区間 Interval

 

|| イメージは切り身

数直線の「一部」って思っておけばOKです。

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目次

 

閉区間「端の点を含んでる、間にあるもの全部」

開区間「端の点は含まない、間にあるもの全部」

 

半開区間「片方の端の点だけ含む、間にあるもの全部」

 

高次元区間「線の区間から平面へ、空間へ、高次元へ」

 

 

 

 

 


 

これはだいたい『実数直線』を考える時に使われます。

p_{\mathrm{Left}},p_{\mathrm{right}} は「端点 endPoints」を意味する記号です。

 

\begin{array}{lllll} \displaystyle I&=&\{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}≤x≤p_{\mathrm{right}}\} \end{array}

 

「端点」ってのは、

まあそのまま端の点のことなんですけど、

あんま使う単語ではないですね。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{x∈\mathbb{R} \mid 0≤x≤1\} \\ \\ \{x∈\mathbb{R} \mid 13≤x<613\} \end{array}

 

この「間にあるもの全部」を

まとめて『区間』って表現してるわけですが、

まあ、これは見てすぐ分かると思います。

 

 

ちなみに↓みたいなのは「空集合」って呼ばれます。

 

\begin{array}{lllll} \displaystyle \{x∈\mathbb{R} \mid 6190283≤x≤1\} &&\mathrm{Empty \,\, Set} \end{array}

 

条件に合うものが何も無い

つまり『区間』というよりは空箱なので。

 

 

 


 


閉区間 Closed Interval

 

|| 閉は閉じてるの閉

端点を含む区間のこと。

 

\begin{array}{lllllll} \displaystyle [p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}}]&:=&\{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}≤x≤p_{\mathrm{right}}\} \end{array}

 

「閉区間」は『括弧 [\,\,] 』で表すのがスタンダード

他の記号は基本的に使いません。

 

 

 

『区間』自体は

他にも「 () 」を使ったりしますが、

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (2,5) && \mathrm{Pair} \\ \\ (2,5) &&\mathrm{Coordinate} \\ \\ (2,5) && \mathrm{Open \,\, Interval} \end{array}

 

こっちは注釈が無いと判別できない上に

次に紹介する「開区間」で使われるので

閉区間を表現する場合で使われることはありませんね。

 

 


 

 

開区間 Open Interval

 

|| 開は開けてるの開

端点を含まない区間のこと。

 

\begin{array}{lllllllll} \displaystyle (p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}})&:=& \{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}<x<p_{\mathrm{right}}\} \end{array}

 

() 』この括弧をよく使います。

][ 』で書いたりもされますが、

こっちはあんまり見ません。

 

 


 

 

半開区間・半閉区間

 

|| 感覚的には開区間っぽい

↑の定義に入らないやつ。

つまりは片側の端点だけは含んでいる区間のこと。

 

\begin{array}{lllll} [p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}})&:=&\{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}≤x<p_{\mathrm{right}}\} \\ \\ (p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}}]&:=& \{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}<x≤p_{\mathrm{right}} \} \end{array}

 

この辺は学校でやったやつですね。

特に疑問は出ないと思います。

 

 

 


 


高次元区間 High Dimensional Interval

 

|| 高次元って聞くと難しそう

座標みたいな感じで2つの範囲を決めるだけ。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{(x,y)∈\mathbb{R}^2 \mid p_{\mathrm{left}_x} ≤x≤ p_{\mathrm{right}_x},p_{\mathrm{left}_y} ≤y≤ p_{\mathrm{right}_y}\} \end{array}

 

まあつまり「 2 次元区間」だとこんな感じで、

これ以上の次元の区間は書くやつを増やすだけ。

特に疑問は出ないと思います。

 

 

基本は「数直線」

これはそれが「直交している」状態の話でしかないですし。

 

 

 

最後、ごちゃごちゃしてますが一般形も書いておきます。

端点は「 l=(l_1,l_2,...,l_n),r=(r_1,r_2,...,r_n) 」こんな感じ。

 

\begin{array}{llllllll} \displaystyle \{(x_1,x_2,...,x_n)∈\mathbb{R}^n \mid l_1<x_1<r_1,...,l_n<x_n<r_n\} \end{array}

 

区間については以上です。

まあ、ただの記号の確認ですね。