数学ってそもそもなんなの?


|| まずは結論から

数学とは「正しさを決めていく学問」であると言えます。

「決める」ではなく「決めていく」という部分がかなり重要です。

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その大雑把な根拠


数学という学問の目的を少し整理してみましょう。

すると「論理的な根拠を提示すること」になるかと思われます。



つまり「なにが正しいか」に理由を与えているわけです。







目次


数学の一般的な印象について

数学っていったいなんなのか、ざっくりと

数学のふわっとした全体像

学校で扱う数学についてざっくりと

学校で触れない部分をパッと


まとめ







数学の一般的なイメージ


元になっているものから話していきましょう。

それらは大別して、主に2種類です。



学校教育

マスメディアからのイメージ(テレビ番組など)



より根深いのは学校教育かと思いますので、

そちらをメインに話を進めていきます。




さて、学校で習った数学ですが、どうでしたか?



「面白い」ですか?



「退屈」ではありませんでしたか?

「分かり難く」はありませんでしたか?




はい、つまりはまあ、そういうことです。

一般的にまかり通っている数学のイメージとは、そんなものなのです。

悲しいことですが・・・



これを踏まえた上で、話を進めていきましょう。






数学とはなんなのかという話


これに関してですが、諸説あります。

ただその存在意義を思えば、そう難しく考える必要もありません。

要は『正しさを決めていく』ということしかやってませんので。




上の結論に関して疑問はあるでしょう。

ですが、そう簡単には「否定できない」と思います。

というわけで「否定できないなら」ひとまず呑み込んでください。




ともかく、一般的なイメージの話で言えば、

『数学』に対する印象は、よくありません。

(良くないってか、酷い?)




数学とは「難しく」「退屈で」「堅苦しい」ものだと思われています。

これは学校教育だけを抜き取れば、否定できません。



なので、まずはそのイメージに一石を投じるべく、

学校教育に関する数学について、よく見ていきたいと思います。

ただその前に、数学のコンセプトをご理解ください。







数学のおおまかな全体像


用語はあまり使わず、ふわっとした感覚だけを書いていきます。




まず、数学は「簡単」でなければいけません。

そして、数学は「分かり易く」なければなりません。

その上で、数学は「誰が見ても正しく」なければ許されません。



あらゆる分野は、これに沿って発展していきました。

数学のあらゆる分野は、基本的にはこのようになっています。




では、なぜ「難しく」「堅苦しく」感じてしまうのでしょうか。

数学でこれは明らかなコンセプト違反なんですが。






学校教育における数学の印象は、なぜ悪い?


結論

肝心な部分を、ほとんどやっていないから。

「公理」と「定義」の重要性にもあまり触れませんし。



根拠

数学の言語である「一階述語論理」ですが、

その単語一つですら習いません。



内容には軽く触れますが、その中の重要な部分、

意訳だけ教えて、なぜか「量化記号」には触れません。




数学の基礎となる「集合論」もまた、肝心な部分を習いません。

演算や真理集合に触れるだけで「数の成り立ち」に触れないわけです。

数学を教えるというのに、基礎、土台となるこれを教えないのはなぜ?




まだまだたくさんあります。

しかし多すぎるので、ひとまずここまでにしておきましょう。




ともかく何が言いたいのかと言えば、

「難しい」イメージは、学校教育が生み出したということです。

数学そのものに非は無いと、そう私は主張します。




とりあえず、もっと具体的な話に移りましょうか。

これだけではただの抽象的な学校教育批判になりますので。







学校教育が扱う数学の分野について


とりあえずざっと見ていきます。

数学の大分野から見ていきましょうか。




『数理論理学』の論理結合子を少々「数 A など」で。

ただし四大分野についてはまるで触れません。

あくまで極々一部のそのまた一部に触れる程度です。




『数理論理学』は数学の基盤です。

といっても、これにはほとんど触れられません。

別に難しくもなんともないんですけどね。




実用的というと、個人的にはこれが最強です。

「集合論」「証明論」「モデル理論」「再帰理論」の四つ。

この全ての考え方を、私は常日頃から無理なく使っています。






というわけで、次は数学の「三大分野」について見てみましょう。

学校教育ではこちらにばかり触れていますので、

こちらの方が数学のイメージに近いものになるかと。






その一つである『代数学』からは、方程式論から方程式を。

これが学校教育の「全体のほとんど」になります。



数学と言えば方程式というイメージがありませんか?

実際にはほぼほぼ使われない一部の一部の一部なんですけど。



知られていませんが「方程式」という分野は、

応用範囲は広いですが、実はめっちゃ専門的な分野です。

なにせ = という記号は条件がガチガチであまり使えません。

詳しくは別に。






続いて『解析学』からは、微積分学、確率論、統計学を少々。

微積分学を除いて、確率統計なんかは「数 A で終わり」です。



ともかく実用的というと、これをイメージする人が多いかと。

実際実用的ですし、実用というとこれがイメージされやすいです。



ですが、これよりも『数理論理学』の方が遥かに実用性が高いです。

自分の感覚としては、これもまた専門性の高い分野かと。

必要になる知識が多すぎるので。






最後に『幾何学』からは、図形の性質を。

これも学校教育では「かなり多い」部分になります。

といっても、これは幾何学における初等分野に過ぎないのですが。



しかしなぜか、学校教育ではこれをメインにやります。

自分としては専門的過ぎて最低限で良い気がするんですが、

図形の問題を見る機会、なぜかめちゃくちゃ多いですよね。



これも数学のイメージに近いものでしょうか。






最後に数 3,C では、ここに『極限』が含まれてきます。

といっても「量化子」をやらないので、実質やらないんですが。



これは、個人的には使える知識の部類です。

そんなに専門性は高くないんですが、

学校教育ではなんだかやたら難しく扱います。



というのも、ふわふわなまま扱うわけで、

いわゆる実際に何をしてるか分からないけど使う感じです。

身につくはずもないんですが、それでもなぜかやります。




混乱を招くだけなのでいっそやらない方が良いと思いますが、

微積をやる上では必須なのでやるしかないのでしょう。

ならいっそ基礎をやれって話ですが、なぜかやらない不思議。






以上を整理すると、大まかには↓ような感じです。



数 I 「方程式」「図形の性質」が主

数 A 「図形」「確率」「統計」「集合」の触り(もっと増やせ)



数 II 「方程式」「図形」「関数」「微積」が主

数 B 「ベクトル」「数列」についてが主



数 III 「関数」「極限」「微積」が主

数 C 「行列」「図形(特殊)」が主



数学の基礎の基礎になる「数理論理学」はいったいどこ?




見ての通り、というか身に覚えのある通り、

ほぼ『代数学』の「方程式論」と『幾何学』の初等分野です。

専門性が高すぎて応用範囲の狭いこの二つが中心になってます。




「数学」の重要な部分は、ほとんど「数 A」に集まっています。

しかし自分から見て、めちゃくちゃ適当にしかやりません。

基礎をやらないので、あれじゃ応用のしようもないでしょう。



「極限」も重要なのですが「ε-δ 論法」を扱わないなら無駄ですね。

極限はなにを意味しているのかを知らないと扱えません。

それを教えないというなら、やる価値は無いでしょう。



そしてそもそもの話、これらは「基礎」に触れていません。

いわゆる土台無しで建築してる感じ。

そりゃあ崩れるでしょうって話です。






学校数学で触れない部分


結論から行くと、全体像のほとんどをやっていません。

じゃあどれくらいやっていないかというと、

適当な数値ですが、感覚的には「 99 %以上」です。




基礎である『数理論理学』の大分野のほとんどに触れません。

「集合論」も「証明論」も「モデル理論」も「再帰理論」も、

どれをとってもほとんど教えてはいません。



そもそもこの単語に聞き覚えのある方はほとんどいないでしょう。

それも当然です。そもそも習っていないんですから。






三大分野についても、ほとんどやってません。

基礎がすっぽ抜けた状態でふわふわしたまま、

「方程式」「図形」をこねくり回しているだけです。



「数列」も「ベクトル」も「微積」も「極限」も、

「計算」と言えば聞こえは良いですが『作業』しかしてません。

なにをしているのか分からないまま結果だけしかやらないので。






例えば『代数学』では、その主要分野にあたる、

「群論」「環論」「体論」などには触れません。



たまに、掛け算や足し算で入れ替えて良いのか、

というようなことをまとめた記事を見かけますが、

これを扱うのは↑のものになります。



ちなみに、恐らく教員はこれを知らずに解答しています。

知っていればおいそれと〇×をつけることはないはずですので。






そして『解析学』に至っては、そのほとんどの基礎になる分野、

いわゆる長さや面積の意味を整える「測度論」に触れません。



これは「微積」や「確率」「統計」の基礎になる分野です。

特に「実数」や『極限』を扱うときにはこれが大事になります。



補助的な分野ですが、いわゆるNG行為がまとめられたものです。

俗に言う「 1=2 問題」はこれに当たります。






『幾何学』に関しても、肝心なことはやりません。

例えば「平行線公準」を無断で適用していて、

しかし一切それに触れることはありません。



いわゆる「直線」についても曖昧なまま扱います。

せめてどう解釈するのかくらいやっても良いと思うんですが、

それでも頑なにやりません。



理科でなんとなく「粒の集合」として図形を考えられますが、

この解釈は、本来なら数学でやっておくべきことです。

しかしなぜかやりません。不思議です。






「極限」についても同じことです。

ε-δ論法を扱うこともなく「曖昧」なまま扱います。



なんか名前は厳ついですが、難しいことは言ってません。

この「論法」は、あくまで考え方です。

しかしその考え方を知らないと、なにをやっているのか分かりません。



なにをやっているのか分からないのに扱って、

なにを算出しているのか分からないまま答えを出す。

だから、学校教育で扱う「極限」は作業でしかないわけです。






専門用語が多くなってしまいましたが、

要は「土台無しでやっている」わけですね。




そう、つまり「よく分からない」のは当たり前なんです。

寧ろ正常と言って良いでしょう。分かるわけないんです。

なぜなら、そもそも基礎をやっていないのですから。







まとめ、もといお願い


ともかく、まずやって欲しいことは、

「学校教育で培った数学の印象」を捨て去ることです。

あんなのほとんど忘れて良いと思います。どうせ使えません。




ですから、ほんとに一から見ていきましょう。



数学は「難しく」ありません。

数学は「退屈」なものではありません。

数学は「堅苦しい」もの、という部分は一部否定できませんが・・・




ともかく、数学は面白いものだと思います。

だから皆さんにもどうか、数学を好きになってもらいたいんです。




このブログは、そのための情報を提供します。

専門的な話から、興味を持っていただけそうな話題まで、

面白いと思って頂けるようなコンテンツを提供するつもりです。



興味を惹かれたら、是非他の記事も見てやってください。




“数学ってそもそもなんなの?” への5件の返信

  1. はじめまして。
    私は数学が苦手です。しかし興味はあります。
    なので改めて数学を学んでみたいのです。
    ところが、図書館で数学の復習本を見ても、それは学校用のものに思えます。
    そこで、学校数学でない数学そのものを学ぶにあたって、数学のどの分野から学習をして行けば良いでしょうか?おすすめの学習の流れを教えていただけると有難いです。

  2. 難しい質問です。恐らく正解はありません。
    例えば私の場合は手当たり次第に学んじゃったので、順番とかは曖昧ですし。
     
    結論から行くと、最短では「用語を地道に覚えていく」というのが良いかと思われます。これはメニューバーの右上の「数学の始め方」にまとめていますので、参考にしてください。「基礎知識」を初めとして「事前知識を必要としない用語」などをまとめています。
     
    個人的な感覚では、やはり地道にゆっくり覚えていくのがおすすめ。
    このやり方が堅実な上に確実ですから。
     
     
    覚えるものとしては、特に「公理・定義」「論証」「空間」辺りは必須ですね。
    感覚的には材料・作り方・完成像という感じなので。
     
    次いで、分野としては「数理論理学」から始めた方が良いでしょう。
    この中でも「量化記号」や「集合論」は優先ですね。
    次点で「証明論」が来る感じです。
     
     
    この大雑把な学習の流れの根拠は、要は材料・作り方・大枠を押さえてく感じ。
    いわゆる数学が提供する基本的な考え方を踏襲しての流れになります。
     
    「記号の意味」や「集合論」は材料で、「証明論」は作り方です。
    大枠について大雑把に書いておくなら、「数学」は主に3つの領域に分かれます。
     
    3つというのは、「基礎」と「中身」と「枠」ですね。
    具体的には「数理論理学」と「三大分野」と「超数学」の3つ。
    三大分野を分けると、「幾何学」「代数学」「解析学」になります。
     
    とまあ、大雑把に書いてもわりとたくさん用語が並んでしまいます。
    ですので、この辺りを地道にゆっくり覚えていくのが良いかと。
     
    それと、私の書いた記事に不足がある場合、間違いがある場合なども考えられるので、必要だと思ったら他の文献を漁るのも有りです。数学は疑い続けることも考え方の一つですので、自分が納得できるまで疑っていきましょう。
     
     
    最後にまとめておきます。
    必須は「定義・公理」「論証」「空間」の用語を覚えること。
    分野としては「記号の意味」「集合論」「証明論」の用語を覚えること。
    これがおすすめです。
     
    質問に対する十分な解答になっているかは分かりませんが、このコメントが参考になれば幸いに思います。

    1. 返信ありがとうございます。
      メニューバーの右上の「数学の始め方」を読んでみたのですが、自分には分かり難かったです。
      自分でも自分が
      ・単に数学をやる動機が無い。
      ・理解する知識が無い。
      ・別の軽い障害がある。
      ・単に疲れている。
      のいずれかは分からないんですよね。
      ともかく、数学の中身はだいたいこのブログの記事の様になっているんですよね。
      理解できない所は無理に理解しようとせず、地道に読んで行こうと思います。
      そして必要になったら、また読みたいと思います。

  3. そんな感じが一番良いのだと思います。
    自分のペースでやるのがベストですよ。
     
    なにより、生きる上で必要不可欠というわけではありません。
    数学に限らず、なにかを学ばなくてもこの国では生きてはいけます。
     
     
    ただ、この世界をより深く知っていきたい場合、いろんなことを理解したい場合、この数学という学問は非常に役に立ちます。少なくとも自分はそう実感していますね。ですから、学ぶ価値はあると思いますよ。
     
    具体的には、真実性、記憶の最適なやり方、考えるとはなにか、とか。
    こういうことを考える時、数学が役に立つんです。
     
    これらは動画と記事に今後出す予定ですので、良ければ見てやってください。
    まあ、いつ公開できるかはちょっと分かりませんが。
    さすがに数か月先とかではない、と自分を信じたいですね。

    1. 科学も社会も数学によって作られているとは理解しているので、学ぶ価値は間違いなくあるのでしょう。
      問題は自分の気力の方です笑
      きっと努力とか気力云々よりも、興味や楽しむ方向の方が学習もはかどるのかもしれません。
      自然に生活していく上で数学に興味を持てば、その時に数学に取り組むという形で学んで行こうと思います。
      でも普段からやってないと興味も薄れるのかもしれませんが汗

      自分は文章を読むのが苦手なので、動画はぜひとも見てみたいです。動画をきっかけに興味を持つこともあるでしょうし。

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