|| ほとんどの関数は多項式に分解できる
近似とか生成関数とか証明とか
とにかくいろんなとこで便利すぎる定理
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目次
テイラー展開「微分できる関数を多項式で分解」
マクローリン展開「テイラー展開の実用的な形」
証明「差をとって平均値の定理を拡張するだけ」
剰余項「式に出てくる誤差みたいなやつ」
平均値の定理「２点を通る線と同じ傾きを持つ接線がある」
ロピタルの定理「分母か分子の変数を減らせるやつ」
ロルの定理「平均値の定理の傾き 0 のパターン」
最大値最小値の定理「区間内で連続なら最大最小がある」
ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理「収束するは作れる」
コーシー列「必ず収束するやつ」
必要になる基礎知識
これをちゃんと理解しようすると
意外と多くの知識を要求されます。
\begin{array}{cllllll} \displaystyle y&=&b+ax \\ \\ f(x)&=&a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots +a_nx^n \end{array}
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n&=&α \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)&=&f(a) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\frac{d}{dx}f(x) \\ \\ &&\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)&=&\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \end{array}
だいたい中学生くらいの知識は当然必要で
\begin{array}{llllll} \displaystyle |f(x)|&<&M \\ \\ |f(x)-α|&<&ε \end{array}
ちゃんと理解するためには必要不可欠です。
証明までの流れ
導出の経緯までは
「方程式の一般形」と「微分」で辿り着けます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots +a_nx^n \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left( x^n \right)^{(n)}&=&\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}x^n \\ \\ &=&\displaystyle \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}nx^{n-1} \\ \\ &=&n(n-1)(n-2)\cdots 2 * 1 \\ \\ &=&n! \end{array}
ただ、なんでマクローリン展開はできるのか。
どうしてこうも正しくなるのか。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n &&？ \end{array}
本当に合っているのか。
なにか問題は起きないか。
これが正しくなる条件は何か。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n &&？ \end{array}
そういった話になってくると
「平均値の定理」が必要になって
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&c&<&b \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} &=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}&=&f^{\prime}(c) \end{array}
この「平均値の定理」の証明には
「ロルの定理」が必要に
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(a)&=&f(b) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&c&<&b \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c) &=& 0 \end{array}
そしてこの「ロルの定理」を理解するためには
「最大値・最小値の定理」が必要になって
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&≤&x&≤&b \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to c}f(x)&=&f(c) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \min(f(x))&≤&f(x)&≤&\max(f(x)) \end{array}
この「最大値最小値の定理」の証明には
「 Bolzano-Weierstrass の定理」が必要になります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |a_n|&≤&M \\ \\ |a_{H(n)}-α|&<&ε \end{array}
で、ここまでくると
ようやく「公理」「定義」まで届いて
\begin{array}{llllll} \displaystyle |f(x)|&<&M \\ \\ |f(x)-α|&<&ε \end{array}
厳密な定義の話になってきます。
以上、ざっくりとはこんな感じなんですが
それぞれ長くなるので詳細は別記事で。
テイラー展開 Taylor Series
|| ほとんどの関数は多項式で分解できる
「 x^n の微分」と「接線」から予想される形
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(x)&=&f^{(1)}(x) \\ \\ &=&\displaystyle \frac{d}{dx}f(x) \\ \\ \\ f^{(2)}(x)&=&\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}f(x)\right) \\ \\ &=&\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)^1+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+\cdots \\ \\ &=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
記号はこんな感じですね。
\begin{array}{lcllll} \left( x^2 \right)^{(2)}&=&\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}x^2\right) \\ \\ &=&\displaystyle\frac{d}{dx}2x \\ \\ \\ \left( x^3 \right)^{(3)}&=&\displaystyle \frac{d^3}{dx^3}x^3 \\ \\ &=&\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}3x^2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \left( x^n \right)^{(n)}&=&\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}x^n \\ \\ &=&\displaystyle \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}nx^{n-1} \\ \\ &=&n(n-1)(n-2)\cdots 2 * 1 \\ \\ &=&n! \end{array}
「 x^n の微分」の
「 n 階微分」はこんな感じです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{1}{n!} \end{array}
これで分かると思うんですが
これの由来は「 x^n の微分」になります。
具体的な感じ
分かりやすく多項式で見てみましょうか。
わかりやすいので a=0 で考えてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&3+2x+5x^2+7x^3 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(0)&=&3 \\ \\ f^{(1)}(0)&=&2*(1) \\ \\ f^{(2)}(0)&=&5*(2*1) \\ \\ f^{(3)}(0)&=&7*(3*2*1) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(0)+f^{(1)}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)x^2 +\frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 \\ \\ &=&\displaystyle 3+2x+\frac{2!}{2!}5x^2 +\frac{3!}{3!}7x^3 \\ \\ &=&\displaystyle 3+2x+5x^2+7x^3 \end{array}
するとまあこんな感じに。
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_n&=&\displaystyle a_n\frac{1}{n!}(x^n)^{(n)} \end{array}
とても分かりやすい形で
元の関数を導けているのが分かると思います。
マクローリン展開 Maclaurin Series
|| テイラー展開の中で一番分かりやすい形
むしろこいつが主役的な多項式展開の形
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \\ \\ &=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x-0)^n \\ \\ &=&\displaystyle f(0)+f^{(1)}(0)(x)^1+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)(x)^2+\cdots \end{array}
形が本当にシンプルで分かりやすく
テイラー展開の中で最も計算がしやすいため
そのぶん語ることが特にありません。
テイラー展開に行き着くまでの発想
「 n 次方程式」が ↑ を満たすことは明らかです。
なのでこの点を考える必要はありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots +a_nx^n \\ \\ &=&\displaystyle f(0)x^0+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}
では他の関数ならどうなるのか
それを考えたいわけですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle a^x &\log x \\ \\ \sin x &\cos x &\tan x \end{array}
こういった「多項式ではない関数」も
『微分できる』ことは確か
\begin{array}{llllll} \displaystyle y-f(a)&=&f^{\prime}(a)(x-a) \end{array}
そして接線を求めることも可能です。
で、この「接線」なんですけど
「点 a 周りの f(x) の形」は
間違いなく『接線に近い形』をしています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&≒&f(a)+f^{\prime}(a)(x-a) \end{array}
まあつまるところ
一部だけではありますが
「多項式」で『近い形』を求めることができる
これは明らかな事実なんです。
でまあ、これが『多項式で表せそう』って感覚で
テイラーの定理はこの予想から導かれていきます。
テイラーの定理 Taylor’s Theorem
|| 平均値の定理の主張に寄せた表現
上の話を定理として表現したものがこれ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ f(x)&=&\displaystyle \left( \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^{m}\right) +\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1} \end{array}
関数 f(x) は閉区間 [a,x] 内で連続
加えて開区間 (a,x) 内で n 回微分可能だとすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&<&c&<&a \\ \\ && && a&<&c&<&x \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle \left( \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^{m} \right) +\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1} \\ \\ \displaystyle f(x)&=& \displaystyle \left( \sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^{m}\right) +\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} \end{array}
これを満たす c が存在する。
これがテイラーの定理の厳密な内容になります。
なんでこれでテイラー展開の正しさが保証されるのか
その辺り、よく分からないと思いますけど
なにはともあれ、これがテイラーの定理です。
今の時点ではなぜだかよくわかりませんが
これは「平均値の定理」的な言い回しで定義されてます。
テイラーの定理の役割
実用面で言えば
「マクローリン展開」さえ使えれば
「テイラー展開」は必要ありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x-0)^n \end{array}
点 a はどこをとっても
必ず f(x) の近似は得られるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x-0)^n \\ \\ \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
a=0 以外を採用する理由はほぼ無し。
ともなれば、テイラーの定理というより
マクローリンの定理でも良いんじゃ？ってなりますよね。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x-0)^n \\ \\ \\ &&↑ \\ \\ \\ \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
まあもちろん
「マクローリンの定理」ってのもあるんですけど
その話はさておき
「マクローリン展開」の正しさを証明したい時
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}
つまりこの形を定理で保証したい時
実は必ず「テイラーの定理」が必要になるんです。
詳しいことはこれから話していきますが
つまり「テイラーの定理」の役割とは
「マクローリン展開」に
正しさを保証する根拠を与えること、で
「マクローリン展開」が実際に使うもの
「テイラーの定理」は使える条件を提供するもの
という関係になっています。
テイラーの定理の発想
マクローリン展開の形自体は
「多項式の一般形」の一つとして導けます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots +a_nx^n \\ \\ \displaystyle f^{\prime}(x)&=&0+a_1+a_2(2x)+\cdots +a_n(nx^{n-1}) \\ \\ \displaystyle f^{\prime}(0)&=&a_1 \end{array}
\begin{array}{llllll} \left( x^n \right)^{(n)}&=&\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}x^n \\ \\ &=&\displaystyle \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}nx^{n-1} \\ \\ &=&n(n-1)(n-2)\cdots 2 * 1 \\ \\ &=&n! \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(0)x^0+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}
「多項式」の一般形と
「 x^n の微分」の形からこれは明らかで
特に疑問に思う余地はありません。
\begin{array}{lllllll} \displaystyle \left. \frac{d^n}{dx^n}x^n \right.&=&n! \\ \\ \displaystyle \left. \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}x^n \right.&=&1 \\ \\ \\ \displaystyle \left. \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}a_nx^n \right.&=&a_n \\ \\ \displaystyle \left. \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}a_n(x-a)^n \right.&=&a_n \end{array}
積率母関数やフーリエ級数同様
これは「ただの都合の良い手順」として導けます。
多項式以外の関数
↑ の段階では
マクローリン展開が可能なのは「多項式」のみ
\begin{array}{llllll} \displaystyle a^x &\log x \\ \\ \sin x &\cos x &\tan x \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(0)x^0+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}
他の「多項式ではない関数」で可能かどうか
それは分かりません。
このように実際に計算してみると
明らかに近似していきますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x&=&\cos x \\ \\ \displaystyle \frac{d}{dx}\cos x&=&-\sin x \\ \\ \\ \displaystyle \frac{d}{dx}a^x&=&a^x\log_e a \\ \\ \displaystyle \frac{d}{dx}\log x&=&x^{-1} \end{array}
こういった関数は「何度でも微分できる」ので
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(0)x^0+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+\cdots \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}
このように「無限」を使わないと
完全に一致させることはできません。
近似できる可能性
「何度でも微分できる」のが事実である以上
『多項式の形』にすると「項が無限個になる」
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(0)x^0+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+\cdots \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}
これは確かな事実です。
で、こうなりそうだと予想できるので
これについて「差」をとって
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
どんな違いがあるのか
どのくらいの違いが出るのか
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(a)-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(a-a)^n &=&f(a)-f(a) \\ \\ &=&0 \end{array}
「点 a 」では確実に一致することを踏まえて
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m &=&f(x) \end{array}
これらの違いについて考えてみることにします。
無限と証明
ある程度の形は予想できましたが
このままでは実用性がありません。
\begin{array}{llllll} f(x)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
「有限」の範囲でなければこれは計算できず
「無限」のせいで「上から抑える」ことも不可能。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1,2,3,... &&←&&n \end{array}
「一般形」を『帰納的に求めて証明する』という
ありがちな証明法も使用することができません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \infty &&←&&？ \end{array}
とまあそんな感じなので
これの正しさを保証するためには
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{n+1}&=&f(a_n) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle |f(x)-α|&<&ε \end{array}
『極限』の「 ε – δ 論法」のように
「無限」を取り除くための処理
あるいは「解釈」が必要になります。
有限と後者の存在
とりあえずは有限の範囲で考えてみます。
\begin{array}{llrllll} f(x)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ &≒&\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
するとひとまず
この関係が成立するのは明らかですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&≒&\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ &≒&\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)(x-a)^{n+1} \end{array}
このように単純に後者を導いても
この関係は変わりません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle O (x^{n+1})&=&\displaystyle\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)-\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m&=& O(x^{n+1}) \end{array}
ということは
「有限」の範囲で考えたい場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}O(x^{n+1}) &=&0 \end{array}
「誤差 O(x^{n+1}) 」はこのように定義して
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Error}&=&O(x^{n+1}) \end{array}
定数として扱わないといけません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
まあつまり、これは『近似線』です。
「どれくらい近いか」は分かりませんが
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&≒&\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
とりあえず
近似したい関数 f(x) に近いことは明らかなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
この部分を調べて行けば
証明にまで辿り着けるかもしれない。
とまあそんな希望は持てます。
１点で一致する接線
「どのくらい」「どう」「近い」のか。
これを考えるために『１点に注目』してみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ \displaystyle \sum_{m=0}^{1}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m&=&f^{(0)}(a)(x-a)^0+f^{(1)}(a)(x-a)^1 \\ \\ &=&f(a)+f^{\prime}(a)(x-a) \end{array}
『接線』の形を考えれば
\begin{array}{llrllll} \displaystyle y-f(a)&=&f^{\prime}(a)(x-a) \\ \\ \displaystyle y&=&f(a)+f^{\prime}(a)(x-a) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle y&=&f(a)+f^{\prime}(a)(a-a) \\ \\ y&=&f(a) \end{array}
少なくとも「点 a の１点では一致する」
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m&≒&f(x) \\ \\ \displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(a-a)^m&=&f(a) \end{array}
\begin{array}{rllllll} \displaystyle f^{(0)}(a)(a-a)^0&=&f(a) \\ \\ 0^0&=&1 \end{array}
これは n が何でもそうなので
「点 a の近く」では
間違くなく f(x) に近い
つまり『有限で近似できる』ことは確かで
「点 a の近く」では
\begin{array}{llllll}\displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
これは『限りなく f(x) に近い』
そんな『形をとる多項式』だと言えます。
誤差の表現
「１次近似」「接線」の式
「 n=1 の形」と「点 a の近く」
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m&≒&f(x) \\ \\ \displaystyle \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(a-a)^m&=&f(a) \end{array}
この範囲で「有限での表現」が可能
これが分かっていることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)-\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m&=& O(x^{n+1}) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle O (x^{n+1})&=&\displaystyle\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
この「誤差 O 」を有限の形で表現できれば
\begin{array}{llllll} f(x) &=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m + α \end{array}
つまりこのような式を
「正しい手順で」表現可能なら
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m+O (x^{n+1}) \end{array}
「テイラー展開」の式は正しい
ということが示されます。
\begin{array}{llrllll} f(x)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ &=&α+\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
再確認しておくと、ゴールはこれなので。
誤差の存在と平均値の定理
「接線の式」の形から分かる通り
「テイラー展開」を考えていく上で
土台とするのに最も丁度良いのは
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)-f(a)&=&\displaystyle f^{\prime}(a)(x-a) \\ \\ \displaystyle f(x)-f(a)&=&\displaystyle f^{\prime}(c)(x-a) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c) &=&\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{array}
やはり「平均値の定理」に見えます。
\begin{array}{llrllll} f(x)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ &=&α+\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
で、ゴールはここ
となれば
後は「平均値の定理」を用いて式変形していけば
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c) &=&\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{array}
\begin{array}{llrllll} \displaystyle \displaystyle f(x)-f(a)&=&\displaystyle f^{\prime}(c)(x-a) \\ \\ \displaystyle f(x)&=&f(a)+\displaystyle f^{\prime}(c)(x-a)\end{array}
テイラー展開の形を
「平均値の定理の形」から求める
\begin{array}{llllll}\displaystyle f(x)&=&f(a)+\displaystyle f^{\prime}(c)(x-a) \\ \\ \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m + α \end{array}
なんてことができるかもしれない
とまあそんな予想を立てることができます。
テイラーの定理の証明
「テイラーの定理」の証明の内容は
終始「平均値の定理」に寄せる感じになります。
\begin{array}{rllllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +α \\ \\ &=&f(a)+\displaystyle f^{\prime}(a)(x-a)+\cdots+ \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n +α \\ \\ \\ y&=&f(a)+\displaystyle f^{\prime}(c)(x-a) \end{array}
なので内容のほとんどは式変形です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +α \end{array}
ちなみにゴールはここ。
平均値の定理に寄せていく
「平均値の定理」の要件を満たすには
関数 f(x) は閉区間内で連続であり
かつ開区間内で微分可能でなければなりません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&f^{(0)}(a)+f^{(1)}(c)(x-a) \end{array}
逆に言えば
「テイラーの定理」を適用できる範囲は
この条件に限られるということになりますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +α \end{array}
この条件の下で
関数 f(x) とこれが一致すれば
「テイラー展開」の正しさは保証されます。
多項式展開の形
式変形するにあたって
考えるべきポイントはいろいろありますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{1}{n!}f^{(n)}(a) &=& \displaystyle \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \end{array}
最も気になる部分はやはりここでしょう。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \Bigl( (x-a)^n \Bigr)^{(n)}&=& \left( x^n \right)^{(n)} \\ \\ && \left( x^n \right)^{(n)}&=&\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}x^n \\ \\ && &=&\displaystyle \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}nx^{n-1} \\ \\ && &=&n(n-1)(n-2)\cdots 2 * 1 \\ \\ && &=&n! \end{array}
なにせこうですから
以下のように関数 B(x) を定めると
\begin{array}{llllll} \displaystyle B(x)&=&(x-a)^n \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f^{(n)}(c)}{n!} &=&\displaystyle \frac{f^{(n)}(c)}{\Bigl( (x-a)^n \Bigr)^{(n)}} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{f^{(n)}(c)}{B^{(n)}(x)} \end{array}
これはこのように表現できますし
\begin{array}{llllll} \displaystyle B(a)&=&(a-a)^n \\ \\ &=&0 \end{array}
平均値の定理を使うための条件も
これは満たすことができます。
証明
ゴールとして予想されてはいますが
この段階では ↓ の式の正しさは不明です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +α \end{array}
でも着地したいのはこれなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle D(a)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D(x)&=&\displaystyle f(x) - \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \end{array}
「差」をとるとこうなる関数 D(x) を定めてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \frac{D(x)-D(a)}{B(x)-B(a)} &=&\displaystyle\frac{D(x)}{B(x)-B(a)} \end{array}
確認しておくと
「コーシーの平均値の定理」の形から
これで D(x) 単体を取り出せますから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \end{array}
先に示したように
この形から考えてみる、とすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle B(x)&=&(x-a)^n \\ \\ B(a)&=&(a-a)^n \end{array}
この部分も問題なく条件を満たすので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
「コーシーの平均値の定理」より
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{D(x)-D(a)}{B(x)-B(a)} &=&\displaystyle\frac{D^{\prime}(c_1)}{B^{\prime}(c_1)} \\ \\ \displaystyle \frac{D(x)-D(a)}{B(x)-B(a)} &=& \displaystyle\frac{D(x)}{B(x)} &=&\displaystyle\frac{D(x)}{(x-a)^n} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\frac{D(x)}{(x-a)^n} &=&\displaystyle\frac{D^{\prime}(c_1)}{B^{\prime}(c_1)} \end{array}
このような関係が得られます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{D^{\prime}(c_1)-D^{\prime}(a)}{B^{\prime}(c_1)-B^{\prime}(a)}&=& \displaystyle\frac{D^{(2)}(c_2)}{B^{(2)}(c_2)} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D^{\prime}(a)&=&0 \\ \\ B^{\prime}(a)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{D^{\prime}(c_1)-D^{\prime}(a)}{B^{\prime}(c_1)-B^{\prime}(a)}&=&\displaystyle\frac{D^{\prime}(c_1)}{B^{\prime}(c_1)} \end{array}
同様の手順で
こうなることは明らかですから
\begin{array}{llllll} \displaystyle B(x)^{(k)}&=&\Bigl( (x-a)^n \Bigr)^{(k)} \\ \\ &=&n\Bigl( (x-a)^{n-1} \Bigr)^{(k-1)} \\ \\ \\ B(a)^{(k)}&=&\Bigl( (a-a)^n \Bigr)^{(k)} \\ \\ &=&0 \\ \\ \\ \displaystyle B(x)^{(n)}&=&\Bigl( (x-a)^n \Bigr)^{(n)} \\ \\ &=&n! \end{array}
\begin{array}{rllllll} \displaystyle f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)^{1}+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+\cdots \\ \\ \displaystyle f^{\prime}(a)(x-a)^{0}+\frac{2}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^{1}+\cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D(x)&=&\displaystyle f(x) - \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m \\ \\ \displaystyle \displaystyle D^{\prime}(x)&=&\displaystyle f^{\prime}(x) - \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{(m-1)!}f^{(m)}(a)(x-a)^{m-1} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D^{(k)}(x)&=&\displaystyle f^{k}(x) - \sum_{m=k}^{n}\frac{1}{(m-k)!}f^{(m)}(a)(x-a)^{m-k} \\ \\ \\ D^{(n)}(x)&=&\displaystyle f^{n}(x) - \sum_{m=n}^{n}\frac{1}{(m-n)!}f^{(m)}(a)(x-a)^{m-n} \\ \\ &=&f^{n}(x)-f^{n}(a) \\ \\ \\ \displaystyle D^{(k)}(a)&=&\displaystyle f^{k}(a) - \sum_{m=k}^{n}\frac{1}{(m-k)!}f^{(m)}(a)(a-a)^{m-k} \\ \\ &=&f^{k}(a) -f^{k}(a) \\ \\ &=&0 \end{array}
こうなるので
n+1 回微分すると
\begin{array}{llllll} \displaystyle D^{(n+1)}(x)&=&f^{(n+1)}(x) \end{array}
確実にこうなりますから
分子と分母で次数 n を合わせると
\begin{array}{lclllll} \displaystyle\displaystyle\frac{D(x)}{(x-a)^{n+1}}&=& \displaystyle\frac{D^{\prime}(c_1)}{B^{\prime}(c_1)} \\ \\ &=& \displaystyle\frac{D^{(2)}(c_2)}{B^{(2)}(c_2)} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{D^{(3)}(c_3)}{B^{(3)}(c_3)} \\ \\ &\vdots& \\ \\ &=&\displaystyle\frac{D^{(n+1)}(c_{n+1})}{B^{(n+1)}(c_{n+1})}&=&\displaystyle\frac{D^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!} \end{array}
変形していくとこうなりますから
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{D(x)}{(x-a)^{n+1}}&=&\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D(x)&=&\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{array}
最終的に誤差の具体的な形が求められ
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +α \\ \\ \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1} \end{array}
「テイラーの定理」が正しいということを
「平均値の定理」で上から抑えることができます。
剰余項 Remainder Term
「テイラーの定理」で出てくる最後のやつのこと。
\begin{array}{cllllll} \displaystyle \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1} \\ \\ \displaystyle\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} \end{array}
まあつまり
これが「剰余項」と言われるものです。
一見、無意味なものに見えますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
「テイラー展開」が可能かどうかとか
「マクローリン展開」が可能かどうかとか
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=&？ \end{array}
そういった判定を行う際に必要になるので
思っている以上にこいつは重要な立ち位置にいます。
テイラーの定理の補足
「テイラーの定理」は
「平均値の定理」から導かれています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle && && a &<&c&<&x \\ \\ x &<& c &<& a \end{array}
なので当然 c は必ずこの範囲にある。
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&\to&a \\ \\ c&\to&a \end{array}
そしてこれは
「 n をどのようにとっても」言えることで
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1} \end{array}
つまりこの n をどれだけ大きくしても
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1} \end{array}
これは成立すると言えます。
誤差とテイラー展開
「剰余項」を意識してみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\sum_{m=n}^{\infty}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m&=&\displaystyle \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} \\ \\ \displaystyle\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots \end{array}
「テイラーの定理」の結果と
「テイラー展開」には微妙な違いがある
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{1}{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m +\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} \\ \\ \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{n=0}^{n} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
これはすぐに分かると思います。
具体的には
「誤差」に明確な違いがあって
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots \end{array}
この２つが一致する保証は今のところ無し。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=&？ \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots &=&？ \end{array}
つまるところ
「テイラー展開」ができるかどうか
「テイラーの定理」を根拠にして判断する場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=&0 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots &=&0 \end{array}
例えばこのような
なんらかの制約を受けることになる。
そんな事実が浮き彫りになってきます。
剰余項の収束
「剰余項」と「誤差」が一致する条件は
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=&α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots &=&α \end{array}
極限値 α が 0 ではないとしても
一目、特に問題なさそうに見えます。
直感的には 0 が分かりやすいですけど
実際はもっと条件が緩いかもしれない。
とまあそんな風に考えることはできますが
しかしよくよく考えてみれば
α が 0 ではないなら
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n} &=&β \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle α&=&β+β+β+\cdots \end{array}
この極限値 β が 0 以外である必要があって
\begin{array}{lclllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n} &=&β \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)(x-a)^{n+1} &=&β \\ \\ &\vdots \end{array}
まあ当然これはこのようになるわけですから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots &=&α \end{array}
仮にこの α に収束すると考える場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle α&=&\displaystyle\lim_{k\to \infty}kβ \end{array}
α はこのようになる必要があります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\lim_{k\to \infty}kβ &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{llllll} \displaystyle 0 &&β=0 \\ \\ \pm \infty &&β≠0 \end{array}\right. \end{array}
でも、これはこうなるので
「 α に収束する」と考える場合
「 β=0 以外」のパターンはアウト。
ということは
\begin{array}{llllll} |α|<\infty \\ \\ \displaystyle α=\displaystyle\lim_{k\to \infty}kβ&&⇒&&β=0 \\ \\ &&&&\displaystyle β=0 &&⇒&&α=0 \end{array}
「収束する」と考える場合
それを満たすパターンは α=0 の場合のみ
\begin{array}{llllll} \displaystyle α&=&\displaystyle\lim_{k\to \infty}kβ \\ \\ α&=&\displaystyle\lim_{k\to \infty}k0 &=&0 \end{array}
ともなれば
「テイラー展開」の結果と
「テイラーの定理」の結果を一致させたいなら
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+\cdots &=&0 \end{array}
「テイラー展開の誤差」が
『収束すると仮定する』なら
『 0 にしか収束しない』ことから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=&0 \end{array}
「剰余項」は『 0 に収束する必要がある』
ということが分かります。
テイラー展開の定義
f が C^{\infty} 級の関数である
テイラーの定理で導かれる f の剰余項が
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=& 0 \end{array}
点 a の近くでこの条件を満たす時
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}
このようにできる。
これが「テイラー展開」の厳密な定義で
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-a)^{n} &=& 0 \end{array}
先に述べたことは
この部分についての解答になります。
（ちなみに C^{n} 級関数は n 回微分できる関数のこと）
以上
これでテイラー展開と定理が繋がったので証明終了
長くなりましたが
これがテイラーの定理の全容になります。