|| 測るってそもそもなに？な論
メイントピックは『面積』です。
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この面積と似たようなもの、というか本質的に同じものを、
まとめて「測度」と言って表してます。
目次
測度「長さとか面積とか体積とかのこと」
完全加法族「測度を矛盾なく導ける枠組み」
これの発端は『バナッハ・タルスキーのパラドックス』になります。
今では「定理」扱いされてますけど、昔は矛盾扱いされてました。
これを要約するなら、
『測度』を考えると、数学がぶっ壊れる、という感じ。
具体的には「有理数加算同値関係」を用いた『同値類』の存在です。
意訳すると、『わけわかんないくらい細かくする』って感じ。
長くなるので、詳しくは別の記事で扱います。
これを解消し、研究する分野が『測度論』になります。
要は『測度論』のおかげできちんと「面積」とかが使えるわけですね。
測度 Measure
|| 測れる量を表す数値
『個数』『長さ』『面積』『体積』は全部『測度の一種』です。
厳密に言うと「↑の値を返す関数」のことになります。
ほとんど Measure から『 μ(X) 』みたいに書かれますね。
（ X は集合）
これの厳密な定義は、当然ですけど『集合論』的です。
更に言うなら「帰納的」でもあります。
基本は 2 つです。
・初期値について「空集合なら測度は 0 」
μ(∅)=0
・測度が満たす性質「重なってないなら足せる」
A_1,A_2,A_3,... が、全部互いに共通部分を持たないとき、
\displaystyle μ\left(\bigcup_{i} A_i\right)=\sum_{i} μ(A_i)
ただこれ、このままだと矛盾が出ます。
↑のやつ（バナッハ・タルスキーのパラドックス）です。
この矛盾を回避するには↓を定める必要があります。
↑の『 A_i 』が↓だって宣言すれば解決。
完全加法族 Completely Additive
|| ちゃんと集合の演算ができる集合のこと
要は『測度』を定義できる集合のことです。単に「加法族」とも。
これは「測度論の核（成果）」と言って良いものになります。
「微分積分学」では『ルベーグ積分』の基礎付けの役割を果たし、
「確率論」では『確率』を求められるベースを提供します。
これの根拠となる部分は単純です。
「論理回路」を思い出してください。
これをすべて実現できれば、全てのことを実現できますよね。
ということは、それを最低限持ってれば良いわけです。
具体的には、『補集合（否定）』と『和集合（または）』。
そして『積集合（かつ）』があれば、全て表現可能になります。
つまり、最低限これだけの演算を持ってれば、
それは「あらゆる操作を実現できる」ってことです。
要は、詳細は省きますが、
↓の性質を満たす「集合族」のことを指します。
大雑把にまとめるなら、↓の条件は、
『集合の演算について閉じてる』ってことを保証してます。
というわけで、ざっと定義に必要なものを用意。
まずは当然ベースとなる『集合 A 』を。
そして『集合族』を作るために「冪集合 2^A 」を。
結論から行くと、この「冪集合の部分集合 \varSigma⊆2^A 」が、
↓の 3 つの条件を満たすと『完全加法族』になります。
・まず必要なものがある宣言「空じゃない」
「 A の部分集合」を『 A_{pt}⊆A 』とすると、
∀\varSigma\,∃A_{pt}\,[\,A_{pt}∈\varSigma\,]\,\,\,⇒\,\,\,\varSigma≠∅
・次に補集合が作れる宣言「補集合も持ってる」
A_{pt}^c:=A∖A_{pt} なら、
A_{pt}^c∈\varSigma
・最後に和集合が作れる宣言「あらゆる和集合を持ってる」
部分集合 A_1,A_2,A_3,... を持つなら、
その和集合 A_1∪A_2∪A_3∪... を U_A とすると、
U_A∈\varSigma
ただしこの和集合の操作の限界は『可算無限』回までとします。
また、共通部分は「和集合の演算について閉じてる」から導けます。
どういうことかというと、単純な話、
「補集合がある」ので、「ド・モルガンの法則」から、
『和集合の補集合』は「共通部分」になるので、存在します。
もっと感覚的な話をするなら、
そもそも『和集合がある』ので「それを作るもの」もあります。
つまり「 A_1,A_2 」があって、
その和集合「 A_1∪A_2 」があるわけです。
「 A_1,A_2 の積集合」はこの内側にあるので、
『共通部分 A_1∩A_2 』は↑の内側に、確実に存在してます。
この完全加法族っていうのは、
具体的には↓みたいな集合族のことです。
\displaystyle \varSigma=\{∅,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}
まとめると、
・空じゃない ∃A_{pt}\,[\,A_{pt}∈\varSigma\,]
・補集合がある ∀A_{pt}∈\varSigma\,[\,A_{pt}^c∈\varSigma\,]
・和集合がある ∀A_1,A_2∈\varSigma\,[\,A_1∪A_2∈\varSigma\,]
そして「和集合の存在」と「補集合の存在」から、
「ド・モルガンの法則」で『共通部分の存在（かつ）』が導ける。
「ならば」に当たるものは定義からすぐに導けます。
『 A^c∪B∈\varSigma 』なので。
これで、全ての演算が可能な集合ができるわけです。
つまり、この『操作ができない集合』は排除されます。
