区間 Interval


|| イメージは切り身

数直線の「一部」って思っておけばOKです。

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目次


閉区間「端の点を含んでる、間にあるもの全部」

開区間「端の点は含まない、間にあるもの全部」


半開区間「片方の端の点だけ含む、間にあるもの全部」


高次元区間「線の区間から平面へ、空間へ、高次元へ」








まずほとんどの場合は『実数直線』が使われますね。

その形式は『 I=\{x∈\mathbb{R}\,|\,eP_L≤x≤eP_R\} 』です。

(集合の内包的記法




範囲の端にある数( eP_L,eP_R )を「端点 endPoints」と言います。

あんまり使わない言葉ですね。由来はそのまま、端っこの点です。

この間にあるもの全部を指して『区間』と言います。




具体的には↓みたいなのが『区間』になります。

\{x∈\mathbb{R}\,|\,0≤x≤1\}(閉区間)

\{x∈\mathbb{R}\,|\,13≤x<613\}(半開区間)




ちなみに↓みたいなのは「空集合」になります。

\{x∈\mathbb{R}\,|\,6190283≤x≤1\}(空集合)






というわけで、次は『区間』の種類を見ていきましょう。

大きく分けて『閉区間』と『開区間』

そしてそのどっちでもない『半開区間』があります。







閉区間 Closed Interval


|| 閉は閉じてるの閉

端点を含む区間のことです。そんだけ。



形式は↓



\displaystyle [\,eP_L,eP_R]:=\{x∈\mathbb{R}\,|\,eP_L≤x≤eP_R\}



[] 』この括弧で表すのがスタンダードですね。

断りなく使われたりするくらい有名です。






開区間 Open Interval


|| 開は開けてるの開

端点を含まない区間です。そんだけです。



形式は、



(\,eP_L,eP_R):=\{x∈\mathbb{R}\,|\,eP_L<x<eP_R\}



() 』この括弧をよく使います。

][ 』で書いたりもできますが、あんまり見ませんね。






半開区間・半閉区間


|| 感覚的には開区間っぽい

↑の定義に入らないやつですね。

つまりは片側の端点だけは含んでいる区間のことです。




形式は↓の2通りが考えられます。



[\,eP_L,eP_R):=\{x∈\mathbb{R}\,|\,eP_L≤x<eP_R\}

(\,eP_L,eP_R]:=\{x∈\mathbb{R}\,|\,eP_L<x≤eP_R\}



この辺は学校でやったと思うんで、確認っすね。

わりと見かけるのできちんと覚えておきましょう。







高次元区間 High Dimensional Interval


|| 高次元って聞くと難しそう

ただの書き方の確認です。身構えないでください。



まずは2次元区間から見てみましょう。

高次元区間はその一般化に過ぎないので。




まずは、平面を思い浮かべてください。

つまりは「数直線が直交している」状態です。




端点をそれぞれ↓みたいにすると、

eP_{L}=(eP_{L^x},eP_{L^y}),eP_{R}=(eP_{R^x},eP_{R^y})



こんな風に書けます↓(閉区間の場合)



[eP_L,eP_R]:=

\{(x,y)∈\mathbb{R}^2\,|\,eP_{L^x}≤x≤eP_{R^x},eP_{L^y}≤y≤eP_{R^y}\}




これはまあ、単なる平面の切り取りです。

高次元っていうと難しく見えますけど、所詮こんなもん。

言ってることは単純で、そんな難しくありません。




しかし自分で書いといてなんですが、ごちゃごちゃしてますね。

端点だってことを強調したかったんですけど、もういいでしょうか。

いい加減名前も定着したと思うんで↓からは普通に書きます。




んで、最後は↑の一般化ですね。

端点を「 l=(l_1,l_2,...,l_n),r=(r_1,r_2,...,r_n) 」とします。




そしたら↓みたいに書けます。(開区間の場合)



(l,r):=

\{(x_1,x_2,...,x_n)∈\mathbb{R}^n\,|\,l_1<x_1<r_1,...,l_n<x_n<r_n\}






以上が区間というものについての大まかな解説になります。

この辺りを押さえておけばあんまりなケース以外は対応できるかと。