波動関数 Wave Function


|| 結果的に、内積をとると確率になる関数

これは『正規直交基底』の中身で、

だからこそ「確率として解釈できる」ものです。

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目次

 

量子の話 <<最初

 

ヒルベルト空間 <<計算のあれ

エルミート演算子 <<実数

物理量演算子の行列表示 <<行列の中身

 

最小作用の原理 <<中間の決まり

 

 

波動関数「波っぽい確率のようななにか (?)」

 

   「水面とかで見るあれ」

      調和振動(単振動)「バネ・振り子のあれ」

      進行波「海とかで見るあれ」

      定常波「その場で上下してる感じ」

 

   波動方程式「波が満たすべき条件」

   ボルンの規則「波動関数の解釈」

 

 

 

 

 


波動関数

 

|| 波っぽいし確率っぽくもある関数

これは『波っぽい性質を持つ関数』のことで、

2 乗すると確率になるもの』と解釈されてます。

 

 

え? とか ん? ってなると思いますが、それでOK。

正常な感覚なので、大丈夫です。

これ、結果論なので。

 

 

ともかく、ざっと説明をしていくと、

まあ具体的には↓みたいな感じ。

 

\begin{array}{rlc} \psi(x,t)&=a\cos(kx-ωt) \\ \\ \psi(x,t)&=ae^{i(kx-ωt)} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} θ&=kx-ωt \\ \\ \psi(x,t)&=a\cosθ \\ \\ \psi(x,t)&=ae^{iθ} \end{array}

 

この「 \psi(x,t) 」が波動関数ってやつです。

この時点じゃ分からなくて当然なので、

とりあえず、まずは『波』について説明します。

 

 

 

 

 

波の基礎知識

 

これは『水面とかに映る形』の話ですね。

図形的には「正弦波」と「円」が基礎にきます。

 

 

はい、まあそんなわけで話を進めてくんですが、

いや、そもそも波ってなんなんでしょ?

 

 

水面にモノを落とすと広がってく感じとか、

そういうのをイメージすると思うんですが、

 

 

なにをもって波と言うのか、

その辺りの基準がよく分かりません。

 

 

目には見えますし、

直観的にどういうものかは分かります。

でも、なんかはっきりしない。

 

 

 

まあそんなわけなんで、

これを厳密に取り扱ってみます。

 

 

具体的には、その「形」に注目して、

『図形で表すための方法』を考えてみます。

 

 

 

結論から行くと、最初に言ったように

「円」と『正弦波』を使う感じになります。

 

 

その下地になるのは「フーリエ級数展開」

および「テイラー展開」です。

この辺りの詳細は省略。

 

 

 

まあとりあえず、

「極座標の感覚」が分かればだいたいそれでOK。

 

\begin{array}{rlc} x&=r\cos θ \\ \\ y&=r\sin θ \end{array}

 

実際にはもっと複雑なんですけど、

ベースはこの「極座標」の感覚になるので、

そんなに難しく考えなくていいです。

 

 

 

 

 

波と図形と数式

 

「波の形」を考えてみると、

『進行方向』と『振れ幅』がある

というのは、見れば直感的に分かると思います。

 

 

一応言い換えておくと、

進行方向は「横に広がっていく方向」のことで、

振れ幅は「波の高さ(振幅)」のことです。

 

 

んでここが重要なんですけど、

この2つは『同時に変わります』

 

 

つまり図形で表すなら、

これらは最低限、表現できなくてはなりません。

 

 

 

結論から行くと、

これは『時間』でまとめて解決します。

具体的には、『波の進行方向』を↓みたいにして、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle θ&=ωt \\ \\ x&=r\cosθ \end{array}

 

『振れ幅/振幅』を↓のように表現する感じ。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle θ&=ωt \\ \\ y&=r\sinθ \end{array}

 

ちなみに「 ω 」は『角速度』です。

意味は「 1 秒で角度が ω 変わる」って感じ。

 

 

 

まとめると、波の形を表す式は↓です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle x&=r\cos θ \\ \\ y&=r\sin θ \end{array}

 

これが『最も単純な、波の座標を表す式』になります。

他のいろんな波は、これを変形したやつです。

 

 

というのも、

例えば「進行方向を表す x 軸」に着目して、

「波の始まり」を『原点スタートとしない』なら、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle x&=r\cos(ωt+α) \\ \\ y&=r\sin(ωt+α) \end{array}

 

このように、ズレ α があるので、

波の式はこういう風になるはずです。

 

 

 

はい、とまあ「波の座標表示」については、

単純な部分の話だとこんな感じですね。

 

 

ちなみに「 ωt+α 」は『位相』と呼ばれていて、

α 」は『初期位相』と呼ばれています。

 

 

この場合だと、位相の意味は「角度」ですね。

とはいえ、表したいのは円ではなく『波』です。

なので、区別するためにこう呼ぶことにしてます。

 

 

 

 

 

単振動/調和振動

 

単振動ってのは『超単純な振動』のことです。

「振動を表す最も単純な形」はこれになります。

 

 

具体的には「振り子」とか「バネ」とか、

そういう「その場での振動」の総称がこれ。

 

   

 

他の振動はこれをベースにして、

条件を加えたり、変形させたりして作られます。

 

 

具体的には↑で説明したやつとかがそうですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle x&=r\cos(ωt+α) \\ \\ y&=r\sin(ωt+α) \end{array}

 

これが波を最も単純に視覚化した式で、

これを基礎にして、波は説明されます。

 

 

 

 

 

三角関数の微分と運動方程式

 

「運動方程式 F=ma 」を考えてみます。

速度 v ・加速度 a微分で求めて。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{d(\sinθ)}{dθ}&=\cosθ \\ \\ \displaystyle \frac{d(\cosθ)}{dθ}&=-\sinθ \end{array}

 

使うのはこの「三角関数の性質」ですね。

 

 

これを使って『座標 x の時間 t での変化』

という意味での「速度」を導いてみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle v&\displaystyle =\frac{dx}{dt} \\ \\ &\displaystyle =r(\cos(ωt+α))^{\prime} \\ \\ \\ \displaystyle (\cos(ωt+α))^{\prime}&\displaystyle =\frac{dx}{dθ}\frac{dθ}{dt} \\ \\ &\displaystyle =(\cosθ)^{\prime}(ωt+α)^{\prime} \\ \\ &=-ω\sinθ \\ \\ &\displaystyle =-ω\sin(ωt+α) \end{array}

 

「加速度」は『時間 t での速度 v の変化』ですから、

 

\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle a&\displaystyle =\frac{dv}{dt} \\ \\ &\displaystyle =\frac{d(\frac{dx}{dt})}{dt} \\ \\ &\displaystyle =\frac{d^2x}{dt^2} \\ \\ \\ \displaystyle (-ω\sin(ωt+α))^{\prime}&=-ω(ω\cosθ) \\ \\ &\displaystyle =-ω^2\cos(ωt+α) \end{array}

 

こうなります。

整理すると↓

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle v&\displaystyle =\frac{dx}{dt} \\ \\ &=-rω\sin(ωt+α) \\ \\ \\ \displaystyle a&\displaystyle =\frac{d^2x}{dt^2} \\ \\ &=-rω^2\cos(ωt+α) \\ \\ &=-ω^2x \end{array}

 

ここまで分かれば、

運動方程式を↓のように書き換えられるのが分かるかと。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle F&=ma \\ \\ &=-mω^2x \end{array}

 

「角速度 ω 」と「質量 m 」は定数です。

なので、まとめて『 k=mω^2 』と書かれることがあります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle F&=-mω^2x \\ \\ &=-kx \\ \\ \\ \displaystyle ω&\displaystyle =\sqrt{\frac{k}{m}} \end{array}

 

整理するとこんな感じ。

 

 

 

余談ですが、

「角速度 ω 」は↓で定義されます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ω&\displaystyle =\sqrt{\frac{k}{m}} \end{array}

 

これは「 F=ma 」を測って、

次に「位置 x 」から「 k 」を求めて、

それから角速度 ω を導くためですね。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle m,a&→&ma \\ \\ ma,kx&→&k \\ \\ k,m&→&ω \end{array}

 

この順番じゃないと、

角速度を求めることができません。

 

 

 

 

 

進行波

 

↑は「その場での振動」の話なんですけど、

波の中には「形はそのまま」に、

『一定方向に進んでいく』ものがあります。

 

 

これはそういう『進んでいく振動』の話で、

↑の話に『進行方向を加えたもの』になります。

 

 

具体的には「進行方向の速度を考えるかどうか」

この点で単振動を拡張する感じですね。

 

 

ちなみに単振動だと、

この進行方向の速度がどの方向でも 0 になります。

 

 

 

それと、これは慣例ですが、

基本的に速度の方向は x 軸で考えます。

 

 

別に y 軸でも良いんですけど、

その場合だと振幅を x 軸にしますね。

その方が図にしやすいので。

 

 

ちなみに「振幅と進行方向が重なる」パターンは、

この場合を複雑にする感じです。

 

 

速度を両方の軸にベクトルで分けて考えたり、

そのために偏微分とか使ったり。

 

 

とまあ、複雑にするとそんな感じで分かりにくいので、

そっちはとりあえず考えません。

 

 

まずは「進行波」の中で『最も単純な形』を考えて、

それをベースに組み立てていきます。

↑の単振動でやった感じの要領で。

 

 

 

 

 

速度と周期

 

そのために、とりあえず「速度」を定義。

単純にするために『等速直線運動』とします。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle v \end{array}

 

続いて、

「1秒で1つの波が振動する回数 f 」から、

『1回振動する秒数 t_1 (周期)』を求めてみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{1}{f}&=t_1 \end{array}

 

まあ、これは説明不要でしょう。

単位から意味を考えればすぐに分かるので。

 

 

 

 

 

波長を周期から求める

 

『波の1周期の長さ λ 』を、

「速度」と「振動数」で表現してみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle vt_1&\displaystyle =\frac{v}{f} \\ \\ &=λ \end{array}

 

するとこんな風に、

『波の1周期の進行方向への長さ λ 』が定義できますね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle v&=λf \\ \\ \displaystyle λ&\displaystyle =\frac{v}{f} \end{array}

 

これが「波長 λ 」ってやつです。

慣例では『振動数 f 』と「速度 v 」で、

このように表現されます。

 

 

 

 

 

周期と角速度の関係

 

『三角関数の周期 』から、

「角速度 ω 」と「振動数 f 」は、

 

\begin{array}{rlc} ωt_1&=2π \\ \\ \\ \displaystyle f&\displaystyle =\frac{ω}{2π} \\ \\ ω&=2πf \end{array}

 

このような関係にあると考えられますが、

これ、分かるでしょうか。

 

 

パっと見で分かりにくいかもしれませんが、

けっこう大事なので分かってください。

 

 

「三角関数の周期が である」ことと

『振動数 f と周期 t_1 の意味』を考えると

けっこう理解しやすいかもしれません。

 

 

 

 

 

角速度と位相のズレ

 

「波長 λ 」と「位置 x 」から、

『位置 x での位相のズレ ωt 』を導いてみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle f&\displaystyle =\frac{ω}{2π} \\ \\ \displaystyle \frac{ω}{2π}&\displaystyle =\frac{v}{λ} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ω&\displaystyle =2π\frac{v}{λ} \\ \\ \displaystyle ωt_1&\displaystyle =2π\frac{vt_1}{λ} \\ \\ \\ \displaystyle ωt&\displaystyle =2π\frac{vt}{λ} \\ \\ \displaystyle ωt&\displaystyle =2π\frac{x}{λ} \end{array}

 

ちょっと見た目複雑ですけど、

こうなるのは特に疑問なく分かりますよね。

やってることはただの式変形ですし。

 

 

 

 

 

進行波の式と位相のズレ

 

↑が分かれば、

「進行方向を考えた時」の、

『振動を表す式』が↓みたいになるのが分かるかと。

 

\displaystyle ωt-2π\frac{x}{λ}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&\displaystyle =r\cos \left( ωt-2π\frac{x}{λ} \right) \end{array}

 

慣例では、これはよく↓のように書かれますね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle k&\displaystyle =\frac{2π}{λ} \\ \\ \displaystyle 2π\frac{x}{λ}&=kx \end{array}

 

\cos θ = \cos (-θ)

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&=r\cos \left( ωt-kx \right) \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=r\cos \left( kx-ωt \right) \end{array}

 

表現の仕方はなんでもいいんですけど

一応、これがベースです。

 

\displaystyle \psi(x,t)=r\cos \left( kx-ωt \right)

 

振幅も一緒くたに表現する場合は、

 

e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&\displaystyle =r\Bigl( \cos \left( kx-ωt \right)+i\sin \left( kx-ωt \right) \Bigr) \\ \\ &\displaystyle =re^{i \left( kx-ωt \right) } \end{array}

 

このように書かれたりもします。

 

 

これで波の縦と横をまとめて表現してる感じですね。

直交系ですし、一般形はだいたいこれで書かれます。

 

 

 

 

 

波のいろんな書かれ方

 

波の形っていうとだいたい↑で書かれるんですけど、

↑じゃないとダメ、ってわけではなかったりします。

 

 

というのも、

重要なのは『波の形を表せること』ですから、

その条件を満たす関数であればなんでも良いんですよ。

 

 

 

具体的には↓とか。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sin(kx-ωt) \\ \\ e^{i(kx-ωt)} \end{array}

 

\sinθ\cosθ の波の形なんですけど、

実は『位相が違うだけ』で全く同じ。

 

\displaystyle \sinθ=\cos\left( θ+\frac{π}{2} \right)

 

なので「波の形」を数式で表す時、

『初期位相が違うだけ』ですから、

↓のように書いても特に問題がなかったり。

 

\displaystyle \psi(x,t)=r\sin \left( kx-ωt \right)

 

というのも、

これも波の形をちゃんと表現できてるじゃないですか。

てことは、これも「波の形を表す式」って言えますよね。

 

 

 

なんでこの話をするのか。

疑問に思った人がいると思いますが、

実はこれ、けっこう重要なんですよ。

 

 

というのも実はこれ、

書かれ方があんまり統一されてなくて、

どれが一番見る、みたいなものが無いんです。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle y&=A\sin(ωt-α) \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&\displaystyle =r\sin \left( ωt-kx \right) \end{array}

 

どういうことかというと、

例えばこんな書き方を採用してる人もいれば、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle y&=r\sin(ωt-kx) \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&\displaystyle =A\cos \left( ωt-kx \right) \end{array}

 

こんな書き方を採用してる人もいて、

文献によって違うんです。

なので、計算結果が違ったりもします。

 

 

 

とまあそんな感じなので、

ごちゃごちゃしないようにこの話をしておきました。

 

 

まとめると、

↓は全部、単に『波の形を表現したい』だけ。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&=r\cos \left( kx-ωt \right) \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=r\sin \left( kx-ωt \right) \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=r\sin \left( ωt-kx \right) \\ \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&\displaystyle =re^{i \left( kx-ωt \right) } \end{array}

   

これらはぜんぶ違うものですけど、

『役割は同じ』

 

 

 

ちなみに、これが『波動関数』の中身になります。

詳しい話は後述。

 

 

 

まとめると、波の基本形は↓

 

\begin{array}{llc} \displaystyle r\sin θ \\ \\ \displaystyle r\cos θ \\ \\ \displaystyle r\,e^{iθ} \end{array}

 

時間の変化「 t 軸でのずらし」を考えると↓

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sin ωt \\ \\ \displaystyle r\,e^{iωt} \end{array}

 

進行方向の速度による変化、

x 軸/位相のズレを考えると↓

 

\begin{array}{llc} \displaystyle r\sin (ωt-kx) \\ \\ \displaystyle r\,e^{i(ωt-kx)} \end{array}

 

図は、基本的に t が横軸で、

x,y,z を縦軸にして考えます。

 

 

 

 

  

定常波

 

こいつはあれです。

その場でうにょんうにょんする感じのやつです。

 

 

分類としては「合成波」ってやつで、

これは、その中でも特殊なやつになります。

 

 

具体的には、

例えば「進行方向の速度が真逆」な

2つの波の合成波とかがこれ。

 

 

見た目は『その場で上下に動いている』感じですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi_{\mathrm{right}}(x,t)&\displaystyle =r\sin 2π\frac{x-vt}{λ} \\ \\ \displaystyle \psi_{\mathrm{left}}(x,t)&\displaystyle =r\sin 2π\frac{x+vt}{λ} \end{array}

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \psi_{\mathrm{right}}(x,t)+\psi_{\mathrm{left}}(x,t) \\ \\ \displaystyle =r\sin 2π\frac{x-vt}{λ}+r\sin 2π\frac{x+vt}{λ} \end{array}

 

定常波を表す式については、

まあこんな感じになります。

 

 

 

で、この式なんですけど、

実は変形するとけっこう面白い形に。

 

 

というのも、↓みたいに

『変数を分離』することができちゃったりします。

 

\begin{array}{rlc} \psi(x,t)&=\psi(x)\phi(t) \end{array}

 

まあこう言われてもよく分かんないと思うので、

とりあえず変形してみますね。

 

 

使うのは三角関数の加法定理です。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle r\sin 2π\frac{x-vt}{λ}&\displaystyle +r\sin 2π\frac{x+vt}{λ} \\ \\ \displaystyle \sin \left( \frac{2π}{λ}x-\frac{2π}{λ}vt \right) &\displaystyle +\sin \left( \frac{2π}{λ}x+\frac{2π}{λ}vt \right) \\ \\ \\ \displaystyle \sin \left( kx-kvt \right) &\displaystyle +\sin \left( kx+kvt \right) \\ \\ \displaystyle \sin \left( kx-ωt \right) &\displaystyle +\sin \left( kx+ωt \right)\end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle k &\displaystyle =\frac{2π}{λ} \\ \\ kv&=ω \end{array}

 

まず式を整理するとこう。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \sin(α-β)&=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ \\ \\ \displaystyle \sin(α+β)&=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ \\ \\ \\ \displaystyle \sin \left( kx-ωt \right)&=\sin kx\cos ωt-\cos kx\sin ωt \\ \\ \displaystyle \sin \left( kx+ωt \right)&=\sin kx\cos ωt+\cos kx\sin ωt \end{array}

 

で、加法定理はこうなので、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sin \left( kx-ωt \right)+\sin \left( kx+ωt \right) \\ \\ \displaystyle =2\sin kx\cos ωt \\ \\ \\ \\ \displaystyle r\sin 2π\frac{x-vt}{λ}+r\sin 2π\frac{x+vt}{λ} \\ \\ \displaystyle =r2\sin kx\cos ωt \\ \\ \\ \displaystyle =2r \textcolor{pink}{\sin kx} \textcolor{skyblue}{\cos ωt} \end{array}

 

整理するとこうなります。

 

 

これ、シュレーディンガー方程式の

『時間』の話で使うので、覚えておいてください。

 

 

 

 

 


波動方程式

 

|| 波だったら満たしてるはずの条件

これは三角関数の性質がだいたいメインのやつで、

「波形が満たす条件」って感じのものになります。

 

 

\psi(x,t) が波形なら↓を満たすよ」って感じで、

\psi(x,t) の性質を限定する』のがメインの役割ですね。

 

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}=u^2\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}

 

最小作用の原理と似た感じです。

\psi(x,t) が波形」なら、これを必ず満たします。

 

 

 

導出は単純。

「波の式」を偏微分するだけです。

 

 

波形だからこうなる、という感覚は、

計算してみると実感できるかと。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{d}{dθ}\sinθ&\displaystyle =\cosθ \\ \\ \displaystyle \frac{d^2}{dθ^2}\sinθ&\displaystyle =\frac{d}{dθ}\cosθ \\ \\ &=-\sinθ \\ \\ \\ \displaystyle \sinθ&\displaystyle =-\frac{d^2}{dθ^2}\sinθ \end{array}

 

まあ「波形」と言うよりは、

「三角関数」のこの感覚なんですけど、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&\displaystyle =r\sin \left( ωt-\frac{2π}{λ}x \right) \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=r\sin \left( ωt-kx \right) \\ \\ \\ \displaystyle θ&=ωt-kx \\ \\ \displaystyle \psi(θ)&=r\sin θ \end{array}

 

↑で言っていた「速度」については、

『位相』を考えないと出てきません。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}&\displaystyle =r\frac{\partial}{\partial θ}(\sinθ)\frac{\partial}{\partial t}(ωt-kx) \\ \\ &=rω\cosθ \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}&=rω(ω(-\sinθ)) \\ \\ &=-rω^2\sinθ \\ \\ \\ \displaystyle -r\sinθ&\displaystyle =\frac{1}{ω^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \end{array}

 

というのも、

波だと微分するとこんな感じになって、

位相の係数が出てくるんですよね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x}&=r\cosθ\,(-k) \\ \\ &=r(-k)\cosθ \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}&=r(-k)^2(-\sinθ) \\ \\ &=-rk^2\sinθ \\ \\ \\ \displaystyle -r\sinθ&\displaystyle =\frac{1}{k^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \end{array}

 

で、 x の偏微分だとこうなるので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle -r\sinθ&\displaystyle =\frac{1}{ω^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \\ \\ \displaystyle -r\sinθ&\displaystyle=\frac{1}{k^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =\frac{ω^2}{k^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \end{array}

 

係数を整理すると↓みたいになります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ω&=ku \\ \\ \displaystyle\frac{ω}{k}&=u \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =u^2\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \end{array}

 

これが波動方程式です。

 

 

 

最後、念のために係数を確認しておきましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle k &\displaystyle =\frac{2π}{λ} \\ \\ kv&=ω \\ \\ \\ \displaystyle v&\displaystyle =\frac{ω}{k} \\ \\ \displaystyle u&\displaystyle =\frac{ω}{k} \end{array}

 

はい、見ての通りですね。

u は速度を意味しています。

 

 

 

 

 

3次元の波動方程式

 

『式の意味』は大して変わりません。

「1方向」が「3方向」になっただけです。

全微分・偏微分が分かってればすぐに分かります。

 

 

というのも、座標を q=(x,y,z) とすれば、

3次元の波動方程式は↓みたいな、予想できる形に。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =u^2\left( \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial z^2} \right) \\ \\ &\displaystyle =u^2\left( \frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)\psi(q,t) \end{array}

 

特徴的な部分を↓のようにまとめれば、

 

\begin{array}{rrl} &\displaystyle \nabla&\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial }{\partial z} \\ \\ \displaystyle \Delta&\displaystyle =\nabla・\nabla &\displaystyle =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =u^2\Delta \psi(q,t) \end{array}

 

まあこうなるだけで、

やってることは1方向のやつと大差ありません。

 

 

違いは「全微分・偏微分」の部分だけで、

それ以外には特に無いです。

 

 

 

 

 

3次元の波動方程式の導出

 

よく見る波動方程式の一般形なので、

一応、ちゃんとやっておきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,y,z,t)&=\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&=r\sin(ωt-kq) \end{array}

 

q は『ベクトル』だと考えましょう。

中身の意味はどれも「位置」です。

 

 

続いて、それぞれ1次元の進行波の速度が

位相をずらすことを考慮してみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle λ&\displaystyle =\sqrt{λ_{x}^{2}+λ_{y}^{2}+λ_{z}^{2}} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =r\sin\left(ωt-2π\frac{x}{λ_x}\right) \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =r\sin\left(ωt-2π\frac{x}{λ_x}-2π\frac{y}{λ_y}\right) \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =r\sin\left(ωt-2π\frac{x}{λ_x}-2π\frac{y}{λ_y}-2π\frac{z}{λ_z}\right) \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle k&\displaystyle =\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}} \end{array}

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =r\sin\Bigl(ωt-(k_x x+k_y y+k_z z)\Bigr) \end{array}

 

すると、こんな感じになるのが分かるかと。

 

 

 

で、これを更に「偏微分」して、

波動方程式の形に近付けていくと、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle θ&\displaystyle =\Bigl(ωt-(k_x x+k_y y+k_z z)\Bigr) \end{array}

\begin{array}{rlc}\displaystyle \frac{\partial θ}{\partial t}&=ω \\ \\ \displaystyle\frac{\partial θ}{\partial x}&=k_x\end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial \psi(q,t)}{\partial t}&=rω\cosθ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&=-rω^2\sinθ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&=-ω^2\psi(q,t) \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial x^2}&=-k_{x}^{2}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial y^2}&=-k_{y}^{2}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial z^2}&=-k_{z}^{2}\psi(q,t) \end{array}

 

こうなるのは明らかですから、

↓のように書けますよね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle q&=\begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial q}&=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial }{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial }{\partial y}&\displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 }{\partial q^2}&=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial x^2}&\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial y^2}&\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \end{pmatrix} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial q^2}&\displaystyle =\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial z^2} \\ \\ &\displaystyle =-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})\psi(q,t) \end{array}

 

後は『長さ \sqrt{q・q}=\sqrt{x^2+y^2+z^2} 』を考えて

変数をまとめれば、

 

\begin{array}{llc} k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2} \\ \\ =\displaystyle (2π)^2\left(\left(\frac{x}{λ_x}\right)^2+\left(\frac{y}{λ_y}\right)^2+\left(\frac{z}{λ_z}\right)^2\right) \\ \\ \displaystyle =(2π)^2\left(\frac{q・q}{λ^2}\right) \\ \\ \displaystyle =k^2 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial q^2}&=-k^{2}\psi(q,t) \end{array}

 

1次元の時の形と似た感じに。

となれば、やることは一緒。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t) &\displaystyle =-\frac{1}{k^2}\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial q^2} \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{1}{ω^2}\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle -\frac{1}{ω^2}\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =-\frac{1}{k^2}\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial q^2} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =\frac{ω^2}{k^2}\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial q^2} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&=\displaystyle u^2\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial q^2} \\ \\ &\displaystyle=u^2\left( \frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi(q,t)}{\partial z^2} \right) \end{array}

 

はい、できました。

 

 

見た目はすごいややこしいですけど、

言ってることはけっこう単純です。

なので、そんな難しく考えないように。

 

 

 

 

 

定常波の波動方程式

 

「波動方程式に定常波の式を入れる」と、

『時間の変数』を排除することができます。

 

 

詳しい話はさておいて、

とりあえず求めてみましょうか。

 

 

 

そのために、定常波の式を確認しておきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&=2r \sin kx\cos ωt \\ \\ \\ \displaystyle \phi(x)&=2r \sin kx \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=\phi(x)\cos ωt \end{array}

 

ごちゃつくので略記しておきましょうか。

 

 

で次、偏微分してみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}&\displaystyle =-\phi(x)ω\sin ωt \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =-\phi(x)ω^2\cos ωt \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x}&\displaystyle =\cos ωt\frac{\partial \phi(x)}{\partial x} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}&\displaystyle =\cos ωt\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2} \end{array}

 

変数を別々に分けてるので、

偏微分すると↑みたいになるのはすぐに分かるかと。

 

 

準備はこれで完了。

さっそく「波動方程式」に入れてみましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =u^2\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2} \\ \\ \displaystyle -ω^2\phi(x)\textcolor{skyblue}{\cos ωt}&\displaystyle =u^2\textcolor{skyblue}{\cos ωt}\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2} \\ \\ \displaystyle -ω^2\phi(x)&\displaystyle =u^2\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ω^2\phi(x)+u^2\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle \frac{ω^2}{u^2}\phi(x)+\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2}&=0 \\ \\ \\ \displaystyle \frac{k^2u^2}{u^2}\phi(x)+\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle k^2\phi(x)+\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2}&=0 \end{array}

 

するとこのように、

時間の変数を排除できますよね。

 

 

言い方を変えるなら、

定常波の波動方程式は時間に依存しない

とも言えるわけですが、

 

 

まあ、この時点では

で? って感じだと思います。

 

 

 

よく分からないと思いますが、

結論だけ言っておくと、

 

 

これは「シュレーディンガー方程式の発想」に繋がるもので、

かなり重要なものなんですよ。

 

 

なのでとりあえず、ぼんやり覚えておいてください。

詳しい話は後でします。

 

 

 

 

 

波動関数の中身

 

波動関数の具体的な中身は、

「波の形を表す関数 \psi(q,t) 」になります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&=A\sin (ωt-kq) \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&=A\cos (ωt-kq) \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&=Ae^{i(ωt-kq)} \end{array}

 

定常波の場合だと↓

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \phi(x)&=2r \sin kx \\ \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&=\phi(q)\cos ωt \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&=\phi(q)\,e^{iωt} \end{array}

 

数式はこんなですけど、

『正規直交系から』↑が導かれた、

と考える方が順番は正しいですね。

 

 

正確には『確率としての解釈』が重要で、

「結果的にこうすると都合が良い」から、

波を表す式で書かれている、という感じです。

 

 

まあ要は『必要』が先なわけで、

波形で書かれるのは、その結果になります。

 

 

 

なので、これが「意味するもの」だとか、

「そもそもの正体」だとか、

 

 

そういうのは、

『確かなことは分からない』ってのが答え。

 

 

単に「計算で必要になるもの」程度に思っておけば、

それが一番答えに近いです。

 

 

 

それ以上を考えるにしても、

分かることは『必要になった理由』くらいで、

それ以上は特にわかりません。

 

 

『波の形を表す関数で書かれる』こと。

『内積をとると確率になる』こと。

 

 

これらは確かなことなんですけど、

すぐに分かるのはここまで。

 

 

まあつまり、

『シュレーディンガー方程式の意味』とか、

『正規直交系の確率解釈』とか、

 

 

この辺りが結果的に意味を持たせてるだけで、

それらは「後付け」に過ぎないんです。

 

 

 

このあたり、現時点じゃよく分かんないと思うので、

とりあえずここでは聞き流しておいてください。

 

 

 

 

 


ボルンの規則(確率解釈)

 

|| 確率と正規直交系とその内積

これは『波動関数の解釈の1つ』です。

内容については↓みたいな感じ。

 

 

『波動関数』は「絶対値を 2 乗」すれば、

その値が『粒子の存在確率』になる関数である。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_a^b |\psi(x)|^2\,dx&=P(x) \\ \\ \displaystyle \int \psi^{*}(x)\psi(x)\,dx&=\langle \psi (x) | \psi (x) \rangle \end{array}

 

これだけみると ん? ってなりますが、

これ、順を追って考えてみると

確かにこうなるな、ってなります。

 

 

 

って言われてもよく分かんなくて当然なので、

とりあえず順番に説明していきましょうか。

 

 

『方程式の意味』『正規直交系』

『確率解釈』『内積』『展開係数』

この辺りがキーワードです。

 

 

 

 

 

シュレーディンガー方程式の意味

 

まず『方程式の意味』についてですが、

これはざっと書くと↓みたいな感じに。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \hat{H}\psi(x)&=E\psi(x) \\ \\ \psi^*(x)\hat{H}\psi(x)&=\psi^*(x)E\psi(x) \\ \\ \\ \displaystyle\int \psi^*(x)E\psi(x)\,dx&=\displaystyle \int E\psi^*(x)\psi(x)\,dx \\ \\ &=\overline{E} \end{array}

 

『期待値を算出することにする』っていう、

『意味のある計算結果を得られるようにする』手順で

自然とこういう形が導かれます。

 

 

大雑把には↓のような流れで。

 

 

『複素関数』→『実数値へ(内積で)』

『連続値』→『確率を求める』

 

\begin{array}{rll} \displaystyle \psi(x)&→&\psi^*(x)\psi(x) \\ \\ \psi^*(x)\psi(x)&→&\displaystyle \int \psi^*(x)\psi(x) \,dx \end{array}

 

↑の操作は、これを「実現するため」の、

「具体的なやり方の1つ」になります。

 

 

 

↑は最もシンプルなやり方です。

 

 

ただ、あくまで1つのやり方に過ぎません。

複雑にすれば、他にもやり方は見つかります。

 

 

とはいえ、わざわざ複雑にする意味は特にありません。

なので、とりあえずこれを採用して考えてみる

というのが一連の流れだと考えてください。

 

 

このあたり、詳しい話は後述。

「シュレーディンガー方程式」の項目でやります。

今はとりあえず飲み込んでおきましょう。

 

 

 

 

 

期待値と確率と波動関数

 

基礎方程式の計算結果は↑みたいにしたいので、

『そのために必要なこと』が出てくるってのは、

なんとなーく分かると思います。

 

 

この場合だと、

特に分かりやすいのは、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{\mathrm{all}} \psi^*(x)\psi(x)\,dx&=1 \end{array}

 

『期待値』ですから、

こうする必要があるのは想像できると思います。

 

 

繰り返すと、『期待値』ですから、

この部分は『確率として解釈する必要』がありますよね。

 

 

念のため、

軽く期待値の意味を確認しておきましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \overline{E}&\displaystyle =\frac{1}{2}E_1+\frac{1}{2}E_2 \\ \\ 1&\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\ \\ \\ \displaystyle \overline{E}&\displaystyle =\sum^{n}_{i=1}E_ip_i \\ \\ &=E_1p_1+E_2p_2+E_3p_3+\cdots \\ \\ 1&=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p_i \\ \\ \\ \displaystyle \overline{E}&\displaystyle =\int_{\mathrm{all}} E(x)p(x) \,dx \\ \\ 1&=\displaystyle \int_{\mathrm{all}} p(x) \,dx \end{array}

 

とまあこんな感じなので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{\mathrm{all}} \psi^*(x)\psi(x)\,dx&=1 \end{array}

 

『期待値であると解釈したい』のなら、

これをこうしたいのっては、

まあ当然の要求ですよね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{\mathrm{all}} \psi^*(x)\psi(x)\,dx&=\langle \psi (x) | \psi (x) \rangle \end{array}

 

ちなみに話は変わりますが、この↑の形は

「内積の形と見る」根拠にもなっています。

 

 

この辺り、今はとりあえず

そうなんだ、くらいに思っておけばOK。

 

 

何が嬉しいかは後で分かります。

とりあえず、なんとなく覚えておきましょう。

 

 

 

 

 

展開係数と確率解釈

 

展開係数」の確認からしてみましょうか。

詳しい話は前にしてるので、忘れたのなら確認を。

 

\begin{array}{rlc} \psi(x)&\displaystyle =\sum_{i=1}^{n} c_i \psi_i(x) \\ \\ \\ \displaystyle \int \psi^*(x)\psi(x)\,dx &=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} c_{i}^{*}c_j δ_{ij} \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} |c_{i}|^{2} \\ \\ &=1 \end{array}

 

前に語ったように、

これは『確率として解釈することができる』ものです。

 

 

 

加えて、これは↓のように書けるわけですから、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int \psi^*(x)\psi(x)\,dx &=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} c_{i}^{*}c_j δ_{ij} \\ \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i|c_{i}|^{2}&=\overline{x} \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}|c_{i}|^{2}&=1 \end{array}

 

この場合の↓の役割は、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \int\psi^{*}(x)\psi(x)\,dx &= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}|c_{i}|^{2} \end{array}

 

『位置 x になる確率である』と、

そのように「解釈することが可能」ですよね?

 

 

んで、この意味を考えてみると、

『位置 x になる確率』なわけですから、

「存在確率」と、そう言い換えても良くないですか?

 

 

 

とまあ、要はそんな感じ。

まとめると、

 

\begin{array}{rlc} \psi(x)&\displaystyle =\sum_{i=1}^{n} c_i \psi_i(x) \\ \\ \displaystyle \int \psi^*(x)\psi(x)\,dx &=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} c_{i}^{*}c_j δ_{ij} \\ \\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}|c_{i}|^{2} \\ \\ \\ \overline{x}&=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i|c_{i}|^{2} \end{array}

 

波動関数と展開係数の関係から、

『存在確率として解釈できる』ので、

 

 

これを規則としてしまおう、みたいな、

そういう流れで「ボルンの規則」は生まれたんですね。

 

 

 

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