集合 Set


|| なんか入ってる枠っぽいもの

まずは『集合論』の確認からお願いします。

集合』についての基礎知識はそこに載っています。

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目次


集合演算「集合を使ってできる操作」


   基本的な演算

      和集合「集合と集合を合体させる」

      積集合「集合と集合の共通部分だけを抜き出す」

      補集合「その集合以外の要素を抜き出す」

      差集合「集合から、ある集合の要素を取り除く」


   特殊な演算

      冪集合「ある集合の部分集合を全部集めた集合」

      直積集合「集合の要素を別の集合と対にした集合」

      商集合「ある条件で仕分けした集合」

         類別「集合を余さず区分けするやり方」

         同値類「ある条件に合う要素だけを抜き取る」







まず基本的な知識をざっと確認しましょうか。



集合「中身が分かる輪っかみたいなもの」

要素)「集合の中身のこと」

空集合「中身が無いことが分かってる集合のこと」



外延的記法「定義の方法で、中身を全部書くやつ」

内延的記法「定義の方法で、条件だけ書くやつ」



帰属関係「なにが集合の元(要素)かを表す関係のこと」

包含関係「なにが集合の一部分かを示す関係のこと」






以上が、基礎的な知識の概要になります。

というわけで、もっと詳しく見ていきましょうか。







集合演算 Set Operations


|| 集合に対して定義できる操作

「集合」の間にある「演算」のことです。

二つの「集合」から「新しい集合」を作ります。



感覚的には「数」と同じようなものです。

あれも、例えば「 + 」を使って「新しい数」を作りますよね。

そんな感じです。




良く使われるものだけ、とりあえず「 7 」つ紹介します。

他はあんまり見ないんで、覚えなくても良いでしょう。




ただ「配置集合」だけはどこかでやるべきかも。

なにせ「写像」を「要素」とする「集合」がこれなので。

(でも後回し)







基本的なものを「 4 」つ。



色々書くのめんどくさいので記号を使います。

「左のやつを、右みたいに定義します」って意味の記号とか。

:=




準備のための宣言を、とりあえず形だけ。



x 」は「個体」として、

A,B 」は「集合」を表すことにします。

x∈A 」と「 x∈B 」は論理式(命題)です。



命題記号」も使います。






和集合・合併 Union


|| 集合の足し算みたいな

「命題記号」の「 」に相当するやつ。

「集合」の足し算的なものです。



繰り返しになりますが、「新しい集合」を作ってます。

これが地味に大事な話なのでしっかり押さえときましょう。




形式的な定義は↓



A∪B:=\{x\,|\,x∈A∨x∈B\}



以上が「和集合」の決まりになります。

基本の基本みたいなやつなので確実に押さえましょう。






積集合・共通部分 Intersection


|| 確率の感じで見ると、確かに積っぽい感じ

「命題記号」の「 」がこれに該当します。

これは「四則演算」の中にはないやつですね。



「どっちにも共通する要素」だけを抜き出して新しく作ります。


形式は『 A∩B:=\{x\,|\,x∈A∧x∈B\}






補集合 Complement


|| その他、みたいな感じのもの

「命題記号」の「否定」に当たるやつ。

これも引き算っぽいけど、「四則演算」にはないかも。




形式的な定義は↓


A^C:=\{x\,|\,x∉A\}



他にも『 \overline{A} 』とも書かれます。




これを扱うには、当然「 A 」を含むとして、

A 」以外も含む「全体」が無いといけません。

それを「全体集合 U 」とします。



だから必ず『 U=A∪A^C 』になることに注意。






差集合 Set Difference


|| 引き算みたいなやつ

これは「命題記号」には無いやつですね。

「四則演算」の「引き算」に当たるやつです。



A\,∖\,B:=\{x\,|\,x∈A∧x∉B\}



こうやって定義されてます。

「積集合」と「補集合」を使って定義されてますね。







続いて、特殊なものを「 3 」つ。




冪集合 Power Set


|| 集合の集合を作るやつ

これはパッと説明するのが難しいです。

具体例を見せた方が、どういうものか分かり易いかと。



強いて一言で表すなら、

「部分集合を全部集めた集合」のことです。




A 」を「 S 」の「部分集合」だとします。

このとき、形式的には↓みたいに表されます。



P(S):=\{A\,|\,A⊆S\} 』(集合が要素です)

2^S,Power(S) 』などとも書かれます。






具体例


具体例の為に、元(Original)の集合を用意します。

とりあえず「 S=\{1,2,3\} 」としましょうか。



そうしたら、この「冪集合」は↓です。

2^S=\{∅,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}




「冪集合」はこんな感じになります。

いわば「集合の集合」を作る操作というわけです。



めっちゃ大事なので確実に覚えておきましょう。






それと見て分かる通り、その性質上、

「元となった集合」と「空集合」を必ず含みます。



なので「空集合の冪集合」は『 2^∅=\{∅,\{∅\}\} 』です。

(これが数学の本質にめっちゃ近い)






表記の「 2 」の由来は「要素の数」です。

『二項定理』から分かる通り、その「要素数」は、

必ず「 2 」を「元の集合の要素数」回掛けたものになります。




例えば「要素数 2 」なら、



「要素を 0 個選んで作った集合(空集合)」と、

「要素を 1 個選んで作った集合(一元集合)」と、

「要素を 2 個選んで作った集合(全体)」



これが「冪集合」の『要素』になります。

要素数は上から「 {}_{2}\mathrm{C}_{0},{}_{2}\mathrm{C}_{1},{}_{2}\mathrm{C}_{2} 」(数え上げ)

全部足すと「 1+2+1=4=2^2 」になります。






いや、結果論じゃん。

となると思うんで、これを「一般化」して考えると、

つまり「要素数 n 」で考えると、




「要素を 0 個選んで作った集合(空集合)」

「要素を 1 個選んで作った集合」

「要素を 2 個選んで作った集合」

「要素を n-1 個選んで作った集合」

「要素を n 個選んで作った集合(全体)」




「要素数」の全体は↓です。



\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}+…+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}=\sum_{i=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{i}

\displaystyle =\sum_{i=0}^{n}1^{i} \cdot 1^{n-i}{}_{n}\mathrm{C}_{i}=(1+1)^n\,\,\,\,\,(∵\mathrm{Binomial\,theorem})

=2^n



結果論じゃなく、ちゃんと「 2^n 」になりました。

個人的にはちょっとした感動を覚えます。



そしてこの性質から「 2^S 」と表されるわけですね。

これも確実に押さえておいた方が良いです。






直積集合 Direct Product


|| 軸を二つ以上使って図形を作る、あの感じ

これは「ペア・セット」を作るやつです。



なにか「元・要素」があったとして、

それとそれ、を一つのものとしてみなすときに使われます。




これだけだとなんじゃらほいですが、みんなよく使ってます。

例えば因果関係なんかはこれ使ってますね。

「あれ(原因)」だと「これ(結果)」になる、みたいな。




馴染み深いものだと「面積」なんかもそうです。

厳密には「面積」を決める「前の段階」だと思ってください。




というわけで形式を見ていきましょう。



A×B=\{(a,b)\,|\,a∈A∧b∈B\}



この「組み合わせ」の集まりが「直積集合」です。



いや、なんか分からんって人は、

とりあえず「 a,bx,y 」に置き換えてみてください。

馴染みのある「 x,y 軸の平面」を表してることが分かります。






これを一般化するとちょっとエグい感じになります。↓

A_1×A_2×…×A_n:=

\{(a_1,a_2,...,a_n)\,|\,a_1∈A_1∧a_2∈A_2∧…∧a_n∈A_n\}




これをもっと一般化できるんですが、いやもうそれはあれで。

それに「基数」を使わないと説明が難しいので、省略します。






商集合 Quotient Set


|| 分けて新しいのを作るやつ

名前の通り「割り算」っぽいやつです。

「集合」をいくつかに「分割」した「集合」になります。



「分割」なので「要素」がなにか抜けたりしちゃだめです。

もちろん増えてもだめです。重複もだめ。




形式的には「類別」を行った結果できた「集合」です。

(単に分けただけって考えてOK)




同値関係」(あれとそれは同じだよ)が与えられてるときは、

R 」をなんらか( modulo とか)の「二項関係」とすると、

S/R=\{e∈S\,|\,eRc\} 」みたいに書かれます。






類別 Classification


|| 仕切りを使って分ける感じ

「グループ分け」と考えて良いです。

これはもうさっさと具体例を見ちゃいましょう。




なんか「集合」を用意します。

S=\{α,β,γ,ω,χ,ε,ζ\}



これを、とりあえず適当に「類別」してみます。

すると↓みたいになります。

{\{α,β\},\{γ\},\{ω,χ,ε,ζ\}}




はい、というわけでこれが「類別」です。

そんだけ?と思うかもしれませんが、そんだけです。




ただし、以下のことは守りましょう。



「要素が不足してはいけません」

「要素が増えてはいけません」

「要素が重複してはいけません」



これを守って分けるのが、類別です。

感覚的には「増えない」「減らない」「余らせない」って感じ。






同値類 Equivalence Class


|| 同じってことにしたやつで分ける感じ

なんかの決まりで分けたものですね。

厳密に言うなら「同値関係」を使った「類別」の『過程』です。




こんだけじゃよく分かんないと思うんで、

とりあえずどういうのか見てみましょう。




なんか「同値関係」の「 R 」があって、

それを「 aRb 」みたいに書いて、

ab は偶数』と読んでみます。

(厳密には 2 で割った余りが等しいなどが良し)




これで「同値類」ごとに「類別」すると、

「自然数 \mathbb{N} 」なら、

\{\{1,3,5,7,...\},\{2,4,6,8,...\}\} 』ってなります。




つまりこのときの『同値類』とは「 {1,3,5,7,…} 」です。

具体例で見ると分かり易いですね。