を n-1 個選んで作った集合」
「要素を n 個選んで作った集合（全体）」
「要素数」の全体は↓です。
\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}+…+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}=\sum_{i=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{i}
\displaystyle =\sum_{i=0}^{n}1^{i} \cdot 1^{n-i}{}_{n}\mathrm{C}_{i}=(1+1)^n\,\,\,\,\,(∵\mathrm{Binomial\,theorem})
=2^n
結果論じゃなく、ちゃんと「 2^n 」になりました。
個人的にはちょっとした感動を覚えます。
そしてこの性質から「 2^S 」と表されるわけですね。
これも確実に押さえておいた方が良いです。
直積集合 Direct Product
|| 軸を二つ以上使って図形を作る、あの感じ
これは「ペア・セット」を作るやつです。
なにか「元・要素」があったとして、
それとそれ、を一つのものとしてみなすときに使われます。
これだけだとなんじゃらほいですが、みんなよく使ってます。
例えば因果関係なんかはこれ使ってますね。
「あれ（原因）」だと「これ（結果）」になる、みたいな。
馴染み深いものだと「面積」なんかもそうです。
厳密には「面積」を決める「前の段階」だと思ってください。
というわけで形式を見ていきましょう。
A×B=\{(a,b)\,|\,a∈A∧b∈B\}
この「組み合わせ」の集まりが「直積集合」です。
いや、なんか分からんって人は、
とりあえず「 a,b を x,y 」に置き換えてみてください。
馴染みのある「 x,y 軸の平面」を表してることが分かります。
これを一般化するとちょっとエグい感じになります。↓
『A_1×A_2×…×A_n:=
\{(a_1,a_2,...,a_n)\,|\,a_1∈A_1∧a_2∈A_2∧…∧a_n∈A_n\} 』
これをもっと一般化できるんですが、いやもうそれはあれで。
それに「基数」を使わないと説明が難しいので、省略します。
商集合 Quotient Set
|| 分けて新しいのを作るやつ
名前の通り「割り算」っぽいやつです。
「集合」をいくつかに「分割」した「集合」になります。
「分割」なので「要素」がなにか抜けたりしちゃだめです。
もちろん増えてもだめです。重複もだめ。
形式的には「類別」を行った結果できた「集合」です。
（単に分けただけって考えてOK）
「同値関係」（あれとそれは同じだよ）が与えられてるときは、
「 R 」をなんらか（ modulo とか）の「二項関係」とすると、
「 S/R=\{e∈S\,|\,eRc\} 」みたいに書かれます。
類別 Classification
|| 仕切りを使って分ける感じ
「グループ分け」と考えて良いです。
これはもうさっさと具体例を見ちゃいましょう。
なんか「集合」を用意します。
「 S=\{α,β,γ,ω,χ,ε,ζ\} 」
これを、とりあえず適当に「類別」してみます。
すると↓みたいになります。
『 {\{α,β\},\{γ\},\{ω,χ,ε,ζ\}} 』
はい、というわけでこれが「類別」です。
そんだけ？と思うかもしれませんが、そんだけです。
ただし、以下のことは守りましょう。
「要素が不足してはいけません」
「要素が増えてはいけません」
「要素が重複してはいけません」
これを守って分けるのが、類別です。
感覚的には「増えない」「減らない」「余らせない」って感じ。
同値類 Equivalence Class
|| 同じってことにしたやつで分ける感じ
なんかの決まりで分けたものですね。
厳密に言うなら「同値関係」を使った「類別」の『過程』です。
こんだけじゃよく分かんないと思うんで、
とりあえずどういうのか見てみましょう。
なんか「同値関係」の「 R 」があって、
それを「 aRb 」みたいに書いて、
『 a と b は偶数』と読んでみます。
（厳密には 2 で割った余りが等しいなどが良し）
これで「同値類」ごとに「類別」すると、
「自然数 \mathbb{N} 」なら、
『 \{\{1,3,5,7,...\},\{2,4,6,8,...\}\} 』ってなります。
つまりこのときの『同値類』とは「 {1,3,5,7,…} 」です。
具体例で見ると分かり易いですね。