|| 基本的な数のこと
「 0,1,π,i,e 」とかのことです。
他にもありますが、基本となるこれらをとりあえず紹介します。
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目次
・一 1 「本質的には『在る』という感じ」
・零 0 「これは『無い』という感じ」
・円周率 π 「円から生まれた子」
・虚数単位 i 「高次方程式から生まれた子」
・オイラー数 e 「指数関数と微分の子」
連続複利「なんかよく分かんない定数を導く」
オイラー数の近似「力業で↑を近似してみる」
指数関数の微分「指数関数を微分してみると」
逆関数をちょっと「指数関数の逆関数を考える」
対数関数「指数の変な計算方法」
対数関数の微分「対数関数を微分してみる」
テイラー展開「オイラー数の十分性」
数学で扱われる基本的な「数」と言えば↑のもので、
数Ⅲまでやってる人はどれも馴染み深いものかと思います。
ともあれ、これ、そもそもなんなんでしょ？
なんか分かるけど、いやよく分からんですよね。
0,1 はかなり直観的です。
円周率 π もまあ、割と直観的です。
しかし、いや、
虚数単位 i は、えっ、直観的？
オイラー数 e も、はい、なんか、ん？って感じ。
これらは役割ははっきりしてますけど、
具体的に何のことを指してるのかさっぱりです。
でもまあ！それで！良いんです！
は？ と思った方、どういうことかは↓で説明いたします。
どうぞご覧ください。
一（いち、ひと） 1\,\,\,\,\,\mathrm{One}
|| 最も直観的で原始的ではっきりしてる数
この数は『基準』と捉えても問題無いです。
これは、いわゆる『存在』を意味する「数」になります。
この『存在』から、必然的に対になる『無』の存在が。
そもそも、まず「在る」ことが分からないと『複数』が生まれません。
となると『数え上げ』すらこれが無いとできないわけです。
「一個」というものの『存在』が確定するから、
以降の「二個、三個…」の存在も成立するわけですね。
そしてこれから、人間の直観に根差す『自然数』が生まれます。
はい、ともかくなんかこれですっきりじゃないですか？
『自然数』が出た時点で議論はもう終わりで良いでしょう。
へいてーい。
零（れい、ぜろ） 0\,\,\,\,\,\mathrm{Zero}
|| 何も無いということ
この数もまた『基準』と捉えて問題無いです。
ただし「 1 」が『直観の基準』なら、
「 0 」は『数の基準』と言えます。
実際、これは『計算で不都合が生じるから』必要なんです。
よく考えてみれば、日常ではそんなに使わないでしょう。
今でこそ「 10 進法」が採用されていて見慣れてますが、
「 10 」は、別に「 X 」って書いても良いわけでして。
実際、これが無くても発達した文明は存在します。
それくらいあっても無くても良い感じのものではあるんです。
でも、これは『存在する』と現代の人間は直観できるわけで。
しかし、これは「昔の人間」にとっては不合理なんです。
というのもこれが「自明な『数』」では無い時代もあったんです。
現代の感覚だとちょっと信じられませんが。
というのも、
「アルキメデス」「アリストテレス」と、有名な人たちがいますよね。
何した人たちなのかよく分かんなくても、名前は広く知られてます。
一言で言って、この人たちは偉大な先駆者です。
だから有名って感じでもあるんですが、それくらいすげー人たちです。
しかし、ここで思い出してみましょう。
彼らは「人間」で、そして『人間は間違える』ということを。
ここでオチを。
↑で挙げた二人は、この『 0 の存在を認めなかった』んです。
このどう考えても『存在してるように感じられる』ものを、
『科学と哲学の偉大な先駆者』ですら、否定したんです。
でも、現代人である我々はどうでしょう？
『いや、 0 が無いと不便じゃね？』ってなりませんか？
だって、例えば「時計から 0 が消えます」見辛いです。
例えば資本から「 0 が消えます」分かり難いです。
まして「引き算で 0 が使えません」いやいや。
いくらでも、こんな感じの理由は見つかるでしょう。
それくらい現代人である我々にとって『 0 の存在』は明らかです。
また数学的に見ても『 0 の存在』は不可欠です。
自然数を「集合論的に」定義するとき、初期値として最高なので。
具体的には『空集合』を「 0 」の解釈としてます。
0:=\{\}=∅
↑で言ったように『何もないものの存在』そのものです。
「空集合」の意味解釈は『何も入ってない枠』なので。
この定義は「直感的」かつ「最適」で、良い感じに噛み合います。
理解し易くて、しかも使いやすいって、もう最高ですよね。
というわけで「自然数」に落ち着いたのでここまでとします。
「自然数」について、詳しくは『数』の記事で扱ってるのでどうぞ。
円周率 π Pi
|| 円から生まれた円のための数
これは『円を考えるための数』です。
超絶重要な定数なんですけど、日常じゃ全然見ません。
知名度のわりに、使いどころもよく分かりません。
でも、そんなもんでしょう。
人間が直感で理解できるのは『自然数』です。
あらゆる「数的な量」は、全て自然数に置き換えられます。
そうする理由は「理解できるように」するためです。
この「円周率 π 」は、そういった意味では不適格です。
単に計算上で出てくる数というだけで、正確な値は導けません。
この理由は、いわゆる「無理数」に当たる数だからです。
より厳密には「超越数」に分類されますが、これも無理数です。
定義としては「有理数ではない実数」みたいに定義されてます。
人間の直観で理解できる限界は、恐らくは『有理数』までです。
これ以上に複雑になってしまうと、もう理解できません。
実際「 3.1415926535... 」は、単なる近似値でしかありません。
この書き方はあくまで『有理数』としてのもので、
永遠に正確な値を算出することはできません。
そう、これは『正確には分からない数』なんです。
より正確に言うなら「上限と下限しか分からない数」とか。
これを正確に定義するには『円の存在を仮定』しないとダメです。
具体的には、円の存在から『円周 Cir 』を考えて、
「円の直径の長さ」の紐を考えれば、
Cir=π×(直径)
これを満たす「定数 π 」が考えられるはずです。
これが言葉の意味する通り『円周率』になります。
あくまで『計算のための定数』であることを押さえておきましょう。
より一般的に書くなら、
『直径を 2 つの半径 2r 』で表して、
(円周)=2πr
というのが良く見られますね。
近似値の算出には『ライプニッツの公式』が直感的です。
「整数」と「極限」だけで、綺麗にまとまってます。
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...=\frac{π}{4}
これ発見した人すげーっすよね。
ちなみに発見したのは「マーダヴァ（最初）」さんと、
「ライプニッツ（ 300 年後）」さんです。
虚数単位 i Imaginary Unit
|| 二次方程式の一般解を説明するもの
要は『高次方程式の解の説明のための数』になります。
そしてこれは後出しで分かった感じですが、
他にも「数の移動先を次元拡張するための数」とも。
どういうことかというと、実際に扱ってみたら、
この数には明確な「意味」があった感じです。
「円周率」のように、単に計算のために必要というだけでなく、
その『数の存在』によって示される意味が。
その意味とは、
実数が「厚さの無い平面を真横から見た」ものなら、
複素数は「厚さの無い平面を傾けて見てみた」もの、になります。
これは『オイラーの公式』から見た「解釈」です。
\displaystyle e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ
この式は視覚的には「半径 1 の円」に見えます。
これは『テイラー展開』から発想を得て導かれました。
そしてこれが、↑の『虚数単位の解釈』の「根拠」になります。
ただし解釈の「発想」はまた別です。
この「発想」は、↓の「極形式」から得ています。
\displaystyle z=r(\cosθ+i\sinθ)
つまるところ『実数』であれば「 \sinθ=0 」で、
それ以外のものは「実数直線上には無い」わけですね。
そう、つまり↑で言ったように『虚数単位』があるから、
「数の移動先」が、『直線上の左右（ -\infty,+\infty ）』から、
『平面上の全方位』へと拡張されてるわけです。
確認しましょう。
『実数上の動き』は、あくまで「左右」に限定されてます。
大小比較によって、直観的には「線上の移動」しか起こりません。
しかし『虚数単位』を考えて「複素数」に概念を拡張することで、
この「左右」に「上下」が追加され、
形成された『平面上の移動』を考えられるようになりました。
この平面のことを『複素平面』と呼んでます。
この平面上に、複素数（実数を含む）はあるわけです。
ということは、移動に関してもまた同じことになります。
「実数の 2 乗」は、必ず「正の実数」にできる操作です。
しかし『複素数の 2 乗』では、そうとは限りません。
それを確かめるために、単純に 2 乗してみましょうか。
z^2=r^2(\cosθ+i\sinθ)^2
=r^2(\cos^2θ-\sin^2θ+2i(\sinθ\cosθ))
見て分かる通り、単に「正」にはなりません。
そしてそもそも『正の複素数』とは一体何なのでしょう？
実はこうなるともう『大小比較』もできなくなります。
つまり「 0 以下」かどうかすらもう分からんのです。
となると必然的に『正と負を定義できない』となるわけでして。
とまあ、だいたいこんな感じです。
事態を拡張してややこしくするのが「虚数単位」のお仕事になります。
単にややこしくしてるだけなら不要なんですけど、
より細かい遡及的な操作を行うとき、こいつは必要になります。
具体的には「高次的な存在の解を求める」時とか。
でもまあ「円周率」同様、日常じゃ使いませんね。
少なくとも現代では。
オイラー数 e Euler’s Number
|| 指数関数と微分を単純にしたくて
いわゆる『微分の単位としての数』がこれ。
別名「ネイピア数」「自然対数の底」とか。
『解析学』ではめちゃくちゃ重要になる定数です。
発想の『必要条件（具体例）』は、
「連続複利計算」や『指数関数と対数関数』の「微分」なんかです。
発想の『十分条件（根拠）』は「テイラーの定理」になります。
連続複利
はてさて、そもそも『連続複利』ってなんなんでしょ？
なんとなく「金を借りた時の手数料っぽいの」という感じでは？
まあ、普通の人は日常じゃまず見ないですよね。
というわけで、詳しく見てみましょうか。
これは「金融経済学」由来の知識になります。
まず『元金』と『利子』について、ぼやっと覚えてください。
元金 Principal は、いわゆる「貸した金・投資した分の金」です。
利子 Interest は、要は「リターン・増える分の金」のことです。
というわけで、さっそく『連続複利』について見ていきましょうか。
単語はふわっと覚えときゃだいたいなんとか分かります。
さて、では『元金 p 』として『年利 i 』としましょう。
そして「預金して」から、この状態が「 n 年」続いたとします。
さて増えた結果「合計（元利合計）」はいくらになったでしょうか？
1 年目だと↓ですね。
\displaystyle p+pi=p(1+i)
2 年目だと↓になります。
\displaystyle p(1+i)+p(1+i)i=p(1+i)(1+i)=p(1+i)^2
この操作を続けていけば『 n 年目』には↓でしょう。
\displaystyle p(1+i)^{n-1}+p(1+i)^{n-1}i=p(1+i)^n
この辺までは、まあ普通の話です。
んで、こっからちょっと分割して考えてみます。
どういうことかというと、「半年ごと」に貰うようにして。
その代わり「利率も半分」にしてみます。
すると「半年」で見ると↓みたいになります。
\displaystyle p+p\frac{i}{2}=p\left(1+\frac{i}{2}\right)
そしてこれを「 1 年」で見るなら↓です。
\displaystyle p\left(1+\frac{i}{2}\right)+p\left(1+\frac{i}{2}\right)\frac{i}{2}=p\left(1+\frac{i}{2}\right)\left(1+\frac{i}{2}\right)=p\left(1+\frac{i}{2}\right)^2
んで、これを「 n 年」続けたなら、
\displaystyle p\left(1+\frac{i}{2}\right)^{2n}
さて、では今度は「期間を半年」「利率を半分」から、
「期間を 3 分割」「利率も 3 分の一」にしてみます。
こうしたら「 1/3 年」から「 1 年」を作って、と。
↑と同じような操作になりますから、
\displaystyle p\left(1+\frac{i}{3}\right)^{3n}
となるのは、分かりますよね？
となると「 k 分割」は↓だと分かります。
\displaystyle p\left(1+\frac{i}{k}\right)^{kn}
ここで見易くするために「定数 i,k 」をまとめちゃいましょう。
「分割期間」と「定数」が一緒に大きくなるように、↓みたいに。
\displaystyle v=\frac{k}{i}\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,k=iv
すると↑の式を↓みたいに書き直せます。
\displaystyle p\left(1+\frac{1}{v}\right)^{v(ni)}
というわけで、「期間」を「無限分割」に拡張してみましょう。
そしたら、式を↓みたいに書けますね。
\displaystyle \lim_{v \to \infty}p\left(1+\frac{1}{v}\right)^{v(ni)}=p\lim_{v \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{v}\right)^{v}\right]^{ni}
てなわけで、これの中でよく分かんないのは↓の部分だけになります。
\displaystyle \left(1+\frac{1}{v}\right)^v
こんな感じで、なんか「変な定数」が導かれました。
この数値が「何を意味しているのか」は「全く分かりません」が、
『連続複利計算』では、これが使えると判明したわけです。
オイラー数の近似
さて、↑のように「変な定数」は分かりましたが、
具体的にどんな感じの数値になるか、分かんないと使えないです。
というわけで、まずは力業で求めようとしてみます。
「二項定理」を使ってガツガツ行ってみましょうか。
\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\overbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)…\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n}
\displaystyle ={}_n\mathrm{C}_01^n\left(\frac{1}{n}\right)^{n-n}+{}_n\mathrm{C}_11^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{n-(n-1)}+…+{}_n\mathrm{C}_n1^{n-n}\left(\frac{1}{n}\right)^{n}
\displaystyle =1+n\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n(n-1)}{2 ・ 1}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 ・ 2 ・ 1}\left(\frac{1}{n}\right)^3+…+\left(\frac{1}{n}\right)^{n}
\displaystyle =1+1+\frac{1}{2!}\left(\frac{n}{n}\right)\left(\frac{n-1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(\frac{n}{n}\right)\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{n-2}{n}\right)+…+\left(\frac{1}{n}\right)^{n}
\displaystyle =1+1+\frac{1}{2!}・1・\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}・1・\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+…+\left(\frac{1}{n}\right)^{n}
ちょ、ギブって感じですけど、極限とればこれでいけそうっすね。
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c}{n}=0
「定数 c 」なら↑ですから、最後には綺麗に残ります。
\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+…
んで？という感じですけど、一旦、この話題は置いときます。
次は別のアプローチを見てみましょう。
というわけで、なんの関連性があるんだってくらい全く別の話へ。
具体的には『指数関数』と『微分』の話に入っていきます。
指数関数と微分
とりあえず「掛け算」の自然な拡張になる『指数関数』を。
これはそのまま「指数」についての関数です。
具体的には↓みたいな。
f(x)=a^x
これに『微分』操作を行う場合、
\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{(x+h)-x}=\lim_{h \to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}=\lim_{h \to 0}a^x\frac{a^{h}-1}{h}
ここで『 a^x は変わらず』、
\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{a^{h}-1}{h}
の部分は「 a で決まる」定数です。
そう「 a 」で決まる『定数』なんですよね。
とすると、定数を良い感じにとれば『 1 』にできそうなわけで。
すると『微分』しても「変化が無い関数」が作れるじゃありませんか。
これはいわば『微分の恒等変換』になるわけで、あると捗ります。
（ +0,×1 みたいな）
例えば、これを使えば『指数関数の逆関数』と対応をとれるわけです。
（ -0=+0,÷1=×1 みたいな）
てなわけでさっそく作ってみようそうしようと、張り切ってスタート。
まずはそういう「都合の良い定数」を定義しちゃいます。
\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1
こうなる『定数 e 』を、ここで定義したわけです。
これが「オイラー定数」になります。
これは「微分」してるんで『接線の傾き』と捉えてOKです。
そういう「 e 」と、まあそんな感じに決まってます。
なので「 a を決めて」『接線の傾き』から、近似していけます。
これが『定義』という点に注意しましょう。
この時点では、まだ「連続複利」とは全く関係がありません。
まあ結論から言っておくと、「連続複利との関連」は、
指数計算から偶然一致した『結果論』でしかないのですが。
ともかくまだ、この時点ではよく分かりません。
なので「逆関数」からアプローチをかけてみることにします。
「関数」と、その「逆関数」の、
『 y=x において対称な点における接線』の、
「傾き 1 のものは、片方あればどっちも存在する」ので、
これ使ってなんとかやれないか、みたいな感じで。
まあ、どうにかこうにかやってみました。
なにより『対数関数』の「代数的性質」が特殊なんです。
この性質を使えばワンチャンいけるんじゃ？みたいな。
逆関数のおさらい
とりあえず『逆関数』についてざっとおさらいしておきます。
感覚的には『関数を 90 度傾けて反転させた関数』のことです。
基本は「 x,y 軸を入れ替えるだけ」なので、
「 90 度傾ける」は「 y 軸を縦から横」に、
「反転」は「↓が正になってる x 軸の正方向を↑」にしてます。
形式的には、
『 y=f(x) 』を『 x=g(y)⇒y=g(x) 』と表す感じ。
具体的には↓みたいな。
y=x+1 なら x=y-1 で、逆関数は「 y=x-1 」
複雑なのだと、
y=\sin{x} なら x=\arcsin{y} だから、逆関数は「y=\arcsin{x}」
こんな感じのやつが逆関数です。
ほんと、単に軸を変えただけ。
ここで、とりあえず目的を再確認。
「オイラー数」を説明する上で知っておきたいのは、
『 y=x について対称な点』で、
「元の関数」に『接線の傾きが 1 の点がある』なら、
「逆関数」でも『接線の傾きが 1 の点がある』ってことです。
要は y=x を平行移動させただけ。
もっと言うと、 y=x の逆関数は y=x っていう話。
まあ、一応押さえておきましょう。
ざっと確認を。
関数「 y=f(x) 」を考えて、その「逆関数 y=g(x) 」を考えます。
「逆関数」の性質から、
『 y=x 』を挟んだ対称な点は、丁度逆になります。
つまり「関数 (a,b) 」なら、「逆関数は (b,a) 」です。
これは「逆関数の定義」から、単純な事実として導けます。
なにせ「 y=f(x) 」です。
そしてこれを『 x=g(y) 』としたものが逆関数です。
そこで、逆関数の座標は「 (b,a) 」と考えられてます。
まだこの時点では仮定ですが、「逆関数」は『 y=g(x) 』です。
つまり『 (b,a) 』とすれば、「 y=x を軸とした」、
もとの関数の座標 (a,b) と対称な点とできます。
つまり「 y=f(x) 」が「 (a,b) 」なら、
『 y=x を挟んで対称な点』を考えると、
「逆関数 y=g(x) 」なら「 (b,a) 」になります。
具体例で見てみましょうか。
「 y=x を軸に対称な点」を考えると、
y=2x で「 (1,2) 」なら、
y=(1/2)x では「 (2,1) 」です。
そして『その点の接線の傾きが 1 』だったら、
そもそも「関数が作る図形」もまた対称なので、
もう片方の傾きもまた 1 になります。
対数関数から見る
対数関数っていうのは、『指数関数の逆関数』のことです。
発想も「指数を知りたい」から、というのが原点にきます。
ざっと見てみましょうか。
対数関数「 \log_ax 」は↓みたいに定義されます。
見ての通り『指数を計算』してることを押さえておきましょう。
y=a^x\,\,\,⇔\,\,\,x=\log_ay
ちょっと直観的じゃない感じですね。よく分かりません。
でもこんな定義をされてるせいか、なんか変な振る舞いをするんです。
その一つが↓で、
\log_at+\log_au=\log_a(t・u)
同じく↓も導かれます。
\displaystyle \log_at-\log_au=\log_a(t/u)=\log_a\left(\frac{t}{u}\right)
具体例で見てみましょう。
\log_22^2+\log_22^3=2+3=5=\log_22^5=\log_2(2^2・2^3)
逆だと↓ですね。
\displaystyle \log_22^2-\log_22^3=2-3=-1=\log_22^{-1}=\log_2\left(\frac{2^2}{2^3}\right)
『指数の計算』は「積」でしか行われませんから、
↑のような指数の計算では、こんな結果になるのは必然です。
でも、直観的にはパッと分かんないですよね。
んで、更にはこんなのもあります。
c\log_at=\log_at^c
これも具体例で見てみましょう。
それが分かりやすいんで。
4\log_22^2=4・2=8=\log_22^8
=\log_2(2^2・2^2・2^2・2^2)=\log_2(2^{2})^4
とまあ、こんな感じの特殊な性質を持ってます。
これを利用して、どうにかしたい感じです。
対数関数の微分
というわけで、さっそく『微分』してみます。
\displaystyle \frac{d}{dx}(\log_ax)=\lim_{h \to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}
\displaystyle =\lim_{h \to 0}\frac{\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)
\displaystyle =\lim_{h \to 0}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}
おおう、なんか↑の形になってきましたね。
\displaystyle h→0\,\,\,\,\,⇔\,\,\,\,\,\frac{1}{h}→\infty
てなわけで、これを使って変形しておきましょう。
\displaystyle \lim_{h \to 0}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}=\lim_{h \to \infty}\log_a\left(1+\frac{x}{h}\right)^{h}
さて、それでは大詰めです。
「 a=e 」なら、対数関数は『逆関数』なので、
『指数関数 e^x 』は「 x=0,y=1 」で接線の傾きが 1 ですから、
対数関数の接線は『 x=1,y=0 』で 1 です。
（ \log_a1=\log_aa^0=0 ）
指数関数 e^x の接線については、
e の定義から『 (e^x)´=e^x 』なので、
e^x=1\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,x=0\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,e^0=1
ということは↓だということが分かります。
一応「 a=e 」「 x=1 」です。
この時の「 \log_ax の接線の傾き」が↓になります。
\displaystyle \lim_{h \to \infty}\log_e\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}=1=\log_ee
はい、というわけでやっとこさ↑から↓が求められました。
\displaystyle \lim_{h \to \infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}=e
個人的にはなんか感動的です。
説明しきった感がちょっとあります。
この感動を理解していただけるとだいぶ嬉しいです。
でもまあ、これだけじゃなんか微妙な話ですよね。
このままじゃ、正直よく分からんです。
使い方ははっきりしても、どういう数なのかが分かりません。
そもそもなぜ一致するのかも謎のままです。
偶然で片づけるにはできすぎてます。なんかあるはず。
その謎が分からないままってのは、嫌ですよね。
はい。この感じが、『必要条件』しか見ていない弊害になります。
というわけで、最後に『十分条件』を見ていきましょうか。
テイラー展開による近似
というわけで、満を持して『テイラー級数』の出番となります。
こいつは『微分可能』で『連続』な関数の全てに適用可能なやつです。
証明は長くなりすぎるんで、重要な部分だけざっと解説します。
↓みたいな流れで証明できるんで、確認してみてください。
まず言っておきますと、知らない人は分かんないと思います。
とりあえず必要なものがなんなのか、名前だけ挙げてく感じなので。
まず必要な操作は当然のように『極限』です。
使う定義は『微分可能』やら『連続』やら『有界』やら。
基礎は『幾何学』的性質になります。（被覆やら集積点やら）
そんで、
『テイラーの定理』は『ロピタルの定理』で証明可能です。
そして『ロピタルの定理』は『平均値の定理』で証明可能です。
更に更に『平均値の定理』は『ロールの定理』で証明可能。
それには『最大値最小値の定理』の証明が必要で、
そこには『有界』やら『区間』やらが。
そしてこれらのために『極限』が必要で、
その基礎付けとして『幾何学』的な性質が、とこんな感じです。
そして最後に『極限』を、
『集合論的に理解する』ために『極限集合』が必要に。
そして更に『極限集合』を理解するために『冠頭標準形』をををおお…
と、ちょっとキリが無いので、概要だけ。
んでは話を戻して、オイラー数を見ていきましょう。
まず確認をしておきます。
細かい部分は省略して「点 a 周りのテイラー級数」は↓です。
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
これは、ざっと言うと『関数を作ってます』。
どう作ってるかというと『無数の接線（ほぼ点）をかき集めて』。
もうちょっと具体的なやり方の感じとしては、
『点 a の接線とその接線と、みたいにして接線を集める』のを、
「原点から a だけ離して」やってる、みたいな感じですね。
まあ、ぶっちゃけどこでも良いんで、
一番すっきりする「原点周り x=0 」を採用しましょう。
この時は「マクローリン展開」と言います。
（点 0 周りのテイラー展開）
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h \to 0}e^x\frac{e^{h}-1}{h}=e^x
↑の定義から、微分操作に関してこれは明らかで、
これをマクローリン展開すると↓みたいになります。
\displaystyle e^x=e^0x^0+\frac{1}{1!}e^0x^1+\frac{1}{2!}e^0x^2+\frac{1}{3!}e^0x^3+\frac{1}{4!}e^0x^4+…
\displaystyle =1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+…
ここまで、全て定義しか使っていません。
なので「オイラー数 e 」も、これから求められます。
具体的には「 x=1 」とするだけですね。
そうしたら↓になります。
\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+…
つまりこれで「 f(x)=e^x 」と「 e の定義」
\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1
だけで、「オイラー数 e 」を定めることができました。
これは「テイラー展開」により『十分性』を得た形になります。
順序としては↑が先に来て↓が使えるという感じ。
\displaystyle e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
ただ「発想」の元となったものは「必要条件」が先に来ます。
これから↑に発想が導かれたわけです。ややこしいですね。
これで分かったと思いますが「連続複利」は偶然の産物です。
そういうルールで式を組んでたら、たまたまああなった感じ。
ただ「指数を使う」という点で、必然的に結びついたわけですね。
まとめると、
はっきりとした源流を辿ると「テイラー展開」がそれになります。
ただ↑のように「発想の源流」は『指数関数の微分』です。
連続複利は「定義上の必然」から導かれた『結果論』になります。
定義は「シンプル」な上に、「指数を使う」ので。
これが、大雑把に調べて遡れる限界ですかね。
以上、すごく長くなりましたが「オイラー数の定義」になります。
最後に、この「意味」について見ていきましょう。
この『意味』についても、虚数単位と似たような感じです。
後付けではありますが、この数には明確な意味があります。
それは『テイラー級数』によって与えられる「意味」です。
「テイラー級数」は、あらゆる関数を『高次方程式』に変換できます。
そしてその形成過程には、必ず『微分』を使うわけです。
もう一度確認しましょう。
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+f´(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f´´(a)(x-a)^2+…
これが、テイラー級数です。
見ての通り、何度も何度も「微分」しています。
さて、とりあえず以上を踏まえて結論から行きましょう。
このオイラー数の「意味」とは、
どれだけ微分しても変わらない関数を考えることができる
というものになります。
基本的にはそのままです。
やれていることを、単に「意味」としてるだけではあります。
ただ、このような関数はこれ以外には考えられません。
あくまで『テイラー級数』では、という制約がつきますが。
実際、そのような『何回微分しても変化しない関数』は、
性質がそうなので必ず↑になりますから、
「テイラー展開」すると↓になります。
\displaystyle f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f(a)(x-a)^2+\frac{1}{3!}f(a)(x-a)^3+…
\displaystyle =f(a)\left[1+(x-a)+\frac{1}{2!}(x-a)^2+\frac{1}{3!}(x-a)^3+…\right]
\displaystyle ∴f(x)=f(a)\,e^{x-a}
これから分かる通り「 f(a) の値に関係なく」、
必ず『 e に関係したもの』が出てくるわけです。
以上を以って、十分性もまた示されるわけで、
この「オイラー数」は『微分しても変わらないもの』を作れる、と。
まあ、そういう「意味」を持てるわけですね。
