|| 基数もとい、でかさ数
要は「でかさ」を表す「数」のことです。
「自然数」の一般化、というのが厳密な説明になります。
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なんやかんやのサイズはこの数値で表すことになります。
いや、逆ですね。あらゆる「大きさを表す数」は、基数です。
目次
・濃度「集合の大きさを表す概念」
・可算集合「数えることができる大きさの集合」
有限「自然数で表すことができる」
可算無限「最小の無限の大きさ」
可算無限濃度「自然数全体の集合の大きさ」
有理数の濃度「自然数と有理数の間に全単射がある」
整数の濃度「負の数と自然数の全単射を考える」
・非可算濃度「数えることができない大きさ」
実数の濃度「自然数との間に全単射が無い」
きっと耳慣れない単語かと。
それに、これはいろいろな使われ方をされてます。
意味に統一感が薄くて、強いて言うなら「大きさ」。
ともかく、あやふやな言葉というものは使いにくいものです。
なのでこの単語が普及しないのは、まあ仕方がないことなのかなと。
でも、使いにくいんですけど、
それでも、これはかなり大事なんじゃないかと自分は思います。
というのも、よくわからん「無限」について解釈するとき、
この概念を使わないとまじでよく分からんのです。
なにより単純に「サイズ」は大事でしょう。なんでも。
さて、では数学的にはどんな感じで使われてるかというと、
『集合論』では、集合の大きさ「濃度」をこの数値で表したりします。
なんで「濃度」？って思うかもしれませんが、それは後ほど。
というわけで、さっそく「濃度」について見てみましょうか。
厳密には「 Cardinal 」としての「基数」について見ていきます。
数学で使われるのは基本的にこの意味です。
濃度 Cardinality
|| カーディナリティって響きがなんか良い
要は「集合」が持ってる「要素」の『個数』のことです。
サイズを測る指標としては、すごく当たり前な感じしませんか？
といっても、ちょっとこれだけじゃ問題あるんですよね。
というのも「要素」が『有限』なら簡単なんですが、
「要素」が『無限』の時は、はてどうなるんでしょう？
例えば「 S=\{5,8,12\} 」なら、その「基数」は 3 です。
有限なら、こうして直観的に理解できます。
これを、形式的には↓みたいに表します。
|S| もしくは card(S)
つまり↑の例なら「 |S|=3 」です。
さて、『有限』の時の例は分かりましたが、
『無限』の時はどんなものが考えられますか？
例えば、一番有名な例で考えるなら、
「自然数全体」のサイズとかは、直観的にも『無限』ですよね？
それと同じく「 2 の倍数全体」のサイズとか。
他にも「実数全体」の大きさとかも。
しかしはて、これ、どうやって『サイズ』を考えれば良いんでしょう？
「有限」のものは単に数えれば良いですけど、
「無限」みたいな、こういうものの大きさは？
すべて均一に「無限」？ いや、まさかですよね。
そんなわけで、とりあえず理解に必要な知識を紹介していきましょう。
このへんの区別をするための単語なので、是非覚えてください。
可算集合 Countable Set
|| 可算って書くとなんか難しそうに
要は「数えることができる」集合のことです。
『自然数』にめちゃくちゃ関係のある「集合」になります。
数学ではどうにかこうにかこれ作りたい感じ。
自然数は人間にとって最も直観的なので。
（文字数とかも有限）
内訳は、大きく分けて 2 つになります。
一つが『自然数』の「どれか」だってことを表す「有限」。
一つが『自然数』の「全て」を扱う「無限」です。
区別するために、「無限」なら「可算無限集合」と言います。
なぜか区別しない書籍もあるので、ちょっと注意。（マジで謎）
んでは、さっそく形式的に見ていきましょうか。
有限 Limited
|| 限りが有ります
これはもう単純です。要は『限りがある』感じ。
数的には『自然数』のどれかを表します。
例えば、なにか（荷物とか）あったとします。
たくさんでもちょっとでも良いです。
これが「有限」ということは、
その中の『要素に「番号」を割り当てられる』ということ。
つまり、そんな写像があるってことです。
具体的な例で確認してみましょう。
とりあえず「 ●,×,▼ 」があったとします。
これに番号を割り当ててみましょうか。すると↓
1\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,●
2\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,×
3\,\,\,\,\,↦\,\,\,\,\,▼
見て分かる通り、当たり前のことをやってます。
要は「数え上げ」です。いっこ、にこ、さんこ、って感じの。
ナンバリングとかいう言い方もありますね。
（こんなだから可付番とも）
これを形式的に表すと↓みたいな感じになります。
集合 S_l が「有限」なら、
自然数の集合『 N=\{1,2,3,4,5,...\} 』との間に、
『全単射は存在しない』上で、
集合 S_l から集合 N への「単射」が存在する。
意訳すると、割り当てられない要素が N にある。
（例えば超でかい数とか）
もしくは
集合 N から集合 S_l への「全射」が存在する。
意訳すると、写り先が被ってしまう要素が N にある。
（自然数全体より小さいってこと）
これは直観的にすぐわかると思います。
要するに『有限』の特徴を形式的に表現してるだけなので。
はい、ともかく問題はこっからですね。
↓から、遂に「無限」について触れていきます。
可算無限 Countable Infinity
|| 数えられるけど限りは無いです
これは、いろんな定義のやり方があると思います。
たぶん、一番直観的なのは『自然数全体の大きさ』ですね。
↑の「有限」の形式的な定義にならうなら、
S_N が「可算無限」なら、
「自然数全体」の集合 N との間に「全単射」が存在する
となります。
例えば「 2 の倍数全体」とかなら、
自然数全体との「全単射 2n 」が存在するとか。
さて、ではこれを元に本題に入っていこうと思います。
ようやっと「基数」についてです。
可算無限集合の濃度
|| 無限と濃度の取り合わせ
簡単に言うと、特に問題ないからこうしよう、
という感じに、これは「名前を付けられました」。
その名前は「超限基数 Transfinite Cardinal」です。
記号では「 \aleph_0 （アレフ・ゼロ）」と表されます。
つまり「有限集合 S_l 」の『濃度』は「 |S_l|<\aleph_0 」です。
この「無限集合」の『濃度』の定義は、
「無限集合」に『全単射』を適用したことによって定められました。
つまり、これは決まりです。
「～だから、それは無限集合の基数だ」（帰結）ではなく、
「無限集合の基数を～とする」（決まり）です。
とはいえ、この定義は直観的に正しく見えます。
特に矛盾も生じませんし。
それもそのはずで、「全単射がある」んです。
全ての「元（要素）」が、1つ1つ結びついてます。
これは、要素の個数が一致しないと実現できません。
こんな感じにパッと直観的に考えても、
やはり、サイズ（要素の数）が同じように思えます。
実際、『有限』で考えると当然の話でしょう。
要素数が 2 の集合が二つあれば、
その二つの集合の間には簡単に全単射を考えることができます。
なぜ単に「要素数」ではなく「濃度」なのか
さて、しかしそもそも、なぜ「濃度」なんでしょう？
別に『要素数』でも、特に問題無いように思えますが。
当然ですが、これには相応の理由があります。
↓では、それを説明していきます。
というわけで、具体例を見てみましょう。
具体的なものを見れば、なんとなく言いたいことが分かるので。
というわけなので、
まず基準となる『自然数全体 N=\{1,2,3,...\} 』
これの『濃度 \aleph_0 』を念頭に置いて考えてみましょう。
ついでに、これと比較するために、
「 2 の倍数全体（偶数）」の「濃度」を考えてみます。
ともかく、これらを並べて見てみましょうか。
それが一番見易いと思うので。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
2,4,6,8,10,12,14,16,18...
一見すると、どう見ても「自然数」の方が大きく感じます。
まあ当然でしょう。偶数は自然数の同値類、いわば『一部』ですし。
いや、でも、この二つには『全単射が存在する』ことも事実です。
考えるまでもなく、この事実はかなり直観的に理解できます。
f:N→2N\,\,\,(n↦2n)
なぜなら、例えば↑みたいに、簡単に「全単射」が作れてしまいます。
単に 2 倍するだけなので、議論もくそも無いでしょう。
ということは、『定義から考える』と、
この二つのサイズは「直観的には同じ」なんです。
ちょっと変な話ですけど、
明らかに「一部」のものが、明らかに「同じ大きさ」になります。
はい、二つの直観が、ここでぶつかるわけです。
へ？ って話ですよね。なんか、変です。
じゃあおかしいの？ ってなると思う気持ちはよく分かります。
でも、結局これはどちらも間違ってはいません。
それを表すために、ここで『濃度』って言葉が登場します。
というわけで、ちょっと考えてみてください。
「要素数」の比較ではなく、「濃度」の比較という感じに。
「要素数」で考えると「自然数全体」の方が大きく感じます。
2 の倍数は、どう考えても自然数の『一部』ですので。
しかし、『濃度』だとどうでしょう？
自然数はそのままに、 2 の倍数を圧縮して考えてみます。
すると、なんか同じくらいな感じになりませんか？
いわゆる「無限の広がり」から、
「一部の無限の広がり」を取り出しても、
それは「無限の広がりと同じ大きさ」だよね、って感じ。
イメージとしては、「無限の大きさのコップの水」から、
「一部の無限の量の水」を取り出しても、
その水を入れるには無限の大きさのコップがいるよね、って感じ。
こう考えると、そうおかしな感じでもなくなるんじゃないでしょうか。
要は「同じような無限」なんじゃ？ って話なので。
これを実感するために、もっと具体例を見てみましょうか。
無限が直感から遠ざかる感じをもっと味わってみましょう。
↑では明らかに小さそうな、一部（偶数）を見てみたので、
今度はでかそうなの（自然数全体を含む）と比較してみましょうか。
ちょっといきなりスケールを上げてみます。
「自然数 N=\{1,2,3,4,5,...\} 」と、
「正の有理数全体 Q^+=\{(1,1),(1,2),(1,3),...\} 」
この二つの大きさ（濃度）を比較してみます。
当然ですが「正の有理数全体」は自然数全体を含んでます。
いや、絶対「正の有理数」の方がでかいでしょ、
という感覚はすごくよく分かるんですけど、これ、実は同じです。
ちょっと長くなりますが確かめてみましょうか。
自然数と正の有理数
これは「有理数の定義」から、割り当てる方法を考えます。
そのために、そうですね、表でも作りましょうか。
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
| 1 | 1/1 | 2/1 | 3/1 | 4/1 | |
| 2 | 1/2 | 2/2 | 3/2 | 4/2 | |
| 3 | 1/3 | 2/3 | 3/3 | 4/3 | |
| 4 | 1/4 | 2/4 | 3/4 | 4/4 | |
| … |
縦軸を「分母」横軸を「分子」とすれば、
これで表の中身が全ての「正の有理数」になります。
さて、では「番号の割り当て」に関してですが、
パッと見、横だけの操作じゃ難しそうです。
なにせ終わりが無いので（分母 1 の行だけで無限個）
となると、横の操作だけではなく縦の操作も必要になりそうです。
横から全部、次に縦、というのは無理そうですからね。
同じ理由で縦の操作だけも無理そうだと分かります。
というわけで「平面的」に見て、
「斜め方向」なら、一方向から割り当てができそうな気がします。
とりあえず、『見える表の端』に注目しましょう。
そしてこれは唯一「表の左上」だけなので、ここからスタートします。
「左上から右下」だと「無限」方向に行くので×
「右下」は見えないので、とにかくこの方向はダメですね。
となると「右上から左下」か「左下から右上」
このどちらかの操作になります。
といってもまあ、方向が違うだけなのでわかりやすい方で。
はい、というわけで「上」からの方が直感的なので、
「表の左上」スタートで「右上から左下」の操作、
これを採用することにします。
すると、↓の表みたいな割り当てが考えられます。
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
| 1 | 1/1\,(1) | 2/1\,(2) | 3/1\,(4) | 4/1 | |
| 2 | 1/2\,(3) | 2/2\,(5) | 3/2 | 4/2 | |
| 3 | 1/3\,(6) | 2/3 | 3/3 | 4/3 | |
| 4 | 1/4 | 2/4 | 3/4 | 4/4 | |
| … |
しかしこれを見ると、なんか被りがありますよね。
「 1/1,2/2,3/3 」は「 1 」ですし。
「 1/2,2/4 」は「 1/2 」です。
「全単射」を考えると被りはよろしくないので、
この被りには番号を割り振らないことにしてみましょう。
すると↓みたいになります。
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
| 1 | 1/1\,(1) | 2/1\,(2) | 3/1\,(4) | 4/1\,(6) | |
| 2 | 1/2\,(3) | 2/2 | 3/2\,(7) | 4/2 | |
| 3 | 1/3\,(5) | 2/3\,(8) | 3/3 | 4/3 | |
| 4 | 1/4\,(9) | 2/4 | 3/4 | 4/4 | |
| … |
するとあら不思議、
「正の有理数全体」に「自然数」が割り当てられてしまいました。
分母分子の行列は、その倍数の個所が穴開きです。( 1 以外)
この単純な操作を繰り返すだけですから、
どんなに大きな「正の有理数」でも（ 1315418621/2 とか）
どんなに複雑な「正の有理数」でも（ 6941582/7247 とか）
こうすれば、必ず「自然数」が割り当てられます。
はい、つまりはそういうことです。
「正の有理数」の「基数（濃度）」もまた『 \aleph_0 』になります。
じゃあ負の数は？ ってなると思うので、
ついでに「整数」についても見ていきましょうか。
といっても、こちらは簡略化します。
自然数と整数の濃度
これのアイディアの源泉は「偶数」と「奇数」です。
本質的には「 2 進数」表記からになります。
簡略化のために、ここで「偶数全体の集合」は「 even 」、
「奇数全体の集合」は「 odd 」としておきましょう。
すると「自然数」と「整数 Z 」の間には、
↓のような『全単射』があることが分かります。
\displaystyle f(n)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1-n}{2}&(n∈odd)\\\displaystyle\frac{n}{2}&(n∈even)\end{cases}
なんだかややこしく見えますが、
やってることは単純です↓（こっちから↑が出来上がる）
| 1 | ↦ | 0 |
| 2 | ↦ | 1 |
| 3 | ↦ | -1 |
| 4 | ↦ | 2 |
| 5 | ↦ | -2 |
| 6 | ↦ | 3 |
| … |
はい、これで『整数』が作れてしまいます。
こう見ると当たり前のように感じますね。
というわけで「自然数」と『濃度』が同じだと分かりました。
↑みたいにすれば「負の数」も同様だと分かります。
このアイディアを使えば「有理数全体」の『全単射』も同じ感じ。
まとめると、濃度は↓みたいになります。
ちょっと信じられない感じの結果ですが。
|N|=|Z|=|Q|
というわけで、最後に「実数」はどうなのか見てみましょうか。
結論から言うなら、このサイズは『自然数より大きい』です。
これを説明するために、次のものを紹介します。
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