数とはそもそもなんなのかかなり掘り下げてわかりやすく説明してみた

|| 知ってるようでほとんど知らない

『順序』や『量』を表す概念のこと。

「数字」は『数を表した記号』のこと

$\begin{array}{cccccccccccccccccc} \displaystyle 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots \\ \\ a&b&c&d&e \\ \\ x&y&z \end{array}$

これらは『数』を意味する「記号」であり

厳密には『数』と同じものではありません。

この辺り細かいですけど

繊細なんで注意しといてください。

皆の知ってる数

『数』が使われている

そんな場面を思い浮かべてみてください。

すると

「時計」で時間を確認する場面とか

「買い物」なんかで金を使う場面とか

天気予報で「降水確率」を確認したりとか

ものがいくつあるか「数える」だとか

そういう場面が浮かぶと思います。

なんとなく分かる

ただそれでも

『数』っていったいなんなんだ？ってなると

なんかうまく説明できないと思います。

↑ の話はあくまで「使用例」であって

『本質』ではありませんし

「そういうもの」は「そういうもの」であって

『なんなのか』は説明できません。

でも、人は当たり前のように『数』を使えます。

手足を動かすように

空気でも吸うように

極々当たり前に人間は『数』を理解しています。

言語化してみる

「理解している」し「使える」けど

「説明できない」のが『数』

とまあ整理するとこんな感じですが

このままってのはなんか嫌ですよね。

なぜ「判断の基準」として使えるのか。

どうして「正しい」を考える時に使えるのか。

この辺り

なんとなくで済まさずに

きちんと言語化したいです。

自然数 Natural Number

|| 原点にして到達点

これは『数学の中央』にある概念になります。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&1&2&3&4&5&\cdots&n&\cdots \\ \\ &1&2&3&4&5&\cdots&n&\cdots \end{array}$

『数』という概念も「出発点」はこれです。

『人間の判断基準の本質』も

最終的にこれに行き着きます。

人間の直感と自然数

数学という学問は

主に『数え上げ』を基礎として発展してきました。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 1個&2個&3個&\cdots \\ \\ 1回&2回&3回&\cdots \end{array}$

『数的概念』の雛型

「人間の直観」における『量的な感覚』は

基本的にはこういった感覚からスタートしています。

比較確実性

人間の直観に近い『自然数』は

厳密には「順序数」であるとされ

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&≤&1&≤&2 \\ \\ 0&&&≤&2 \end{array}$

『関係 $\leq$ 』で確実に『比較』できる

という感じに定義されています。

で、こういった性質は

そのまま『比較確実性』と言われていて

これのおかげで人は『比較』ができる。

そして『比較』ができるから

人はそこに意味を見出せる。

例えば時間なら

「時間までまだ何分かある」から「まだ大丈夫」

他にも

金銭なら「あれは何円」だから「あと何円いる」

降水確率なら「ほぼ $100\%$ 」なら「まず降るだろう」

とまあこんな具合に

この「比較が確実にできる」ことは

『数の本質』に近い性質だと言えます。

ペアノの公理 Peano Axioms

|| 自然数の存在を許す公理

「自然数 $N$ 」が満たすべき最低限の要件のこと。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(n)&=&n+1 \end{array}$

$\begin{array}{rllllll} \displaystyle 0∈N \\ \\ n∈N &&\to&&\mathrm{Suc}(n)∈N \\ \\ n∈N &&\to&&\mathrm{Suc}(n)≠0 \\ \\ n,m∈N &&\to&&n≠m\to\mathrm{Suc}(n)≠\mathrm{Suc}(m) \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \left(\begin{array}{llllll} S⊆N \\ \\ 0∈S \\ \\ n∈N& \to &n∈S\to\mathrm{Suc}(n)∈S \end{array} \right) &\to&S=N \end{array}$

形式は「帰納的定義」に近いですが

順番的にはこっちが先に来ます。

公理の内容については

大きく分けると $3$ ブロック

$\begin{array}{rllllll} \displaystyle 0∈N \\ \\ n∈N &&\to&&\mathrm{Suc}(n)∈N \\ \\ n∈N &&\to&&\mathrm{Suc}(n)≠0 \\ \\ n,m∈N &&\to&&n≠m\to\mathrm{Suc}(n)≠\mathrm{Suc}(m) \end{array}$

$\begin{array}{lllclll} \displaystyle 0∈N &&(？+1)&× \\ \\ 1∈N &&(0+1)&〇 \\ \\ 1+1∈N &&(1+1)&〇\end{array}$

「初期値」「後者」と

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \left(\begin{array}{llllll} S⊆N \\ \\ 0∈S \\ \\ n∈N& \to &n∈S\to\mathrm{Suc}(n)∈S \end{array} \right) &\to&S=N \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \begin{pmatrix} 0∈S \\ 1∈S \\ 2∈S \\ \vdots \end{pmatrix} &&\to&&S=N \end{array}$

「帰納的定義の原理」で構成されてます。

（ $0$ とその後者を含むので必ずこうなる）

すごい当たり前のことなので

記号が分かれば意味はすぐに分かると思います。

集合論的定義

「ペアノの公理」を満たす『集合』

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&:=&\{\} \\ \\ \mathrm{Suc}(n)&:=&\{n\} \\ \\ \mathrm{Suc}(n)&:=&n∪\{n\} \\ \\ \mathrm{Suc}(n)&:=&2^n \end{array}$

この表現方法はいくらでもあるんですが

有名なやり方だとだいたい $3$ 通りあって

$\begin{array}{llllll} \mathrm{Suc}(n)&:=&n∪\{n\} \\ \\ \mathrm{Suc}(n)&:=&2^n \end{array}$

「推移律」を満たす点から

だいたいこの辺りが採用されます。

推移律は満たしていて欲しい

これもまあ当然の話でしょう。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&≤&1&≤&2&≤&3 \\ \\ 0&≤&&&&&3 \end{array}$

例えば『 $0$ と $3$ 』で考えるなら

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(n)&=&\{n\} \end{array}$

こういう定義だと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \{\}&∈&\left\{ \{\} \right\}&∈&\left\{ \left\{ \{\} \right\} \right\}&∈&\left\{\left\{\left\{ \{\} \right\} \right\} \right\} \\ \\ &&&&\left\{ \left\{ \{\} \right\} \right\}&∈&\left\{\left\{\left\{ \{\} \right\} \right\} \right\} \\ \\ \{\}&& && &∉&\left\{\left\{\left\{ \{\} \right\} \right\} \right\} \end{array}$

直接的に比較ができません。

$\{\{\{\{\}\}\}\}$ の要素は「 $\{\{\{\}\}\}$ だけ」ですから

他の集合との関係は不明です。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(n)&=&n∪\{n\} \end{array}$

でもこうなら

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n &∈& n∪\{n\} &∈& n∪\{n\} ∪ \left\{ n∪\{n\} \right\} \\ \\ n && &∈& n∪\{n\} ∪ \left\{ n∪\{n\} \right\} \end{array}$

こうなるので

ちゃんと全部と比較できます。

数字の正体

初期値を『 $0:=\{\}$ 』とし

後者を『 $\mathrm{Suc}(n):=n∪\{n\}$ 』としてみると

「自然数」は ↓ みたいな『集合』として定義できます。

$\begin{array}{lllcll} \displaystyle 0&:=& && \{\}&=&∅ \\ \\ 1&:=&\mathrm{Suc}(0)&=&0∪\{0\}&=&\{∅\} \\ \\ 2&:=&\mathrm{Suc}(1)&=&1∪\{1\}&=&\left\{ ∅,\{∅\} \right\} \\ \\ 3&:=&\mathrm{Suc}(2)&=&2∪\{2\}&=&\left\{ ∅,\{∅\} ,\left\{ ∅,\{∅\} \right\} \right\} \\ \\ &&&\vdots \end{array}$

見て分かる通り

「数字」はただのラベル（名札）です。

『数』は「記号が示すもの」

その本質は『確実に比較ができる集合』で

『比較できる』から「判断の基準」として扱えます。

自然数と集合論

数学の『基礎』は「集合論」なのに

例えばなぜ「集合学」ではなく『「数」学』なのか

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Set} &&\to&&\mathrm{Natural} \,\,\mathrm{Number} &&× \\ \\ \mathrm{Set} &&←&&\mathrm{Natural} \,\,\mathrm{Number} &&〇 \end{array}$

この理由は

『自然数』が「比較の基準になる」上に

『実現したいもの』がこの「自然数」になるからで

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \{\} \\ \\ 0,1 \end{array}$

「集合論」はあくまで『実現のための手段』

『学問のそもそもの目的』ではないから

「集合学」ではなく

「数学」と呼ばれてる

とまあそんな感じで

「集合」ではなく「数」が主役になってます。

四則演算 Arithmetic

|| 基本的な演算

基本的な『 $4$ つの演算』のこと

$\begin{array}{cccc} \displaystyle +&- \\ \\ ×,*&÷,/ \end{array}$

これらは「足し算」を基準にして定義されてます。

「引き算」は『演算子 $+$ の逆操作』

「掛け算」は『複数回の足し算』

「割り算」は『逆元での掛け算』

「足し算」は公理です。

加法 Addition

|| 演算の原点

「足し算」のこと。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n+m \end{array}$

超が付くほど基本的なことなので

特に語ることはありません。

ペアノの定義

「演算子 $+$ 」はその「振る舞い」から

『後者』を基にして再帰的に定義されています。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(n)&=&n+1&&&n∈N \\ \\ \mathrm{Suc}(n+m)&=&n+\mathrm{Suc}(m)&&&n,m∈N \end{array}$

分かり切った話ですが

一応、確認しておきましょうか。

$\begin{array}{lclllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(n)&=&\mathrm{Suc}(n-1)+1 \\ \\ &=&\mathrm{Suc}(n-2)+1+1 \\ \\ &\vdots \\ \\ &=&\displaystyle \mathrm{Suc}(1)+\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n-1} \\ \\ &=&\displaystyle \mathrm{Suc}(0)+\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n} \\ \\ &=&\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n+1} \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle n&=&\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n} \end{array}$

まあ当然こう

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n+(m+1)&=&(n+m)+1 \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(n+m)&=&(n+m)+1 \\ \\ &=&n+(m+1) \\ \\ &=&n+\mathrm{Suc}(m) \end{array}$

演算子 $+$ が「結合律」を満たすことから

これも当然こうなります。

まあ「足し算」ですし

分かり切ってると思うので

これらについて特に疑問はないと思います。

減法 Subtraction

|| 引き算

「加法」の逆の処理のこと。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n-m \end{array}$

「加法」が『 $n+m=x$ の $x$ を求める操作』なら

「減法」は『 $n+x=m$ の $x$ を求める操作』になります。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle x&=&m-n \end{array}$

この時に定義できる『演算子 $-$ 』が「減法」で

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-3&=&-2 \end{array}$

「 $m<n$ 」の時

ここで初めて「負の数」が出てきます。

逆を言えば

「演算子 $+$ だけの世界」では

「負の数」を定義することはできません。

ただ変な話ですが

その「存在」は観測することができます。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n+x&=&m \end{array}$

「 $m<n$ なら $x$ は？」みたいな考え方で。

（強制法の感覚）

乗法 Multiplication

|| 掛け算

『 $2$ 重に加法を行う操作』のこと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle m×n&=&\displaystyle\underbrace{m+m+m+\cdots+m}_{n} \\ \\ &=&\displaystyle\underbrace{\underbrace{1+1+\cdots+1}_{m}+\cdots+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{m}}_{n} \end{array}$

この状態を省略して表現するために

「乗法」は必要になります。

$\begin{array}{cccccccccccccc} \textcolor{pink}{1}&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ \\ \textcolor{gray}{2}&\textcolor{pink}{4}&6&8&10&12&14&16&18 \\ \\ \textcolor{gray}{3}&\textcolor{gray}{6}&\textcolor{pink}{9}&12&15&18&21&24&27 \\ \\ \textcolor{gray}{4}&\textcolor{gray}{8}&\textcolor{gray}{12}&\textcolor{pink}{16}&20&24&28&32&36 \\ \\ \textcolor{gray}{5}&\textcolor{gray}{10}&\textcolor{gray}{15}&\textcolor{gray}{20}&\textcolor{pink}{25}&30&35&40&45 \\ \\ \textcolor{gray}{6}&\textcolor{gray}{12}&\textcolor{gray}{18}&\textcolor{gray}{24}&\textcolor{gray}{30}&\textcolor{pink}{36}&42&48&54 \\ \\ \textcolor{gray}{7}&\textcolor{gray}{14}&\textcolor{gray}{21}&\textcolor{gray}{28}&\textcolor{gray}{35}&\textcolor{gray}{42}&\textcolor{pink}{49}&56&63 \\ \\ \textcolor{gray}{8}&\textcolor{gray}{16}&\textcolor{gray}{24}&\textcolor{gray}{32}&\textcolor{gray}{40}&\textcolor{gray}{48}&\textcolor{gray}{56}&\textcolor{pink}{64}&72 \\ \\ \textcolor{gray}{9}&\textcolor{gray}{18}&\textcolor{gray}{27}&\textcolor{gray}{36}&\textcolor{gray}{45}&\textcolor{gray}{54}&\textcolor{gray}{63}&\textcolor{gray}{72}&\textcolor{pink}{81} \end{array}$

また「九九」なんかは

これを瞬時に行えるようにするためにあります。

除法 Division

|| 割り算

「乗算の逆の処理」のこと。

$\begin{array}{llllll} n÷m \\ \\ \displaystyle n/m \end{array}$

「掛け算」は「 $m\timesn=x$ の $x$ （積）」を求めますが

「割り算」は「 $n\timesx=m$ の $x$ （商）」を求めます。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n\times n^{-1}&=&1 \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle n÷m&=&n\times m^{-1} \end{array}$

一般的には

「乗法の逆元 $n^{-1}$ 」で乗法の演算を行う感じです。

（有理数が発見されますが詳細は後で）

交換法則 Commutative law

集合 $S$ に『演算 $*$ 』が定義されていて

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a*b&=&b*a \\ \\ \\ a+b&=&b+a \\ \\ a×b&=&b×a \end{array}$

↑ を満たす時

『可換である』だとか

『交換律を満たす』とか言います。

結合法則 Associative Law

集合 $S$ に『演算 $*$ 』が定義されてる時

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (a*b)*c&=&a*(b*c) \end{array}$

↑ を満たすとき『結合律を満たす』と言います。

分配法則 Distributive Property

集合 $S$ に『和と積の演算 $+,\times$ 』がある時

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (a+b)×c&=&ac+bc \\ \\ c×(a+b)&=&ac+bc \end{array}$

↑ を満たすなら

『積は和について分配的である』と言います。

整数 Ganze Zahl

|| $0$ の向こう側

『自然数』に「負の数」を導入した数のこと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots&-n&\cdots &-2&-1&0&1&2&\cdots&n&\cdots \end{array}$

具体的にはこんな感じの見慣れたやつです。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle Z&=&\{n-m \mid n,m∈N\} \end{array}$

『自然数 $N$ 』と『演算子 $-$ 』で定義されます。

有理数 Quotient

|| 定義できないやつが出てくる最初の領域

「割り算」で作れるやつを全部集めたやつ。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle Q&=&\displaystyle\left\{ \frac{n}{d} \, \middle| \, \Bigl( n,d∈Z \Bigr) ∧ \Bigl( d≠0 \Bigr) \right\} \end{array}$

「分数」で表現したりします。

分数 fraction

「 $/$ 」は『括線 Vinculum』

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{n}{d} \end{array}$

『 $n$ は分子 numerator』

『 $d$ は分母 denominator』と呼ばれます。

実数 Real Number

|| 人間の直観が働く最大の領域

『実数直線』を説明するためのもの

$\begin{array}{llllll} \displaystyle R&=&\displaystyle \{x \mid -\infty <x< \infty \} \end{array}$

「視覚的な数」から見出されたものですが

$\begin{array}{llcllll} \displaystyle 1.4142&<&\sqrt{2}&<&1.4143 \\ \\ 3.1415&<&π&<&3.1416 \end{array}$

有理数の範囲で記述することが可能です。

デデキント切断 Dedekind Cut

|| 実数直線は綺麗に分解できる

「間にある」ものと「最大・最小」を利用して

「実数の持つ連続性」を表現する方法

$\begin{array}{llllll} \displaystyle 3&<&π&<&4 \\ \\ 3.1415&<&π&<&3.1416 \end{array}$

例えば無理数はこういう感じなので

『実数より小さい集合（有理数など）』では

「隙間」として機能します。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈S \mid x≤a \} \\ \\ I_{\mathrm{right}}&=&\{x∈S \mid a<x \} \end{array}$

厳密にはこういう「分割・切断」があった時

「集合の組 $(I_{\mathrm{left}},I_{\mathrm{right}})$ 」を

「 $S$ の切断」と言って

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}∪I_{\mathrm{right}}&=&S \\ \\ I_{\mathrm{left}}∩I_{\mathrm{right}}&=&\{\} \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&≠&\{\} \\ \\ I_{\mathrm{right}}&≠&\{\} \end{array}$

例えば以下のような「切断」を考えると

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈S \mid x≤\textcolor{skyblue}{π} \} \\ \\ I_{\mathrm{right}}&=&\{x∈S \mid \textcolor{skyblue}{π}<x \} \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccc} && && \mathrm{max}(I_{\mathrm{left}}) &\min(I_{\mathrm{right}}) \\ \\ \displaystyle S=Z &&\to&& 〇 & 〇 \\ \\ \displaystyle S=Q &&\to&& × & × \\ \\ \displaystyle S=R &&\to&& 〇 & × \end{array}$

「最小値」「最大値」の性質から

$\begin{array}{cccccccccccc} \mathrm{max}(I_{\mathrm{left}}) &\min(I_{\mathrm{right}}) \\ \\ 〇 & × \end{array}$

これを満たすのは

『 $π$ などの無理数を含む』

「全体を内側に持つ」実数のパターンだけですから

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid x≤π \} \\ \\ I_{\mathrm{right}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid π<x \} \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccc} \mathrm{max}(I_{\mathrm{left}}) &\min(I_{\mathrm{right}}) \\ \\ 〇 & × \end{array}$

この時の「 ↑ の切断（正常な切断）」だけが

『実数の連続性』を保証すると言えます。

整理すると

『 $S$ が連続』←『任意の切断が正常な切断』です。

（無理数パターンで整数と有理数はアウト）

そしてこの

『任意の切断が正常な切断』→『 $S$ が連続』が

「デデキントの公理」になります。

実数の定義

深く踏み込むと

$\begin{array}{clc} + & \\ &\exists 0 \in R \,\, \forall x \in R \,\, x+0=x \\ \\ &\forall x\in R \,\, \exists -x \in R \,\, x+(-x)=0 \\ \\ & \forall a,b \in R \,\, a+b=b+a \\ \\ & \forall a,b,c \in R \,\, (a+b)+c=a+(b+c) \end{array}$

『有理数や実数が満たす』ことになる

$\begin{array}{clc} \cdot &\\ &\exists 1 \in R\setminus \{0\} \,\, \forall x \in R \,\, x\cdot 1=x \\ \\ &\forall x\in R\setminus \{0\} \,\, \exists x^{-1} \in R \,\, x\cdot x^{-1}=1 \\ \\ & \forall a,b \in R \,\, a\cdot b=b\cdot a \\ \\ & \forall a,b,c \in R \,\, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) \end{array}$

「足し算」「掛け算」の性質

$\begin{array}{ccc} + \,\, \cdot &\\ & \forall a,b,c \in R \,\, (a+ b)\cdot c=a\cdot c +b\cdot c \end{array}$

そして「大小関係 $\leq$ 」での

$\begin{array}{cl} ≤& \\ & \forall x\in R \,\, x≤x \\ \\& \forall a,b \in R \,\, a≤b∨b≤a \\ \\ & \forall a,b \in R \,\, \Bigl( a≤b∧b≤a \Bigr) ⇒ a=b\\ \\ & \forall a,b,c \in R \,\, \Bigl( a≤b∧b≤c \Bigr) ⇒ a≤c \\ \\& \forall a,b,c \in R \,\, a≤b ⇒ \Bigl( a+c≤b+c \Bigr) \\ \\ & \forall a,b \in R \,\, \Bigl( 0≤a∧0≤b \Bigr) ⇒ 0≤a\cdot b \end{array}$

「実数の基本的な振る舞い」を「公理系」とした

「全順序体（代数学）」の話が必要になりますが

本題からは逸れてしまうので

ここでは軽い紹介に留めておきます。

デデキント切断と有理数の切断

ということで

「実数全体 $R$ 」について

$\begin{array}{ccc} Q&=&I_{\mathrm{left}} ∪ I_{\mathrm{right}} \\ \\ &=& \{ x\in Q \mid x≤r \}∪\{ x\in Q \mid r<x \} \end{array}$

割り算により厳密に定義された

稠密な集合である「有理数」

$\begin{array}{lcl} I_{\mathrm{left}}&=&\{ x\in Q \mid x≤r \} \\ \\ I_{\mathrm{right}} &=&\{ x\in Q \mid r<x \} \end{array}$

その「切断 $(I_{\mathrm{left}},I_{\mathrm{right}})$ 」

これらを使って考えてみるために

$\begin{array}{ccc} \Bigl( \{ x\in Q \mid x≤q \},\{ x\in Q \mid q<x \} \Bigr) \end{array}$

まず「有理数での切断」を考えてみると

$\begin{array}{ccc} \Bigl( \exists \,\, \max(I_{\mathrm{left}})\in I_{\mathrm{left}} \Bigr) ∧ \lnot\Bigl( \exists \,\, \min(I_{\mathrm{right}}) \in I_{\mathrm{right}} \Bigr) \end{array}$

当然ですが

これらは「全て」『正常な切断』になります。

デデキント切断と無理数

「有理数の切断」は「正常な切断」になる

これは『有理数』上では当然の話です。

$\begin{array}{ccc} \{ x\in Q \mid x^2≤2 \}∪\{ x\in Q \mid 2<x^2 \} \\ \\ \displaystyle \left\{ x\in Q \,\, \middle| \,\, x≤\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \right\}∪\left\{ x\in Q \,\, \middle| \,\, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} <x \right\} \end{array}$

そしてそれが当然であるように

「無理数」による「切断」を考えた場合

$\begin{array}{ccc} \sqrt{2} &\not\in& \{ x\in Q \mid x^2≤2 \} \\ \\ e&\not\in& \displaystyle \left\{ x\in Q \,\, \middle| \,\, x≤\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \right\} \end{array}$

↑ で確認した通り

これらは『正常な切断』にはなりません。

（実数上では正常な切断になります）

デデキント切断による無理数の定義

ここまでの話は当然なんですが

$\begin{array}{ccc}\Bigl( \{ x\in Q \mid x≤r \},\{ x\in Q \mid r<x \} \Bigr) \end{array}$

整理すると

この「切断」自体は

$\begin{array}{ccc} q &&→&& \Bigl( \{ x\in Q \mid x≤q \},\{ x\in Q \mid q<x \} \Bigr) \\ \\ \sqrt{2} &&→&& \Bigl( \{ x\in Q \mid x^2≤2 \},\{ x\in Q \mid 2<x^2 \} \Bigr) \end{array}$

いずれも「有理数の集合」で定義可能であり

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{ x\in Q \,\, \middle| \,\, x≤\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \right\} , \left\{ x\in Q \,\, \middle| \,\, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}<x \right\} \end{array}$

必然、このような「切断」もまた定義可能です。

ということは

「有理数」と「有理数による切断」がそうであるように

$\begin{array}{ccc} q &&→&& \Bigl( \{ x\in Q \mid x≤q \},\{ x\in Q \mid q<x \} \Bigr) \end{array}$

「無理数」と「無理数による切断」が定義できるので

$\begin{array}{ccc} r &&→&& \Bigl( \{ x\in Q \mid x≤r \},\{ x\in Q \mid r<x \} \Bigr) \end{array}$

「正常」「正常じゃない」に関わらず

「切断の全て」を集めれば

それが「実数全体」になる

$\begin{array}{ccc} r&\equiv&\displaystyle \Bigl( \{ x\in Q \mid x≤r \},\{ x\in Q \mid r<x \} \Bigr) \end{array}$

これが事実として導かれます。

（無理数は有理数と演算で定義できる）

有理数から定義される実数

まとめると

「正常な切断」と「有理数」

「正常ではない切断」と「無理数」の関係から

$\begin{array}{r} \Bigl( \exists \,\, \max(I_{\mathrm{left}})\in I_{\mathrm{left}} \Bigr) ∧ \lnot\Bigl( \exists \,\, \min(I_{\mathrm{right}}) \in I_{\mathrm{right}} \Bigr) \\ \\ \lnot\Bigl( \exists \,\, \max(I_{\mathrm{left}})\in I_{\mathrm{left}} \Bigr) ∧ \lnot\Bigl( \exists \,\, \min(I_{\mathrm{right}}) \in I_{\mathrm{right}} \Bigr) \end{array}$

「連続性 $\mathrm{Continuous}$ 」を持つように

「正常ではない切断」を含めた

『切断の全て』として

$\begin{array}{ccc} x\in R&\equiv & x \in \mathrm{Ordered \,\, Set} ∧ \mathrm{Continuous} \end{array}$

「全ての要素で正常な切断になる」集合

という形で「実数全体」は定義されています。

（他にも定義のやり方はある）

無理数 Irrational Number

|| 脇役っぽいくせに超大事

『有理数ではない実数』のこと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle R&\setminus&Q \end{array}$

「無理」というのは

「有理数ではない」という意味です。

$\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \sqrt{2} &\log 2 \\ \\ π & e \end{array}$

こういうのがあります。

$\begin{array}{llllll}|Q|&<&|R\setminus Q| \end{array}$

ちなみにこいつらの方が「有理数」より多いです。

複素数 Complex Number

|| 演算の仕様と数値による平面の表現

『実数を縦に拡張したもの』のこと

$\begin{array}{ccccllllll} \displaystyle i&=&\sqrt{-1} \\ \\ z&=&a+bi \\ \\ |z|&=&\sqrt{a^2+b^2} \end{array}$

『実数』が「直線上での移動」だったのに対して

『複素数』は「平面的に移動」することを許容します。

$2$ 乗すると普通は正

『普通（実数全体）』に考えれば

「 $2$ 乗」するということは

$\begin{array}{llllll} \displaystyle +\times + &=&+ \\ \\ -\times - &=&+ \end{array}$

『正の値を得る』ということです。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \times(-1) \end{array}$

「マイナスの乗算」は

「反転」を意味する操作ですから

（減少の倍は直感的に理解できる）

「反転して反転」すれば「元通り」

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (-1) \times (-1) \end{array}$

これは感覚的に分かると思います。

（演算の性質なので直感的ではありませんが）

$2$ 乗すると負になる数

方程式で表現可能なものとして

↓ のような $x$ が考えられるわけですが

$\begin{array}{lcrlllll} \displaystyle x^2&=&-1 \\ \\ x&=&\sqrt{-1} \end{array}$

これは先に示した「普通（実数）」ではありません。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (\sqrt{-1})^2&=&-1 \end{array}$

『 $2$ 乗する』という操作で

「元通り」ではなく「反転」してしまう以上

これは直感的に捉えるのが困難です。

直感から外れる演算の性質

始まりは「乗算」と「整数」から

$\begin{array}{llcllll} (-2) \times 5 &&\mathrm{Reduce} \\ \\ \displaystyle 5\times (-2) &&？\end{array}$

この操作における

「 $-2$ 倍」の意味不明さ

これがそもそもの発端で

「虚数」が直感から外れてしまう

その原因の由来となっています。

実際 $-\times - =+$ に関しては

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (-2)\times 3&=&(-2)×(4-1) \\ \\ &=&(-2)×4+(-2)\times (-1) \\ \\ &=&-8+(-2)\times (-1) \\ \\ &=&-6 \end{array}$

$\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle -8+(-2)\times (-1) &=&-6 \\ \\ (-2)\times (-1) &=&2 \\ \\ \\ 2\times (-1)\times (-1) &=&2 \\ \\ (-1)\times (-1) &=&1 \end{array}$

この「計算の整合性」から得られるため

そもそも直感的ではありません。

（数字の範囲外だと直感的裏の裏 → 表）

いつものように演算から得られた虚数

直感からは外れてしまっていますが

「虚数」自体はそう特別なものではありません。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle x^2&=&x\times x \end{array}$

「 $2$ 乗・冪乗」という演算から

間違いなく一意に得られるもので

概念上は確かに存在しています。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle x^2&=&-1 \end{array}$

それに『演算の整合性』を保証する上で

これは絶対に必要です。

虚数の意味

$2$ 乗すると正ではなく負になる

$\begin{array}{rlclllll} \displaystyle \times (-1)&&\mathrm{Reverse} \\ \\ \times \sqrt{-1} &&？ \end{array}$

これを分解して考えてみると

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (-1)^2 &=&+1 \\ \\ \left((\sqrt{-1})^2\right)^2 &=&+1 \end{array}$

$2$ 乗という操作は

「反転させた後にまた反転させていた」から

結果として「元通り」になっていた

$\begin{array}{llllll} (-1)^2&=&\displaystyle (-1)\times (-1) \end{array}$

まあつまり

「元通りにする操作」ではなく

「同じ操作を２回繰り返している」だけである。

これが改めて確認できるので

$\begin{array}{llllll} \displaystyle x^2&=&-1 \end{array}$

この「虚数 $\sqrt{-1}$ 」それ自体は

「そういう操作」だということが

なんとなく分かります。

$4$ 乗すると元に戻る

「虚数」の性質を確認してみると

$\begin{array}{llllrl} \displaystyle \sqrt{-1}&=&i \\ \\ && i^0&=&1 \\ \\ && i^1&=&i \\ \\ && i^2 &=&-1 \\ \\ && i^3 &=&-i \\ \\ && i^4 &=&1 \end{array}$

このようになることが分かるため

$\begin{array}{lcrlllll} \displaystyle (-1)^0&=&1 \\ \\ (-1)^1&=&-1 \\ \\ (-1)^2 &=& 1 \end{array}$

これをこのパターンと比較して見てみると

「虚数 $i$ 」の具体的な位置が

なんとなくですが見えてきます。

虚数と平面

↑ では勝手に平面で考えてしまいましたが

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ？&≤&i&≤&？ \end{array}$

この時点では

「虚数」が「実数直線上にあるかどうか」

これがまだ分かっていません。

$\begin{array}{llcllll} \displaystyle \times (-1) &&180° \\ \\ \times \left(\sqrt{-1}\right)^2 &&180° \\ \\ \times \sqrt{-1} &&90° \end{array}$

しかし振る舞いから考えると

虚数はこのような「回転」を表している

これはなんとなく分かります。

実数直線上と虚数

実数直線上に虚数が無い

これは感覚的に分かりますが

$\begin{array}{llcllll} \displaystyle \times (-1) &&180° \\ \\ \times \sqrt{-1} &&90° \end{array}$

一応ちゃんと確認しておくと

まず触りから行くなら

例えば $a,b$ を『正の有理数』だとして

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&i&<&b \end{array}$

こうなると仮定すると

$\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle a^2&<&i^2&<&b^2 \\ \\ a^2&<&-1&<&b^2 \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle 2^2&<&3^2&<&4^2 \\ \\ \displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)^2&<&\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^2&<&\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^2 \end{array}$

こうなるわけですが

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a^2&<&-1 \end{array}$

この条件を満たす有理数 $a$ は存在しません。

つまり『有理数との大小比較』の中でも

特に『下から抑える』ことは「不可能」

『上から抑える』場合にしても

$\begin{array}{llllll} \displaystyle -1&<&b^2 \end{array}$

$b$ はいくらでも小さくできるので

$\begin{array}{llllll} \displaystyle -1&<&0 \end{array}$

こうなりますから

少なくとも『正の有理数』の範囲には無い

ということが分かります。

$\begin{array}{cccccccccccc} a&<&i&<&b \\ \\ \\ \displaystyle b^2&<&i^2&<&a^2 \\ \\ b^2&<&-1&<&a^2 \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle -4&<&-3&<&-2 \\ \\ (-4)^2&>&(-3)^2&>&(-2)^2 \end{array}$

じゃあ「負の有理数」ならいけるのか

同様の手順で考えてみると

$\begin{array}{llllll} \displaystyle b^2&<&-1 \\ \\ && -1&<&0 \end{array}$

『上から抑えられる有理数 $b$ 』が存在しない

『下からは $0$ より上』で抑えられる

という感じの

同様の結果が得られる。

ということはつまり

『全ての有理数とは比較ができない』

$\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle R&&a<x<b &&〇 \\ \\ &&a<i<b &&× \end{array}$

これが確定するので

ほぼほぼ実数直線上に無いことが分かります。

ただこれだけじゃ不安なので

「実数」の『あらゆる切断が可能』という

「公理」ベースでも考えてみましょうか。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid x≤i \} \\ \\ I_{\mathrm{right}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid i<x \} \end{array}$

そのために

『虚数が実数と同様に振る舞う』

つまり「実数の範囲にある」と仮定すると

$\begin{array}{llllll} \displaystyle x≤\sqrt{2} &\to&x^2≤2&&&〇 \\ \\ \sqrt{2}<x&\to& 2<x^2 &&&〇 \end{array}$

このように

「分かる形に問題なく変換できる」はず

$\begin{array}{llllccc} \displaystyle x≤i &\to&x^2≤-1&&&× \\ \\ i<x&\to& -1<x^2 &&&〇 \end{array}$

なんですが、これを行うと

$I_{\mathrm{left}}$ は条件を満たすものが無いので

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid x≤i \} \\ \\ \\ I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid x^2≤-1∧0<x \} \\ \\ &=&\{\} \\ \\ \\ I_{\mathrm{left}}&=&\{x∈\textcolor{pink}{R} \mid x^2≤-1∧x<0 \} \\ \\ &=&\{\} \end{array}$

「空集合」になることが分かります。

これを満たす「切断する点」は

$\begin{array}{llllll} \displaystyle -1&<&0&≤&x^2 \\ \\ &&0&≤&x^2 \end{array}$

これが片側全体を範囲に含むので

$-\infty$ が候補として考えられますけど

こいつの $2$ 乗は $\infty$ なので

$\begin{array}{ccccccccclll} -\infty&=&i &&？ \\ \\ \\ (-\infty)^2&&i^2 \\ \\ \displaystyle \infty&≠&-1 &&〇 \\ \\ \\ -\infty&≠&i &&〇 \end{array}$

間違いなくこう。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_{\mathrm{left}}&\textcolor{pink}{=}&\{\} &&× \\ \\ I_{\mathrm{left}}∪I_{\mathrm{right}}&\textcolor{pink}{≠}&R &&× \end{array}$

ということはつまり

そもそも「切断」が不可能である

ということが分かるため

仮に「虚数 $i$ が実数の範囲にある」場合

『デデキントの公理』に反することになる。

だから結果として

「実数ではない」と言えてしまいます。

複素数の平面的な感覚

「虚数」は実数直線上に無い

じゃあどこにあるんだって話なんですが

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrr} \displaystyle ↙&i&↖ \\ \\ -1 & ⇆ & 1 \\ \\ ↘&-i&↗ \end{array}$

解釈にはなりますが

『実数直線の奥』にある

と考えることができます。