微分積分学 Calculus


|| 極限を使う計算処理の土台(は?)

要するに『計算のやり方』の一種です。

正直、現代じゃ知ってれば良いレベルのものになります。

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目次


微分「主に点の傾きを正確に測る感じ」


積分「全部の面積を求めてやるぜって感じのやつ」








複雑な計算処理が機械的になされる現代では、

この理屈に関して、その定義を押さえていれば十分です。



式の意味を理解できるレベルにあるなら、

それだけで困ることはないでしょう。




そんなわけなので、記号の意味や形式だけは覚えておきましょう。

実践的な『確率』と『統計』で、これらは必ず扱われますので。






微分 Derivative


|| 点の傾き具合

「関数のある一点」が変化する量を求めます。

なので必然的に『接線』が導かれます。




これはまあ、いわゆる『曲線』のための考え方です。

なので、これの発想を要約すると、

「めっちゃ近くで見ると、ほぼ直線」という感じ。




定義は↓です。

f'(x) 』は「微分された関数 f(x) 」を表します。


\displaystyle f'(x):=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}



基本は「極限」ですね。

見ての通り、これは『点の傾き・変化量』を表してます。







積分 Integral


|| だいたい面積を求めてるやつ

「面積」の求め方の基本は『長方形の縦×横』です。

この基本を使って、これは面積を求めてます。




どういうことかというと、「求めたい部分」を、

『横を dx:=(x+h)-x 』『縦を f(x) 』とすると、

大雑把に長方形の面積『 f(x)dx 』が定まります。




元は『曲面の面積』を求めるためのアイディアです。

その発想の原点は「めっちゃ細い長方形を集めれば良い」になります。

『微分』と似たような感じです。




要するに『 f(x)dx の集まり』が、求める面積になります。

これの「 h 」を『 0 に近づければ』、

『ほとんど直線に見える長方形』が求まりますので。




そしてこれを求めたい範囲で考えると、

範囲内を「線みたいな長方形で埋め尽くす」と、

その『長方形の面積の合計』が、求めたい面積になります。



感覚的には、『 l≤x≤r の範囲』なら、

「幅 r-l 」を n 個に分割して、

nh=r-l 』としてから、



r-l は定数なので、

h→0\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,n→\infty となることは明らかですから、



\displaystyle \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^{n}(f(x+kh)((x+kh)-(x+(k-1)h)))

\displaystyle =\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{n}f(x+kh)h

とする感じ。



誤解の無いように書くなら、

l≤x≤r の範囲」で、


\displaystyle \lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{\frac{r-l}{h}}f(x+kh)h




↑は、まんま『縦×横』を表しています。

特殊な操作は「分割」だけです。

といっても、これも直観的にそう難しい操作ではありません。




さて、というわけでこれが『積分』の本質になるわけですが、

これだとやっぱり、なんか長いです。



そんなわけで、これを省略して表すやり方があります。

そう、あれです。よく見るあの表記法です。



Sum の S を伸ばして、↑のものを↓みたいに略します。

よく見るのはこっちですね。


\displaystyle \int_{l}^{r}f(x)\,dx\,\,\,:=\,\,\,\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{\frac{r-l}{h}}f(x+kh)h\,\,\,\,\,(l≤x≤r)



内訳をしっかり押さえておきましょう。




『微分』との関連は別の記事に。

『微積分学の基本定理』でやります。