|| 一意性を保証できる最低限の性質
「普通」の「測度・前測度」が持つ性質のこと
スポンサーリンク
目次
σ-有限「一意性なんかを保証できる普通の条件」
一意性「１つだけある感じ」
σ-有限ではない測度「 0 と \infty だけ」
σ-有限が保証する性質「 0<x<\infty な x が必ず存在」
条件の導出「測度が変 → 一意にしたい」
σ-有限 sigma-finite
|| 一般性を損なわない程度の緩い条件
『測度の一意性を保証できる条件』のこと
\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{non} & σ\text{-}\mathrm{finite} \\ \\ 〇& × & \begin{array}{c} \mathrm{Only} \,\, 0 \,\, \mathrm{or} \,\, \infty \end{array} \end{array}
根本的には
「無限じゃないもの」を捻じ込む
という感じのものになります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,σ_X,μ) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Measure \,\, Space} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle (R,\mathrm{Borel}(R),μ_{\mathrm{Lebesgue}})&&\to&& \displaystyle\bigcup_{n∈N}[-n,n]=R \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{Lebesgue}}([-n,n])=2n&<&\infty \end{array}
基本的には
「測度」と「測度空間」に定義される概念で
（測度空間は完全加法性が保証されてる）
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...&∈&σ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
↑ の条件を満たす時
その「測度・測度空間は σ-有限である」と言います。
（測度が一意にならない理由を取り除いた結果）
厳密な定義
これは「測度空間 (X,σ,μ) 」
つまるところ「完全加法族」上では
\begin{array}{ccc} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...&∈&σ \\ \\ \{A_1,A_2,A_3,...\}&⊂&σ \\ \\ \{A_n\}&⊂&σ \end{array}
この部分はこのように
「一意性」を保証する上で
特に条件も無く定義できるんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
この「σ-有限」という条件は
実は「有限加法族」上でも定義可能で
その場合
\begin{array}{llllll} \begin{array}{c} \mathrm{Field} \\ \\ \mathrm{Monotone} \end{array} &&→&&σ\text{-}\mathrm{Additive} \end{array}
「単調族定理」の考え方から
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots \end{array}
このような条件が付け足されることになります。
（有限加法族は単調族であれば完全加法族になる）
測度の制約なのでどの集合族上でも定義できる
この条件自体には特に制約が無いので
\begin{array}{ccccc} \mathrm{Ring} &&→&&σ(\mathrm{Ring}) \\ \\ μ_{\mathrm{pre}}&&&&μ^* \\ \\ \\ \mathrm{Ring} &&→&&\mathrm{Ring} \\ \\ μ_{\mathrm{pre}}&&&&μ^*|_{\mathrm{Ring}} \end{array}
「完全加法族の部分集合」になる
「集合環」上でも定義することは可能です。
ただ
「集合環」上で定義したとしても
「全体 X 」を含むことになるため
\begin{array}{ccc} X\setminus A &\in&\mathrm{Ring} \end{array}
「集合環」は自動的に「有限加法族」になります。
（拡張定理ではまず有限加法族上で定義される）
完全加法族だと条件が簡単になる理由
「有限加法族」上では
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots \end{array}
こうする必要があるけど
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...&∈&σ \end{array}
「完全加法族 σ 」上ではこれで問題ない
この理由は
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots \end{array}
「完全加法族」上では
これを簡単に実現できるからで
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_n&=&\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} S_k \end{array}
例えばこのようにすれば
\begin{array}{ccccccccc} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{1} S_k&⊂& \displaystyle \bigcup_{k=1}^{2} S_k &⊂& \displaystyle \bigcup_{k=1}^{3} S_k &⊂& \cdots \\ \\ A_1&⊂&A_2&⊂&A_3&⊂&\cdots \end{array}
こうなるので
これで増加列の条件がすぐに得られます。
（単調族定理については別記事で）
一意性 Uniqueness
|| それしかないっていう感覚の形式表現
ある何かが「ただ１つだけ存在する」こと
\begin{array}{ccc} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ^*(A)=μ(A) \end{array}
言い換えるなら
仮に「他のもの（条件を満たす全て）」を考えても
結局それらが「同じになる」ような感じ
\begin{array}{llllll} \displaystyle \exists ! n∈N & 1+1=n \end{array}
具体的にはこういうことです。
（これは 1+1 が１つに定まることを意味してます）
厳密な定義
「唯一存在（一意）」という概念は
「存在」かつ「全て同一」を意味していて
その表現方法はいろいろとあるんですが
\begin{array}{ccccccc} \exists ! x &P(x) \\ \\ \exists x &P(x)&∧&\forall a \forall b & \left( \Bigl( P(a)∧P(b) \Bigr) → (a=b) \right) \end{array}
分かりやすいのだと
例えばこういうのがあります。
（具体例から見ると分かりやすい）
初見だと難しく見えますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \exists ! n∈N & 1+1=n \end{array}
こういった例を一般化すれば
\begin{array}{rcccl} \displaystyle n = 1+1 &&→&&P(n) \\ \\ m = 1+1 &&→&&P(m) \\ \\ k = 1+1 &&→&&P(k) \end{array}
\begin{array}{llllll} \exists n &P(n)&∧&\forall m \forall k & \left( \Bigl( P(m)∧P(k) \Bigr) → (m=k) \right) \end{array}
「条件 P に合う x が存在する」上で
「条件 P を満たす x は全て同じ」になることから
すぐにこの定義を導くことができます。
σ-有限なら一意である
以上のことから
この言葉の意味が
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
「この条件を満たす全ての集合関数 μ 」は
「１つしかない（一意に存在する）」
ということであると分かります。
関数が一意であるとは
念のため補足しておくと
\begin{array}{cc} \displaystyle \forall n∈N &μ^*(A_n)=μ(A_n) \\ \\ \forall A∈F &μ^*(A)=μ(A) \end{array}
これは要は
「変数にどんな値を入れても」
「全て等しい値になる」ということなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ^*(A_n)=μ(A_n) &&→&& μ^*=μ \end{array}
この結果が確認できれば
「関数の一意性」は示されたことになります。
ちなみに
これを意味する論理式については
P を「σ-有限」を意味する記号だとすると
\begin{array}{llllll} \exists n &P\Bigl( μ(A_n) \Bigr) \\ \\ \forall m & \left( P\Bigl( μ(A_m) \Bigr) ∧ P\Bigl( μ^*(A_m) \Bigr) \right) → \Bigl( μ(A_m)=μ^*(A_m) \Bigr) \end{array}
簡易的にはこんな感じになります。
（ A_n の所在とかは省略してます）
σ-有限ではない測度
この「σ-有限」という性質は
「一意性」ってやつに深く関わっていて
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle μ \\ \\ 2μ \\ \\ 3μ \\ \\ \vdots \end{array} \right. \end{array}
例えば
「空集合」は当然 0 として
\begin{array}{llllll} \displaystyle Q_{[0,1)}&=&Q∩[0,1) \end{array}
「要素数が無限個」の「集合」を考えた時
\begin{array}{lcc} μ_{\mathrm{Count}}(∅)&=&0 \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Count}}(A)&=&\infty \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Count}}\left( Q∩ \left[ 0,\frac{1}{2} \right) \right)&=&\infty \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Count}}\left( Q∩ \left[ \frac{1}{2},1 \right) \right)&=&\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A&⊂&Q_{[0,1)} \\ \\ A^c&⊂&Q_{[0,1)} \end{array}
これだけで「完全加法族を作れる」ことを念頭に
\begin{array}{rcccr} \displaystyle Q_{[0,1)}∈σ_Q &&→&& ∅∈σ_Q \\ \\ A∈σ_Q &&→&& A^c∈σ_Q \\ \\ A_1,A_2,...∈σ_Q &&→&&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ_Q \end{array}
「要素数をカウントする測度 μ_{\mathrm{Count}} 」を考えると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{Count}}(A)&=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle 0 && A=∅ \\ \\ \infty && A≠∅ \end{array} \right. \end{array}
これは「可測空間」上で
「 ∅ 以外では全て \infty を返す測度」になるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{Count}}(A)&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle μ_{\mathrm{Count}}(A) \\ \\ 2μ_{\mathrm{Count}}(A) \\ \\ 3μ_{\mathrm{Count}}(A) \\ \\ \vdots \end{array} \right. \end{array}
「定数倍した測度 a\times μ 」と等しくなることから
「測度が一意に定まらない」という結果が得られます。
σ-有限だといろいろ保証できる
「σ-有限」という性質には
『有限値測度の性質をある程度満たす』ことの他に
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&μ(A_n)&<&\infty \end{array}
このようになる
「図形 A_n の存在」を保証できる
という重要な意味があって
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
↑ で紹介した各条件は
こういったことを実現するためのものになります。
（根本的には 0 以外の有限を捻じ込むための条件）
全て 0 とするパターン
確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X)&=&\infty \end{array}
「全体」を意味する集合 X を考えた時
（この場合だとだいたい実数 R,R^2 ）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N & μ(A_n)=0 \end{array}
『 0<μ(A_n)<\infty となる A_n が無い』
つまり「全て 0 か \infty になる」と仮定すると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ\left( \bigcup_{n∈N}A_n \right) &≤&\displaystyle \sum_{n∈N}μ(A_n) \end{array}
『図形』が「重なってる」場合がある以上
「測度」は必ずこのようになるため
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X)&=&\infty \end{array}
「σ-有限」の条件を満たすとすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X) &=& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n∈N}A_n \right) \\ \\ && \displaystyle μ\left( \bigcup_{n∈N}A_n \right) &≤&\displaystyle \sum_{n∈N}μ(A_n) \\ \\ && && \displaystyle \sum_{n∈N}μ(A_n) &=&0 \end{array}
矛盾が生じてしまいます。
（全ての n で μ(A_n)=0 にはならない）
全て 0 になるなら
念のため補足しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X)&=&0 \end{array}
この場合では
\begin{array}{ccc} A_n&⊂&X \\ \\ μ(A_n)&≤&μ(X) \end{array}
測度の「単調性」より
X の部分集合 A_n をどのようにとっても
μ(A_n) は全て 0 になるので
\begin{array}{llllll} A_n∈σ &&→&& \displaystyle μ(A_n)=0 \end{array}
「全て 0 を返す測度」として
「測度」は「一意」に定まります。
（条件を満たす全ての測度は全て 0 を返す）
\infty になるパターン
A_n が全て 0 のパターンでは矛盾が出る
これは分かったんですが
\begin{array}{llcc} \forall n∈N & μ(A_n)=0 &&× \\ \\ \forall n∈N & μ(A_n)=\infty &&？ \end{array}
A_n が全て \infty のパターンではどうなるか
これはまだ分かっていません。
というわけで
これを確認するために
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N & μ(A_n)=\infty \end{array}
『 0<μ(A_n)<\infty となる A_n が無い』
つまり「全て \infty になる」と仮定すると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
これは単純な話
「σ-有限」のこの条件に反するので
すごく分かりやすい形で矛盾することが分かります。
まとめ
以上の結果から
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{A_1,A_2,A_3,...\}&⊂&σ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
「σ-有限」という条件の下では
『 μ(A_n)<\infty が保証されてる』ことから
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&μ(A_n)&<&\infty \end{array}
必ずこのようになる「図形（集合） A_n が存在する」
ということが明らかになります。
条件の導出
「可測空間」上での「測度 μ 」に
\begin{array}{llllll} A∈σ &&→&& μ(A)=5μ(A) \\ \\ x∈R &&→&& f(x)≠5f(x) \end{array}
こういった問題が生じる
これが話の発端で
この流れから
「普通の測度」を定義するにはどうすれば良いのか
\begin{array}{llllll} x∈σ &&→&& μ(x)≠5μ(x) \\ \\ x∈R &&→&& μ(x)≠5μ(x) \end{array}
「一意性」を保証したいなら
この問題をきちんと考える必要が出てきて
その結果として必要になった最低限の条件が
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{A_1,A_2,A_3,...\}&⊂&σ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
「σ-有限」という名前がついている
この条件になります。
問題が生じる原因
「測度が一意に定まらない」条件
つまり「 0 と \infty のみ」の状態を考えると
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ(X)&=&\infty \end{array}
「必ず 0 を返す測度」は一意に定まることから
「最大の図形 X 」の性質と「単調性」を考えると
まずこの条件が前提にくると言えて
\begin{array}{llllll} A∈σ &&→&& \displaystyle μ(A)= \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle 0 && A=∅ \\ \\ \infty && A≠∅ \end{array} \right. \end{array}
その上で
「 X の部分集合 A 」の大きさが
「 0 か \infty のみになる」という条件が考えられます。
問題を解決する方法
これを解消するには
\begin{array}{llllll} A∈σ &&→&& \displaystyle μ(A)= \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle 0 && A=∅ \\ \\ \infty && A≠∅ \end{array} \right. \end{array}
分かりやすい話
「 0 と \infty のみ」という状態を崩せば良いので
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...,A_n,...&∈&σ \end{array}
A_n のどれかに
\begin{array}{llllll} 0&<&μ(A_n)&<&\infty \end{array}
「有限の値を返す集合」が含まれていれば
当然 1≠2 , 1≠-1 ですから
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀n∈N & μ(A_n)=2μ(A_n) \\ \\ ∀n∈N & μ(A_n)=-μ(A_n) \end{array}
間違いなくこうならないことが分かります。
有限の範囲の無限和で全体をカバーできる
↑ の話を議論する上で
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
こういったものを考える必要があるわけですが
\begin{array}{llllll} X &⊂& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
この「無限和」が存在するかどうか
という点については疑問が残ります。
なので確認する必要があるわけですが
これについては
例えば「実数」で考える場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} (-n,n) &=& (-\infty,\infty) \end{array}
こういったものがすぐに考えられるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
条件として出てくるこのような関係は
確かに成立し得ると言えます。
（この性質はコンパクトなどと呼ばれます）
一意にならない条件と σ-有限
「全て 0 にならない」上で
「 0 以外の有限の値がある」
これを否定することになる条件として
\begin{array}{ccc} \{ A_1,A_2,A_3,...,A_n,... \}&⊂&σ \end{array}
\begin{array}{llllll} μ(X)=\infty &∧&\begin{array}{llllll} \forall n∈N & μ(A_n)=0 \\ \\ \forall n∈N & μ(A_n)=\infty \end{array} \end{array}
このような
「成立させたくない条件」を考えてみると
先に話したように
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X) &=& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) \\ \\ && \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) &≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \\ \\ && && \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n)&=&0 \end{array}
「全て 0 」だとこうなり
\begin{array}{llllll} \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty &&\not\Rightarrow&&\forall n∈N \,\,\, μ(A_n)=\infty \end{array}
「全て \infty 」だとこうなることから
これらが成立しないような条件
つまり矛盾させる条件として
\begin{array}{lccccccc} \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)=\infty&&→&& \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty \\ \\ \\ \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)=0 && → &&μ(A_n)≠0 \\ \\ &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=X \end{array}
このような条件が求められるので
この結果から
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{A_1,A_2,A_3,...\}&⊂&σ \end{array}
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=X \\ \\ \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty \end{array}
「一意性を保証する」ことになるこの条件に
「σ-有限」という名前が付けられることになりました。
なぜか複雑な 0 のみを排除する条件
「無限」の条件については
\begin{array}{lccccccc} \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)=\infty&&→&& \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty \end{array}
そのまま過ぎて分かりやすいですが
「 0 のみ」を排除する条件については
\begin{array}{lccccccc} \forall n∈N \,\,\, 0=μ(A_n)&&→&& \forall n∈N \,\,\, 0<μ(A_n) \\ \\ \forall n∈N \,\,\, 0=μ(A_n)&&→&& \forall n∈N \,\,\, 0≠μ(A_n) \end{array}
こんな感じで良さそうなのに
\begin{array}{lccccccc} \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)=0 && → && \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=X \end{array}
なんでかこうなっていて
なんかよく分からないと思います。
結論としては
これは「単調族定理」の考え方と
（有限加法族上で考えるとこれが都合が良い）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
「縛りのきつさ」が由来になっていて
「全て 0 ではない」を
\begin{array}{c} \forall n∈N \,\,\, 0<μ(A_n) \\ \\ ↓ \\ \\ \exists n∈N \,\,\, 0<μ(A_n) \end{array}
「 0 ではないものが存在する」に緩めた結果として
これはこのようになっています。
0 以外の有限値が存在すれば良い
「 μ^*(X)=0 」では一意に定まることから
「 μ^*(X)=\infty 」の場合で考えると
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(A_n) \end{array}
「外測度」が持つ「劣加法性」を考慮すれば
\begin{array}{ccc} X&=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(A_n) \end{array}
これらの関係から
「 A_n は全て 0 にはならない」
\begin{array}{llllll} \forall n∈N \,\,\, μ^*(A_n)=0&&→&&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(A_n)=0 \end{array}
これはどう見ても明らかです。
（全体 X を A_n の無限和集合とするなら）
そしてこの結果から
\begin{array}{ccccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=X && → &&\exists n\in N \,\,\, μ(A_n)≠0 \end{array}
この条件さえあれば
「 0 のみ」の状態は崩れると言えるので
\begin{array}{ccc} X&=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
「全て 0 にはならない」ための条件として
これが採用されることになりました。
無限の場合は縛りを緩められない
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccc} X&=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(A_n) \end{array}
↑ の話をそのまま使っても
\begin{array}{ccccc} \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty &&→&& \exists n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty \\ \\ && && ↓ \\ \\&& && \exists n∈N \,\,\, μ(A_n)=\infty \end{array}
１つでも「無限」になる場合
\begin{array}{ccc} μ^*(X) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(A_n) \\ \\ \infty &≤&\infty \end{array}
これは矛盾しなくなるので
\begin{array}{lcc} \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty && 〇 \\ \\ \exists n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty && △ \end{array}
これは「全て」有限値である必要があります。
（全て \infty にならない間接的な命題があればそれでも良い）
ルベーグ測度は σ-有限である
これは厳密には
「実数 R^d 上のルベーグ測度 μ^* 」の話になるんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}[-n,n)&=&(-\infty,\infty) \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}[-n,n)^d&=&(-\infty,\infty)^d \end{array}
これはこのような無限和を考えると
\begin{array}{lcc} μ^*\Bigl( [-n,n) \Bigr)&=&2n \\ \\ μ^*\Bigl( [-n,n)^d \Bigr)&=&(2n)^d \end{array}
これが有限であることから
\begin{array}{llllll} \forall n∈N & μ^*\Bigl( [-n,n) \Bigr)<\infty \\ \\ \forall n∈N & μ^*\Bigl( [-n,n)^d \Bigr)<\infty \end{array}
そんなに手間取ることなく
「σ-有限」であることを示すことができます。