|| 後付けで修正できる統計のやり方
「全体の特徴なんざ正確には分からん」
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「母数」は決まっている、とする
「頻度論的統計学」とは真逆の発想で
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ&&\to&&c \\ \\ μ&& ← &&c \end{array}
「出た結果」によって『母数は変化する』
とまあそんな感じの立場でこれは統計をやります。
目次
ベイズの定理「前後は相互に影響を与え合う」
証明「条件付き確率の定義と交換律でいける」
解釈「後のことが前に影響を与えるのは普通のこと」
モンティ・ホール問題「ベイズの定理の代表的な結果」
ベイズ推定「ベイズの定理を元に推測する」
理由不十分の原則「分からないなら適当に確率を定める」
ベイズ更新「情報が加わって確率が更新される」
ベイズの定理 Bayes’ Theorem
|| ほぼただの条件付き確率の定義
「条件付き確率」の定義から導かれるやつ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle P(E_{\mathrm{future}}\,|\,E_{\mathrm{past}})P(E_{\mathrm{past}})&=&P(E_{\mathrm{past}}\,|\,E_{\mathrm{future}})P(E_{\mathrm{future}}) \\ \\ \displaystyle P(E_{\mathrm{past}}\,|\,E_{\mathrm{future}})&=&\displaystyle\frac{P(E_{\mathrm{future}}\,|\,E_{\mathrm{past}})P(E_{\mathrm{past}})}{P(E_{\mathrm{future}})} \end{array}
「原因」と「結果」が入れ替わる
と考えるのはおすすめしません。
見ての通り
「前の結果 E_{\mathrm{past}} 」が
「後の結果 E_{\mathrm{future}} 」から影響を受けていて
見た目には「因果関係の逆転」に見えるわけですが
実態はどちらも「確率を定められる結果」
厳密には「原因」と「結果」ではありません。
「前の結果」と「後の結果」です。
定理の証明
証明は「条件付き確率の定義」と
記号 ∩ の「交換律」によって
特に疑問もなくすぐに導かれます。
\begin{array}{cccllll} \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{|A∩B|}{|B|} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{ |A∩B|}{|U|}}{\displaystyle\frac{|B|}{|U|}} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{P(A∩B)}{P(B)} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{P(A∩B)}{P(B)} \\ \\ P(B\,|\,A)&=&\displaystyle\frac{P(B∩A)}{P(A)} \end{array}
ベイズの定理の中核は
記号 ∩ が「交換律」を持つこと
\begin{array}{llllll} \displaystyle P(A∩B)&=&P(B∩A) \end{array}
この結果から
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(A\,|\,B)&=&\displaystyle\frac{P(A∩B)}{P(B)} \\ \\ \displaystyle \frac{P(A\,|\,B)}{P(B)}&=&\displaystyle P(A∩B) \\ \\ \\ P(B\,|\,A)&=&\displaystyle\frac{P(B∩A)}{P(A)} \\ \\ \displaystyle \frac{P(B\,|\,A)}{P(A)}&=&\displaystyle P(B∩A) \end{array}
「前後」の『入れ替え』が許されて
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle P(A∩B)&=&P(B∩A) \\ \\ \displaystyle \frac{P(A\,|\,B)}{P(B)} &=&\displaystyle \frac{P(B\,|\,A)}{P(A)} \end{array}
定理の結果が得られます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle P(A\,|\,B) &=&\displaystyle \frac{P(B\,|\,A)P(B)}{P(A)} \\ \\ \displaystyle P(B\,|\,A) &=&\displaystyle \frac{P(A\,|\,B)P(A)}{P(B)} \end{array}
やってることはただの式変形ですね。
ベイズの定理の解釈
ほんで？って感じかもですが
いや、これ何気に変じゃありませんか？
\begin{array}{llllll} \displaystyle 前B&\to &後A &&〇 \\ \\ 前B &←&後A &&？ \end{array}
というのも
『ベイズの定理』をそのまま言い表すと
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle P(B\,|\,A) &=&\displaystyle \frac{P(A\,|\,B)P(A)}{P(B)} \end{array}
「前 B が起きた上での後 A の確率」を使えば
「後 A が起きる上での前 B の確率」を求められる。
そう言ってるわけで
そうなると
「結果 A が出る確率」から
「原因 B が出る確率」が導かれることになります。
そう、つまりこの場合
「因果関係の逆転」が起きていて
原因が結果に影響を及ぼすのは当然ですが
結果もまた原因に影響を及ぼす、と
これはそう言ってるんです。
直感的な解釈
意外かもしれませんが
この結果はわりと直感的だったりします。
というのも
「前に起きる結果」が
「後に起きる結果」に影響を及ぼすように
「後に起きる結果」もまた
「前に起きる結果」に影響を与える。
これはわりと普通のことだからです。
それこそ例えば
『予定に今の行動が左右される』のは当然で
同様に『予定も行動に左右される』
だから『予定通りにはいかないよね』
となるのは実にありふれたこと。
なのでこの「ベイズの定理」が示した
「因果関係の逆転」というのは
そう特別な結果ではありません。
\mathrm{Monty \,\, Hall} 問題
|| なんか直感的じゃない確率の問題
情報が与えられると確率が変わる
そういったベイズ統計の感覚の代表例
\begin{array}{llllll} \displaystyle 〇&×&× \end{array}
具体的には
「３つの選択肢（ドアとか）」があったとして
「その内の１つが正解 〇 」とします。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{\{〇\}}{\{〇,×,×\}}&=&\displaystyle\frac{1}{3} \end{array}
つまり「なんの情報も無い」場合
「３つの選択肢から正解を引ける確率」はこうです。
ここで
まず『３つの内から１つ選んでから』
その後に「不正解の選択肢を１つ与える」とします。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{\{〇\}}{\{〇,×\}}&=&\displaystyle\frac{1}{2} \end{array}
すると『２回目の選択』では
「２つの選択肢から１つ選ぶ」
という問題に変わるわけですが
ここで「１度目の選択から変えた方が良いのか」
それとも「変えない方が良いのか」
こういう問題が考えられて
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{〇,×,×\} &\to& \{？\} \\ \\ \{〇,×\} &\to& \{？\} \end{array}
直感的には「どっちも変わらない」
「変えても変えなくても確率は同じ」
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{3} &&\to && \displaystyle\frac{1}{3} \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2} &&\to && \displaystyle\frac{1}{2} \end{array}
とまあこんな感じなんですけど
実はこの答え
「変えた方が確率が上がる」なんですよ。
\begin{array}{ccclllll} \begin{pmatrix} \displaystyle A&B&C \\ \\ 〇&×&× \\ ×&〇&× \\ ×&×&〇 \end{pmatrix} &&\to&&\begin{pmatrix}\displaystyle A&B&C \\ \\ 〇&× \\ ×&〇 \\ &&× \end{pmatrix} \end{array}
例えば「当たりが分からない」場合
\begin{array}{ccccllllll} \displaystyle \mathrm{Select} &\mathrm{Open}& \\ \\ A & B && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} \\ \\ A & C && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} \\ \\ B & A && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} \\ \\ B & C && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} \\ \\ C & A && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} \\ \\ C & B && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} \end{array}
こうなりますが
当たりが A の場合
\begin{array}{ccclclllll} \displaystyle \mathrm{Select} &\mathrm{Open}& \\ \\ A & B && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}& \displaystyle\frac{1}{6} \\ \\ A & C && \displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} &\displaystyle\frac{1}{6} \\ \\ B & A && \displaystyle\frac{1}{3}\times 0 &0 \\ \\ B & C && \displaystyle\frac{1}{3}\times 1 &\displaystyle\frac{1}{3} \\ \\ C & A && \displaystyle\frac{1}{3}\times 0 &0 \\ \\ C & B && \displaystyle\frac{1}{3}\times 1 &\displaystyle\frac{1}{3} \end{array}
確率はこうなります。
\begin{array}{cccccccc} \displaystyle \mathrm{Select} &〇 &\mathrm{Open} && \mathrm{Change} & \mathrm{Keep} \\ \\ A &A&B \mathrm{or} C &&×&〇 \\ \\ A &B&C &&〇&× \\ \\ A &C&B &&〇&× \\ \\ B &A&C &&〇&× \\ \\ B &B&A \mathrm{or} C &&×&〇 \\ \\ B &C&A &&〇&× \\ \\ C &A&B &&〇&× \\ \\ C &B&A &&〇&× \\ \\ C &C&B \mathrm{or} A &&×&〇 \end{array}
すると確率の関係から
これらを表にして整理すると
\begin{array}{cccllllll} \mathrm{Change} & \mathrm{Keep} \\ \\ \displaystyle \frac{6}{9} &\displaystyle \frac{3}{9} \end{array}
「変えた方が当たりやすい」ということが
確率的に分かると思います。