様相論理 Modal Logic


|| 様相っていう聞き慣れない単語

これは「必然性」と「可能性」について言及したものです。

数学と哲学の両方に片足ずっぽりな感じのする論理になります。

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あまり基礎的なものではないのですが、

面白いので紹介させてください。

 

 

 

形式は述語論理に似ていて、

「~は必然的に真である」

「~は可能である」の2つの意味を使います。

 

 

 

まああれです。

量化記号とかと似たようなものだと思ってください。

 

 

 

 

 


必然性演算子「~は必然的に真である」

 

\Box (なんかしっかりしてるイメージで覚える)

 

 

 

可能性演算子「~は可能である」

 

\lozenge (なんか宙に浮いてる感じのイメージ)

 

 

 

 

 

使い方


例えば、

「神は存在しない」という主張(必然的に存在しない)とか

「神は存在し得る」という主張(存在する可能性がある)とか

 

 

こういう感じの主張ってよくありますよね。

「神は存在しない」を A とする

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box A \\ \\ \lozenge A \end{array}

 

それでいて、

これらはそれぞれ「真偽を定めることが可能」です。

 

 

 

実際、数値としては、

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box &&0\%&\mathrm{or}&100\% \\ \\ \lozenge&&0\%<&x&<100\% \end{array}

 

これはまあこういう感じになってて、

「確率」が対応しています。

 

 

加えて、

この2つはちょうど「否定」の関係になってて、

 

\begin{array}{lllll} \displaystyle \neg \Box &&\leftrightarrow&& \lozenge \\ \\ \neg \lozenge &&\leftrightarrow&&\Box \end{array}

 

ちゃんと「論理」してるんです。

 

 

 

はい。

とまあそういう感じで、

こいつはわりと数値数値してるんですよ。

 

 

 

 

 

否定と真偽

 

「 必然的に存在しない 」(0,100)

「 存在する可能性がある 」(0,100ではない)

 

 

この2つは互いに「否定」の関係にある

これは見たまま、ただの事実なんですが、

 

\begin{array}{llllll} \mathrm{True}& \Box A&&&& \lozenge A&\mathrm{True} \\ \\ \mathrm{False}& \lozenge B&&&&\Box B&\mathrm{False} \end{array}

 

実はこの主張、互いに両立してしまいます。

 

 

 

どういうことかというと、

 

 

例えば「神は存在しない」という主張なら、

「これまで認識されてない」から存在しない

と解釈できて(認識論)

 

 

「神は存在し得る」という主張なら、

「認識が真実とは限らない」から存在し得る

と解釈できる(真理論)

 

 

 

とまあこういう感じに、

「正反対な主張」なのは事実なんですけど、

実は「どちらも否定できない」ものになっていて、

 

 

結果として、

この2つの主張はどちらも正しいと言えてしまうんです。

面白くないですか?(面白いよね?)

 

 

 

 

 

量化(存在・全)と様相(必然・可能性)

 

様相論理はまあこんな感じなんですけど、

『量化』に関しては、正反対は確実に両立しません。

『量化』だけは、確実に「真偽」が定まるんです。

 

\begin{array}{llllll} \mathrm{True}&\displaystyle \Box A&&&& \lozenge A&\mathrm{True} \\ \\ \mathrm{False}& \lozenge B&&&&\Box B&\mathrm{False} \\ \\ \\ \mathrm{True}&\displaystyle \forall A&&&& \exists A&\mathrm{False} \\ \\ \mathrm{True}& \exists B&&&&\forall B&\mathrm{False} \end{array}

 

一見似通った「様相」では成立しないのに、

なぜか『量化』だけ、そのようになります。

 

 

 

なんかすごくないですか?

『量化だけ』なんですよ?

 

 

こういう「様相」のような理屈はいろいろあるのに、

『量化だけ』は、真偽が定まるんです。

 

 

不思議ですよね。

実に身近な「必然性・可能性」はダメなのに、

「存在・全」だけは、これが成立するんですから。

 

 

 

 

 


義務論理


様相論理は、表現のやり方を変えれば、

「~べきではない」と「~してもよい」のような、

『義務』を表す表現に置き換えることができます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{しなければならない} &&0&\mathrm{or}&100 \\ \\ \mathrm{してもいい} &&0<&x&<100 \end{array}

 

これも元は「確率」ですから、

この感覚はなんとなくわかると思います。

 

 

 

当然、こういうのは他にもいろいろあります。

例えば「断言・予測」とかもそうですし、

 

 

より具体的には、

「絶対・たぶん」「確実に・たぶん」とか

探せばいろいろ出てきます。

 

 

日常的に出てくるものなので、

たまに意識してみるとちょっと楽しいかもしれません。

 

 

 

 

 


様相論理の公理


以上の話から分かる通り、

これは論争の的になっています。

 

 

解釈によって真偽が分かれるので、

「基礎」として扱うには不十分。

 

 

『量化』と違って、

これは「命題記号」をうまく扱えません。

 

 

 

しかし、実は全部がそうなわけではなくて、

一部、ちゃんと使える記号があるんですよ。

 

\begin{array}{llllllll} \displaystyle \neg(A \land B) &&=&& \neg A \land \neg B \\ \\ \displaystyle \neg(A \lor B) &&=&& \neg A \lor \neg B \end{array}

 

数学の各所でみられる

「ド・モルガンの法則」ってやつがあるんですが、

 

 

詳しくは置いておいて、

実は、この法則みたいな関係が

「必然・可能性」の 2 つの演算子には存在するんです。

 

 

 

「~は必然的に真である」(絶対にそう!)

「~が偽である可能性はない」(間違いなはずない!)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box p &&≡&& \neg \lozenge \neg p \end{array}

 

「~が真である可能性がある」(ほんとかも?)

「~が必然的に偽であることはない」(嘘とは限らないよ)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lozenge p &&≡&& \neg\Box \neg p \end{array}

 

以上の2つ。

 

 

 

不思議なもので、

これを間違っていると思えないのが人間。

 

 

命題の真偽は「解釈に左右される」んですが、

それが「確定した後」に関しては、

この関係は、確実に正しいとするほかにありません。

 

 

不思議ですね。

まあ、だから「公理」なんですけど。

 

 

 

 

 

使われ方

 

実はこれ「話に同意したくない」けど

「否定してはいけない時」とか

そういう場面でわりと使われます。

 

 

まあ要はあれです。

「こうだよな!」みたいに同意を求められたときとかに、

「そうかもね」みたいな返しをするときがありますよね?

 

 

いやそうか? ってほんとは思ってるけど、

とりあえず「同意してるように見せる」あれ。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lozenge p &&≠&& \Box p \end{array}

 

「必然を肯定していない」ので、

実はこの返しって「同意はしない」ってことなんですが、

なんか『同意しているように見える』

 

 

それに「否定もしていない」から、

実質的には『同意っぽいポーズ』なわけで

 

 

 

ともかく、様相論理はこんな感じに、

この時の「本音」を論理的に明らかにできちゃうんですよ。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box p && ≠ && \lozenge p \\ \\ \Box \neg p && ≠ && \lozenge \neg p \end{array}

 

なにより「同意のポーズ」であることを

『論理的に説明できる』という点で、

この論理は重要になります。