|| イメージは切り身
数直線の「一部」って思っておけばOKです。
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目次
・閉区間「端の点を含んでる、間にあるもの全部」
・開区間「端の点は含まない、間にあるもの全部」
・半開区間「片方の端の点だけ含む、間にあるもの全部」
・高次元区間「線の区間から平面へ、空間へ、高次元へ」
これはだいたい『実数直線』を考える時に使われます。
p_{\mathrm{Left}},p_{\mathrm{right}} は「端点 endPoints」を意味する記号です。
\begin{array}{lllll} \displaystyle I&=&\{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}≤x≤p_{\mathrm{right}}\} \end{array}
「端点」ってのは、
まあそのまま端の点のことなんですけど、
あんま使う単語ではないですね。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{x∈\mathbb{R} \mid 0≤x≤1\} \\ \\ \{x∈\mathbb{R} \mid 13≤x<613\} \end{array}
この「間にあるもの全部」を
まとめて『区間』って表現してるわけですが、
まあ、これは見てすぐ分かると思います。
ちなみに↓みたいなのは「空集合」って呼ばれます。
\begin{array}{lllll} \displaystyle \{x∈\mathbb{R} \mid 6190283≤x≤1\} &&\mathrm{Empty \,\, Set} \end{array}
条件に合うものが何も無い
つまり『区間』というよりは空箱なので。
閉区間 Closed Interval
|| 閉は閉じてるの閉
端点を含む区間のこと。
\begin{array}{lllllll} \displaystyle [p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}}]&:=&\{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}≤x≤p_{\mathrm{right}}\} \end{array}
「閉区間」は『括弧 [\,\,] 』で表すのがスタンダード
他の記号は基本的に使いません。
『区間』自体は
他にも「 () 」を使ったりしますが、
\begin{array}{llllll} \displaystyle (2,5) && \mathrm{Pair} \\ \\ (2,5) &&\mathrm{Coordinate} \\ \\ (2,5) && \mathrm{Open \,\, Interval} \end{array}
こっちは注釈が無いと判別できない上に
次に紹介する「開区間」で使われるので
開区間 Open Interval
|| 開は開けてるの開
端点を含まない区間のこと。
\begin{array}{lllllllll} \displaystyle (p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}})&:=& \{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}<x<p_{\mathrm{right}}\} \end{array}
『 () 』この括弧をよく使います。
『 ][ 』で書いたりもされますが、
こっちはあんまり見ません。
半開区間・半閉区間
|| 感覚的には開区間っぽい
↑の定義に入らないやつ。
つまりは片側の端点だけは含んでいる区間のこと。
\begin{array}{lllll} [p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}})&:=&\{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}≤x<p_{\mathrm{right}}\} \\ \\ (p_{\mathrm{left}},p_{\mathrm{right}}]&:=& \{x∈\mathbb{R} \mid p_{\mathrm{left}}<x≤p_{\mathrm{right}} \} \end{array}
この辺は学校でやったやつですね。
閉区間を表現する場合で使われることはありませんね。
特に疑問は出ないと思います。
閉区間と開区間の関係
「閉区間」「開区間」の厳密な定義は
「開集合」「閉集合」で与えられていて
（同一ではない）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \emptyset \\ \\ (-\infty,\infty) \end{array}
「空集合」および「実数全体」は
『開集合』であり『閉集合』である、とされています。
つまり、この２つは必ずしも真逆ではないため
記号 (),[] で判別できないことがあるんです。
この点、ややこしいですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle (-\infty,\infty) \\ \\ [a,\infty) \\ \\ (-\infty,b] \end{array}
一見、開区間・半開区間に見えるこれは
「閉区間」である場合もあったりします。
（詳細は位相・開集合の話で）
具体的には
「実数全体 (-\infty,\infty) 」の範囲であれば
「境界の点をすべて含む」ため
\begin{array}{llllll} \displaystyle (-\infty,\infty) \end{array}
これは確実に「閉区間」です。
「端点 -\infty,\infty 」は存在しません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle [0,\infty) \\ \\ (-\infty,0] \end{array}
そのためこのようなパターンでは
境界の点は 0 のみとなり
これらも閉区間と言えます。
ただし「拡大実数 [-\infty,\infty] 」の範囲であれば
\begin{array}{llllll} \displaystyle (-\infty,\infty) \end{array}
「境界の点 -\infty,\infty 」を全て含まないので
これは閉区間ではありません。
高次元区間 High Dimensional Interval
|| 高次元って聞くと難しそう
座標みたいな感じで２つの範囲を決めるだけ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{(x,y)∈\mathbb{R}^2 \mid p_{\mathrm{left}_x} ≤x≤ p_{\mathrm{right}_x},p_{\mathrm{left}_y} ≤y≤ p_{\mathrm{right}_y}\} \end{array}
まあつまり「 2 次元区間」だとこんな感じで、
これ以上の次元の区間は書くやつを増やすだけ。
特に疑問は出ないと思います。
基本は「数直線」
これはそれが「直交している」状態の話でしかないですし。
最後、ごちゃごちゃしてますが一般形も書いておきます。
端点は「 l=(l_1,l_2,...,l_n),r=(r_1,r_2,...,r_n) 」こんな感じ。
\begin{array}{llllllll} \displaystyle \{(x_1,x_2,...,x_n)∈\mathbb{R}^n \mid l_1<x_1<r_1,...,l_n<x_n<r_n\} \end{array}
区間については以上です。
まあ、ただの記号の確認ですね。