論理公理 Logical Axioms


|| どう見ても正しい論理式全部

「論理式」の中で「公理」と言えるものの集まり。

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目次

 

量化記号の公理

等号の公理

 

まとめ

 

 

 

 

 


 

当然ですけど

トートロジー」も「論理公理」に当たります。

ただこれは多いので別の記事で。

 

 

 

まあともかく「論理公理」はそういう感じで、

どう見ても『正しいとしか思えない』やつを集めたもの

 

 

つまり「恒真命題(トートロジー)」の集まり

これを論理公理と言います。

 

 

 

 

 

説明の準備

 

必要になる「記号」を設定しておきます。

 

 

個体(変数)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle x,&y \end{array}

 

(定数・変数・関数のどれか)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle t,&t_1,&t_2,&\cdots ,&t_n \\ \\ u,&u_1,&u_2,&\cdots ,&u_n \end{array}

 

論理式

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \varphi &\psi \end{array}

 

 

 


 


量化記号の公理「 ∀,∃

 

大きく分けて3つ。

「代入」「分配」「否定」についてのものがあります。

 

 

どれも『人間の直観』を形式にしただけなので

そんな難しく考える必要はありません。

 

 

 

 

 

・「代入」に関すること

 

tx に代入可能」なら

代入規則は別記事で)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle φ_x[t]&&⇒&&∃x\,φ \end{array}

 

記号「 φ_x[t] 」の意味は

変数 x を項 t で置き換えた命題 φ です。

 

\begin{array}{ccccccc} \displaystyle φ_x[t]&∃x\,φ&&φ_x[t]⇒∃x\,φ \\ \\ 0&1 && 1 \\ \\ 1&1 &&1 \end{array}

 

真理値はこんな感じ。

特に疑問は出ないと思われます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀x \, φ &&⇒&&φ_x[t] \end{array}

 

\begin{array}{ccccccc} \displaystyle ∀x \, φ&φ(x)&φ_x[t]&&∀x \, φ ⇒φ_x[t] \\ \\ 1&1&1 &&1 \end{array}

 

また、これも公理です。

tx に代入可能な値」ですし

 

\begin{array}{lllllll} \displaystyle ∀x &&&x∈A \end{array}

 

なによりこの部分で x の範囲は定まってしまうので、

φ が真になる以上、確実に正しくなりますから。

 

 

 

 

 

・「分配法則」っぽいやつ

 

「広い」→「狭い」のパターン

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀x\,(φ→ψ) &&⇒&&∀x\,φ&→&∀x\,ψ \end{array}

  

これは真理値のパターンの話で、

 

\begin{array}{ccccc} \displaystyle \varphi&\psi && \varphi → \psi \\ \\ 0&0 &&1 \\ \\ 0&1&&1 \\ \\ 1&0&&0 \\ \\ 1&1&&1 \end{array}

 

∀x\,(φ→ψ) 」は 3 パターン

\begin{array}{llll} \displaystyle ∀x\,φ&→&∀x\,ψ \end{array} 」は φ,ψ\mathrm{True} の 1 パターン

 

 

とまあそんな感じなので

これも特に疑問は出ないと思われます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle ∀x\,(φ→ψ) &&⇒&&∀x\,φ&→&∀x\,ψ \\ \\ \mathrm{True} &&&& \mathrm{True}&&\mathrm{True} \end{array} \end{array}

 

全体としても \mathrm{True} ⇒ \mathrm{True} ですし。

 

 

 

 

 

・「否定」について

 

これは「ド・モルガンの法則」ってやつですね。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀x\,¬φ&&≡&&¬(∃x\,φ) \end{array}

 

φ 」を満たす『 x は存在しない』

φ ではない」を満たす『全ての x

「この条件を満たす x 」の中身が同じ

 

 

これはこういうことを言ってます。

 

 

言い換えるなら

「内側にはなんもない」(外側にある)

「外側の全部」(内側には無い)みたいな感じでしょうか。

 

\begin{array}{cccccc} \displaystyle φ∨¬φ&=&\mathrm{True} \end{array}

 

\begin{array}{lllllll} \displaystyle ∀x \, ¬φ &&\{ x \mid ¬φ \} \\ \\ ¬(∃x \, φ) && \{ x \mid ¬φ \}\end{array}

 

真理集合的にはこんな感じ。

 

\begin{array}{llllll} ¬(∃x \, φ) && \{ x \mid ¬φ \} \end{array}

 

ちなみにこの部分は、

φ を満たす x は存在しない」を

「全ての x¬φ を満たす」と解釈しています。

 

 

これは量化記号の変換に必要な式なので

優先して覚えるようにしましょう。

 

 

 


 


等号の公理「 =

 

「言語」が「等号」を持つ時に満たされる性質のこと。

持たない場合はまず無いので基本採用されますね。

 

 

内訳は主に2つ。

「同一律」と「代入」があります。

 

 

 

 

 

・同一律

 

「それはそれ」って感じのやつ

(等号の本質的な役割)

 

\begin{array}{lllllll} \displaystyle x&=&x \end{array}

 

すげえ当たり前の話ですね。

『同じ』を使いたいなら否定の余地はありません。

これがダメなら『同じ』を定義できないので。

 

 

 

 

 

・「代入」するときの「変数」の役割

 

記号の意味がちょっとめんどくさい話。

 

\begin{array}{llllllll} x&=&y&&⇒&&P(t_1,t_2,...,t_n)&→&P(u_1,u_2,...,u_n) \end{array}

 

記号の意味を確認

P 」は「述語を表現する記号」

「項 t 」は「 x に代入可能な項」

 

 

「項 u 」は

「項 t の変数 x 」を

「いくつか変数 y に置き換えた項」

 

 

とまあこんな感じで、

つまり x=y である場合には

x を置き換えた yx なので、

 

 

つまり u=t ですから

 

\begin{array}{lllllllllll} \displaystyle &P(t_1,t_2,...,t_n)&→&P(u_1,u_2,...,u_n) \\ \\ &P(t_1,t_2,...,t_n)&→&P(t_1,t_2,...,t_n) \end{array}

 

\begin{array}{cccccc} \displaystyle P&P&&P→P \\ \\ 0&0&&1 \\ \\ 1&1&&1 \end{array}

 

まあこうなる、と。

整理してみれば当然の話ですね。

 

 

 


 


まとめ

 

論理公理を構成する3つをざっくり紹介。

詳細は省略します。

 

 

 

 

 

「トートロジー(恒真命題)」は論理公理だよ

 

これはほんとそのままですね。

ちなみに「恒真命題」っていうのは、

 

\begin{array}{ccccc} \displaystyle \varphi &¬\varphi& \varphi ∨ ¬\varphi \\ \\ 0 &1&1 \\ \\ 1&0&1 \end{array}

 

真理値がこんな感じになる命題のことです。

 

 

 

 

 

量化記号の公理

 

tx に代入可能な場合

 

\begin{array}{llllll} ∀x \, φ&&⇒&&φ_x[t] \\ \\ \displaystyle φ_x[t]&&⇒&&∃x\,φ \end{array}

 

これに加えて、

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀x\,(φ→ψ)&&⇒&&∀x\,φ\,→\,∀x\,ψ \\ \\ ∀x\,¬φ&&≡&&¬(∃x\,φ) \end{array}

 

これらもまた基礎的な公理に当たります。

  

 

 

 

 

等号の公理

 

「同一律」と「代入」について

「項 u 」は「項 txy に置き換えたもの」とすると、

 

\begin{array}{llllllll} \displaystyle x&=&x \\ \\ x&=&y &&⇒&&\Bigl( P(t_1,t_2,…,t_n)&→&P(u_1,u_2,…,u_n) \Bigr) \end{array}

 

以上のものが「等号 = 」の公理になります。