可測集合 Measurable Set


|| 測度を確実に定義できる集合のこと

だいたい「区間」あるいは「」のこと

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\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D)&=&μ^*(D) \end{array}

 

「外測度」と「内測度」が一致する

という感じに定義されていて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}

 

そこからこんな条件が導かれたりします。

 

 

 


目次

 

ルベーグ外測度「細切れの図形で全体をカバーする」

ルベーグ測度「ルベーグ外測度+完全加法性」

 

可測集合「内測度と外測度が一致する集合」

完全加法族「足し算が無矛盾になる状態」

カラテオドリ条件「ルベーグ可測の簡単な条件」

 

実数は可測

零集合は可測

 

可測集合の補集合は可測

可測集合の和集合は可測

可測集合の共通部分は可測

 

任意の区間は可測

開集合は可測

 

 

 

 

 


 

この記事の内容は

 

\begin{array}{llrllll} \displaystyle μ(D)&≤&\displaystyle \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ &↓ \\ \\ μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \end{array}

 

ルベーグ測度 μ^* 」を知らないと

ほんとに意味が分からないと思います。

 

 

 

 

 


可測集合 Measurable Set

 

|| 測度を定義できる集合のこと

ルベーグ可測である集合のこと

 

\begin{array}{lccllll} \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Point})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Line})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Area})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \end{array}

 

厳密には

「実数上の区間」について議論する場合

 

\begin{array}{rccllllll} \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)-α&=&0 \\ \\ |f(x)-α|&<&ε &&\Bigl( |x-a|<δ\Bigr) \end{array}

 

もっと言うと

極限」が使える環境を考える場合

ボレル集合」の知識が必要なんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Borel}(R) &&\to&& \displaystyle \left( \begin{array}{clllll} \displaystyle [a,b) \\ \\ (a,b) \\ \\ [a,b] \\ \\ \{a\} \\ \\ N \\ \\ Q \\ \\ R\setminus Q \end{array} \right) \end{array}

 

これは長くなるので別の記事で扱います。

位相空間上で定義されるので説明が大変)

 

 

 

 

 

ルベーグ可測集合の集合は完全加法族

 

ルベーグ可測の定義上

完全加法性を持つのは当然なんですが

 

\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle R∈L&\to&∅∈L \\ \\ D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array}

 

念のため確認しておくと

ルベーグ可測集合 D の集まりを L とすると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle\left( \begin{array}{llllll} \displaystyle S≠∅ \\ \\ σ⊂2^S \\ \\ A^c = S\setminus A \end{array} \right) &\to& \displaystyle \left( \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} \right) \end{array}

 

完全加法族の定義はこれなので

 

\begin{array}{llllll} \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} &&&& \begin{array}{rcrllllll} \displaystyle R∈L&\to&∅∈L \\ \\ D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array} \end{array}

 

まあ当然ではありますが

ルベーグ可測集合の集まり(集合族)は

完全加法族であると言えます。

 

 

 

「実数全体」が可測

可測集合の「補集合」「無限和」が可測

 

\begin{array}{llllll} R∈L \\ \\ \displaystyle D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array}

 

これについては ↓ で示していきます。

 

 

 

 

 


カラテオドリ条件 Carathéodory

 

|| ルベーグ可測の代表的な条件

可測集合を定義する簡単な条件

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}

 

D が「可測であるか判定したい図形」

μ^{*} は「ルベーグ外測度」で

 

 

あらゆる S⊆R^n でこの関係が成り立つ時

「集合 D は可測である」となります。

 

 

 

補足しておくと

この条件で出てくる DS

可測集合に限定されていません。

 

 

なので問題が出そうですが

「図形全体をカバーする集合 S 」が

「可測集合ではない」としても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S∩D&⊆&D \\ \\ S∩D^c&⊆&D^c \end{array}

 

共通部分をとるので

判定したい図形 D の要素のみで議論できます。

S に入るかもしれない変な要素は除外されるので)

 

 

 

 

 

カラテオドリ条件の役割

 

「可測集合」の定義は

「完全加法族である」ことの他に

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

外測度と内測度が一致する

なんてものもあるんですが

これはこのまま扱うのは大変

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \end{array}

 

どこから手を付ければ良いのか

いまいちよく分かりません。

 

 

そこで

この条件を具体化して簡略化したのが

「カラテオドリ条件」で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}

 

この条件のおかげで

「可測であるかどうか」が

簡単に判定できるようになっています。

 

 

 

 

 

条件の導出

 

これはわりとそのままで

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \mathrm{Fig}&⊂&R \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&R^2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&R^n \end{array}

 

範囲をどのようにとっても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤& μ(D) \end{array}

 

「内測度」と

 

\begin{array}{ccccclll} D&⊂&\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle D&=&D∩\mathrm{Fig} \end{array}

 

 

\begin{array}{ccccclll} \mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ \displaystyle \mathrm{Fig}&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle ∅&=&D^c∩\mathrm{Fig} \end{array}

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ D∩\mathrm{Fig}&⊂&\mathrm{Fig} \end{array}

 

 

この単純な関係から

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \displaystyle D&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \\ \displaystyle \mathrm{Fig}&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&\displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \displaystyle μ^*(∅)&=&\displaystyle μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

「外測度」より

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \\ \\ μ^*(D∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

「可測」の条件から

ここが着地なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

「任意の \mathrm{Fig} で成立する」ものとして

関係自体は簡単に導けます。

 

 

 

 

 

内測度と外測度が一致するかどうか

 

関係は分かりましたが

任意の \mathrm{Fig} で成立するかは微妙なので

とりあえずきちんと確認しておくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D)&≤&μ(D)&≤&μ^*(D) \end{array}

 

まず「外測度と内測度の関係」はこうなので

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle D&⊂&\mathrm{Fig} \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&D \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&≤&μ(D) \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}

 

内測度はこれらのパターンではこう

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle μ_*(D)&≤&μ^*(D) \\ \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) &&\Bigl( D⊂\mathrm{Fig}\Bigr) \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) &&\Bigl( \mathrm{Fig}⊂D\Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&=&\mathrm{Fig} &&\Bigl(\mathrm{Fig}⊂D \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&&\Bigl( D⊂\mathrm{Fig}\Bigr) \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) && \Bigl( \mathrm{Fig}⊂D\Bigr) \end{array}

 

つまりこれらのパターンではこうなります。

 

 

 

 

 

内側にも外側にも無いパターン

 

となると残りは ↓ のパターンですが

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ D∩\mathrm{Fig}&⊂&\mathrm{Fig} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D^c∩\mathrm{Fig} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*\Bigl(\mathrm{Fig} \setminus (D^c∩\mathrm{Fig}) \Bigr)&=&\displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

集合の関係から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Fig} \setminus (D^c∩\mathrm{Fig}) &⊂&D \\ \\ \mathrm{Fig} \setminus (D^c∩\mathrm{Fig})&=&D∩\mathrm{Fig} \end{array}

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&≤&μ(D) \\ \\ μ_*(D)&≤&μ(D) \end{array}

 

\begin{array}{rlll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

このパターンでもこうなります。

 

 

 

 

 

常に成立する関係

 

以上を踏まえると

D\mathrm{Fig} の関係がどうであれ

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

この関係は成立するので

 

 

\begin{array}{rlll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

初めから等しくなる

このパターンではもちろん等しくなり

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) && \Bigl( \mathrm{Fig}⊂D\Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&=&\mathrm{Fig} \\ \\ D^c∩\mathrm{Fig}&=&∅ \end{array}

 

内測度を定義しない

このパターンでも等しくなることから

 

 

等しいとは限らない

この外測度と内測度を定義できるこのパターンで

 

\begin{array}{llllll} μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig}) \\ \\ \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&≤&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}

 

結果、このようになれば

任意の図形 \mathrm{Fig}

可測の条件が満たされると言えます。

 

 

 

まとめると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

この式は

 

 

このパターン以外では

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}

 

D\mathrm{Fig} がなんであろうと

必ずこうなるので

 

\begin{array}{llllll} μ^*(\mathrm{Fig}) &≤& \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

内測度と外測度が定まるこのパターンで

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \\ \\ μ^*(D∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

等しくなれば

「可測」の条件が満たされる。

 

 

 

 

 


実数はルベーグ可測

 

この可測条件を使うと

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle X&⊂&R \\ \\ X&=&X∩R \\ \\ ∅ &=&X∩R^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}

 

こうやれば

実数が可測集合である

ということがすぐに導けます。

 

 

 

 

 

拡大実数も可測

 

実数が可測であるように

 

\begin{array}{lcclllll} \displaystyle R&=&\{ x \mid -\infty<x<\infty \} \\ \\ &=& (-\infty,\infty) \\ \\ \\ R_+&=&\{ x \mid -\infty≤x≤\infty \} \\ \\ &=&[-\infty,\infty] \\ \\ &=&R∪\{-\infty,\infty\} \end{array}

 

「拡大実数 R_+ 」も

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle X&⊂&R_+ \\ \\ X&=&X∩R_+ \\ \\ ∅ &=&X∩R_+^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R_+)+μ^*(X∩R_+^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}

 

同じく「全体」ですから

同様の手順で可測であることが示せます。

 

 

 

また同様の理屈で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R^2)+μ^*(X∩(R^2)^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \\ \\ \\ μ^*(X∩R^n)+μ^*(X∩(R^n)^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}

 

2 次元以上も可測だと言えます。

 

 

 

 

 

零集合ももちろん可測

 

これも簡単で

 

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle C∩P&⊂&P \\ \\ μ(C∩P)&≤&μ(P) \\ \\ \\ C∩P^c&⊂&C \\ \\ μ(C∩P^c)&≤&μ(C) \end{array}

 

集合(図形)の関係から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(P)&=&0 \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(C)&≤&\displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C) \end{array}

 

遠くならないように記号を消していけば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C) &≤&μ^*(P)+μ^*(P^c∩C) \\ \\ &≤&μ^*(P^c∩C) \\ \\ &≤&μ^*(C) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(C)&≤&\displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C)&≤&μ^*(C) \end{array}

 

すぐに導けます。

 

 

 

 

 

可測集合の補集合もまた可測集合

 

カラテオドリ条件を使うと

これもすぐに導けます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

というのも

「集合 D は可測である」を前提とすると

 

\begin{array}{llllll} μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (D^c)^c&=&D \end{array}

 

補集合のとこを変形するだけで

 

\begin{array}{llllll} &&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \\ &=&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

これが得られますから

「集合 D がルベーグ可測である」ため

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &=&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

結果、明らかにこうなる。

 

 

とまあこのように

これもまた特に何の障害も無く示せます。

 

 

 

 

 

可測集合の和集合も可測

 

X⊂R として

不定形回避のために μ^*(X)<\infty ってことにし

まずはとりあえず前提を確認しておくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ μ^*(X)&=&μ^*(B∩X)+μ^*(B^c∩X) \end{array}

 

A,B は可測なのでこう

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

そしてこれが μ^*(X) と一致するのがゴール

 

 

 

 

 

良い感じの式変形

 

以上の感じから

式を変形していくと

 

\begin{array}{llllll} (A∪B)^c&=&A^c∩B^c \end{array}

 

集合の演算から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ μ^*(X)&=&μ^*(B∩X)+μ^*(B^c∩X) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(A^c∩X)&=&μ^*\Bigl( B∩(A^c∩X) \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩(A^c∩X) \Bigr) \\ \\ &=&μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩A^c∩X \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle B^c∩A^c&=&(B∪A)^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(A^c∩X)&=&μ^*\Bigl( B∩(A^c∩X) \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩(A^c∩X) \Bigr) \\ \\ &=&μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

この式はこんな感じになります。

 

 

 

 

 

ゴールに寄せていく

 

後はゴールに寄せていくと

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&\textcolor{pink}{μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)}+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

整理したいこの部分が

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)&=&μ^* \Bigl( (A∩X) ∪(B∩A^c∩X) \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} (A∪B)∩X&=&(A∩X)∪(B∩X) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (A∩X) ∪(B∩A^c∩X)&=&\displaystyle \Bigl( A∪(B∩A^c) \Bigr)∩X \end{array}

 

\begin{array}{llllll} (A∩B)∪X&=&(A∪X)∩(B∪X) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} A∪(B∩A^c)&=&(A∪B)∩(A∪A^c) \\ \\ &=&(A∪B)∩R \\ \\ &=&A∪B \end{array}

 

\begin{array}{llllll} (A∩X) ∪(B∩A^c∩X)&=&\displaystyle \Bigl( A∪(B∩A^c) \Bigr)∩X \\ \\ &=&(A∪B)∩X \end{array}

 

うまいことこうなるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

結果、こうなる。

だから可測集合の和集合は可測である。

 

 

意外と複雑ですが

可測集合の和集合が可測であるのは明白なので

わりと適当に式変形しても同様の結果が得られます。

 

 

 

 

 

和集合の一般化

 

和集合が可測であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \\ \\ \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( ((A∪B)∪C)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl(((A∪B)∪C)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

一般化すると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

これも可測になります。

 

 

 

 

 

無限和も可測

 

一般形から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} A_k&=&\displaystyle A_1∪A_2∪A_3∪\cdots ∪A_n \\ \\ \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} A_k ∪A_{n+1}&=&\displaystyle A_1∪A_2∪A_3∪\cdots ∪A_n∪A_{n+1} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

後者が定義できるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

これも可測になります。

 

 

 

 

 

極限の定義で厳密に確認

 

補足しておくと

これは以下の様にすれば確認できます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

まず有限和と後者が示す通り

何を加えても関係式が変化しない

これが最後まで続くとすると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

当然、変化しないので最終的にはこうなります。

(これは有限の範囲では確定)

 

 

 

問題なのは無限に近いところの話ですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) &&? \end{array}

 

有限和の範囲でこれが確定である以上

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \left| μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) -μ^*(X) \right| &<&ε \end{array}

 

どのように ε>0 を定めても

n はどれだけでも大きくできる

 

 

つまり極限の定義より

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) &=&μ^*(X) \end{array}

 

このように収束することが明らかなので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

このようになることが分かります。

 

 

 

 

 

可測集合の共通部分も可測

 

「集合の演算」から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (A∩B)^c &=&A^c∪B^c \\ \\ (A^c∪B^c)^c &=&(A^c)^c∩(B^c)^c \\ \\ &=&A∩B \end{array}

 

着地より

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( (A∩B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (A∩B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

可測集合の補集合が可測であることと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A^c∩X)+μ^*((A^c)^c∩X) \end{array}

 

和集合が可測であることから

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{cccl} \displaystyle (A∩B)^c &=& A^c∪B^c \\ \\ A∩B &=&(A^c∪B^c)^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A^c∪B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A^c∪B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B)^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B)∩X \Bigr) \end{array}

 

これもまた直ちに導かれます。

 

 

 

ちなみに

これと補集合が可測であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A\setminus B&=&A∩B^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X) &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A\setminus B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A\setminus B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

差集合が可測であることも導けます。

 

 

 

 

 


実数上の任意の区間は可測

 

これは一番使うので

ここできちんと確認しておきます。

 

\begin{array}{ccclll} \displaystyle [a,b) &\to&b-a \\ \\ [a,b] &\to&b-a \\ \\ (a,b) &\to&b-a \end{array}

 

といっても

区間の測度」がこうなのは

定義なので明らかです。

 

 

特に疑問の余地はありません。

どう考えても区間は可測です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \end{array}

 

ただ

これが「任意の・全ての・あらゆる」

となってくるとちょっと怪しくて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [a,\infty) \end{array}

 

というのも

このような「無限」が絡む区間を考える場合

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( [a,\infty) \Bigr)&=&\infty &&? \end{array}

 

それが可測であるかどうか

無限が絡んで直感から外れる以上

安易に断言するのは避けたくなります。

 

 

 

 

 

任意の区間とカラテオドリ条件

 

これを示すために

 

\begin{array}{llrllll} \displaystyle X∩I&⊂&I \\ \\ X∩I^c&⊂&X \end{array}

 

調べたい区間 I⊂R

任意の図形 X⊂R をざっくり定めて

カラテオドリの条件を考えてみます。

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(I)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(I)+μ^*(I^c) \\ \\ μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(X)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(X)+μ^*(I^c) \end{array}

 

するとこのようになるので

結果、うまくいかない。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(X) \end{array}

 

ここに着地したいんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&≤&μ^*(I)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(I)+μ^*(I^c)&=&μ(R) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(X)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(X)+μ^*(I^c) \end{array}

 

このままでは難しいです。

 

 

 

 

 

任意の区間

 

そのままやると無理そうですが

「区間が可測」は直感的に明らかです。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X) &=& μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}

 

なので示す方法があるはず。

(完全性定理)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&≤&μ^*(I)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(X)+μ^*(I^c) \end{array}

 

特にこのパターンは良い感じですから

「区間」を具体的に定めてみれば

どうにかできそうな感じがします。

 

 

というわけで

分かっていることを確認しておくと

 

 

a,b が有限」のパターンは

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a&=&μ^*\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}

 

ルベーグ外測度」の項目で確認した通り

内測度」と「外測度」が一致するので

明らかに可測です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \end{array}

 

それに実数全体も可測

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}

 

「和集合」「共通部分」も「可測」

「補集合」もまた「可測」

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [a,b)&\to&\displaystyle \left( \begin{array}{llllll} \displaystyle [a,b] &=&b-a \\ \\ (a,b) &=&b-a \end{array} \right) \end{array}

 

そして

任意の開区間も閉区間も可測ですから

 

 

後考えるべきは

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle (-\infty,b) \\ \\ [a,\infty) \end{array}

 

こういった形のやつだけになります。

(他は和集合・共通部分・補集合で)

 

 

 

 

 

無限区間が可測であることの証明

 

そのままだと無理なのは分かってるので

具体的な区間の中身を考えてみます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle\inf \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n) \\ \\ &&\displaystyle\inf \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}

 

そのためにやることは

だいたいルベーグ測度と区間でやった話と同じで

 

 

とりあえず区間を具体的に定めて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&\displaystyle [a,\infty) \end{array}

 

着地したいところが ↓ であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}

 

X_n の中身を具体的に決め

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle c&=&a-ε &<&a \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&[c,\infty) \\ \\ &=&[c,c+1)∪\cdots∪[c+(n-1),c+n)∪\cdots \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty [c+n-1,c+n) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(X_n) \end{array}

 

前の話と同じように

「下限の1つ」としてこれを定義し

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}

 

ほぼ答えのこの関係式を得ます。

 

 

 

 

 

着地したいところに寄せていく

 

ここから着地に寄せていけば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}

 

任意性を求められているのは X

集合の関係は ↓ なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I∩X_n &=&(I∩X_1)∪(I∩X_2)∪\cdots ∪(I∩X_n)∪\cdots \\ \\ &=& I∩(X_1∪X_2∪\cdots ∪X_n ∪\cdots) \\ \\ &=& I∩X \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I^c∩X_n &=&I^c∩X \end{array}

 

XX_n の関係を考えると

この関係が導かれて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_n&=&I∩X_n \\ \\ B_n&=&I^c∩X_n \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (I∩X_n)∪(I^c∩X_n)&=&(I∪I^c)∩X_n \\ \\ &=&R∩X_n \\ \\ &=&X_n \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I∩X&⊆& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ \displaystyle I^c∩X&⊆& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \end{array}

 

これは X_n を良い感じに定めれば

このようにできるため

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X_n)&=&μ(A_n)+μ(B_n) \end{array}

 

そのままこれを考えると

任意の X に対しては

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (c,\infty) \\ \\ [c,\infty) \end{array}

 

X が左半開区間のパターン

「和集合」のパターンなども考えられるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(X_n)\\ \\ &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n)+\sum_{n=1}^{\infty}μ(B_n) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n)+\sum_{n=1}^{\infty}μ(B_n) \end{array}

 

結果、こうなります。

 

 

ということは

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}

 

こうなるので

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&≤&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c)&<&μ^*(X)+ε \end{array}

 

この関係から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}

 

これが導かれます。

 

 

 

(-\infty,b) のパターンについては

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle b&<&b+ε&=&c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&(-\infty,c) \\ \\ &=&[c-1,c)∪\cdots∪[c-n,c-(n-1))∪\cdots \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty [c-n,c-(n-1)) \end{array}

 

このようにおけば

同様の手順で示すことができます。

 

 

 

 

 

任意の区間は可測

 

a,b が有限」のパターンでは

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a&=&μ^*\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}

 

もちろん可測

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \end{array}

 

実数全体も可測で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(D∩X)+μ^*(D^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(D^c∩X)+μ^*((D^c)^c∩X) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A^c∪B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A^c∪B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B)^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B)∩X \Bigr) \end{array}

 

「補集合」「和集合」「共通部分」も可測

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&\displaystyle\left( \begin{array}{cllllll} \displaystyle [a,\infty) \\ \\ (-\infty,b) \end{array} \right) &&\displaystyle I^c&=&\displaystyle\left( \begin{array}{cllllll} \displaystyle (-\infty,a) \\ \\ [b,\infty) \end{array} \right) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}

 

そして無限区間も可測なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}

 

結果、全ての区間は可測だと言えます。

(全ての操作に関して閉じている)

 

 

 

 

 


区間や点の感覚を定義する開集合

 

位相幾何学」「ボレル集合

極限」「実数」「区間」「開集合

 

\begin{array}{ccclll} (a-ε,a+ε)&=& \displaystyle\{ x∈R \mid |x-a|<ε \} \\ \\ (a-ε,a+ε)&⊂&O \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall a∈O &\exists ε>0 &(a-ε,a+ε)⊂O \end{array}

 

この辺りの話がぼんやりしていますが

こちらはこちらで込み入ってるので

とりあえずここでは飲み込んでおいてください。

 

\begin{array}{llllll} (a,b)&=&\{ x∈R \mid a<x<b \} \end{array}

 

というわけで「開集合 O 」ですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (a-ε,a+ε) \end{array}

 

具体的には

こういった「開区間(近傍)」がそうで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall a∈O &\exists ε>0 &(a-ε,a+ε)⊂O \end{array}

 

より厳密には

このような条件を満たす

集合 O のことを「開集合」と言います。

 

 

 

これは「位相幾何学」における基礎的な概念で

主に「点(点の近く)」を厳密に定義していて

 

 

だからこそ

直感的にはもちろん「可測」なんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(O)&=&μ^*(O∩X)+μ^*(O^c∩X) \end{array}

 

ちゃんとそうなるのか。

 

 

ちょっと不安なので

ここできちんと確認しておきます。

 

 

 

 

 

開集合はルベーグ可測

 

これは「区間」の定義から

どう考えても可測なんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(O)&≤&μ^*(O∩X)+μ^*(O^c∩X) \end{array}

 

式にするとちょっと面倒で

 

 

「区間」の時と同様

このままでは証明できません。

 

 

それに「開集合」の厳密な話になってくると

位相空間」に触れないといけないので大変です。

 

 

なので

ここでは厳密な話はとりあえずスルーし

なんとなく分かる証明を書いておきます。

 

 

 

 

 

開集合は開区間の可算和で表現できる

 

「開集合が可測である」ことは

ある一つの事実を飲み込むと簡単に証明できます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a&=&μ^*\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}

 

というのも

「任意の区間は可測」です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}

 

また「可測集合の和集合」も可測で

 

\begin{array}{llllll} (a,b)&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}[a+ε_n,b) \end{array}

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} ε_n&=&\displaystyle 0 \\ \\ \displaystyle ε_n&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{clll} \displaystyle \frac{1}{n} \\ \\ \displaystyle e^{-n} \end{array} \right. \end{array}

 

例えばこのようにすれば

「基本区間 [a,b) 」から

「開区間 (a,b) 」を表せるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}[a+ε_n,b) \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}[a+ε_n,b) \right)^c∩X \right) \end{array}

 

「任意の開区間」もまたもちろん可測

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle O_n&=&(a-ε_n,a+ε_n) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle O&=&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}O_n \end{array}

 

ということは

『開集合 O は開区間の可算和で表せる』

(厳密には実数上の普通の位相での話)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle O_n&⊂&O \end{array}

 

定義からして

直感的には明らかなこの事実を飲み込めば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}O_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}O_k \right)^c∩X \right) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( O∩X\Bigr)+μ^*\Bigl( O^c∩X \Bigr) \end{array}

 

「可測集合である開区間」の「和集合」として

「開集合 O 」は可測である

ということを示すことができます。