|| 限度の極み
延々と（無限に）『近付ける』操作のことですね。
「解析学」の基盤の一つと言って良い概念の一つです。
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目次
極限の定義「ε-δ論法とε-N論法」
ε-δ論法「どういう意味でどんな感じか」
具体例「実際どんな感じのものなのか」
ε-N論法「無限の排除とはどういう意味か」
収束「そこに集まっていく感じ」
発散「極限値が収束せず、無限大・無限小へ」
極限の基本についてのまとめ
連続「間になにか必ずある感じ」
『極限値 L 』なら、
関数バリエーションだと『極限』の形式は↓みたいな感じです。
\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)}=L\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) \to L\,\,\,(x \to c)
ε-δ論法
厳密な定義は「ε-δ論法」でされてます。
∀ε>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ>0}
[\,∀x∈R\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]\,]
これを理解するには『量化記号』の知識が必須です。
まあ、構成は見た目ほど難しくありません。
要は『 x が限りなく c に近づく』（前提）なら、
『 f(x) もまた L に限りなく近づく』（結論）って言ってるだけです。
厳密な定義では↑の『限りなく近づく』を、
『どこまでも小さく』にすることで厳密化してます。
どういうことかというと、
『 f(x) と L の「差」をどこまでも小さくできる』って感じです。
これは『 f(x) が L に限りなく近づく』と変わりませんよね？
そして↑の定義では、この条件を必ず満たす、
『都合の良い x と c の差が存在する』って言ってるわけです。
具体的に見てみましょう。
まず、近づくわけです。
なんでどう近づくのかというと、関数バリエーションなら↓
x→c\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,f(x)→L
「ε-δ論法」では、この近づくという表現を、
『差をどこまでも小さくできる』と表現しています。
これを実感するために、ちょっと確かめてみましょう。
そのために具体的なものを用意します。
そうですね、とりあえず『 f(x)=x 』で良いでしょう。
例えば x が 3 に『どこまでも近づく』なら、
『 x と 3 の差』の間に、 0 に近い数があるはず。
つまり「限りなく近づく」を、↓みたいに言えるわけです。
∃δ>0\,[\,|x-3|<δ\,]
『近づく』ですから、その値になるわけではありません。
ここが「代入」との明確な違いです。
『近づく』のであって、その値にはならないわけです。
ただし、それでも『限りなく近づく』ので、
結果として、代入と似たようなことになります。
ただしここで重要なのは↓だということです。
必ずしも正しいわけではない例。
（例えば x≠3 とかなんとか条件がついてれば間違い）
f(3)=3
必ず正しいことにしてしまえる例『極限』
\displaystyle \lim_{x \to 3}f(x)=3
これは、たとえ「 x≠3 」でも「 3<x 」でも正しくなります。
試してしてみましょう。
限りなく 0 に近い正の値を考えます。
\displaystyle δ=10^{-10^{100}}>0
この値 δ は「 x 」と「 f(x) 」の定義とは関係ないので、
x=3+δ\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,|x-3|<(3+δ)-3=δ
↑は間違いなく正しいです。
用語を使うなら、例えば「 3<x 」の時の「極限値 3 」は、
「最小値」ではなく『下限』のことを意味します。
要は「 f(x) 」の範囲の中に無い、しかし関係のある値のことです。
極限を使うと、そういう外側の値について見ることができます。
また解釈によっては『極限値』は「到達点」とも考えられます。
例えば『微分』や『積分』で得られる値なんかが実例です。
これらは「近づけていく」ことで値を得ていますので。
なんとなく分かると思いますが、これ、めっちゃ重要です。
そりゃあもう重要も重要で、無いと数学が破綻するレベルで不可欠。
これはそんな概念になります。
それを実感するために、最も重要な性質について見ていきましょう。
ε-N論法
これは『無限』を排除するための操作です。
そう、だいたい問題の原因になっている、
超がつくほどの曲者である「無限」を。
どういうことなのか見てみましょうか。
例えば↓みたいなものを例に使ってみていきます。
関数バリエーションではなく「数列 a_n 」の極限。
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=L
『数列』を扱う場合の極限の定義は「ε-N論法」と言います。
ただ、本質的に「ε-δ論法」と「ε-N論法」は同じものです。
違いは『微小な差』を表す「 δ 」を使うか、
『ナンバリング』を表す「 N 」を使うかという点だけ。
これの最大の特徴は「無限」を『有限の範囲で記述してる』点です。
要は「無限」は「無限」のままなんですけど、
『無限を使わず』に「無限」を表してる感じ。（ん？）
どういうことかというと、
『 n を無限 \infty に大きくする』を、
『どんなに大きな N よりも、 n は大きい』としてます。
発想は、まんまε-δ論法のものと同じです。
これで『限りなく』という胡乱な表現を排除することに成功しました。
更に言えば、これは「実現可能」な範囲でもあります。
なぜなら「無限の記憶領域」を用意しなくても、
「今あるもっとも大きなものより大きい」ものを用意すれば良いので。
まあ、処理としては延々と循環してしまうので、
その処理を『途中で停止』させなければなりませんけど。
それでも「実現不可能」よりははるかに有用です。
なにせこれのおかげで、
『円周率』や『平方根』なんかを「有理数で近似」できるわけで。
「処理を途中で止めて」も、それに近い値を得られるわけです。
では、実際どんな風に形式化されてるのか見ていきましょうか。
∀ε>0\,∃N∈\mathbb{N}
∀n∈\mathbb{N}\,\left[(n>N)⇒|a_n-L|<ε\right]
これの核心部分を意訳すると↓みたいな感じ。
いくらでも大きくとれる N が存在して、
n はそれよりも必ず大きい
要は『後出し』ですね。
ε-δ論法もそうです。小っちゃくとってもそれより小さいのがとれます。
それと同じように、これは延々と大きな値がとれるわけです。
以上が『極限』の定義、考え方になります。
だいたい終わったので、次に移りましょうか。
↑みたいに『極限値』がある場合とそうでないときなんかで、
その状態を表す概念がいくつかあるのでご紹介。
収束 Convergence
|| 広がるか集まるか
『極限値』があるときには「収束する」と言います。
それ以外の場合だと『発散する』という場合があります。
このどちらでもないときは『振動する』です。
「発散」や「振動」はそんなに意味のある結果ではないので、
主に『収束』がメインになります。
感覚的には『収束しないもの』が「発散」です。（単調増加とか）
どっちつかずなものが『振動』ですね。（正弦波とか）
これらは基本的に主題として扱われません。
これの具体例は、↑にある極限の項目で扱ったもので、
『極限値が存在する』ものになります。
発散 Divergence
直観的なので、まずは『数列』のバリエーションから。
「極限値が存在しない」ことを表す条件の一つ。
「正の無限大に発散する」ということを表すと↓みたいになります。
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n→\infty\,\,\,(n \to \infty)
そしてこれの厳密な定義は↓です。
（ F は、感覚的に「遠い Far 」感じから）
∀F>0∃N
∀n∈\mathbb{N}\,[\,(n>N)⇒(a_n>F)\,]
まとめ
とりあえず『実数 x∈\mathbb{R} 』ベースで、
定義に使う『 ε>0 』として『 δ>0 』とします。
収束する場合
要は『極限値が存在する』場合のことです。
つまり『 f(x) が定数に近づく』なら「収束」します。
「 x が定数に近づく」「 f(x) が定数に近づく」とき、
∀ε\,\textcolor{skyblue}{∃δ}
∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]
もしくは、
「 x が +\infty へ」「 f(x) が定数に近づく」とき、
∀ε\,\textcolor{skyblue}{∃V>0}
∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{x>V})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]
( -\infty の場合は x<f<0 )
発散する場合
つまり『極限値が存在しない』場合のことですね。
なので「 f(x) 」は「 +\infty か -\infty 」です。
「 x が定数に近づく」「 f(x) が +\infty へ」な場合、
∀\textcolor{pink}{F}>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ}
∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{f(x)>F})\,]
もしくは、
「 x が +\infty へ」「 f(x) が +\infty へ」な場合、
∀\textcolor{pink}{F}>0\,\textcolor{skyblue}{∃V}>0
∀x\,[\,(\textcolor{skyblue}{x>V})⇒(\textcolor{pink}{f(x)>F})\,]
連続 Continuous
|| 後出しで隙間を埋めていく
なんかの「間には必ずなにかある」っていう主張です。
形式は↓みたいに書かれます。
\displaystyle\lim_{x \to c}{f(x)}=f(c)
これは「 x を c に近づけると」、（前提）
「どこまでも f(x) は f(c) に近づく」（結論）と言ってます。
具体的に見てみましょう。
『関数 f(x) 』があって、これが「連続」なら、
定義域（普通は実数）全ての x=c で『 f(x)=f(c) 』です。
飛躍（記号の意味から）しますが、ここで「一致」から、
「差をどこまでも小さくできる」へと、範囲を大きくします。
すると条件を、
例えば『 |f(x)-f(c)|<ε<10^{-10^{100}}≒0 』とできます。
「 f(x) が連続」なら、
これはよくわかんないくらい小さな「 x と c の差」。
例えば『 |x-c|<δ<10^{-10^{10^{100}}}≒0 』でもそうでしょう。
つまり、こんな「 x と c の差が存在する」、
と言うことができれば「連続」だと言えるわけですね。
というわけで↑を量化記号で形式化すると、
要は「どんなに小さくても差が必ず存在する」ってことなので、
∃δ>0\,[\,|x-c|<δ\,]
そしてこの一般形を考えると、
そのまま『連続性』の定義になります。
∀ε>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ>0}\,s.t.\,∀x∈R
[\,\textcolor{skyblue}{(|x-c|<δ)}⇒(|f(x)-f(c)|<ε)\,]
