真理集合 Truth Set


|| 学校で習ったやつ

要は「真理値」と「集合論」のコネクターです。

二つを結びつける、一つの考え方になります。

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命題記号との関連


基本的には、この「記号」との関連を押さえておけば良いです。

実際に見てみればすっきりすると思いますので、早速。




まず準備のために「命題 A 」(条件)を用意します。

次に「集合論」の「内包的記法」を利用して「集合」を作りましょう。



\mathcal{A}=\{x∈U\,|\,A\}



これについて、少し確認をします。

これはいったい何でしょうか。

\mathcal{A} 」は、いったいなにを指しているんでしょうか。



答えは単純で「 命題 A を満たす x 」です。

はい、これを見ると、なんか使えそうな感じがします。






否定と補集合


というわけで「否定」について考えてみます。

最初はそれっぽい感じのもの、くらいに思っておいてください。



というわけで、例えば↓みたいなものを考えてみます。

「命題(条件) A 」を満たさない「要素 x

はて、これはいったいどこにあるんでしょうか。



少なくとも、当然「 \mathcal{A} 」の中にはありません。

それに条件は狭めるものですから、狭められるものがあります。

その過程で条件から弾かれたものも、当然あるでしょう。



じゃあ、それらはどこにあるんでしょうか?




というわけで、「集合 \mathcal{A} 」の外側に目を向けてみます。

視覚的には「枠の外側」に。



すると、なんか広がりがあります。

そんな大まかな「全体像」があるなら、

とりあえずそこにあるのが「枠の中に無いもの」な感じ。




ここで、その「全体」となる「集合 U 」に注目します。

すると↓みたいに「補集合」が定義できますから、



U=\mathcal{A}∪\overline{\mathcal{A}} 』と書けます。



さて、この式ですが、まんま↓に似てると思いませんか?

いわゆる「否定だけを使った恒真命題」に。



⊤=A∨¬A



これを見ると、

全ての要素『 \mathcal{A}∪\overline{\mathcal{A}} 』と、

全て真になる『 A∨¬A 』を、

等価のものとして見ても問題ないように見えます。






この「直観的な意味」としては、

」が「真」ですから、

条件(全て)「 U 」を満たしている、



「要素 x 」が「ある(存在する)」ことを、

「真である(正しい)」と解釈すればいいわけです。






重要なのでもっと簡単にまとめると、



『命題 A が真である』と、

『命題 A を満たす x が存在する』は、

同じ振る舞いをするということです。



(いわゆる全称化 GEN と思ってOK)




なので「空集合」なら「偽」と解釈できます。

(条件が「正しくなる要素が無い」んで)






否定以外の命題記号


続いて似たような対応について↓に書いていきます。




命題(条件)「 B 」を追加すると、

\mathcal{A}∪\mathcal{B} 』と『 A∨B

\mathcal{A}∩\mathcal{B} 』と『 A∧B



この辺は直観的に同じ振る舞いをするとすぐに分かります。






問題となるのが「論理包含 」です。

これに対応するものは直観的に発見できません。



なので「真理値」を根拠にして、対応をとります。

すると『 \mathcal{A}∪\overline{\mathcal{B}} 』が等価であることが分かります。



1 」を「要素あり」

0 」を「要素無し」とします。

\mathcal{A} \mathcal{B} \overline{\mathcal{B}} \mathcal{A}∪\overline{\mathcal{B}}
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 1 1


この辺りの数値割り当ては『ブール代数』で。