|| 到達不能（？）
これの説明は「理がある範囲全体のサイズ」とか。
要は『数学で議論できる領域』みたいなものです。
スポンサーリンク
目次
・連続体濃度「自然数の冪集合である実数の濃度」
・連続体仮説「自然数と実数の間に濃度がないという仮説」
・到達不能基数の由来「下地と操作の保証のみで作れる限界」
・弱到達不能基数「正則で非可算なことだけが条件の極限基数」
・強到達不能基数「弱到達不能に冪集合の条件を加えた極限基数」
これは実際どんなもんか見た方が分かりやすいでしょう。
まあ、なんとなく「とにかくめちゃくちゃでかい大きさ」とか、
そんな風に思っておけば、大体あってます。
んじゃ詳しく見ていきましょうか。
そして『極限基数』についてです。
これらを元に厳密に定められてるので、知っておいた方が。
字面で察している方もいるかもしれません。
要は、大きくするという操作に限界が来ると、そういう話です。
「到達不能」の所以はそんな感じになります。
連続体濃度 Continuum
|| 連続してるものの濃度
これは、一言で言えば『実数の濃度』のことです。
形式的には『 |N|<|2^N|=|R| 』になります。
「 |N|<|2^N| 」は『カントールの定理』によって与えられます。
これを「 \aleph_2 」や「 \mathfrak{c} 」と書いて、『連続体濃度』とか言ったり。
ちなみに『 \aleph_1 』としないのは、
その間にあるかもしれないから、という理由になります。
これが「実数」の濃度と一致することは、
『ベルンシュタインの定理』などから確認できます。
この辺長くなるので別の記事でやります。
ともかく、こんな感じに「でかいサイズ」があるわけです。
たぶん直観が働くのはこの辺りまでになります。
連続体仮説 Continuum Hypothesis
|| 間にある濃度についての仮説
↑の『 \aleph_0<\aleph_1<\mathfrak{c} 』の『 \aleph_1 がない』っていう仮説です。
要は「 \aleph_0 」の次の最小の濃度は連続体濃度だって言ってます。
仮説なのは、分からんからですね。
あることも無いことも証明できません。
仮に存在すると仮定するなら、
やはり「操作の追加」が必須になるでしょう。
「集合」の濃度が確実に大きくなる集合が作れて、
「冪集合」の濃度より確実に小さいものが作れる。
こんなあるともしれない操作を公理として与えれば、
確実に↑のような「 \aleph_1 」が存在します。
まあ、考えてもしょうがないんですけど。
ともあれ、これが「 ZFC 」と独立だとは分かってます。
あるとしてもないとしても、特に矛盾は出てきません。
いわゆるお好みというやつです。
一般連続体仮説 GCH
↑のは確認のしようがないんで、あんま使えません。
しかし「カントールの定理」を使う場合は確認が可能です。
そんなわけで、それ以外を採用しないことにした「公理」。
それを指して『一般連続体仮説』と言ったりします。
使えないやつをお払い箱にして排除した感じの「公理」です。
「公理」なんで、どっちにしろこれも証明・反証ができません。
これを採用するときは『 ZFC+GCH 』みたいに書かれます。
でかい濃度と「選択公理」を使う場合は基本的に付ける感じ。
「到達不能基数」は、これらを内包したドデカい大きさになります。
この議論領域は「グロタンディーク宇宙」とか言われますね。
冪集合と ω_n
『カントールの定理』から「基数」には次の関係が成立します。
card(ω)<card(2^ω)
つまり、こうやれば確実にでかいサイズを作れるわけです。
でっかいものを作ろうと思うだけなら、けっこう単純な感じ。
そんなわけで、『順序数による割り当て』で、
本題になる「基数を定義して」見てみましょう。
まずは『 ω_0<2^{ω_0} 』として『 2^{ω_0}=ω_1 』としてみましょうか。
「冪集合」の定義から『 ω_0∈ω_1 』は明らかです。
ですから「 ω_0<ω_1 」として問題ありませんね。
そんで、これを「次の最小の濃度」と定義します。
これがいわゆる↑の「一般連続体仮説」です。
なんか問題ありそうな気がしますけど、
証明も反証も無理なので気にせず行きましょう。
そんな調子で、でかい数を作ってみます。
「 ω_2 」辺りで直観の範囲じゃないです。
でも「冪集合」のおかげで「 ω_2<ω_3 」は確か。
保証されてるのはこれだけですが、さてさて。
これは延々と続いていくようですが、
いや、実際延々と続いてるんですけど、限界が来ます。
その限界というのは「 ω_n<ω_{ω_0} 」です。
「 ω_2 」くらいからすでに意味不明なわけですが、
これは輪をかけて意味不明な大きさになります。
ちょっと何言ってるかほんと分かんないです。
具体的なものは恐らく現実に存在し得ません。
考えるとしても、ほんと無理矢理に考えるしかないです。
直観的には理解し難いかと。
例えば、宇宙にある全てで新しく無限に宇宙を作って、
そのやり方を無限回繰り返して、
更にそのやり方を無限に繰り返して、を無限に繰り返して、
そんな操作を更に無限回繰り返して、
というのを無限回繰り返して得たもの、という感じ。
もはやどんなものができたのかさっぱりです。
果たして、そもそもそんなものがあるのかすら微妙という始末。
そんな感じで、これ以上の大きさのものはこの操作から得られません。
なぜなら操作が「有限」回しかできない以上、
それ以上の大きさを理解することはできないからです。
要するに「冪集合の操作が加えられた回数」が分からなくなるから、
「ちゃんと比較する」ことができなくなる、という感じ。
なにせ「操作」を加えたことが分からないと、
「ちゃんと大きいのか」がはっきりしなくなってしまうので。
つまり、これより上の大きさに「理」はありません。
「理」が見出せる範囲は『 ω_n 』までとなります。
つまり『 ω_{ω_0} 』の大きさには「理」が届かないわけです。
そう、人間の理が届かず、数学的に触れられない。
つまりその大きさには「到達できない」というわけですね。
はい、というわけで、これが『到達不能』の由来になります。
弱到達不能基数 Weakly Inaccessible
|| 弱いっていうか広い？到達不能な大きさ
ざっと言うと『正則で非可算な極限基数』のことです。
これだけ見ると、は？って感じしますね。
『正則な極限基数 \aleph_α=ω_α 』の条件は「 \mathrm{cf}(ω_α)=ω_α 」です。
また『非可算基数 \aleph 』の条件は「 \aleph_0<\aleph 」です。
ここに限らず、弱いということは「広い」という意味でもあります。
要は『抽象的』で、意味が広すぎて実用性が低い感じですね。
なので、基本的にこちらはあまり使われません。
「到達不能基数」というと、だいたい↓のことです。
↓の方が条件が強いので、自動的にこっちも含みます。
強到達不能基数 Strongly Inaccessible
|| 字面がなんか超強い
「弱到達不能基数」に条件を追加した「到達不能基数」です。
要は意味不明な大きさのことですね。
追加した条件は↓です。
ここで『正則な非可算極限基数』を「 κ 」とします。
∀\aleph<κ\,[\,2^{\aleph}<κ\,]
非可算性を要求しないときもあるようです。
この場合『最小の濃度 \aleph_0 』もまた「強到達不能基数」になります。
ここで重要なのは「冪集合」を用いている点になります。
これを条件にしてるので、なんとかサイズが測れるわけですね。
まあ、それでもほんとよく分からん大きさなんですけど。
