|| 限度の極み
延々と（無限に）『近付ける』操作のこと。
「解析学」の基盤と言って良い概念の一つになります。
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目次
極限の定義「ε-δ論法とε-N論法」
ε-δ論法「無限を用いない定義」
ε-N論法「数列のパターンでの定義」
収束「そこに集まっていく感じ」
発散「極限値が収束せず、無限大・無限小へ」
連続「間になにか必ずある感じ」
『極限値 L 』とすると
「関数」バリエーションの場合
『極限』は ↓ のように表現されることが多いです。
\begin{array}{rlllll} \displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)}&=&L \\ \\ f(x) &\to& L&&(x \to c) \end{array}
数列のパターンだと
\begin{array}{rlllll} \displaystyle \lim_{n \to c}{a_n}&=&L \\ \\ a_n &\to& L&&(n \to c) \end{array}
こんな感じ。
初見だと身構えがちですが
いずれも『値が L に近づく』
ということを表現しているだけなので
内容自体はそう難しくないと思います。
実際、これ自体はそんな難しい話ではありません。
まあちゃんと理解するためには
『量化記号』の知識が必須ではありますが。
極限の定義
「極限」って言うと難しく感じるかもしれませんが
これの本質的な「感覚」は『近付ける』で
\begin{array}{llllll} \displaystyle x\to c &&⇒&&f(x)\to L \end{array}
根本的にはそう難しい話ではありません。
やってることはめちゃくちゃシンプルです。
ただこれ
「数学的に定義する」となると結構難しくて
例えば単に「近付ける」だけでは
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&\infty \end{array}
こういう「無限が絡む操作」なんかを
うまく形式的に表現できなかったりします。
ε\text{-}δ 論法
|| 無限の介入を排除できた極限の定義
『無限を使わない』「極限の定義」のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε>0&\textcolor{skyblue}{∃δ>0} \\ \\ \Bigl( ∀x∈R&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
「極限」はこのように定義されることによって
『無限』を排除することに成功しました。
定義するのが難しい
↑ だけだとふーんって話ですが
実はこれ、わりと画期的なアイディアでして
というのも、この『近付ける』という感覚は
論理式で表現しようとするとわりと難しいです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle x=c &⇒&f(x)=L \end{array}
直感的に定義しようとすると
どうしても「代入」のような感じになり
\begin{array}{llllll} \displaystyle x<c&&f(x)<L \end{array}
『上限・下限』辺りが出てくると
どうにもうまく表現できなくなってしまいます。
論理式の意味
「ε-δ論法」はそういった問題を解決したわけですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε>0&\textcolor{skyblue}{∃δ>0} \\ \\ \Bigl( ∀x∈R&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
これだけ見せられても
どうやって解決したのか伝わり辛いですよね。
論理式を見慣れてない人には
これはちょっと辛い並びだと思います。
ただこれ、実は話自体は単純で
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&\to&c \\ \\ x-c&\to&0 \end{array}
というのも
『限りなく近づく』ではうまく形式化できないところを
\begin{array}{llllll} \displaystyle |x-c|&<&δ \\ \\ |f(x)-L|&<&ε \end{array}
『どこまでも小さくできる』にした
ってだけの話なんです。
まあつまり
『 f(x) が L に限りなく近づく』と
『 f(x) と L の「差」をどこまでも小さくできる』
これらは同値である、って言ってて
これによって「極限」は定義可能になった。
要約すると
これはただそれだけの話になります。
具体的な感じ
一般形だと難しいかもしれないので
具体的な値を入れて見てみましょうか。
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&\to& 0 \\ \\ (x+1)&\to& 1 \\ \\ \\ |x-0|&<& δ \\ \\ |(x+1)-1|&<& ε \end{array}
これ、見比べてみてどうですか。
『差をどこまでも小さくできる』という表現は
「近付ける」という操作を表現できている。
そう言ってしまっても問題ないと思いませんか。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |x-0|&<& 10^{-10} \\ \\ |(x+1)-1|&<& 10^{-10} \\ \\ \\ \displaystyle |x-0|&<& 10^{-10^{10}} \\ \\ |(x+1)-1|&<& 10^{-10^{10}} \end{array}
実際、 ε,δ の値は
どこまでも 0 に近い値をとれます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ε&\to&0 \end{array}
つまり『いくらでも差を 0 に近付けることが可能』なわけで。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ε&>&0 \end{array}
だからこそ
これは「間接的に」
『近付ける』を表現できている、と言えますよね。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε>0 \end{array}
なにせ ε は任意（なんでもいい）ですから
「大きい値でもいい」ように
『どれだけ小さな値でもいい』わけですし。
ε\text{-}N 論法
|| 極限の定義の別パターン
これは「数列」パターンの定義で
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n&=&L \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε>0&∃N∈\mathbb{N} \\ \\ ∀n∈\mathbb{N}&\Bigl( (N<n)⇒(|a_n-L|<ε) \Bigr) \end{array}
極限の定義のナンバリングバージョンになります。
セットで語られることがあるので一応紹介。
\begin{array}{llllll} \displaystyle N&<&n \end{array}
違いは「ナンバリング n 」のとこが
『どれだけでも大きくできる』となってるだけで
他は同様のものになります。
収束 Convergence
|| １点に集まる感じ
『極限値』がある時のことを
「収束する」と言ったりします。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n&=&α &&|α|&<&\infty \end{array}
「極限」を使う時はだいたいこのパターンで
後は『連続』かどうか確認する時とか
他には『微分』とかで使ったりしますね。
発散 Divergence
|| 無限にでかくなっていく感じ
「収束」を考える場合に
『無限』になってしまうパターン。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n&=&\infty \\ \\ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n&=&-\infty \end{array}
「極限値が存在しない」
ということを表す条件の一つになります。
振動 Vibration
|| 収束も発散もしないパターン
値が集まらずにばらけてる感じ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,.... \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{2n}&=&1 \\ \\ a_{2n-1}&=&-1 \end{array}
正弦波 \sin θ とかでわりと見るやつですね。
収束を議論する時にたまに見かけます。
論理式と極限
『極限』の定義に非常に似ているので
「収束」や「発散」の論理式を紹介していきます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&∈&\mathbb{R} \\ \\ ε&>&0 \\ \\ δ&>&0 \end{array}
記号はこんな風に定めておきます。
収束する
『極限値が存在する』パターン
つまり『 f(x) が定数に近づく』場合
「 x が定数に近づく」
「 f(x) が定数に近づく」なら
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε&\textcolor{skyblue}{∃δ} \Bigl( ∀x&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
「 x が +\infty へ」
「 f(x) が定数に近づく」なら
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε&\textcolor{skyblue}{∃V}>0 \Bigl( ∀x&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{V<x})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
見ての通り、まんま極限の定義です。
特に両方が定数のパターンでは全部同じですね。
発散する
『極限値が存在しない』場合
つまり「 f(x) 」が「 +\infty か -\infty 」となるパターンでは
「 x が定数に近づく」
「 f(x) が +\infty に近づく」なら
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀\textcolor{pink}{F}>0&\textcolor{skyblue}{∃δ} \Bigl( ∀x&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{\textcolor{pink}{F}<f(x)}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
「 x が +\infty へ近づく」
「 f(x) が +\infty へ近づく」場合は
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀\textcolor{pink}{F}>0&\textcolor{skyblue}{∃V}>0 \Bigl( ∀x&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{V<x})⇒(\textcolor{pink}{\textcolor{pink}{F}<f(x)}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
以上、論理式についてはこんな感じ。
連続 Continuous
|| 後出しで隙間を埋めていく
『全部の点が繋がってる』こと。
あるいは「間には必ずなにかある」こと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\lim_{x \to c}{f(x)}&=&f(c) \end{array}
まあつまりはこういう感じのことで
ある範囲の「全ての点でこのように言える」場合
その範囲の点は全て連続している、と言えます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε>0&\textcolor{skyblue}{∃δ>0} \\ \\ \Bigl( ∀x∈R&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-f(c)|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}
これはだいたい「関数」を前提とした概念です。
その『関数が描く図形』が
「普通」であるかとか
「扱いやすい」かとか
そういうことを確認する時なんかで使われますね。
基本、証明や前提の確認で使われる概念になります。