|| 有限加法的測度の拡張についての定理
「有限加法的測度」が「測度」になるための条件
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事前知識
完全加法族「基本操作が無矛盾でできる保証」
有限加法族「完全加法族より条件が緩いやつ」
可測空間「完全加法族上であることの宣言」
前測度「測度から可測空間を引いた感じのやつ」
カラテオドリ外測度「外測度を一般化したやつ」
σ-有限「 0 以外の有限値を捻じ込むための条件」
拡張「制限される → 制限される前はでかい」
カラテオドリの拡張定理「前測度の拡張についての定理」
目次
ホップの拡張定理「有限加法的測度が測度になる条件」
有限加法的測度「完全加法性を強制しない測度のこと」
拡張 Extension
|| 範囲が狭まってる → 元は広い感じ
「制限」とは逆の感覚の操作
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}&⊂&A \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&→&B \\ \\ f|_{A_{\mathrm{part}}}&:&A_{\mathrm{part}}&→&B \\ \\ g&:&A_{\mathrm{part}}&→&B \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall a∈A_{\mathrm{part}} & g(a)=f(a) \end{array}
この「制限されたやつ f|_{A_{\mathrm{part}}} 」の逆
つまり「制限される前のやつ f 」が「拡張」になります。
（カラテオドリの拡張定理の記事に記載済み）
有限加法的測度 Finitely Additive
|| 測度が満たす最低限の性質を緩めたやつ
「有限回の加法」で制限されてる測度のこと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{finite}}&:&A&\to&[0,\infty] \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{finite}}(∅)&=&0 \end{array}
\begin{array}{ccl} \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} && A_i,A_j∈σ \\ \\ \displaystyle i≠j &→&A_i∩A_j=∅ \end{array} \right) \\ \\ ↓ \\ \\ μ_{\mathrm{finite}}(A_i∪A_j)=μ_{\mathrm{finite}}(A_i)+μ_{\mathrm{finite}}(A_j) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{finite}} \left( \bigcup_{i=1}^{n}A_i \right)&=&\displaystyle \sum_{i=1}^{n}μ_{\mathrm{finite}}(A_i) \end{array}
だいたい「ジョルダン測度」のことを指します。
ちょっとややこしい名前
「有限加法」なんて名前なのでややこしいですが
この意味は「有限の値を返す」ではありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{finite}}(A)&<&\infty &&？ \end{array}
「有限加法的測度 μ 」が必ず有限の値を返す時
それは「有限加法的有限値測度」と呼ばれます。
また
\begin{array}{llllll} 0&≤&μ_{\mathrm{finite}}(A)&≤&\infty \end{array}
これは「正の値である」と定義されていますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{finite}}(A)&<&0 \end{array}
「負の値を許す」場合もあって
この場合「有限加法的符号付き測度」
あるいは単に「有限加法的測度」と呼ばれます。
完全加法性を仮定しても良い
「有限加法的測度」は
\begin{array}{ccc} \mathrm{disjoint} & & → & & μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) \end{array}
「有限加法」についてのみ保証していて
他のことを保証しているわけではありませんが
\begin{array}{ccc} \mathrm{disjoint} &&→&&\displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \end{array}
「可算加法（無限和）」について
特に言及しているわけではないので
例えば「有限加法族 F 」の範囲にあるような
\begin{array}{ccc}\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&\in&F \end{array}
「有限加法的測度で大きさが分かる図形」を考えた時
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) &\in& R \end{array}
「有限加法族 F の範囲」で
「完全加法性」を持つ
これはあり得ます。
実際
「有限加法的測度」の具体例になる
「区間の長さ」や「ジョルダン測度」は
\begin{array}{ccc} \mathrm{disjoint} &&→&&\displaystyle \left| \bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right| = \sum_{n=1}^{\infty}|I_n| \end{array}
「完全加法性を持つ」ので
\begin{array}{ccc} \mathrm{disjoint} &&→&&\displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \end{array}
「拡張定理」におけるこの仮定は
実はかなり自然なものになります。
（有限加法族上の完全加法性であることが大事）
有限加法的測度空間 Finitely Additive
|| 拡張定理の前提で使う緩い条件
「 X の有限加法族 F_X 」「有限加法的測度 μ_{\mathrm{finite}} 」
これらで定義された「測度空間」みたいなもの
(X,F_X,μ_{\mathrm{finite}})
けっこう緩い条件になります。
（ホップの拡張定理の前提の１つ）
σ-有限 sigma-finite
|| 一般性を損なわない程度の緩い条件
『測度の一意性を保証できる条件』のこと
\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{non} & σ\text{-}\mathrm{finite} \\ \\ 〇& × & \begin{array}{c} \mathrm{Only} \,\, 0 \,\, \mathrm{or} \,\, \infty \end{array} \end{array}
根本的には
「無限じゃないもの」を捻じ込む
という感じのものになります。
「測度」と「測度空間」に定義される概念で
（測度空間は完全加法性が保証されてる）
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...&∈&σ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
↑ の条件を満たす時
その「測度・測度空間は σ-有限である」と言います。
（詳細は長くなるので別記事で扱います）
ホップの拡張定理 Hopf
|| 有限加法的測度の拡張についての定理
「有限加法族 F 」上で定義される
「有限加法的測度 μ 」と一致するような
\begin{array}{ccc} &\mathrm{Extension}& \\ \\ (X,F,μ) &→& (X,σ(F),μ^*) \end{array}
「完全加法族 σ(F) 」上の
「拡張 μ^* 」が存在する
このための条件が
「有限加法族 F 」上で
\begin{array}{llllll} \begin{array}{c} A_1,A_2,A_3,...∈F \\ \\ i≠j \,\,⇒\,\, A_i∩A_j≠∅ \end{array} &&→&&\displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)= \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \end{array}
「有限加法的測度 μ 」が
「完全加法的であること」である。
これがこの定理の主張で
\begin{array}{llllll} \forall A \in F & μ_{\mathrm{Jordan}}(A)=μ_{\mathrm{Lebesgue}}(A) \end{array}
これにより
「ジョルダン測度の拡張」として
「ルベーグ測度が存在する」ことなんかが示されます。
ホップの拡張定理の証明
再度、改めて確認しておくと
(X,F,μ)
「全体を表す集合 X 」から生成される
「有限加法族 F 」上の
「有限加法的測度 μ 」と一致するような
(X,σ(F),μ^*)
\begin{array}{llllll} ∀A∈F& μ(A)=μ^*(A) \end{array}
「完全加法族 σ(F) 」上の
「拡張 μ^* 」が存在する
この条件が
\begin{array}{llllll} \mathrm{disjoint} &:=& \begin{array}{c} A_1,A_2,A_3,...∈F \\ \\ i≠j \,\,⇒\,\, A_i∩A_j≠∅ \end{array} \end{array}
\begin{array}{llllll} \mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)= \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \end{array}
「有限加法族 F 」上で「完全加法的である」こと
というのがこの定理の主張なので
この定理を示すためには
\begin{array}{llllll} ∀A∈F& μ(A)=μ^*(A) \end{array}
(X,σ(F),μ^*)
こういう「測度空間 (X,σ(F),μ^*) 」を形成できる
「拡張となる測度 μ^* が存在する」ことを
どうにか証明しなくてはなりません。
前提
「全体を表す集合 X 」から生成される
「有限加法族 F 」上の「有限加法的測度 μ 」
(X,F,μ) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Finitely \,\, Additive \,\, Measure \,\, Space}
これらにより形成される
(X,F,μ) が「有限加法的測度空間」であること。
前提は基本的にこれだけです。
ここに追加で
「有限加法的測度 μ 」は
「有限加法族 F 」上で「完全加法的」である
\begin{array}{llllll} \mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)= \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \end{array}
という仮定が付いてきて
これにより得られる結果が
この定理の結論部分になります。
結論
「有限加法族 F 」上で
「有限加法的測度 μ 」と一致するような
\begin{array}{llllll} ∀A∈F& μ(A)=μ^*(A) \end{array}
「完全加法族 σ(F) 」上の「測度 μ^* 」
(X,σ(F),μ^*)
つまり「拡張 μ^* 」が存在する。
これが結論の１つで
更に「有限加法的測度空間」が「σ-有限」である時
「拡張 μ^* 」が一意に定まる
\begin{array}{llllll} \{A_1,A_2,A_3,...\} &⊂&F \end{array}
\begin{array}{c} X=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \\ \\ \forall n∈N \,\,\, μ(A_n)<\infty \end{array}
これもまた得られる結論の１つになります。
（ ↑ では省略しましたがこれも定理の一部です）
証明
これは「前提」から
「拡張 μ^* が存在する」ことと
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*&=&？ \end{array}
「 μ が σ-有限なら拡張 μ^* は一意になる」
ということを示すことができれば
この定理を証明できたと言えるので
\begin{array}{ccccc} (X,F,μ)&&→&&(X,σ(F),μ^*) \\ \\ σ\text{-}\mathrm{finite} &&→&&\forall A∈σ(F) \,\,\, μ^*_a(A)=μ^*_b(A) \end{array}
それぞれゴールははっきりしています。
有限加法的測度と一致する拡張が存在する
「拡張 μ^* の存在」を示せば良いので
\begin{array}{llllll} \displaystyle F&⊂&σ(F) \end{array}
\begin{array}{llllll} ∀A∈F& μ(A)=μ^*(A) \end{array}
この条件を満たすような
「測度 μ^* 」を考えることができれば
この主張の正しさを示すことができます。
拡張として都合が良さそうな測度の存在
これはそもそも
「ジョルダン測度」と「ルベーグ測度」の話です。
（これを一般化したのが拡張定理）
\begin{array}{llllll} \Bigl| [a,b) \Bigr| &=&b-a \\ \\ μ \Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \\ \\ μ^* \Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \end{array}
なので「拡張」の候補は
「外測度」から引っ張って来ればよくて
その代表的な候補として
「ルベーグ外測度」が簡単に思いつくので
\begin{array}{llllll} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}|I_n| \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}
μ に仮定された「完全加法性」から
これを更に抽象化する形で
この一般形もすぐに思いつきます。
\begin{array}{llllll} μ^*(A)&=& \displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
ただ、この定理の前提を考えると
定義段階では「有限加法族」上での話になるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...&∈&F \end{array}
この時点では
これが「測度」であるかどうか
そもそも「外測度」であるかどうかは不明になります。
都合の良いやつは外測度の条件を満たすのか
A_n を「区間（基本集合）」
μ を「区間の長さ」とすれば
\begin{array}{llllll} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(I_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}
ルベーグ外測度ほぼそのままですし
直感的に考えると ↓ は明らかに外測度ですが
\begin{array}{llllll} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
まだこの時点では不明なので
念のため確認しておくと
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}⊂A &&→&&μ^*(A_{\mathrm{part}})≤μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
それぞれ
\begin{array}{c} \displaystyle μ(∅)=0 \\ \\ 0≤μ(A)≤\infty \end{array}
↓
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
「有限加法的測度 μ 」の定義より
「定義域」と「終域」はこうなり
「有限加法的測度 μ 」に
\begin{array}{rcr} \displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} &\textcolor{pink}{⊃}&\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \\ \\ \displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} &\textcolor{pink}{≤}&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
「完全加法性」が仮定されていることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\left( A \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \\ \\ μ^*\left( B \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
\begin{array}{ccc} A&⊂&B \\ \\ \displaystyle μ^*\left( A \right) &≤&\displaystyle μ^*\left( B \right) \end{array}
「単調性」も満たされ
最後
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + \frac{ε}{2^m} \Bigr) \end{array}
「劣加法性」も満たされると言えるため
「外測度の定義」を全て満たす
ということが確認できます。
（詳しくは長いのでカラテオドリ外測度の記事で）
外測度と可測条件
↓ の都合の良いやつが
「カラテオドリ外測度」であるということは
\begin{array}{llllll} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
この「外測度」で「可測な集合 A 」は
\begin{array}{llllll} μ^*(S)&=&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
この条件で定義され
\begin{array}{llllll} L_{μ^*}&=&\{ A∈2^X \mid A \,\, \mathrm{is} \,\, μ^*\text{-}\mathrm{Measurable} \} \\ \\ &=&\{ A⊂X \mid A \,\, \mathrm{is} \,\, μ^*\text{-}\mathrm{Measurable} \} \end{array}
この「可測集合全体 L_{μ^*} 」は
「カラテオドリの基本定理」より
「完全加法族」になると言えるため
\begin{array}{ccccr} \displaystyle μ^*(∅)=0 &&→&& ∅∈L_{μ^*} \\ \\ \\ \displaystyle \begin{array}{r} \displaystyle A∈L_{μ^*} \\ \\ X∈L_{μ^*} \\ \\ X\setminus A∈L_{μ^*} \end{array} &&→&& A^c∈L_{μ^*} \\ \\ \\ \begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)≤\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array} &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈L_{μ^*} \end{array}
この結果から
\begin{array}{llllll} (X,L_{μ^*},μ^*) \end{array}
これは「測度空間」になると言えるので
外測度 μ^* は L_{μ^*} 上の測度であると言えます。
有限加法的測度の拡張であるかどうか
「都合の良さそうな測度 μ^* 」を用意できたので
\begin{array}{llllll} (X,F,μ) && (X,L_{μ^*},μ^*) \end{array}
\begin{array}{ccc} F&⊂&2^X \\ \\ L_{μ^*}&⊂&2^X \end{array}
この前提から分かる結果と
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}&⊂&A \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&→&B \\ \\ f|_{A_{\mathrm{part}}}&:&A_{\mathrm{part}}&→&B \\ \\ g&:&A_{\mathrm{part}}&→&B \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall a∈A_{\mathrm{part}} & g(a)=f(a) \end{array}
「拡張」の定義を確認してみると
「外測度の条件を満たす μ^* 」が
「有限加法的測度 μ の拡張」であることを示せば
\begin{array}{c} F&⊂&L_{μ^*} \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall A∈F & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
その事実が
「 μ の拡張 μ^* が存在する」ことの証明になる
ということが分かります。
拡張であるための１つ目の条件
というわけで確認しておくと
\begin{array}{rcr} F&⊂&L_{μ^*} \\ \\ A∈F&→&A∈L_{μ^*} \end{array}
まず１つ目の着地はここです。
「有限加法的測度 μ 」で測れる A は
「外測度 μ^* 」の「可測集合」でもある
これを示すことができれば
「拡張の存在」を示すような
\begin{array}{c} F&⊂&L_{μ^*} \end{array}
条件の１つを導くことができるので
どうにかこの結論に持っていきたいです。
可測集合全体は完全加法族である
これについては
「外測度 μ^* 」の定義と
「カラテオドリの基本定理」より
\begin{array}{rcr} && ∅ \in L_{μ^*} \\ \\ A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
「可測集合全体 L_{μ^*} 」は
「完全加法族 σ になる」と言えるので
\begin{array}{rcr} && ∅\in F \\ \\ A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A,B∈F &→& A∪B\in F \end{array}
「有限加法族 F 」上の要素が
「完全加法族 σ 」上の要素なのは明らかですから
定理の結論さえ飲み込めれば
\begin{array}{c} F&⊂&L_{μ^*} \end{array}
この結果は明らかだと言えます。
（有限加法族上の図形もまた可測条件を満たすため）
有限加法族上の図形
「有限加法的測度 μ 」で大きさが分かる
「有限加法族 F 」上の図形については
\begin{array}{ccc} A&⊂&A \\ \\ μ^{*}(A)&=&\inf \{ μ(A) \} \end{array}
「外測度」の定義から
\begin{array}{ccc} μ^{*}(A)&=& μ(A) \end{array}
「可測集合である」ことは
直感的には明らかですが
\begin{array}{ccc} μ^{*}(A)&≤&μ(A)&≤&μ^{*}(A) \end{array}
念のため
この辺りのことは深堀しておきたいです。
（以下の話の中でついでに解説）
拡張であるための２つ目の条件
「 F の要素は μ^* 上で可測」という事実から
\begin{array}{llllll} \displaystyle F&⊂&L_{μ^*} \end{array}
これで１つ目の条件が導かれたので
\begin{array}{ccc} \displaystyle \forall A∈F & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
次はこちらの条件を頑張って得てみます。
（ ↑ の根本的な部分はこちらから間接的に証明できる）
外測度の定義と下限
すぐ分かることとして
\begin{array}{lcc} A_1&=&A \\ \\ A_{n_{≥2}} &=& ∅ \end{array}
例えばこのようにすれば
\begin{array}{lcr} \displaystyle μ^*(A)&=&\inf \Bigl( μ(A) \Bigr) \\ \\ μ^*(A)&≤&\Bigl( μ(A) \Bigr) \end{array}
これは外測度の定義より明らかですから
（まだ一致するとは限らないため不等号）
後は
\begin{array}{llllll} μ(A)&≤&μ^*(A) \end{array}
これを示すことができれば
\begin{array}{llllll} μ(A)≤μ^*(A)≤μ(A) &&→&& μ(A)=μ^*(A) \end{array}
欲しい結果に行き着きそうだと予想できます。
有限加法的測度をどうにか上から抑えたい
以下の関係を得たい場合
\begin{array}{llllll} μ(A)&≤&μ^*(A) \end{array}
「外測度」の定義を考えると
\begin{array}{llllll} A &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
\begin{array}{llllll} μ(A)&≤&μ^*(A)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \\ \\ μ(A)&&&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right)&<&μ^*(A)+ε \end{array}
このように書き替えられることから
（下限 μ^*(A) より ε>0 だけ大きい）
仮定されている「完全加法性」より
\begin{array}{llllll}\mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \right) &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right) \end{array}
例えば以下のような
\begin{array}{llllll} A && &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
\begin{array}{llllll} μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
都合の良い無限和を作れる
良い感じの集合 D_n が存在すれば
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) &<&μ^*(A)+ε \end{array}
「外測度」の定義より
これはこうなるので
\begin{array}{llllll} μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
この結果さえ得られれば
\begin{array}{llllll} μ(A)&<&μ^*(A)+ε \\ \\ μ(A)&≤&μ^*(A) \end{array}
ε が任意の正の実数であることから
ε の下限の存在と一致条件（空集合）より
この結論が得られると言えます。
都合の良い無限和の存在
以上のことから
問題になってくるのが
\begin{array}{ccccc} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
こんな集合 D_n が本当にあるのかって部分で
これが存在しなければ
\begin{array}{llllll} μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
↑ の話は無かったことになります。
ただまあ直感的には存在しそうなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle D_n&=&？ \end{array}
これの存在を示してみるわけですが
\begin{array}{llllll} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
分かってるのはこの条件のみ
\begin{array}{ccrcc} && A∩A_n &⊂&A_n \\ \\ \displaystyle A&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A∩A_n \end{array}
\begin{array}{llllll} D_n&=& \displaystyle A∩A_n \end{array}
ここから
こういう良い感じの D_n が求められますが
\begin{array}{llllll} (A_n∩A)∩(A_{n-1}∩A) &=&A_n∩A∩A_{n-1}∩A \\ \\ &=& A_n∩A_{n-1}∩A \end{array}
\begin{array}{llllll} A&⊂&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
これは A と無限和の関係を考えると
最低でも１つの A_n は A と共通部分を持つ上に
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_n∩A_{n-m}&=&∅ &&？ \end{array}
A_n には特に何の制限も無いので
\begin{array}{llllll}\mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \right) &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right) \end{array}
「互いに素 \mathrm{disjoint} である」とは言い切れないことから
\begin{array}{llllll} D_n&=& \displaystyle A∩A_n \end{array}
このままだと
D_n が欲しい性質を全て持っているとは言えません。
互いに素という状態は作れる
これを解決するために
どうにか「互いに素 \mathrm{disjoint} 」にしたい
\begin{array}{llllll} A_n∩A_{n-m} &=&∅ &&(0<m<n) \end{array}
それが次の課題になる。
これが分かったので
簡単に思いつくものとして
\begin{array}{llllll} A_1 \\ \\ A_2 &=& A_2∩(A_1)^c \\ \\ A_3 &=& A_3∩(A_2∪A_1)^c \\ \\ && \vdots \end{array}
「他の A_k の集まりの補集合」との「共通部分」
\begin{array}{llllll} (A_1∪A_2∪\cdots∪A_{n-1})^c &=&\displaystyle \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right)^c \end{array}
言い換えるなら
「他の A_k と交わらない集合」との「共通部分」
\begin{array}{llllll} A_n&=&A_n ∩ \displaystyle \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right)^c \end{array}
そんな集合を考えてみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle i≠j &→&A_i∩A_j=∅ \end{array}
わりと強引ではありますが
互いに素 \mathrm{disjoint} の条件を
確実に「満たすようにできる」ことから
\begin{array}{llllll} D_n&=&\displaystyle A∩A_n∩\left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right)^c \end{array}
結果として
D_n は都合の良い集合としての
\begin{array}{llllll} i≠j &→&D_i∩D_j=∅ \end{array}
\begin{array}{llllll} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
全ての条件を満たすことになるので
\begin{array}{ccccc} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
このような都合の良い無限和は
確かに存在すると言えます。
互いに素な無限和集合と可測集合
↑ の「無限和」については
\begin{array}{llllll} D_n&=&\displaystyle A∩A_n∩\left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right)^c \end{array}
\begin{array}{llllll} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
これは「集合」の話でしかないので
特になんの前提も必要としない結果です。
（この定理の前提とは独立した話）
ということは
\begin{array}{ccc} μ^*(A)&≤&μ(A)+μ(∅)+μ(∅)+\cdots \end{array}
「外測度の定義」と
\begin{array}{ccccc} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
この「無限和」の存在を考えると
\begin{array}{ccc} μ^*(A)&≤&μ(A)&≤&μ(A) \end{array}
これはこのようになるので
先ほど保留した
\begin{array}{ccc} \displaystyle \forall A∈F & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
「有限加法的測度で大きさが分かる図形」が
「外測度の可測集合になる」かどうか
この答えが結果的に得られます。
まとめ
以上の結果から
\begin{array}{llllll} F&⊂&L_{μ^*} \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall A∈F & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
「有限加法的測度 μ 」の
「拡張 μ^* は確実に存在する」
これは証明されたと言えます。
有限加法的測度がσ-有限 → 拡張は一意
これを示すということは
\begin{array}{ccc} X_1,X_2,X_3,...&∈&F \\ \\ X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &⊂& X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall n∈N & μ(X_n)<\infty \end{array}
「有限加法的測度 μ 」が
「完全加法的」で「σ-有限」である
この前提の上で
\begin{array}{llllll} L_{μ^*} &=& σ(F) \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array}
「異なるかもしれない拡張 μ_a^*,μ_b^* 」が
「 σ(F) 上の全ての要素 A で等しくなる」
\begin{array}{llllll} \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \\ \\ \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_c^*(A) \\ \\ \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_d^*(A) \\ \\ &\vdots \end{array}
これが確認できるということなので
そのために
「有限加法的測度 μ 」が「σ-有限」である
μ_a^*,μ_b^* が「有限加法的測度」の「拡張」である
これだけで
\begin{array}{llllll} \begin{array}{llllll} \forall A∈F& μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈F& μ(A)=μ_b^*(A) \end{array} &→& \begin{array}{cc} \forall A∈F& μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array} \end{array}
「有限加法族 F 」上だけではなく
\begin{array}{llllll} \forall A∈σ(F) &μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array}
どうにか
「可測集合全体 σ(F) の全ての要素 A 」で
こうなることを示す必要があります。
有限加法族を全て含む集合族
「有限加法的測度 μ の拡張」の
\begin{array}{llllll} μ_a^*(∅) &=& μ_b^*(∅) \end{array}
\begin{array}{lccc} \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) &&？ \\ \\ \forall A∈F & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) &&〇 \end{array}
この定義と
\begin{array}{ccc} μ_a^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \\ \\ μ_b^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
そのまま単純に
「同じ図形を使って」比較すれば良い
という感じの発想から
着地を ↓ だと考えることができるので
\begin{array}{cclccc} σ(F) &⊃& \displaystyle \left\{ A∈F \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} &&〇 \\ \\ σ(F) &=& \displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} &&？ \end{array}
「 σ(F) の全ての要素 A 」で等しくなるのか
これを確認するために
\begin{array}{llllll} \forall A∈F & μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈F & μ(A)=μ_b^*(A) \end{array}
「 F を含む完全加法族 σ(F) の範囲」で
（有限加法族 F 上に無い無限和を考えたい）
\begin{array}{ccl} F &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ(A)=μ_a^*(A) \right\} \\ \\ F &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ(A)=μ_b^*(A) \right\} \\ \\ M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
「確実に F の要素を全て持つ」ようにした
このような「集合族 M(F) 」を考えてみます。
（記号の由来は単調族 \mathrm{Monotone} ）
σ-有限であるとは
「有限加法族 F 」上の
「有限加法的測度 μ 」が
「σ-有限である」ということは
\begin{array}{llllll} \{X_1,X_2,X_3,...\}⊂F \\ \\ X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall n∈N & μ(X_n)<\infty \end{array}
「有限加法族 F 」上では
こうなるということで
\begin{array}{llllll} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots \end{array}
この「増加列」の形については
「単調族定理」が由来になっています。
（この増加列を F が含むということが重要）
拡張と単調族定理
「 μ^* は測度である（完全加法族上のもの）」
この事実に注意しながら着地を考えて
\begin{array}{llllll} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
\begin{array}{llllll} M(F) &=& σ(F) &&？\end{array}
「単調族定理」の結果を考えると
\begin{array}{cccccccc} F &⊂& && M(F) &⊂&σ(F) &&〇 \\ \\ F &⊂& σ(F) &⊂& M(F) && &&？ \end{array}
「 M(F) は単調族である」という条件を満たせば
「単調族」と「完全加法族」の関係は
\begin{array}{llllll} σ(F)&⊂&M(F) \end{array}
こうなることから
\begin{array}{llllll} \begin{array}{ccccc} M(F) ⊂ σ(F) ⊂ M(F) \end{array} &&→&& M(F) = σ(F) \end{array}
この結果が得られると言えます。
（ F の図形で σ(F) の図形を扱えるようになる）
σ-有限と含めたい要素
「拡張」の定義から
\begin{array}{llllll} \forall A∈F & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
「有限加法族 F の要素 A を全て持つ」
ということは分かりますが
\begin{array}{llllll} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
この定義では
M(F) が「単調族」であるかは分かりません。
（σ-有限の条件から直感的には単調族になりそう）
しかし「σ-有限」という条件では
\begin{array}{llllll} \{X_1,X_2,X_3,...\}⊂F \\ \\ X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}
このような X_n を含む
ということが前提になっているので
（この時点では無限和が含まれるかは不明）
\begin{array}{ccc} \begin{array}{r} ∅∈F \\ \\ A^c∈F \end{array} &&→&& X∈F \end{array}
「全体 X 」が
「有限加法族 F 」上の要素であることから
（無限和とは関係の無い有限加法族の性質）
\begin{array}{ccccc} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}
「有限加法族 F 」は
「増加列」についてだけではありますが
「単調族」の定義を満たしていると言えます。
単調族の増加列と減少列
「単調族を成す要素 X_n 」と
「 σ(F) の任意の要素 A 」を
\begin{array}{llllll} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A)\right\} \end{array}
これに含ませたい。
そのためには
M(F) が「単調族である」必要があって
\begin{array}{ccccc} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \\ \\ Y_1 ⊃ Y_2 ⊃ Y_3 ⊃ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} Y_n \end{array}
これを示すには
\begin{array}{ccccc} Y_1 ⊃ Y_2 ⊃ Y_3 ⊃ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} Y_n \end{array}
どうにか「減少列」についての
「単調族の定義」を満たす必要があります。
具体的には
\begin{array}{llllll} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
\begin{array}{ccccc} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n∈F \end{array}
この材料から
「減少列」を構成する必要があります。
増加列から減少列を作れる
「増加列」が分かっている状態だと
\begin{array}{llllll} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots \\ \\ X_1^c ⊃ X_2^c ⊃ X_3^c ⊃ \cdots \end{array}
実は「有限加法族」上では
「減少列」はこのように構成出来て
\begin{array}{llllll} (A∪B)^c&=&A^c∩B^c \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \right)^c &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} X_n^c \end{array}
「共通部分」は「空集合」になることから
\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \right)^c &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} X_n^c \\ \\ X^c&=&∅ \end{array}
この「 X_n の補集合 X_n^c 」は
「有限加法族 F に含まれる」と言えるので
\begin{array}{ccc} \begin{array}{r} X∈F \\ \\ A^c∈F \end{array} &&→&& ∅∈F \end{array}
結果
\begin{array}{ccc} \{X_1,X_2,X_3,...\}&⊂&F \\ \\ \{X_1,X_2,X_3,...\}&⊂&M(F) \end{array}
「 F に含まれている」のなら
この要素を M(F) もまた持つので
\begin{array}{cccclcc} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n &=& X \\ \\ X_1^c ⊃ X_2^c ⊃ X_3^c ⊃ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} X_n^c &=& ∅ \end{array}
「 F を含む集合族 M(F) 」は
「単調族」の定義を満たすと言えます。
（つまり単調族定理を適用できる）
有限加法族と完全加法族
少し実感し辛い結論かもしれませんが
\begin{array}{lcc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{k}A_n &&\mathrm{Finitely} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &&\mathrm{Completely} \end{array}
「有限加法族 F 」と「完全加法族 σ 」の違いは
「無限和」の包含を強制しているかどうかだけです。
\begin{array}{ccc} F&⊂&σ(F) \\ \\ F&≒&σ(F) \end{array}
つまり「要素が有限個」であれば中身は同じで
基本、ほぼ同じになります。
違いが出るのは
「要素が無限個」の場合に
\begin{array}{cclcc} A_1,A_2,...,A_n,... &→& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈ F &&？ \\ \\ A_1,A_2,...,A_n,... &→& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈ σ(F) &&〇 \end{array}
「無限和」が「有限加法族 F 」に含まれない
\begin{array}{lcc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &\not\in& F \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &∈& σ(F) \end{array}
このパターンだけで
他は全て同じです。
単調族定理によって分かること
まとめると
\begin{array}{ccc} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
これが「 F の要素を全て持つ」上で
「 σ(F) の要素から作られる単調族である」ことから
（有限加法的測度 μ で大きさが分からない図形も含む）
\begin{array}{lccc} \forall A∈F & μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈F & μ(A)=μ_b^*(A) \end{array}
\begin{array}{ccc} M(F)&=&σ(F) \end{array}
「単調族定理」より
これらは同一であると言えるので
\begin{array}{ccc} \forall A∈M(F) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \\ \\ ↓↑ \\ \\ \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array}
「完全加法族 σ(F) 」上の話と
「 F を含む集合族 M(F) 」上の話は
ほぼ同じになる という結論が導かれます。
σ-有限と完全加法族
この定理では
「有限加法的測度空間」に対して
「σ-有限」という条件がついています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n&=&X \end{array}
その結果
「有限加法族 F を含む集合族 M(F) 」は
確実に「単調族」になると言えるので
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&⊂&X \end{array}
結果として
「 σ(F) の無限和も含めて全て含む」
という結論が得られたわけですが
\begin{array}{ccc} σ\text{-}\mathrm{finite} &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈M(F) \end{array}
ここがちょっと実感し辛いですよね。
これは元を辿れば
「単調族定理」で得られた結果なんですが
\begin{array}{cccclcc} X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n &=& X \\ \\ X_1^c ⊃ X_2^c ⊃ X_3^c ⊃ \cdots &&→&& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} X_n^c &=& ∅ \end{array}
この記事では
「無限和」について
「全体 X 」と「空集合 ∅ 」しか見ていません。
単調族と無限和
「単調族定理」より
この定理の結論は明らかですが
\begin{array}{ccl} X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \\ \\ X&⊃&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \end{array}
「完全加法族 σ(F) 内の要素」である
「全ての無限和を含む」
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n&\in&M(F) \end{array}
この事実は分かりにくいです。
なので軽く説明しておくと
これについては
\begin{array}{llllll} A&=&A∩X \\ \\ &=&\displaystyle A∩\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n \end{array}
「全体 X 」との関係から
\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩(B∪C)&=&(A∩B)∪(A∩C) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A∩X_n \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
「任意の σ(F) の要素 A 」が
\begin{array}{llllll} A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots ⊂A \end{array}
\begin{array}{llllll} A&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
\begin{array}{lcl} X_1 &→& (A∩X_1) &&A∩X_1∈σ(F) \\ \\ X_1 ⊂ X_2 &→& (A∩X_1) ⊂ (A∩X_2) &&A∩X_2∈σ(F)\\ \\ X_2 ⊂ X_3 &→& (A∩X_2) ⊂ (A∩X_3) &&A∩X_3∈σ(F) \\ \\ X_3 ⊂ X_4 &→& (A∩X_3) ⊂ (A∩X_4) &&A∩X_4∈σ(F) \\ \\ &\vdots \\ \\ X_n ⊂ X &→& (A∩X_n) ⊂ (A∩X) &&A∩X∈σ(F) \end{array}
このように「単調増加列」に分解でき
「単調族」の定義より
\begin{array}{ccc} A_n&=&A∩X_n \end{array}
\begin{array}{llllll} A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M(F) \end{array}
「単調増加列」を形成する要素を全て持つことから
\begin{array}{llllll} \{A_1,A_2,...,A_n,...\} ⊂ M(F) &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M(F) \end{array}
強引に「無限和」を構成して示せるんですが
まあこれは初見じゃ分かるわけないですね。
いつのまにか有限加法が完全加法に
↑ の話の中で定めた ↓ について
\begin{array}{ccl} F &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ(A)=μ^*(A) \right\} \\ \\ M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
「ジョルダン測度」を知らない方は
ちょっと疑問に思ったかもしれません。
というのも
具体的にどう違うのか
\begin{array}{ccc} \{q\} &\in & F \\ \\ \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} &\not\in& F \end{array}
「ジョルダン非可測」を知らないと
（ μ は F 上の要素のみ測れる）
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} &\not\in& F &&〇 \\ \\ \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} &\in& M(F) &&？ \end{array}
この「ジョルダン非可測な図形」を含むかどうかという
非常に根本的な疑問を持てないので
\begin{array}{ccc} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
わざわざこのようにする理由が
そもそもよく分からないと思います。
測度の範囲で考える
改めて整理すると
\begin{array}{ccc} F &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ(A)=μ^*(A) \right\} \end{array}
これは「有限加法的測度 μ 」の話なので
\begin{array}{ccc} A\in F && → && μ(A) \in R^+ \end{array}
「有限加法族 F 」上の話になるんですが
（ μ(A) の値を比較できないと条件を満たせない）
「測度 μ^* 」の話に拡張すると
（ ↑ で確認した通り μ^* は μ の拡張）
\begin{array}{ccc} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
これは「完全加法族 σ(F) 」上の話になるため
（ μ^* で大きさが分かる図形の範囲が σ(F) ）
結果として
これが「単調族」の定義を満たすことから
\begin{array}{ccc} M(F) &=& σ(F) \end{array}
「完全加法族」であるという結論が得られ
（全ての要素が F の要素で構成可能）
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} &\in& M(F) \end{array}
\begin{array}{ccc} i≠j&→&\{q_i\}∩\{q_j\}≠∅ \end{array}
↓
\begin{array}{ccc} \displaystyleμ^*\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} \right) &=& \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} μ^*(\{q_n\}) &=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \inf \Bigl\{ μ(\{q_n\}) \Bigr\} \end{array}
「 F に含まれていない図形」も含めて
（ μ により μ^* で測れる図形の大きさは測れる）
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*_a \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} \right)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \inf \Bigl\{ μ(\{q_n\}) \Bigr\} \\ \\ \displaystyle μ^*_b \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} \right) &=& \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \inf \Bigl\{ μ(\{q_n\}) \Bigr\} \end{array}
「 M(F) に含まれる」とした上で
全ての σ(F) の要素で μ_a^* と μ_b^* は同じになる
（共通する F の図形で両方とも説明できる）
ややこしいですが
この話はこういう流れになっていて
\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ(A)=μ^*(A) \right\} \\ \\ ↓ \\ \\ \displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ^*_b(A) \right\} \end{array}
だからこれはこうなっています。
順番の整理
↑ の話だけだと
\begin{array}{ccc} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
これは結論の先取りのように見えますが
この条件の由来は
\begin{array}{cl} \forall A\in F & μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A\in F & μ(A)=μ_b^*(A) \end{array}
「拡張」の定義と
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^* \left( A \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \end{array}
「外測度」の定義です。
これにより
\begin{array}{ccc} F&⊂&M(F) \end{array}
「有限加法族 F の要素を全て持つ」とした上で
（この定義の主目的はこれ）
\begin{array}{llllll} (X,F,μ) \,\, \mathrm{is} \,\, σ\text{-}\mathrm{finite} \end{array}
「σ-有限」の条件を適用し
「単調族」の定義を満たすかどうか確認しているので
（こっちはまずそうなるだろうという期待）
\begin{array}{ccc} σ(F) &⊂& M(F) \end{array}
定義の段階では
これが「完全加法族」になるかどうかは分かっていません。
（ほぼ確実に条件を満たすことは分かっている）
怪しい部分の確認
再度確認しておくと
\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ(A)=μ^*(A) \right\} \end{array}
こうすると
「 μ で大きさが分かる」ことが前提になるので
「 F に含まれない図形」は弾かれてしまいます。
具体的には
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} &\not\in& F \end{array}
「 F の要素によって作られる無限和集合」である
こういう図形を含めることができなくなります。
しかし「測度」の範囲で考える場合
\begin{array}{l} (X,σ_a,μ^*_a) \\ \\ (X,σ_b,μ^*_b) \end{array}
これらは「完全加法族 σ 」上にある
「全ての図形」の大きさが分かるので
（この時点では同一の完全加法族かは不明）
\begin{array}{ccc} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
このように定義すれば
「 F の要素を全て共有」した上で
「同一の完全加法族 σ(F) 」上で話ができる
つまり
\begin{array}{ccc} \{q_n\} &\in& F \\ \\ \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} &\not\in& F \end{array}
「共通する F 上の図形 \{q_n\} 」を使って
（ M(F) が全ての F の要素を持つことも重要）
\begin{array}{lcl} \displaystyle μ^*_a \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} \right)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \inf \Bigl\{ μ(\{q_n\}) \Bigr\} \\ \\ \displaystyle μ^*_b \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\} \right) &=& \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \inf \Bigl\{ μ(\{q_n\}) \Bigr\} \end{array}
「無限和集合の大きさを定義できる」ようになるので
（一般的には使う図形を合わせる必要は無い）
\begin{array}{ccc} M(F) &=&\displaystyle \left\{ A∈σ(F) \,\, \middle| \,\, μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \right\} \end{array}
結果的に
この単調族の定義を満たす集合族 M(F) は
「 F に含まれない無限和集合」を持てるようになる。
これがこの話の意味するところで
\begin{array}{ccc} M(F) &=& σ(F) \end{array}
この一連の手順が
「全ての μ の拡張 μ^*_x 」で構成できることから
\begin{array}{ccc} \forall A\in σ(F) &μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array}
その結果を
「一意である」という結論の根拠に使っています。
（要は拡張の定義から同一図形での話にしてるだけ）
まとめ
以上の結果から
「有限加法族 F 」上の
「有限加法的測度 μ 」が「σ-有限」である
\begin{array}{llllll} (X,F,μ) \,\, \mathrm{is} \,\, σ\text{-}\mathrm{finite} \end{array}
この条件の元で
\begin{array}{ccc} A_1,A_2,A_3,...,A_n,...&\in& F \end{array}
\begin{array}{lcl} \displaystyle μ^*_a \left( A \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \\ \\ \displaystyle μ^*_b \left( A \right) &=& \displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \end{array}
「完全加法族上の全ての図形 A の大きさ」が「一致する」
つまり「拡張 μ^* 」は「一意に定まる」ので
\begin{array}{cc} \forall A∈σ(F) & μ^*_a(A)=μ^*_b(A) \end{array}
この定理は証明されたと言えます。