写像 Mapping


|| なんかの中身を別のやつにするやつ

基本的な知識は『集合論』のページに載っています。

そこの『写像』の項目を読んだ上で見ることをおすすめします。

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目次


代表元「単に、写像で写る元のこと」


写像「感覚的にはフィルターみたいなやつ」


   単射「要素が一対一で繋がってる写り方」

   全射「被ってでも全部が写る写り方」

   全単射「被りもなく要素が一対一で繋がってる写り方」



   逆写像「写像と像から得られる逆の処理」

   部分写像「部分的に写らせる写り方」

   恒等写像「自分自身に写る写り方」



   合成写像「写った後にまた写るような写り方」







基本的な知識を、とりあえずさらっとまとめます。



写像「集合 S と集合 T の間にあるフィルターみたいなもの」

関係「集合内での、元(要素)の対応」



始域・定義域 の左のやつ」

値域像・終域)「 の右のやつ」



逆像「像と写像から得られる、始域の部分集合」






代表元 Representative


|| 写る元のこと

要は「定義域にある元」のことですね。




集合論』では省きましたが、

「写像」を定義する方法がもう一個あります。

ちょっとややこしいんで、基本のところからは省きました。



ここでは「代表元」とかいう単語が出てきます。

というかこれ、ここくらいでしか見ません。

その「代表元」を使った定義の仕方は↓みたいな感じ。



f:a(∈A)↦b(∈B)



a 」が「代表元」で、

b 」が「像」もしくは「値」と言います。






さて、以上を踏まえて、

「写像」についてもっと詳しく見ていきます。



まずは「写り方」(元がどこにどう移動するか)から。







写像 Mapping


|| あるものを、あるものにするなにか

「フィルター」と一口に言っても、いろいろありますよね。

ちょっと多すぎて困るくらいにはたくさん。




例えば吹き抜けのものでも、それは「フィルター」と言えるでしょう。

対称的に、なにも通さないものでも「フィルター」と言えます。

更に言えば、ランダムに、出鱈目に写すものでもそうでしょう。




「関数」は、この一部です。

というより「関数」の一般化の結果がこれですね。




違いは単純で、

「関数」は「一つの元(要素)」しか出力しませんが、

「写像」は「複数の元(要素)」を出力できます。

(全射と逆写像とか)






こんな具合ですから、どうにかこうにか分類する必要があります。

用途から創られたのだとしても、それを一々説明するのは面倒です。

なので、分類をします。




分かり易く、まず「 2 」つに分類しましょうか。

その区分は「意味のあるもの」と「意味のないもの」です。

といってもまあ、これだけじゃまだよく分からんですよね。




ともかく、まずは「意味の無いもの」は除外しましょう。

そして「意味がある」を「特定の性質を持つ」と言い換えましょうか。






すると大きく分けて、

6 」つのものが考えられます。(調べた結果)




その内「 3 」つが、

「単射」と「全射」と「全単射」です。



残り「 3 」つは、

「逆写像」と「恒等写像」と「部分写像」になります。




というわけでさっそく、これらを詳しく見ていきましょう。







単射 Injection, Injective Function


|| 一個一個が紐づいてる感じ

「単写」やら「一対一の写像」って言われます。

やってることとしては「一対一の写像」が良い表現ですね。



「元・要素」が「一つずつ対応する写像」を『単射』と言います。

\mathrm{One\,to\,One\,Mapping} 」とも、




形式的には、量化記号を使って↓みたいに表されます。



∀e_1,e_2∈S\,[(e_1≠e_2)⇒(f(e_1)≠f(e_2))]



意訳は「違う元(要素)なら、必ず違う結果(像)を得る(全部が)」






具体例


例えの為に、二つの集合を用意します。

A=\{1,2\} 」「 B=\{2,4,8\}

これに、適当な対応をつけてみます。↓


1\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,2

2\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,4

\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8



↑これは「単射」の条件を満たす一例です。

きちんと「全ての違うもの」は「違うもの」に写っています。






全射 Surjection, Onto Function


|| とりあえず全部写る感じ

これは字面に近い意味で、そのまま「全部写る」という感じ。

なので「定義域」から「終域の全て」に写ります。

\mathrm{ Onto\,Mapping } 」とも。




形式的には↓みたいな。



∀b∈B,∃a∈A\,[\,f(a)=b\,]



意訳は「 b になる(写される) a が必ずある」






具体例


適当に集合を用意しましょう。

A=\{1,2,3\} 」と「 B=\{3,6\} 」とか。


1\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,3

2\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,6

3\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,6



「全射」だと、こういう感じになります。

被っててもお構いなしです。定義域は全部写ります。






全単射 Bijection, Bijective Function


|| 一つ一つが全部写る感じ

見て分かる通り「全て」右のやつに「被りなく」写すやつです。

厳密には全く違いますが、感覚的には「 = 」みたいな感じ。



「一対一対応」などと呼ばれます。

感覚的にはこれが分かり易いです。(単射と混同しそうですが)

\mathrm{ One\,to\,One\,Onto\,Mapping } 」とも。




形式的には、

「全射であり」かつ「単射である」『写像』のことです。



∀b∈B,∃_1a∈A\,[\,f(a)=b\,]



視覚的に簡単にしたかったので、↓を使ってます。

「唯一存在記号 ∃!,∃_1 」(一つだけある)






具体例


集合「 A=\{1,2,3\} 」と「 B=\{5,6,7\} 」で。


1\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,5

2\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,6

3\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,7



これが「全単射」の簡単な例になります。

見て分かる通り、基本的に『要素数が同じ』になります。

「濃度」の定義とかでこの辺は詳しく。






余談


なんとなく分かると思いますが、

人間が感じる「同じ」という感覚は「全単射」が近いです。

厳密には「ほとんど被らない単射」なんかもそうですね。




イコールなんかは、ほんとはまるで実用性は無いんです。

人が感じる「同じ」は、ほぼ全て『類似』に過ぎません。



いわゆる「共通点の単射」が『多く感じられる』から、

人は「同じだと感じる」わけです。



この辺り、理解していただけると幸いです。




そういう理由かはさておき、使用頻度で並べると、

\mathrm{ one\,to\,one\,onto }\,>\, \mathrm{ one\,to\,one }\,>>\, \mathrm{ onto } 』となります。







逆写像 Inverse Mapping


|| 像から、定義域へ

要は「逆関数」みたいなものです。

というかまあ、「逆関数」の親ですね。



「写像」と「像」によって決まります。

単一で定義されるものではありません。




主に「写像」の「合成」で扱うものになります。

上記の通り「写像」が決まった後に決まるので、

単体での活躍は基本的にしませんね。




形式は↓



[\,f(x)=y\,]⇔[\,f^{-1}(y)=x\,]

であるなら『 f^{-1} 』が「逆写像」



y 」は「像」



基本的には「写像の逆の操作」って覚えとけば。

自分はこんな感じで覚えて、これから定義を思い出す感じ。






部分写像 Partial Mapping


|| 写像の一部を切り抜いたやつ

「写像」が「全部写す」なら、これは「一部写す」ものです。

そんな性質持ちですから「写像」を一般化したものになります。




基本的には、↑の「逆写像」が出てくると出てきます。

というのも「単射」の「逆写像」では、

「終域の全体」を使うことはありません。

(全単射じゃないなら)



こんなときに、この「部分写像」を考えなければならないわけです。

この「逆写像」が出てきたらどうの、という部分だけは覚えましょう。




これを考えるとき、

ただの「写像」は「全域写像」と呼ばれるようになります。



といってもまあ、あんまり使う単語じゃないです。

覚えておくべきではありますが。






恒等写像 Identity Function


|| 自分から自分に写る感じ

字面の通り「そのまま」の写し方をする「写像」です。



掛け算なら「 × 1 」で足し算なら「 +0 」みたいな。

ほんとそのままです。なんの変化も与えません。




これは割と制約が厳しめの概念です。

というのも、まずこれは「全単射」です。

更に言うなら「元・要素」も絶対に変化しません。




なにせ『そのまま』ですから、

全ての「定義域」は「終域」と必ず一致します。

多くなっても少なくなってもいけません。全部です。




形式的には↓みたいに表されます。



集合「 S 」とすると、

恒等写像は『 id_S,1_S







合成 Composition


|| あーなってこうなってそうなら、あーなってそう、みたいな感じ

「合成」っていうか、「省略」って感じのものです。



「あれ」やったら「これ」になって「それ」になるなら、

「あれ」やったら「それ」になる(「これ」をやったら)みたいな。




形式的には↓



まず「写像」を二つ用意します。(合成したいんで)

f:A→B 」「 g:B→C



これの「合成写像」を、

g\,∘\,f:A→C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g\,∘\,f

と書きます。



これが一番使われてると思いますが、

他にも『 f;g,fg 』みたいに書かれたりします。




↑は書き方で、これが表すものは↓です。

↓みたいに「定義」されてます。



(g\,∘\,f)(x):=g(f(x))



(左のやつが、右みたいに定義されてるって意味)




詳しくは『代数学』で扱いますが、この一連の操作は、

『単位律』と『結合律』を満たします。つまり↓



結合律『 h\,∘\,(g\,∘\,f)=(h\,∘\,g)\,∘\,f

単位律『 id\,∘\,f=f\,∘\,id=f






以上を踏まえると「逆写像」の性質が説明できます。






逆写像の性質


・一意性(それだけ、みたいな意味)


「逆写像」は一個しかないぞーって意味。

詳しいことは『代数学』で扱います。




証明の方針は単純で、

「逆写像」が 2 つあることを前提に話を進めていくと、

その 2 つの「逆写像」が同じになる、という感じ。






・対称性


これは形式で見た方が分かり易いかも。

(f^{-1})^{-1}=f 』これのことです。



「逆の逆は元通り」みたいな。

まあ普通な感じしますよね。






・自己逆性


要は「恒等写像」は「逆写像」でもあるってこと。

これはすぐわかることなので、ここまでで良いでしょう。






以上で「写像」については一通り終わりです。

気になる方は、重要な定理についても確認をどうぞ。

ベルンシュタインの定理』(単射と全単射の関係)