|| でかさ・中身の個数を表す数
「でかさ」を表す「数」のこと。
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なんやかんやの「サイズ」
あるいは「中身の数」を表す時
その数値をこのように呼ぶことがあります。
目次
・濃度「集合の大きさを表す概念」
・可算集合「数えることができる大きさの集合」
有限「自然数で表すことができる」
可算無限「最小の無限の大きさ」
可算無限濃度「自然数全体の集合の大きさ」
有理数の濃度「自然数と有理数の間に全単射がある」
整数の濃度「負の数と自然数の全単射を考える」
・非可算濃度「数えることができない大きさ」
実数の濃度「自然数との間に全単射が無い」
これは一般的には耳慣れない単語だと思います。
「基数」と言われてパっと意味が分かる人は少数でしょう。
実際、この単語は少し面倒です。
複数の意味を持ってるので実にややこしく
その意味は文脈によって判別されるので
ただ「基数」と言われて意味を断定することはできません。
複数の意味
この記事では『集合の中にある要素の数』
\begin{array}{llllll} \displaystyle S&=&\{あ,a,1\} \\ \\ 3&=&\mathrm{Cardinal}(S) \end{array}
つまり \mathrm{Cardinal}
この意味での「基数」をメインに扱いますが
\begin{array}{cccccccccccccccccc} \displaystyle 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{array}
『記数法で使われる基礎的な記号』
\begin{array}{cccccccccccccccccc} \displaystyle 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\cdots &(個) \end{array}
『カウントする時に使われる自然数』
これらもまた「基数」といい
他にも「対数」における『底 a 』の意味も持っています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle a^x&=&b \\ \\ x&=&\log_a b \end{array}
まあ要は「基（土台・基礎）」
そういったイメージに由来する意味を持っていて
それぞれに「基」を当てはめた結果
異なる意味を持ってしまった、って感じ。
意味の確認
意味が曖昧にならないために
この記事では「基数」の意味を『要素数』
つまり \mathrm{Cardinal} の意味に限定する、としておきます。
濃度 Cardinality
|| カーディナリティって響きなんか良い
「集合」が持ってる「要素」の『個数』のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle S&=&\{1,a,あ,y\} \\ \\ |S|&=&4 \end{array}
記号ではこんな風に書くことが多いです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&4 \\ \\ \mathrm{Card}(S)&=&4 \\ \\ \mathrm{Cardinal}(S)&=&4 \end{array}
他にはこんな感じの書かれ方があります。
なんで濃度？
これは「一定の大きさの袋」とか
なんか「いくらでも入る輪っか」みたいな
そういうのをイメージしてもらえれば分かりやすくて
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1,2,3,4,5 \\ \\ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{array}
例えばこれらを
それぞれ「同じ大きさの袋に入れる」とすると
「多い方」の『密度』の方が「高く」なりますよね？
\begin{array}{llllll} \displaystyle 5&<&10 \end{array}
まあ要はそういう話で
この感覚から「濃度」って単語が来てる感じです。
無限集合の濃度
『有限』の時は分かりやすいですが
『無限』の時はどのように書くのか
知らないと分かるわけないので紹介しておきます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Card}({N})&=&\aleph_0 \end{array}
一番有名な例「自然数全体 N 」で考えると
サイズ（基数）の表現はこう。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0 \end{array}
この記号は「可算無限のサイズ」
なんて呼ばれるものを表す記号になります。
なんかよく分かんないと思いますが、
とりあえず、今はそういうものだと思っておいてください。
他の無限集合の濃度
「正の 2 の倍数全体」のサイズ
「実数全体」のサイズも似たような形で表現されます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{2,4,6,8,10,12,...\}&=&N_{2n} \\ \\ \{ x \mid -\infty<x<\infty \}&=&R \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Card}(N_{2n})&=&\aleph_0 \\ \\ \mathrm{Card}(R)&=&\aleph_1&>\aleph_0 \end{array}
その場合こうなるんですが、
これも、とりあえずこの時点では
なんかそういうものだと思っておきましょう。
可算集合 Countable Set
|| 可算って書くとなんか難しそうに見える
「数えることができる」集合のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(S_{\mathrm{countable}})&≤&\aleph_0 \end{array}
「有限」と「無限」の２つがあって
基本的に数学の目指す場所はここになります。
有限 Limited
|| 限りが有ります
『限りが有る』を表す単語。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(S_{\mathrm{limited}})&<&\aleph_0 \end{array}
必然的に『自然数』を意味する概念になります。
有限の厳密な定義
集合論の言い回しでは
「有限」は『写像』を使って定義されています。
\begin{array}{ccccccccccllllll} \displaystyle 1&&\to&& 〇 \\ \\ 2&&\to&& × \\ \\ 3&&\to&& △ \\ \\ 4&&\to&& ◇ \end{array}
『要素に「番号」を割り当てられる』
これが「有限」の集合論的な解釈で
\begin{array}{llllll} \displaystyle f &:&S_{\mathrm{limited}}&\to&N \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{limited}}&=&\{e_1,e_2,e_3,...,e_{n-1},e_{n}\} \end{array}
そんな「写像」があるなら
その集合 S_{\mathrm{limited}} は「有限」だということになります。
そのまんまですね。
より厳密には
集合 S_{\mathrm{limited}} が「有限」なら
『自然数全体の集合 N 』との間には
『全単射は存在しない（無限にならない）』上で
\begin{array}{llllll} \displaystyle N&=&\{1,2,3,4,5,...\} \end{array}
集合 S_{\mathrm{limited}} から集合 N への「単射」が存在する
\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:& S_{\mathrm{limited}}&\to&N \end{array}
とまあこのように表現されますが
言ってることは同じです。
可算無限 Countable Infinity
|| 数えられるけど限りは無いです
『自然数全体の大きさ（最小の無限）』のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&=&\aleph_0 \end{array}
これにはいろんな定義があります。
厳密な定義
「有限」の形式的な定義にならうなら
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&=&\mathrm{Cardinal}(S_N) \end{array}
S_N が「可算無限」なら
「自然数全体の集合 N 」との間に
「全単射」が存在する
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(N)&=&S_N \end{array}
みたいな感じになります。
これもまんまですね。
具体的な感じ
「加算無限」となるものはいっぱいあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(n)&=&2n \end{array}
「 2 の倍数全体」とかだと
自然数全体との「全単射 2n 」が存在しますし
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(n)&=&\displaystyle\left\{\begin{array}{cclll}\displaystyle\frac{1-n}{2}&&n∈\mathrm{odd} \\ \\ \displaystyle\frac{n}{2}&&n∈\mathrm{even} \end{array}\right. \end{array}
「整数」とかも
「奇数 \mathrm{odd} 」「偶数 \mathrm{even} 」で分ければ
こんな「全単射 f 」が存在します。
可算無限集合の濃度
|| 集合のサイズで定義される無限
ここでは「超限基数 Transfinite Cardinal」と呼ばれる
『最小の無限 \aleph_0 』についての話をしていきます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(S_{\mathrm{limited}})&<&\aleph_0 \end{array}
確認しておくと
「有限集合」との関係は当然こう。
\begin{array}{llllll} f(N)&=&S_N \end{array}
「加算無限集合」との関係はこうです。
定義された無限
「無限集合」の『濃度』は
「自然数全体の集合 N 」との間に
『全単射が存在する』という形で定義されています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(N)&=&S_{\infty} \end{array}
まあつまり
『自然数全体の集合の要素数』
これが「無限」として定義されていて
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&=&\aleph_0 \end{array}
この時点ではまだ
「整数」「有理数」「実数」「複素数」とか
この辺りのサイズについては言及されていません。
なんでこんな定義なのか
直観的に「無限」について考えてみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1,2,3,4,5,... \end{array}
これの「右端にあるもの」
それを「無限」だ、と感じるはずです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots &\infty \end{array}
ただ、そう考えた場合
その「無限」は『どのように表現されるのか』
これがよく分からなくて
というのも
例えば左端からスタートして数を増やしていっても
当然、右端に到達することはできません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle n_{\mathrm{big}}&<&\infty \end{array}
ハイパー演算子などを使って
どれだけ大きな数字を用意しても
結局、それが無限と同等になることは無いです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle n+m &\to&\infty \end{array}
つまり
これではうまく「無限」を表現できません。
やりたいことは直感的に分かりますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots & ← &？ \end{array}
具体的にどうなっているのか
この辺りがまるでよく分からないんです。
全と無限
上の問題を解決したい
そんな時に使えるのが「全て」という概念で
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N \end{array}
これを認めることによって
「全体」を「１つのもの」とし
\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots &→&\mathrm{All} \end{array}
『無限に中身を持つまとまり』として
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N) \end{array}
これの『サイズ（要素数）』は
このように表現できることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&=&\aleph_0 \end{array}
これを「無限」として扱うことによって
「無限」を有限の記号で表現できるようになります。
他の無限集合
上の話はあくまで「自然数」の話。
となれば、他はどうなの？ってなりますよね。
\begin{array}{ccccccccccccccccccccccllllll} \displaystyle 2&4&6&8&10 &\cdots \\ \\ 1&3&5&7&9 &\cdots \end{array}
「全単射」云々の話を知らないとすると
「自然数全体」とのサイズの違いは分かりませんが
\begin{array}{llllll} \displaystyle 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
そういった話とは無関係に
これらは確実に「無限」の要素を持ってますし。
無限集合同士の比較
当然の話ですが
「自然数」「 k の倍数」「整数」の全体など
\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrllllll} \displaystyle 0&1&2&3&4&\cdots \\ \\ 0&2&4&6&8&\cdots \\ \\ 0&-1&1&-2&2&\cdots \end{array}
これらの「無限」が
『全て異なっている』と考えるのは
\begin{array}{llllll} \displaystyle 2,4,6,8,...&&→&&2n \\ \\ 3,6,9,12,... &&→&&3n \end{array}
こういった単純な「全単射」が存在する以上
なんというか、不自然です。
確認しておくと
「有限」の場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&&→&&a \\ \\ 2&&→&&b \\ \\ 3&&→&&c \end{array}
「全単射」が存在するなら
それらの要素数は必ず等しくなる。
これは単なる事実で
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots \end{array}
「無限」の場合であっても
\begin{array}{cccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots \\ \\ 4&8&12&16&20&24&\cdots \end{array}
どこまで右に行っても
「どちらかが足りない」とはならないので
\begin{array}{llllll} \displaystyle n&&→&&2n \end{array}
これらの『要素数』に
「明確な違い」は発見できません。
実際、同じだと考えたところで
矛盾らしい矛盾が生じることは無いです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle n&&→&&2n \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2}2n &&←&& 2n \end{array}
寧ろ「同じ」とする方が自然なように感じます。
中身が変わるだけ
「偶数」「奇数」「倍数」が
「自然数全体」の『一部』であることは事実。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 2N&⊂&N \end{array}
つまり「偶数」「奇数」「倍数」なんかは
確実に「自然数全体」の「部分集合」で
この事実は否定できません。
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots \\ \\ 1&&3&&5&&\cdots \\ \\ &2&&4&&6&\cdots \\ \\ &&3&&&6&\cdots \end{array}
とまあこのように
これらは明らかに「自然数全体の一部」なんですが
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots&n&\cdots \\ \\ 1&3&5&7&9&11&\cdots&2n-1&\cdots \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
そうであるのと同時に
「自然数全体」の値に同様の演算を行えば
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(n)&=&n+1 \\ \\ f(n)&=&2n \end{array}
『中身が変わるだけ』で
「要素の数は変わらない」とも言えます。
同じだという解釈
「一部」として定義できるように
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots \\ \\ 1&&3&&5&&\cdots \\ \\ &2&&4&&6&\cdots \\ \\ &&3&&&6&\cdots \end{array}
「中身の置き換え」としても定義できる。
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots&n&\cdots \\ \\ 1&3&5&7&9&11&\cdots&2n-1&\cdots \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
以上のことを踏まえると
『無限集合』の「要素の数」を考える時
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle &2&&4&&6&\cdots \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
→ から足りないものを持ってきて
← に「敷き詰めて並べる」
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle &2&&4&&6&\cdots \\ \\ &&&↓ \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
これはそんな操作にも見えるわけですが
これは「中身」を変えず
「順番」も変えない上に
ある要素の「次の要素」も明確な操作です。
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&\cdots&n&\cdots \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
つまり、これらが「同じだとする解釈」は
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle &2&&4&&6&\cdots \\ \\ &&&↓ \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
この特に問題の無い操作を許すのであれば
何の疑問も無くなる、ということになります。
操作の是非より要素数
以下の操作が何の問題も抱えていない。
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle &2&&4&&6&\cdots \\ \\ &&&↓ \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
これを断言することはできません。
しかし「要素数」についてのみ着目する場合
\begin{array}{ccccccccccccccc} \{\displaystyle & &2&&4&&6&\cdots && &\}&&=&&A \\ \\ \{& 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots &\}&&=&&B \end{array}
片方から要素を抜き出す。
その要素がもう片方にあるか確認する。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 28 &&→&&28 \\ \\ 4096 &&←&& 4096 \\ \\ 2n&&↔&&2n \end{array}
この操作で
「無いもの」が無いことは明らかなので
「集合論」的には明らかに『同じ』
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle &2&&4&&6&\cdots \\ \\ &&&↓&× \\ \\ 2&4&6&8&10&12&\cdots&2n&\cdots \end{array}
つまり
この操作を仮に許さなかったとしても
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(A)&=&\mathrm{Cardinal}(B) \\ \\ &&\mathrm{Cardinal}(B)&=&\mathrm{Cardinal}(N) \end{array}
間接的にではありますが
「自然数の一部（無限集合）」もまた
「自然数全体」の要素数と同じになります。
直感的ではない無限
以上の「偶数」「奇数」「倍数」の例だと
要素数が『同じ』だということは
直感的になんとなく分かります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(n)&=&2n \end{array}
ただ、中にはそうではないものもあって
例えば「正の有理数全体 Q_+=\{(1,1),(1,2),(1,3),...\} 」
\begin{array}{llllll} \mathrm{Cardinal}(Q_+) \end{array}
これを考えた場合
「自然数全体」と要素数の比較を行うと
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&？&\mathrm{Cardinal}(Q_+) \end{array}
直感的には明らかに『有理数の方が多い』
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&≤&\mathrm{Cardinal}(Q_+) \end{array}
とまあそのように感じますが
実は、この直感は間違っていて
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&<&\mathrm{Cardinal}(Q_+) &&× \\ \\ \mathrm{Cardinal}(N)&=&\mathrm{Cardinal}(Q_+) &&〇 \end{array}
サイズは同じになります。
「正の有理数全体」は自然数全体を含みますし
\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle \frac{1}{1} &\displaystyle \frac{1}{2} &\displaystyle \frac{1}{3} &\displaystyle \frac{1}{4} &\displaystyle \frac{1}{5} &\cdots \\ \\ \displaystyle \frac{2}{1} &\displaystyle \frac{2}{2} &\displaystyle \frac{2}{3} &\displaystyle \frac{2}{4} &\displaystyle \frac{2}{5} &\cdots \\ \\ &&\vdots \end{array}
それでなくとも
直感的には比較にならない
それほどの差を感じますが
有理数の方が多いという直感に反し
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&=&\mathrm{Cardinal}(Q_+) \end{array}
有理数のサイズは
なぜか「自然数」のサイズと同じになります。
自然数と正の有理数
いや、絶対「正の有理数」の方がでかいでしょ
っていう感覚はすごくよく分かるんですけど
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&=&\mathrm{Cardinal}(Q_+) \end{array}
実はこれ、要素数は同じなんです。
いやいや、って感じですけど
実際、できちゃうんですよね、全単射
有理数を表で見てみる
「有理数の定義」から割り当てる方法を考える。
そのために表を用意して有理数を眺めてみます。
| 1 | 2 | 3 | 4 | \cdots | |
| 1 | 1/1 | 2/1 | 3/1 | 4/1 | |
| 2 | 1/2 | 2/2 | 3/2 | 4/2 | |
| 3 | 1/3 | 2/3 | 3/3 | 4/3 | |
| 4 | 1/4 | 2/4 | 3/4 | 4/4 | |
| \vdots |
縦軸を「分母」
横軸を「分子」と考えれば
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{\mathrm{horizontal}}{\mathrm{vertical}} \end{array}
これで表の中身として
全ての「正の有理数」は表現されたことになります。
重複はありますけど。
自然数を割り当てる
「番号の割り当て」に関して
パッと見、横だけの操作じゃ難しそう。
それはすぐに分かると思います。
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1 &2&3&4&\cdots & n &\cdots \\ \\ \displaystyle\frac{1}{1} &\displaystyle\frac{2}{1}&\displaystyle\frac{3}{1}&\displaystyle\frac{4}{1}&\cdots & \displaystyle\frac{n}{1} &\cdots \end{array}
なにせ終わりがありませんし
１行だけでナンバリングはできてしまいます。
（分母 1 の行だけで無限個）
横がダメとなると
じゃあ縦の操作は？となりますが
\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle 1 & \displaystyle \frac{1}{1} \\ \\ 2 & \displaystyle \frac{1}{2} \\ \\ 3 & \displaystyle \frac{1}{3} \\ \\ &\vdots \end{array}
縦だけの場合も同様に無理なので
このアプローチからは全単射が得られません。
\begin{array}{cccccccccccccllllll} \displaystyle →&← &&× \\ \\ ↓&↑ &&× \end{array}
「左から右」「右から左」は『一番右』が見えない
「上から下」「下から上」は『一番下』が見えない
\begin{array}{llllll} \displaystyle ／ \\ \\ ＼ \end{array}
以上が明らかなので
「平面」の情報をより複雑に
今度は「斜め方向」で考えてみると
\begin{array}{ccccccccccccllllll} \displaystyle ／&&？ \\ \\ ＼&&× \end{array}
見えないのは「右下」だけなので
「左下」「右上」に行き着く
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{\nearrow} &\swarrow \end{array}
この２パターンについては
一考の余地が生まれます。
というわけでさっそく試してみると
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
| 1 | 1/1\,(1) | 2/1\,(2) | 3/1\,(4) | 4/1 | |
| 2 | 1/2\,(3) | 2/2\,(5) | 3/2 | 4/2 | |
| 3 | 1/3\,(6) | 2/3 | 3/3 | 4/3 | |
| 4 | 1/4 | 2/4 | 3/4 | 4/4 | |
| \vdots |
「 1/1,2/2,3/3 」が「 1 」になる
「 1/2,2/4 」なんかが「 1/2 」になる
こういった「被り」を取り除いていけば
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
| 1 | 1/1\,(1) | 2/1\,(2) | 3/1\,(4) | 4/1\,(6) | |
| 2 | 1/2\,(3) | 2/2 | 3/2\,(7) | 4/2 | |
| 3 | 1/3\,(5) | 2/3\,(8) | 3/3 | 4/3 | |
| 4 | 1/4\,(9) | 2/4 | 3/4 | 4/4 | |
| \vdots |
「正の有理数全体」に対して
「自然数」を割り当てることができちゃいます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&n&\displaystyle\frac{q}{p} \end{array}
ちなみに穴あきの箇所は
分母分子が「互いに素ではない」部分です。
（ 1 の部分がちょっとあれ）
有理数の濃度と全単射
どんなに大きな「正の有理数」でも
どんなに複雑な「正の有理数」でも
\begin{array}{llllll} \displaystyle ↙&↗ \end{array}
どちらかのアプローチで
必ず「自然数」を割り当てることができる。
ということはつまり
「自然数」と「正の有理数」の間には
「全単射」を作ることができるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(N)&=&Q \\ \\ N&=&f^{-1}(Q) \end{array}
「正の有理数」の「基数（濃度）」は
自然数と同じ『 \aleph_0 』になる、と言えます。
じゃあ負の数は？ ってなるかもしれませんが
これは「整数」の話に関わってくるので
詳しい話はそちらで。
自然数と整数の濃度
これを考える上で必要になるアイディア
その源泉は「偶数」「奇数」の存在になります。
（本質的には「 2 進数」表記）
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0 && + \\ \\ 1 && - \end{array}
簡略化のために、ここで
「偶数全体の集合」を「 \mathrm{even} 」
「奇数全体の集合」を「 \mathrm{odd} 」とすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(n)&=&\displaystyle\left\{\begin{array}{cclll}\displaystyle\frac{1-n}{2}&&n∈\mathrm{odd} \\ \\ \displaystyle\frac{n}{2}&&n∈\mathrm{even} \end{array}\right. \end{array}
「自然数」と「整数 Z 」の間には
このような『全単射』が簡単に作れます。
見た目、なんだかややこしく見えますが
やってることは単純です。
（ ↓ から ↑ が出来上がる）
| 1 | ↦ | 0 |
| 2 | ↦ | 1 |
| 3 | ↦ | -1 |
| 4 | ↦ | 2 |
| 5 | ↦ | -2 |
| 6 | ↦ | 3 |
| \vdots |
呆気ない話ですが
『整数』と『自然数』の紐づけは
\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots&-3&-2&-1&0&1&2&3&\cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&1&-1&2&-2&3&-3&\cdots \end{array}
ただ「１列に並べる」だけで
簡単に作ることができてしまいます。
自然数と整数と有理数
「自然数」の『濃度』について考えていくと
感覚的には信じられませんが
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&|Z| &&\Bigl(2|N| =|Z|？ \Bigr) \\ \\ |N|&=&|Q| &&\Bigl(|N| <|Q|？ \Bigr) \end{array}
「整数」のみならず
「有理数」の『濃度』とも一致してしまう。
すごく不思議な結果ですが
「全単射」を作れる以上
これは否定することができません。
でまあこうなると
じゃあ「実数」も？ってなりますよね。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&？&\mathrm{Cardinal}(R) \end{array}
この調子ならいけそうな感じしますし。
非可算集合 Uncountable Set
|| 数えることすらできない大きさ
「可算無限集合」より「要素が多い？」集合のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&<&\mathrm{Cardinal}(S_{\mathrm{uncountable}}) \end{array}
まあつまり「可算無限集合」じゃない
そんな「無限集合」のことを
「非加算無限集合」と言います。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&<&？ \end{array}
この時点で分かると思いますが
「加算無限より大きな無限」がないと
これは定義することができません。
濃度と呼ばれることが多い
「要素数」と呼ばれるより
「濃度」と呼ばれることが多いのはなぜか
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&<&\aleph_1 \end{array}
その疑問の答えは
「非可算無限」と「無限」の比較
この感覚を思えばなんとなく紐解けます。
\begin{array}{llllll} N&&\displaystyle 0,1,2,3,\cdots \\ \\ R_{0,1} &&0,\cdots,1 \end{array}
というのも
これらは「どちらも無限」ですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&<&\mathrm{Cardinal}(R) \end{array}
この間には明確な大小関係があって
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1,2,3,\cdots \\ \\ 0,\cdots,1,\cdots,2,\cdots \end{array}
実数で言うところの「連続性」
自然数で言うところの「離散性」が
両者の無限を明確に区別する要因になっています。
そのせいで「要素の数」というよりは
『要素の密度』という感覚が強く
だからこそ「無限」が絡む「基数」の話では
この「濃度」という単語が多く採用される
とまあ、言ってしまえばそんな感じで
この名前自体にはそう意味はありません。
「濃度」って呼び方にこだわらず
「要素数」って言っても特に問題はないです。
実数と自然数の濃度
「自然数」との『全単射』を見つける
これは要は「番号付け」できるかどうか
あるいは「横並び」にできるかどうかって話なので
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&2&3&4&5&\cdots \end{array}
「最初」と「次の決め方」が重要になります。
\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle 0&1&2&\cdots \\ \\ 0&？&？&\cdots \end{array}
というのも
例えば「 0 」を「最初」とした時
その『次』の数はどうなるのか
\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle 0&1&2&\cdots \\ \\ 0&0+1&0+1+1&\cdots \end{array}
これが分かって
その上で「全て横並びにできる」なら
その時「自然数との全単射がある」と言えるので。
実数の連続性と次
ある実数の「次」を自然に定義したいなら
1<2 のように『大小比較』を用いて
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&\min\Bigl( (0,\infty) \Bigr) \end{array}
「半開区間 (0,1] 」の「最小値」
これを『次』として定めれば良さそうなんですが
「半開区間 (0,1] 」の中身は ↓ です。
\{x∈R\, \mid \,0<x≦1\}
これの最小値であれば
確かに 0 の「次」の数と言えますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0<x≦1 \end{array}
この「最小値」は
定義からしてそもそも存在しません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&？&<&10^{-10^{500}} \end{array}
「下限 0 」はありますが
「最小値」は定義不可能です。
次の定義が困難
以上の事実から
「自然数」と「実数」の『全単射』は
なんか無さそう、と予想できます。
実際無いんですが（結論先取り）
考えること自体がそもそも難しい気がします。
『次』を適当に定めても
「その間」をどうするのかとか
そもそも「無理数」はどうするのかとか
\begin{array}{cccccccc} \displaystyle 0&\cdots&1 \\ \\ \sqrt{2}&\cdots&\sqrt{3} \end{array}
いろんな問題がありますし。
証明
「実数」と「自然数」の
『基数の関係』を調べるために
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(N)&？&\mathrm{Cardinal}(R) \end{array}
「実数」と「自然数」の間には
『全単射が無い』ことを証明してみます。
方針
「実数」と「自然数」の間には
「全単射」ってあるの？
この疑問の感覚的解答は
『明らかに無さそう』でした。
となると『ある』と仮定してみると
わりと簡単に「矛盾」を導けるはず。
とまあそんな予想ができるので
「あると仮定」して「矛盾」を導き
『全単射の存在』を否定してみます。
前提
証明するにあたり
使えそうな事実と記号の確認をしておきます。
まず、ある「集合」を S
その「部分集合」を s としておきましょうか。
\begin{array}{rcrllllll} \mathrm{Cardinal}(s)&≤&\mathrm{Cardinal}(S) \\ \\ \displaystyle |s|&≤&|S| \end{array}
ついでに「濃度」の関係も確認しておきます。
（ s から S に単射・恒等写像がある）
加えて
「実数全体の集合」を R
「実数の部分集合」を R_{[0,1)}=[0,1) こう表現します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |R_{[0,1)}|&≤&|R| \end{array}
すると当然ですがこれも成立
（確実に恒等写像があるので単射がある）
扱いやすい材料
「実数全体」をそのまま扱うより
「 R_{[0,1)} 」を使った方が分かりやすいので
\begin{array}{cllllll} \displaystyle 0.00000\cdots \\ \\ 0.00001\cdots \\ \\ 0.00002\cdots \\ \\ \vdots \end{array}
証明ではとりあえずこれを使ってみます。
扱いやすい理由は
「無限」を使う必要が無くなる点と
1 の位が全て 0 になる点で
それ以上の意味は特にありません。
使いたいなら他の区間でも良いです。
並べる上で
「自然数との全単射がある」ということは
『横に並べることができる』ということ
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&&0.000000\cdots \\ \\ 1&&0.000000\cdots \\ \\ 2&&0.000000\cdots \\ \\ 3&&0.000000\cdots \\ \\ &\vdots& \end{array}
つまりこんな感じになりそうなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0.61362\cdots \\ \\ 0.11001\cdots \end{array}
数値の区別をやりやすくするために
これを「 2 進数」で表現することにします。
（単なる書き直しなので別のものにはなってません）
「10 進法」のまま
「実数全体 R 」のまま
これでの証明もできないことはないですが
ちょっと扱い辛い気がするので
とりあえずこんな感じにしておきます。
ちなみに「記号 i （ \mathrm{index} ）」は「添え字」とし
この「添え字」はそのまま扱うことにします。
こいつはこのままが一番わかりやすいので。
仮定
方針より ↓ であると仮定します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&|R_{[0,1)}| \end{array}
まあつまり『全単射がある』
という仮定の元でいろいろ考えてみます。
仮定から得られる正しさ
仮定より「 R_{[0,1)} 」の全ての要素には
対応する番号があるはずなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle R_{[0,1)}&=&\{x∈R \mid 0≤x<1\} \\ \\ &=&\{x_1,x_2,x_3,...\} \end{array}
仮定が正しいとするのなら
これはこのように書ける、と言えます。
実数の表現
R_{[0,1)} の「要素」の１つ１つは
「範囲 0≤x<1 」内の「実数」です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0.10110000\cdots \end{array}
で、実数は表現するとこんな感じなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle x_1&=&0.x_{11}x_{12}x_{13}\cdots \\ \\ x_2&=&0.x_{21}x_{22}x_{33}\cdots \\ \\ x_3&=&0.x_{31}x_{32}x_{33}\cdots \\ \\ x_4&=&0.x_{41}x_{42}x_{43}\cdots \\ \\ &&\vdots \end{array}
R_{[0,1)} の要素はこのように書けます。
（ 1 の位から上は全部 0 にしたのでこう）
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0.x_{11}x_{12}\cdots \\ \\ 0.11\cdots \end{array}
これはただの定義なので
『全単射がある』が間違っていたとしても
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0.x_{a1}x_{a2}x_{a3}\cdots \end{array}
このように書くことは可能です。
（何番目の要素かは全単射が無いと分からない）
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&=&0.00000000\cdots \\ \\ 0.1&=&0.10000000\cdots \end{array}
ちなみに 0 が続くとしても
実数はこのように書く、としておきます。
矛盾の導出
「対角線上の値 x_{ii} 」に注目し
\begin{array}{llllll} \displaystyle x_1&=&0.x_{11}x_{12}x_{13}\cdots \\ \\ x_2&=&0.x_{21}x_{22}x_{33}\cdots \\ \\ x_3&=&0.x_{31}x_{32}x_{33}\cdots \\ \\ x_4&=&0.x_{41}x_{42}x_{43}\cdots \\ \\ &&\vdots \end{array}
「全ての x_i 」から情報を取り出すことで
『外側の要素』を得て矛盾を得ます（対角線論法）
\begin{array}{llllll} \displaystyle R_{[0,1)}&=&\{x∈R \mid 0≤x<1\} \\ \\ &=&\{x_1,x_2,x_3,...\} \end{array}
確認しておくと
「番号付けができる」とすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{x_1,x_2,x_3,...\} \end{array}
ここには「 R_{[0,1)} の要素」が「全て」あるはず。
つまり不足は無い、と言えるはずです。
しかし
R_{[0,1)} に『含まれない要素』を得るために
「対角線上の値 x_{ii} 」を抜き出して
\begin{array}{llllll} \displaystyle y&=&0.y_1y_2y_3y_4y_5\cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle y_i&=&\displaystyle\left\{\begin{array}{lllllll}0&&x_{ii}=1 \\ \\ 1 && x_{ii}=0 \end{array}\right. \end{array}
このような実数 y を考えてみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle y&≠&x_i \end{array}
これは 0≤y<1 であるにもかかわらず
確実に『 x_i ではない』ので
\begin{array}{llllll} \displaystyle R_{[0,1)}&=&\{x_1,x_2,x_3,...\} \end{array}
ここに含まれない要素になってしまう。
結果
仮定（全単射が存在する）を正しいとすると
矛盾が生じることが分かったので
「全単射がある」は間違い。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&≠&|R_{[0,1)}| \end{array}
以上の事実から
こうなる、と言えます。
単射の存在
「自然数」と「実数」はどちらがでかいか。
感覚的には明らかですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&<&|R| \end{array}
きちんと求めるために
「自然数」から「実数 R_{[0,1)} 」への
『単射の存在』を確認しておきます。
導出は簡単
「 0≤f(n)<1 」の『一部』でも良いので
\begin{array}{llcllll} \displaystyle f(n)&=&\displaystyle\frac{1}{2n} &&\displaystyle\left( 0<f(n)≤\frac{1}{2} \right) \\ \\ f(n)&=&\displaystyle\frac{n}{(n+1)^n} &&\displaystyle\left( 0<f(n)≤\frac{1}{2} \right) \end{array}
適当にこうすれば
『単射』の形自体はすぐに思いつきます。
自然数が「 0 を含む」としても
「全ての範囲」を考えても同様
\begin{array}{ccccccllllll} \displaystyle \displaystyle f(n)&=&\displaystyle\frac{1}{2(n+1)}&&\displaystyle\left(0<f(n)≤\frac{1}{2}\right) \\ \\ \displaystyle f(n)&=&\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}&&\displaystyle\left(0≤f(n)<1\right) \end{array}
『単射の存在』はすぐに導けます。
結論
「単射が存在する」ので ↓ は明らか
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&≤&|R_{[0,1)}| \end{array}
そして『 |N|≠|R_{[0,1)}| 』ですから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left( \begin{array}{llllll} \displaystyle |N|≤|R_{[0,1)}| \\ \\ |N|≠|R_{[0,1)}| \end{array} \right) &&→&&|N|<|R_{[0,1)}| \end{array}
こうなります。
そして「恒等写像」の存在より
明らかに『 |R_{[0,1)}|≤|R| 』ですから
\begin{array}{llllll} \displaystyle &&|R_{[0,1)}|&≤&|R| \\ \\ |N|&<&|R_{[0,1)}| \end{array}
『 |N|=\aleph_0<|R| 』となります。
以上
これで『可算無限』と『非可算無限』が異なる
その証明ができたので
同時に「非加算無限の存在」も明らかになりました。
補足
『非加算無限』に関しては
「カントールの定理」ってやつが
より厳密に詳しく取り扱っています。
『カントールの定理』
『到達不能基数』なんかの詳細は別記事で。