|| 極限を使う計算処理の土台（は？）
要するに『計算のやり方』の一種です。
正直、現代じゃ知ってれば良いレベルのものになります。
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目次
微分「主に点の傾きを正確に測る感じ」
積分「全部の面積を求めてやるぜって感じのやつ」
複雑な計算処理が機械的になされる現代では、
この理屈に関して、その定義を押さえていれば十分です。
式の意味を理解できるレベルにあるなら、
それだけで困ることはないでしょう。
そんなわけなので、記号の意味や形式だけは覚えておきましょう。
実践的な『確率』と『統計』で、これらは必ず扱われますので。
微分 Derivative
|| 点の傾き具合
「関数のある一点」が変化する量を求めます。
なので必然的に『接線』が導かれます。
これはまあ、いわゆる『曲線』のための考え方です。
なので、これの発想を要約すると、
「めっちゃ近くで見ると、ほぼ直線」という感じ。
定義は↓です。
『 f'(x) 』は「微分された関数 f(x) 」を表します。
\displaystyle f'(x):=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
基本は「極限」ですね。
見ての通り、これは『点の傾き・変化量』を表してます。
積分 Integral
|| だいたい面積を求めてるやつ
「面積」の求め方の基本は『長方形の縦×横』です。
この基本を使って、これは面積を求めてます。
どういうことかというと、「求めたい部分」を、
『横を dx:=(x+h)-x 』『縦を f(x) 』とすると、
大雑把に長方形の面積『 f(x)dx 』が定まります。
元は『曲面の面積』を求めるためのアイディアです。
その発想の原点は「めっちゃ細い長方形を集めれば良い」になります。
『微分』と似たような感じです。
要するに『 f(x)dx の集まり』が、求める面積になります。
これの「 h 」を『 0 に近づければ』、
『ほとんど直線に見える長方形』が求まりますので。
そしてこれを求めたい範囲で考えると、
範囲内を「線みたいな長方形で埋め尽くす」と、
その『長方形の面積の合計』が、求めたい面積になります。
感覚的には、『 l≤x≤r の範囲』なら、
「幅 r-l 」を n 個に分割して、
『 nh=r-l 』としてから、
r-l は定数なので、
h→0\,\,\,\,\,⇒\,\,\,\,\,n→\infty となることは明らかですから、
\displaystyle \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^{n}(f(x+kh)((x+kh)-(x+(k-1)h)))
\displaystyle =\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{n}f(x+kh)h
とする感じ。
誤解の無いように書くなら、
「 l≤x≤r の範囲」で、
\displaystyle \lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{\frac{r-l}{h}}f(x+kh)h
↑は、まんま『縦×横』を表しています。
特殊な操作は「分割」だけです。
といっても、これも直観的にそう難しい操作ではありません。
さて、というわけでこれが『積分』の本質になるわけですが、
これだとやっぱり、なんか長いです。
そんなわけで、これを省略して表すやり方があります。
そう、あれです。よく見るあの表記法です。
Sum の S を伸ばして、↑のものを↓みたいに略します。
よく見るのはこっちですね。
\displaystyle \int_{l}^{r}f(x)\,dx\,\,\,:=\,\,\,\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{\frac{r-l}{h}}f(x+kh)h\,\,\,\,\,(l≤x≤r)
内訳をしっかり押さえておきましょう。
『微分』との関連は別の記事に。
『微積分学の基本定理』でやります。
