極限 Limit


|| 限度の極み

延々と(無限に)『近付ける』操作のことですね。

「解析学」の基盤の一つと言って良い概念の一つです。

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目次


極限の定義「ε-δ論法とε-N論法」

   ε-δ論法「どういう意味でどんな感じか」

      具体例「実際どんな感じのものなのか」

   ε-N論法「無限の排除とはどういう意味か」


収束「そこに集まっていく感じ」

発散「極限値が収束せず、無限大・無限小へ」


極限の基本についてのまとめ



連続「間になにか必ずある感じ」








『極限値 L 』なら、

関数バリエーションだと『極限』の形式は↓みたいな感じです。


\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)}=L\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) \to L\,\,\,(x \to c)






ε-δ論法


厳密な定義は「ε-δ論法」でされてます。


∀ε>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ>0}

[\,∀x∈R\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]\,]


これを理解するには『量化記号』の知識が必須です。




まあ、構成は見た目ほど難しくありません。

要は『 x が限りなく c に近づく』(前提)なら、

f(x) もまた L に限りなく近づく』(結論)って言ってるだけです。




厳密な定義では↑の『限りなく近づく』を、

『どこまでも小さく』にすることで厳密化してます。




どういうことかというと、

f(x)L の「差」をどこまでも小さくできる』って感じです。

これは『 f(x)L に限りなく近づく』と変わりませんよね?




そして↑の定義では、この条件を必ず満たす、

『都合の良い xc の差が存在する』って言ってるわけです。






具体的に見てみましょう。



まず、近づくわけです。

なんでどう近づくのかというと、関数バリエーションなら↓

x→c\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,f(x)→L




「ε-δ論法」では、この近づくという表現を、

『差をどこまでも小さくできる』と表現しています。




これを実感するために、ちょっと確かめてみましょう。

そのために具体的なものを用意します。

そうですね、とりあえず『 f(x)=x 』で良いでしょう。




例えば x3 に『どこまでも近づく』なら、

x3 の差』の間に、 0 に近い数があるはず。



つまり「限りなく近づく」を、↓みたいに言えるわけです。

∃δ>0\,[\,|x-3|<δ\,]



『近づく』ですから、その値になるわけではありません。

ここが「代入」との明確な違いです。

『近づく』のであって、その値にはならないわけです。




ただし、それでも『限りなく近づく』ので、

結果として、代入と似たようなことになります。

ただしここで重要なのは↓だということです。




必ずしも正しいわけではない例。

(例えば x≠3 とかなんとか条件がついてれば間違い)


f(3)=3




必ず正しいことにしてしまえる例『極限』


\displaystyle \lim_{x \to 3}f(x)=3


これは、たとえ「 x≠3 」でも「 3<x 」でも正しくなります。






試してしてみましょう。



限りなく 0 に近い正の値を考えます。

\displaystyle δ=10^{-10^{100}}>0



この値 δ は「 x 」と「 f(x) 」の定義とは関係ないので、


x=3+δ\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,|x-3|<(3+δ)-3=δ


↑は間違いなく正しいです。



用語を使うなら、例えば「 3<x 」の時の「極限値 3 」は、

「最小値」ではなく『下限』のことを意味します。

要は「 f(x) 」の範囲の中に無い、しかし関係のある値のことです。




極限を使うと、そういう外側の値について見ることができます。

また解釈によっては『極限値』は「到達点」とも考えられます。



例えば『微分』や『積分』で得られる値なんかが実例です。 

これらは「近づけていく」ことで値を得ていますので。






なんとなく分かると思いますが、これ、めっちゃ重要です。

そりゃあもう重要も重要で、無いと数学が破綻するレベルで不可欠。

これはそんな概念になります。




それを実感するために、最も重要な性質について見ていきましょう。






ε-N論法


これは『無限』を排除するための操作です。

そう、だいたい問題の原因になっている、

超がつくほどの曲者である「無限」を。




どういうことなのか見てみましょうか。




例えば↓みたいなものを例に使ってみていきます。

関数バリエーションではなく「数列 a_n 」の極限。


\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=L




『数列』を扱う場合の極限の定義は「ε-N論法」と言います。

ただ、本質的に「ε-δ論法」と「ε-N論法」は同じものです。



違いは『微小な差』を表す「 δ 」を使うか、

『ナンバリング』を表す「 N 」を使うかという点だけ。




これの最大の特徴は「無限」を『有限の範囲で記述してる』点です。

要は「無限」は「無限」のままなんですけど、

『無限を使わず』に「無限」を表してる感じ。(ん?)



どういうことかというと、

n を無限 \infty に大きくする』を、

『どんなに大きな N よりも、 n は大きい』としてます。




発想は、まんまε-δ論法のものと同じです。

これで『限りなく』という胡乱な表現を排除することに成功しました。




更に言えば、これは「実現可能」な範囲でもあります。

なぜなら「無限の記憶領域」を用意しなくても、

「今あるもっとも大きなものより大きい」ものを用意すれば良いので。




まあ、処理としては延々と循環してしまうので、

その処理を『途中で停止』させなければなりませんけど。



それでも「実現不可能」よりははるかに有用です。



なにせこれのおかげで、

『円周率』や『平方根』なんかを「有理数で近似」できるわけで。

「処理を途中で止めて」も、それに近い値を得られるわけです。






では、実際どんな風に形式化されてるのか見ていきましょうか。



∀ε>0\,∃N∈\mathbb{N}

∀n∈\mathbb{N}\,\left[(n>N)⇒|a_n-L|<ε\right]




これの核心部分を意訳すると↓みたいな感じ。



いくらでも大きくとれる N が存在して、

n はそれよりも必ず大きい




要は『後出し』ですね。

ε-δ論法もそうです。小っちゃくとってもそれより小さいのがとれます。

それと同じように、これは延々と大きな値がとれるわけです。






以上が『極限』の定義、考え方になります。

だいたい終わったので、次に移りましょうか。



↑みたいに『極限値』がある場合とそうでないときなんかで、

その状態を表す概念がいくつかあるのでご紹介。







収束 Convergence


|| 広がるか集まるか

『極限値』があるときには「収束する」と言います。



それ以外の場合だと『発散する』という場合があります。

このどちらでもないときは『振動する』です。



「発散」や「振動」はそんなに意味のある結果ではないので、

主に『収束』がメインになります。



感覚的には『収束しないもの』が「発散」です。(単調増加とか)

どっちつかずなものが『振動』ですね。(正弦波とか)

これらは基本的に主題として扱われません。




これの具体例は、↑にある極限の項目で扱ったもので、

『極限値が存在する』ものになります。






発散 Divergence


直観的なので、まずは『数列』のバリエーションから。



「極限値が存在しない」ことを表す条件の一つ。

「正の無限大に発散する」ということを表すと↓みたいになります。



\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n→\infty\,\,\,(n \to \infty)




そしてこれの厳密な定義は↓です。

F は、感覚的に「遠い Far 」感じから)


∀F>0∃N

∀n∈\mathbb{N}\,[\,(n>N)⇒(a_n>F)\,]







まとめ


とりあえず『実数 x∈\mathbb{R} 』ベースで、

定義に使う『 ε>0 』として『 δ>0 』とします。






収束する場合


要は『極限値が存在する』場合のことです。

つまり『 f(x) が定数に近づく』なら「収束」します。




x が定数に近づく」「 f(x) が定数に近づく」とき、


∀ε\,\textcolor{skyblue}{∃δ}

∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]




もしくは、

x+\infty へ」「 f(x) が定数に近づく」とき、


∀ε\,\textcolor{skyblue}{∃V>0}

∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{x>V})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]

( -\infty の場合は x<f<0 )






発散する場合


つまり『極限値が存在しない』場合のことですね。

なので「 f(x) 」は「 +\infty-\infty 」です。




x が定数に近づく」「 f(x)+\infty へ」な場合、


∀\textcolor{pink}{F}>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ}

∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{f(x)>F})\,]




もしくは、

x+\infty へ」「 f(x)+\infty へ」な場合、


∀\textcolor{pink}{F}>0\,\textcolor{skyblue}{∃V}>0

∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{x>V})⇒(\textcolor{pink}{f(x)>F})\,]







連続 Continuous


|| 後出しで隙間を埋めていく

なんかの「間には必ずなにかある」っていう主張です。



形式は↓みたいに書かれます。


\displaystyle\lim_{x \to c}{f(x)}=f(c)



これは「 xc に近づけると」、(前提)

「どこまでも f(x)f(c) に近づく」(結論)と言ってます。




具体的に見てみましょう。



『関数 f(x) 』があって、これが「連続」なら、

定義域(普通は実数)全ての x=c で『 f(x)=f(c) 』です。




飛躍(記号の意味から)しますが、ここで「一致」から、

「差をどこまでも小さくできる」へと、範囲を大きくします。



すると条件を、

例えば『 |f(x)-f(c)|<ε<10^{-10^{100}}≒0 』とできます。




f(x) が連続」なら、

これはよくわかんないくらい小さな「 xc の差」。

例えば『 |x-c|<δ<10^{-10^{10^{100}}}≒0 』でもそうでしょう。




つまり、こんな「 xc の差が存在する」、

と言うことができれば「連続」だと言えるわけですね。




というわけで↑を量化記号で形式化すると、

要は「どんなに小さくても差が必ず存在する」ってことなので、

∃δ>0\,[\,|x-c|<δ\,]




そしてこの一般形を考えると、

そのまま『連続性』の定義になります。


∀ε>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ>0}\,s.t.\,∀x∈R

[\,\textcolor{skyblue}{(|x-c|<δ)}⇒(|f(x)-f(c)|<ε)\,]