|| 知ってるようでほとんど知らない
『順序』や『量』を表す概念のこと。
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「数字」は『数を表した記号』のことです。
なので「数字」と『数』は同じものではありません。
細かいですけどこの辺繊細なんです。注意したげて。
目次
・概要
浸透している数への印象「大きさとか量とか？」
・数の本質
自然数「人間の直観に強く結びついてるもの」
ペアノの公理「自然数の存在を公理化したもの」
・四則演算「有名な演算のこと」
加法「要するに足し算のこと（ + ）」
減法「まんま引き算のこと（ - ）」
乗算「いわゆる掛け算のこと（ × ）」
除算「つまりは割り算のこと（ ÷ ）」
演算の性質
交換律「演算を挟んで入れ替えできる」
結合律「括弧の内と外と入れ替えできる」
分配律「地味に一言で説明するのが難しい」
・自然数から作られる数
整数「自然数と引き算から生まれた自然な数」
有理数「整数と掛け算、割り算から生まれた自然な数」
実数「実数直線なんかの図形的な性質から生まれた自然な数」
無理数「実数であって、有理数じゃないもの」
複素数「この辺りまでくると直観から離れてくる」
さて、では『数』というものについて考えてみましょう。
『数』です。『数』ですよ。『数』『数』『数』です。
日常で「数字」を見ない人間はほとんどいないでしょう。
しかしはて、そもそもこいつはいったい何なのでしょう？
よくよく考えてみれば、なんなのかよく分からなくないですか？
皆の知ってる数
日常的な場面に視点を移して考えてみましょう。
ついでに『数』が使われている場面を思い浮かべてみてください。
まず、ほぼ間違いなく、
「時計」で時間を確認する場面はあると思います。
それと他に、皆さんは「買い物」でこれをよく見ると思います。
他にも天気予報なんかでは「降水確率」であったり、
単にものがいくつあるか「数える」ときであったり。
こんな感じに考えていくと、
物事を確認する上で、「数」は日常的に使われています。
特に時間とかで。
しかしはて、それでもいったい『数』ってなんなんでしょう？
↑のものはあくまで「使用例」であって『本質』ではありません。
「そういうもの」であって『なんなのか』は分かりません。
しかし、それでも人は当たり前のように『数』を扱います。
まるで空気でも吸うように、極々当たり前に。
というわけで、今回はそんなよくわからん『数』について、
その本質を語っていこうと思います。
なぜ「判断の基準」として使えるのか。
どうして「それが正しい」と感じるのか。
その本質的な部分について考えてみます。
自然数 Natural Number
|| 原点にして到達点
これは文字通りに『数学の中央』にある概念です。
とりわけ『順序を備えた自然数』は最も重要なものになります。
『数』さえも、これの前では「抽象化したもの」に過ぎません。
人間の『判断基準の本質』は、最終的にこれになります。
具体的には↓みたいな『数』です。
ただの『決まり』として、ここでは「 0 」を含めます。
0,1,2,3,4,5,...,n-1,n,...
数学は『数え上げ Counting』を基礎として発展してきました。
なぜかと言えば、それが「人間の直観」に一番近かったからです。
そして人間が扱う以上「限りあるもの」でなくてはなりません。
なぜなら『有限』でなければ、人は認識できないからです。
そしてこれが最も重要なのですが、
人間の直観に近い『自然数』は、
厳密には「有限の順序数」であるのなら、
『自然数』は『関係 ≤ 』で、確実に『比較』できます。
この性質を『比較確実性』と言って、
これのおかげで人は『比較』ができるわけです。
そして『比較』ができるから、人はそれに意味を見出せます。
時間なら「その時間までまだ何分あるから」「まだ大丈夫」と。
金銭なら「あれは何円だから」「あと何円いる」と。
降水確率なら「ほぼ 100\% なら」「まず降るだろう」と。
つまり『数の本質』に近い性質とは、
「比較が確実にできる」ことなわけです。
そんな「自然数」ですが、これは公理化されています。
はい、「公理」です。つまり本質は現状ここになります。
ペアノの公理 Peano Axioms
|| 自然数の存在を許す公理
「自然数」が満たすべき最低限の要件ですね。
形式は帰納的定義に近いです。
大きくわけて「 3 ブロック」になります。
その内訳は「初期値」「後者」「帰納的定義」です。
・初期値について
まずは『 0 の存在』からですね。
なんでもかんでもこれがないと始まらない。
・後者について
次は『任意（なんでも）の自然数 n 』として、
『後者 Suc(n)=n+1 が存在する』と来ます。
これについては、
「初期値っていう例外」と「その他」で分岐。
例外である初期値では
『 0 は後者ではない』という決まりが。
つまり「 0 」の前にはなにもありませんよと。
後者の性質
『同じじゃないなら違う後者を持つ』と。
これも当然ですね。1 と 100 の後者が同じだとびっくりです。
形式だと↓みたいな感じ。
n≠m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Suc(n)≠Suc(m)
・帰納的定義
これはいわゆる『性質の保証』です。
そのまま帰納的な公理になります。
要約すると「初期値」「任意のもの」「後者」が、
『ある性質を満たす』なら『全体もそれを満たす』という感じ。
乱暴にまとめるなら「全部似たようなもの」ってこと。
これを形式化したものが、定義です。
実際には↓ですね。
・初期値『 0 』がある性質を満たす。
・任意の『 n 』が性質をみたすなら、
『後者 Suc(n) 』もその性質を満たす。
であるなら、
『自然数全体』もまた、その性質を満たす。
ペアノの公理は以上になります。
というわけで、これの具体的な割り当て方を見ていきましょうか。
↑のままじゃ『後者 Suc(n) 』が漠然としているんで。
集合論的定義
これは「ペアノの公理」を満たす『集合』としての定義です。
やり方はいくらでもあります。
有名なやり方だと 2 通りあって、
『 0:=\{\} 』『 Suc(n):=\{n\} 』とする場合や、
『 0:=\{\} 』『 Suc(n):=n∪\{n\} 』とする場合も。
ただ『帰属関係 ∈ 』による「比較確実」という観点から、
『推移関係』があるかどうかが大事になるので、
『 Suc(n):=n∪\{n\} 』の方がよく採用されます。
なぜなら、例えば『 0 と 3 』だと、
\{\}∈\{\{\}\}∈\{\{\{\}\}\}∈\{\{\{\{\}\}\}\} ではあっても、
\{\}∉\{\{\{\{\}\}\}\} となるので『推移律』を満たしません。
\{\{\{\{\}\}\}\} の要素は「 \{\{\{\}\}\} だけ」です。
要素の中身までは含んでません。あくまで一元集合です。
というわけで、初期値を『 0:=\{\} 』として、
『 Suc(n):=n∪\{n\} 』としてみましょう。
すると「自然数」は↓みたいな『集合』として定義されます。
0:=\{\}=∅
1:=Suc(0)=\{∅\}=\{0\}
2:=Suc(1)=\{∅,\{∅\}\}=\{0,1\}
3:=Suc(2)=\{∅,\{∅\},\{∅,\{∅\}\}\}=\{0,1,2\}
...
『無限公理』から、これらは無限にあることが保証されます。
そしてこれが、自然数の「直感的理解」に一番近くなります。
見て分かる通り「数字」はラベル（名札）です。
その本質は『確実に比較ができる集合』になります。
そして『比較できる』から、「判断の基準に使える」んです。
それと、数学の『基礎』が「集合論」であるにも関わらず、
例えばなぜ「集合学」ではなく『「数」学』なのかというと、
その理由は、この『自然数』が「比較の基準」になるからです。
なにせ『実現したいもの』がこの「自然数」で、
「集合論」は、あくまで『実現のための手段』に過ぎません。
より詳しく言うなら、例えば「自然数」を考えない時、
「集合論」だけではなにがなにやらです。
集合の存在が確定しても、だからなに？って話になります。
より具体的な話をするなら、
例えば「何を作りたいか」が決まっていない状態で、
大量に「材料」だけがあるとします。
さて、この状態に意味はあるのでしょうか？
要約するとこんな感じです。
たとえ「材料」が無数に存在していても、
「実現したいもの」が無ければ、意味は無いという話。
そう、『学問の目的』にあたるものは、この『自然数』なんです。
だから「集合学」ではなく「数学」なんですね。
まとめると、
「集合論」は、あくまで「数」を説明するための道具。
『実現したいもの』は、人の判断基準である「自然数」です。
四則演算 Arithmetic
|| 基本的な演算
基本的な『 4 つの演算』のことです。
これらは「足し算」を基準にして定義されています。
その基準である足し算は「公理」です。
「引き算」の本質は『演算子 - 』になります。
「掛け算」は『複数回の足し算』で、
「割り算」は『逆元での掛け算』という感じ。
加法 Addition
|| 演算の原点
要は「足し算」のことです。
超が付くほど基本的なことではありますが、さてさて。
直観的な理解
基本的には↓みたいな感じに使われるかと思います。
なんかあるものが「何個」かあって、
またそれとは別に「何個」かあって、
じゃあ『全部』で幾つあるか、みたいな。
具体的には、出勤時間までに「何分」掛かるから、
「何時何分」までには出ないとな、みたいな。
こんな感じで皆さん当たり前にやりますけど、
いや、これ実際なにしてるんでしょうね？
なんでこれ、判断基準になるんですか？
はい、というわけで、
この操作の厳密な定義を確認してみましょう。
ペアノの定義
「演算子 + の振る舞い」を念頭に、
『後者』をもとにして「再帰的」に定義されてます。
『後者 Suc(n) 』とすると、
Suc(n)=n+1\,\,\,\,\,(n∈N)
また↑の定義から、当たり前のことが。
n+Suc(m)=Suc(n+m)\,\,\,\,\,(n,m∈N)
以上が定義になります。
でも、なんかよく分かんないって人もいると思うんで、
ちょっと確かめてみましょうか。
まず『 Suc(n-1)=n 』です。
ということは↓
Suc(n)=Suc(n-1)+1=Suc(n-2)+1+1=…
…=Suc(1)+\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n-1}
=Suc(0)+\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n}
=\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n+1}
∴Suc(n)=\displaystyle\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n+1}
ということは、一個減らせば↓だということが導けます。
\displaystyle n=\underbrace{1+1+1+1+…+1}_{n}
であるならば、↑ですから、
n+Suc(m)=n+(m+1) になって、
演算子 + は「結合律」を満たしますから、
n+(m+1)=(n+m)+1\,(∵associative\,law)
∴Suc(n+m)=(n+m)+1=n+Suc(m)
結局、ここでも『自然数』です。
そして最も直観的な「 1+1 」が基になってます。
いわゆる『数え上げ』を人はしてるわけですね。
「一個、一個、一個…」とやって「目標に到達」する。
だからこそ、人はこれを直観的に正しいと感じられるわけです。
結局、当たり前のことをしています。
『形式化』の過程で複雑に見えるだけで、
その本質は『 + の振る舞い』です。
「なにしてるか」を『実現する』ために、
なんか複雑に見える『形式』になっちゃてるだけ。
なので、そんな難しく考えなくて良いです。
減法 Subtraction
|| 引き算
要は↑の「加法」の逆の処理です。
「加法」が『 n+m=x で、 x を求める操作』なら、
「減法」は『 n+x=m で、 x を求める操作』になります。
これを行う『演算子 - 』によって、この「減法」は定義されます。
↑の例にならうなら『 m-n=x 』です。
ここで初めて「 m<n 」のときに、
「負の数」が定義されることになります。
逆に言えば「演算子 + だけの世界」では、
負の数を「定義することができない」という点に注意。
ただし変な話ですが、
その「存在は観測する」ことができます。
↑の「 n+x=m で、 m<n なら、 x は？」みたいな考え方で。
（強制法の本質）
乗法 Multiplication
|| 掛け算
加法をベースにして定義されてます。
これは言ってしまえば『2重に加法を行う』ことです。
要は『 m×n 』だと↓みたいにして定義します。
\displaystyle\underbrace{m+m+m+\cdots+m}_{n}つまり↓みたいな感じです。わお。
\displaystyle\underbrace{\underbrace{1+1+\cdots+1}_{m}+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{m}+\cdots+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{m}}_{n}この作業を省略するためにこれがいるわけですね。
「九九」なんかは、これを瞬時に行えるようにするためにあります。
除法 Division
|| 割り算
これはいわば「乗算の逆の処理」のことですね。
「掛け算」は「 m×n=x の x 」を求めますが、
「割り算」は『商』（ n×x=m の x ）を求める演算です。
一般的には、乗法の逆元で「乗法」の演算を行う感じです。
ただしこれは「 m/n=x 」なので、
必ずしも『 x が整数』になるわけではありません。
はい、そんなわけですから、
ここで『 x が整数じゃない』とき、
初めて『有理数』が定義されることになります。
有理数の数としての解釈は、要はこれです。
基本は『自然数』ベースで、これを作るための、
必要になる『自然数じゃない数』として人は見ています。
交換法則 Commutative law
集合 S に『演算 * 』が定義されてて、
a*b=b*a
↑を満たすなら『可換だ』とか『交換律を満たす』だとか言います。
結合法則 Associative Law
集合 S に『演算 * 』が定義されてるとき、
(a*b)*c=a*(b*c)
↑を満たすとき『結合律を満たす』と言います。
分配法則 Distributive Property
集合 S に『和と積の演算 +,× 』があるとき、
(a+b)×c=ac+bc
c×(a+b)=ac+bc
↑を満たすとき『積は和について分配的』だっていう感じ。
整数 Ganze Zahl
|| 0 の向こう側へ
『自然数』に「負の数」を導入した数のことです。
具体的には↓みたいな。
...,-n,-(n-1),...,-2,-1,0,1,2,3,...,n-1,n,...
厳密には『自然数』と『演算子 - 』で定義されてます。
Z=\{n-m\,|\,n,m∈N\}
有理数 Quotient
|| 値に無限が出てくる最初の領域
『整数』にならない「割り算」で出てきた数も含む数のこと。
↑の数を「分数」で表したりします。
分数 fraction
『 n/d 』で書かれる「 / 」を『括線 Vinculum』と。
『 n を分子 numerator』と呼んで、
『 d を分母 denominator』と呼びます。
「有理数」も『自然数』ベースで、
「割り算」とセットで定義されます。
Q=\{n/d\,|\,(n,d∈Z)∧(d≠0)\}
実数 Real Number
|| 人間の直観が働く最大の領域
いわゆる『実数直線』を表すために生み出されたものです。
感覚的に「数」というより『図形的な記号』という感じがします。
集合論的には『デデキント切断』というものを使って、
「自然数」というより「有理数」を使って定義されます。
主に「平方根」とか、いわゆる「高次方程式」の解から、
つまり『無理数』となる解を手にいれるための操作を使えば、
「自然数」からでも「切断面」が得られるわけです。
具体例だとそのまま、
「 x^2=2 」から切断面が得られます。
こうすることで「有理数っぽく」実数の全てを表現できます。
無理数 Irrational Number
|| 脇役っぽいくせに超大事
『有理数ではない実数』のことです。
つまり「 \mathbb{R}∖\mathbb{Q} 」になります。
無意味なものとは言いません。
寧ろ意味のある数値はたくさんあります。
例えば『 √2 』なんかは無理数ですが意味はあります。
同じく『 \log_e2 』なんかもしっかり意味があります。
超有名で大事なやつだと、
『円周率 π 』なんかは必須と言って良いでしょう。
『ネイピア数 e 』も指数関連では必須です。
こんな感じで、大事な数がここにはたくさん含まれてます。
それこそ数えることができないくらいに。（非可算性）
複素数 Complex Number
|| 直観の外に続く入り口
一言で言えば『実数の拡張』です。
は？って感じですけど、直観的にはどうも説明しにくい。
いわゆる『後者』の性質を表してるものです。
「線」があるなら「面」がある、という感じに。
イメージとしては「方向の拡張」という感じです。
『実数』はあくまで「直線上での移動」だったのに対して、
『複素数』は「平面的に移動」することを許容します。
その一事例として、
通常なら「 2 乗」すれば『正の数』になるところ、
『 i:=√{-1} 』は『負の数』になります。
この『 i 』は平面上にある単位で、
だからこそ「 2 乗」という一方向の演算から、
『負の数』を作ることができてしまうと考えられます。
なに言ってるんだって話ですが、
普通に考えれば『実数全体』を「 2 乗」すれば、
『正の実数全体』が得られることは当然の結果です。
しかし「複素数」では、そのまま『複素数全体』が得られます。
これは「実数全体」があくまで『一本の直線』であるのに対して、
「複素数」が『直線の無数の束』だから起きるのだと解釈できます。
イメージとしては、
なんとなく『空間を横から平面として見ている』感じと思えば。
実際、「実数」は『平面を横から線として見ている』ので。