推論規則 Inference Rules


|| 推論の規則(まんま)

ざっくり言うと「論理式」から「論理式」を得る「規則」のこと。

正確には「論理式の集合」に定義できる『関係』です。

スポンサーリンク





目次


・いろんな推論規則

   モーダス・ポーネンス「基本の演繹操作(~なら~だ)」

   全称化「推論を量化するための有名な手順」

   LKの推論規則「最も有名な推論規則」



演繹「正しいなら正しい、っていうこの言い方」

   前件肯定「正しいなら正しいとする推論の形式」

   後件肯定「違うなら違うとする推論の形式」

   仮言三段論法「正しさが推移する形式」


帰納「絶対に正しいわけじゃない演繹みたいな操作」


仮説形成「結果じゃなくて、原因を考えるやり方」



まとめ








感覚的にはそのまま「推論するときの感覚」です。

これを「記号」とか使ってわっせわっせと体系化したのがこれ。




んで、体系化されてるから「推論の妥当性」も保証されています。

逆に言えば、妥当性が認められているからこそ、

この「推論のやり方」は体系として扱われるわけですが。




ともかく「演繹」「帰納」「仮説形成」とありますが、

数学のそれは「演繹」が主役です。(公理スタートなので)






というわけで、なんか予想するときはこれを使えば良いわけですね。

あと妥当性を考えると「帰納」やら「仮説」はちょっと曖昧。

鵜呑みにするのは危険だと分かります。




それと推測のためには、

確実に正しいと思える「公理」や「定義」並みの、

「質の良い推論の材料」が必要だってことも分かります。




そんな感じの「推論規則」について、

とりあえず詳しく見ていきましょう。






いろんな推論規則


これは、ほんとに色々あります。

多すぎです。全部紹介はちょっと無理(新しいの作れるし)




有名どころをとりあえず3つ紹介します。

基本的に、これさえ知ってればだいたい大丈夫です。






モーダス・ポーネンス Modus Ponens


φ 」と「 φ→ψ 」から、

ψ が正しい」って言っちゃって良い「規則」のこと。

(妥当だよ!って感じの規則。てか演繹そのもの)




ヒルベルト流とかいう、

なんかかっちょいい流派ではこいつが主役。



まあ至極真っ当な話で、これは要するに、

「あれならこれだ」っていうのが正しくて、

「あれ」が正しいなら、「これ」も正しいって言ってるだけ。






集合論」の知識を使うと↓みたいな「関係」として書けます。

ただの形式なので、表したいことが分かればOKです。



φ は論理式である」を「 WFF(φ) 」とすると、

(別にしなくて良いです)



MP=\{(φ,φ→ψ,ψ) \,|\, WFF(φ,ψ)\} 』と書けます。

(内包的記法)




また「 (φ,φ→ψ,ψ)∈MP 」となってるとき、

ψ 」は、 MP による「 φ,φ→ψ 」からの導出である、

という感じに言われることがあります。




ややこしいですけど、要するに「論理式」でやってるだけ。

『確実に正しい』論理式であれば、明らかに演繹が使えるので。






全称化 Generalization


変数「 x 」と論理式「 φ 」から、(前提)

∀x\,φ 」を導いちゃっていいよ(結論)って言ってる規則

(変数と論理式の共演みたいな)




MP みたいに「集合論」的に書くと↓みたいに。

これも単なる形式で、言いたいのは、

『量化記号はこう使う』ということ。



GEN=\{(φ,∀x\,φ) \,|\, WFF(φ)∧Var(x)\}




これは、ただ条件としてある「論理式(変数持ってるかも)」の、

「変数」に名前を付けて、それを対応させてるだけとも言えます。



「条件の中の変数」→「そいつらを改名」→ドン、みたいな。

単に『量化記号で書き換えただけ』とも。




気を付けるべきは、

「指定された変数は正しいものだけになる」という点です。

逆に指定されてない変数は確定しません。






LKの推論規則


|| 正しい推論のやり方をまとめたやつ

すっごい代表的な推論規則のことです。

LK の由来は「論理計算 Logischer Kalkül(ドイツ語)」




こいつは「一階述語論理」で「完全」かつ「健全」です。

つまり『確実に正しいものから正しいものを作れる』ということ。



そう創られたからとはいえ、

だからこそ推論のスタンダードなわけですね。




詳しく知るには「シークエント計算」の知識が必要になります。

ここじゃ長くなりすぎるので、詳しくは別の記事で。







演繹 Deduction


|| ~なら~だ、っていうこの言い方

「前提」から「結論」を得る、すごく基本的な推論のやり方。

記号論理学の基礎って言っても良いです。



「絶対的な事実」の『正しさ』と「~なら~だ」の『正しさ』、

そして『正しい結論』の関係から、

そのどれかが『正しい』ということを導くやり方になります。




ですから理論上ではありますが、

「前提」が「真」なら「結論」は『絶対に真』になります。

経由する間のものにもよりますが、その逆もまた同様に。






そんな「演繹」手続きの、代表的なものを紹介します。

シークエントを用います)






前件肯定 (モーダス・ポーネンス)


P,P→Q⊢Q



意味は「 [P∧(P→Q)]→Q 」と同じです。


(これの意味は「命題記号」で)




要は「推論」の基本になります。

「正しいもの(前提)」から「正しいもの(結論)が得られる」なら、

「正しいもの(結論)」は正しいって言ってるだけですね。






後件否定


これは↑のものと本質的には同じものです。



P→Q,¬Q⊢¬P



意味は「 [(P→Q)∧¬Q]→¬P




これも推論の基本です。

当たり前のことしか言ってません。



「(正しい前提)ならば(変な結論)」となるなら、

そもそも「(正しい前提)」が間違ってると、

そう言ってるだけですね。




左が真になるのは P が偽の場合だけです。

これは真理値で確かめれば分かります。






仮言三段論法


P→Q,Q→R⊢P→R



意味は「 [(P→Q)∧(Q→R)]→[P→R] 」です。




これも名前はやたら有名な演繹の手法です。

形式は↑みたいになってます。

これの根拠も真理値ですので、気になるなら確認を。







帰納 Induction


|| 確実に正しいわけじゃない、演繹っぽいやり方

これは「演繹」との比較で見ていきます。




結論だけを述べるなら、

「(前提、仮定)ならば(結論)だ」を導くという部分は同じです。

違う部分は、その「前提(仮定)」の部分になります。




どう違うかというと、

「帰納」の正しさは「蓋然的(もっともらしい、経験的)」で、

「演繹」の正しさは「絶対的」である、という点で異なります。





どういうことかというと、

例えば、ある前提「学歴が良い」を用意しましょう。

ここはなんでも良いです。とりあえずあえてこれ。



そしてある絶対的に正しいものを用意します。

ここではとりあえず「学力が高くなければ学歴は良くならない」

という当たり前のものを用意します。(裏口は例外で)




そこで「学力が良いなら頭が良い」という仮説を用意します。

なぜ「仮説」かの理由は単純で、

それは「頭が良い」の定義が曖昧だからです。



ここで「学力が高ければ頭が良い」を、

「絶対的に正しいこと」として話を進めるなら、

これは「仮説」ではなく「公理」の扱いになります。




しかし「学力が高ければ頭が良い」の「正しさ」は、

「学歴が良ければ学力が高い」ほどの強度を持ちません。

なので、絶対的とするには不足でしょう。




そんなわけで、以上から↓の推論が導かれます。

「学歴が良ければ頭が良い」は「蓋然的」に正しい。

「学歴が良ければ学力が高い(裏口除く)」は「絶対的」に正しい。




両者の違いは「前提」だけです。

前者は「もっともらしい(だいたい)正しさ」で、

後者は「絶対的に正しいと定めた」ものになります。






ともあれ、実用性が高いのは「帰納」の方で、

「演繹」は使えるなら使う感じになります。




使い方の大枠を説明するなら、

まず『帰納』で大雑把な推論を組み立てて、

雑な前提を「とりあえず正しい」として『演繹』を行う感じ。







仮説形成 Abduction, Retroduction


|| 正しいわけじゃないけど、正しいかもしれない

あるなんらかの事実「~なら~だ」というものがあった時、

「結果」と『経験』から、「仮定」を推論するやり方。




直観的に分かる通り、これは正しいとは限りません。

例えば占いやジンクスなんかはそんな感じです。



なんで正しいわけじゃないかというと、

ほとんど関係の無いものが「結果」の「原因」だと、変でしょう。




これは、形式的には「後件肯定」などと言ったりします。



Q,P→Q⊢P という感じに。



意味は↑の手続きから「正しそうな前提」を得るってだけです。




これのダメなところは「演繹じゃない」という点です。

なので『正しい保証なんてない』ことになります。

ですから、変なものを作ろうと思ったらいくらでも作れます。




例えば「トイレ行ってたら家が壊れてた」から、

「家が壊れる」という「結果」は、

「トイレに行く」という「原因(仮定)」から得られた、みたいな。

(んなわけあるかい)






余談


こいつは「正しいわけじゃない」ですが、

同時に『正しいかもしれない』ものでもあります。



しかし大半は「見当違い」を誘発するもので、

ほとんどの人間はこれを上手に扱うことはできません。

上手に使えるのは、これの欠点と利点を理解している人だけです。




でも、それでも、だからこそ、

こいつはめちゃくちゃ有用な「推論」のやり方です。

勘違いの原因になりかねないリスクを含みますが。






極端な話、『あらゆる学問』で得られた知識のほとんどは、

この「仮説形成」によって得られました。




これはなにも『科学』や『数学』だけでなく、

『創造』というものは全て、「こうしたら良いんじゃ?」

みたいな「仮説」の、無数の検証によって生まれています。




そんなわけですから、当然のように勘違いも生まれてしまいます。

というか、有用なのは「無数の失敗」の上に発見されたものです。

基本的に、勘違いの発生は前提と言って良いでしょう。




例えば複数回の検証で「偶々うまく」いけば、

それを正しいとしてしまうということが起こり得ます。



ありがちなのは、「個人の経験則」とかですね。

自分の場合は偶々そうなっただけかもしれないのに、

自分のようにやればうまくいくと、そう考える人は一定数います。




しかし、多くの場合これは当てはまりません。

原因というものは「人間に観測できない」ほど無数に存在していて、

人間に分かるのは「原因全体の一部」である『要因』だけ。



そして「仮説形成」は、その『要因』を推測するやり方です。

しかしあくまで「推測」だということ忘れてはなりません。




とまあ、こんなですから、これは有用であるのと同じくらい、

勘違いしてしまうというリスクもあるわけですね。




先述の通り、えらく実用的ではあります。

ただし「勘違いの要因」でもまたあるわけです。

なので、使う時はそれを分かったうえで使うようにしましょう。







総括


最後に、ざっと↑のものを分かり易くまとめてみます。

そのためにとりあえず順番通りに使ってみましょうか。






使ってみた




帰納


帰納的」な推論から行きましょう。



なんでも良いですが「よく眠れた日がありました」とかだと、

「そんな日はとても疲れていました」(何日も)から、

「疲れてる」ならば「よく眠れる」と判断できる。



こういう推論のやり方が「帰納的」推論となります。

なかなか実践的ですね。




その大枠は「結論(結果)」のために、

いくつか「理由(原因)」を持ってくる、という感じです。

使う感じとしては、「説得力が高くなる」やり方になります。






仮説形成


続いて「仮説形成」について見てみましょう。

上の場合なら「よく眠る」には「疲れる必要がある」とか、

「原因」となるものを推定する感じが「仮説形成」です。




『科学』も『数学』も『哲学』も、

こんな「仮説形成」を元に発展してきました。



『科学』なら「法則」や「相関」を。

『数学』なら「定理」や「公理」を。

『哲学』なら「真理」を。



「こんな感じ?」「いやここがおかしい」

「じゃあこんな感じ?」「と思ったらここに問題が」

「じゃあこれなら?」「・・・とりあえず、問題は見つからない」



こんな感じで、人は学問を発展させてきたわけです。

なので、「仮説形成」は学問の発展の源とも言えます。






演繹


最後に「演繹」について見てみましょうか。

これを使う為に、まず間違いなく正しいだろうものを用意します。



とりあえずここでは「自分は生きている」だとか。

(「自分」と「生きてる」の定義は『哲学』でどうぞ)




するとまあ、それを元になんか推定できます。

例えば「自分は生きている」から「生命維持をしなきゃ死ぬ」とか。

「自分は生きている」から「生存本能に縛られてる」だとか。




ともかくこんな感じで、

『めちゃくちゃ正しい』感じのやつが「演繹」になります。






以上を簡略化してまとめると↓みたいな感じ

(↑を理解していれば↓が理解できる)






ざっくりまとめ




演繹 Deduction


『(原因)ならば(結果)』という形の主張を求めます。



妥当な推論規則を元にして、

「確実に正しいもの」→「(原因)ならば(結論)である」を導く。



なので、これは「絶対的に正しい」ものになります。






帰納 Induction


『(原因)ならば(結果)』という形の主張を求めます。



「いくつかの事例(経験的)」と「結果」

→「(事例の共通点など)ならば(結果)である」



たまたま偶然そうなったという可能性が捨てきれないため、

これは「確実に正しくはない」けれど、

「蓋然的(まず確実)に正しい」という感じになります。






仮説形成 Abduction


「原因」の予想(推定)を行います。

求めるのは「結果」の『原因』です。



「ある(結果)」(原因を求めたいやつ)

→「その(結果)の(原因と考えられる)もの」(共通点など)



これもあくまで予想なので「確実ではありません」

ただ、これもやはり一定の説得力を持ちます。