|| 確率を扱う上で必要最低限になる前提
簡単には「確率を測れる枠」のことです。
この枠の中にあるものでしか、確率を扱うことはできません。
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具体的には「可測空間（完全加法族）」が基になってます。
これは『測度（長さとか面積とか）が測れる集合』のことです。
単に『普通の数学ができる枠組み・領域』とも言えます。
当然の話、確率もまた「測る」ものです。
なのでこの枠組みが必要になります。
その枠組みは大きく分けて 2 つです。
一つが測れる領域ということで「可測空間 (X,Σ) 」が。
そしてその上で確率を得るのに必要な「確率測度 μ(X)=1 」が。
というわけで、これをもうちょっと詳しく見てみましょう。
といってもまあ、単純な話です。言い換えるだけなので。
可測空間を確率空間へ
「可測空間」という概念は、このままだと意味が広すぎます。
「確率空間」に加工する上では、もう少し意味を狭めたいです。
そこで「集合 X 」と「完全加法族 Σ 」に中身を与えます。
「集合 X 」には試行の結果の集合として『標本空間 S 』を。
「完全加法族 Σ 」には扱える事象として『事象 E 』を。
（Sample Space, Event）
本質的には「単に言い換えただけ」ですが、これでOKです。
ここに『確率測度 P(S)=1 』を加えたものが確率空間になります。
つまり形式にすると確率空間は↓みたいに書かれます。
ただし『事象 E 』は「標本空間の冪集合」で、
更に『測度が測れるものだけ』を集めたものです。
(S,E,P)
一見難しそうですが、単純なことしか言ってません。
というか省略し過ぎて難しく（わけわかんなく）見えるだけで、
単に「この中で確率を扱いますよ」と言ってるだけです。
フィルターを 3 枚重ねしたものみたいに思って良いです。
「標本空間 S 」から「測度を導ける事象 E 」が作られて、
「確率測度 P 」から確率が導かれる、みたいな感じ。
プログラミングの感覚としては、
まず「入力データの集合」として「標本空間」があって、
その「入力データ」を加工して「事象の集合」を作るという感じ。
そして「無作為」という仮定を採用するのであれば、
得られた「事象」に等しい確率を割り当てられるわけです。
念のために内訳を書いておきましょうか。
『標本空間 S 』は「試行の結果 e_i 」の集合で、
S=\{e_1,e_2,e_3,...e_i,...\} です。
『事象 E 』は「根源事象」もしくは「部分集合」なので、
その「全体」は『測度が求められるものだけ』ですから↓になります。
\{∅,\{e_1\},\{e_2\},...,\{e_i\},...,\{e_1,e_2\},...,\{e_1,...,e_i,...\},...\}⊆2^S
この「要素（集合）」一つ一つが『事象』です。
「事象全体 E 」は、あくまで『全体』ですので。
この「事象全体 E 」が『標本空間の冪集合』である、
とならないのは、これが「測度を扱えなくちゃいけない」からです。
いわゆる『標本空間が非可算集合』の時にこれが必要になります。
（詳細は測度論で）
『確率空間』における「可測空間」の大雑把な内訳はこんな感じです。
完全加法族については別の記事にまとめていますので、参考にどうぞ。
最後にちょっとした具体例を考えてみましょう。
オーソドックスに「どっちか問題」つまり「 0,1 の問題」とか。
そして、なんでもいいんで、とりあえず確率は半々にして。
この時の「試行の結果」は「 0,1 」ですから、
『標本空間』は「 \{0,1\} 」です。
そして『事象全体』は「 \{∅,\{0\},\{1\},\{0,1\}\} 」になります。
んで、この時『確率測度 P 』を使うと、半々なので、
このとき確率を↓みたいにできます。
ざっと書くと、こんな感じですね。
確率測度 Probability Measure
|| 確率を求めるための関数みたいなもの
いわゆる「 0\,～\,1 を返す関数」のことです。
この数値の意味は、そのまま『確率』のことになります。
厳密には↓みたいな「写像 P 」のことになります。
加法についてはちょっと見た目があれなので省略すると、
P(∅)=0,\,\,\,P(S)=1 として、
P:E→[0,1]\,\,\,(e↦p)
e∈E⊂2^S,\,0≤p≤1
ここでの E は『確率を決められる事象 Event』のことで、
その移り先（像・終域）は『区間（単位区間） [0,1] 』です。
そんで「なにもない」なら確率は 0 ってことにして、
「全ての内のどれかが起きる」確率は 1 ってことにしてます。
つまるところ「事象 E 」が「 0\,～\,1 」になる関数と、
そう捉えても特に問題はありません。厳密には「写像」ですが。
実際、実現したいのは「確率」です。
表し方自体は、なんでも良いんです。
ですから「確率を表すものを導きたい」から始まって、
それっぽいから「確率に 0\,～\,1 を割り当てよう」と来て、
「そのために必要な写像 P:E→[0,1] を考えよう」となりました。
（他にも 0.1 を 10\% とか）
そして、ここでまたルールが必要になるわけです。
↑で触れた部分は当然のように必要として、
他にも↑で省略した「加法」についてのルールが必要です。
このルール（定義）は、そのまま完全加法族のルールになります。
事象が「互いに素 ∀e_a,e_b∈E\,[\,e_a∩e_b=∅\,] 」の時、
\displaystyle P\left(\bigcup_{i∈N}e_i\right)=\sum_{i∈N}P\left(e_i\right)
これはいわゆる「確率の足し算のルール」です。
要は「事象が排反（どっちかしか起きない）」してるとき、
確率はそのまま足せるよって言ってます。
具体的には、とりあえず「サイコロ」で考えると、
『無作為』ならっていう前提は必要になりますが、
1 が出る確率と 2 が出る確率は、
「どっちかが出る（ 1 または 2 が出る）」とすると、
二つの出る確率を足し合わせたものになりますよ、って感じ。
こういうのを表したものが、確率測度です。
ぶっちゃけ「測度論」を知らないなら「可測空間」はおまけですね。