|| 測度を確実に定義できる集合のこと
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\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D)&=&μ^*(D) \end{array}
「外測度」と「内測度」が一致する
という感じに定義されていて
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}
そこからこんな条件が導かれたりします。
目次
ルベーグ外測度「細切れの図形で全体をカバーする」
ルベーグ測度「ルベーグ外測度＋完全加法性」
可測集合「内測度と外測度が一致する集合」
完全加法族「足し算が無矛盾になる状態」
カラテオドリ条件「ルベーグ可測の簡単な条件」
この記事の内容は
\begin{array}{llrllll} \displaystyle μ(D)&≤&\displaystyle \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ &↓ \\ \\ μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \end{array}
「ルベーグ測度 μ^* 」を知らないと
ほんとに意味が分からないと思います。
可測集合 Measurable Set
|| 測度を定義できる集合のこと
ルベーグ可測である集合のこと
\begin{array}{lccllll} \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Point})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Line})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Area})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \end{array}
厳密には
「実数上の区間」について議論する場合
\begin{array}{rccllllll} \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)-α&=&0 \\ \\ |f(x)-α|&<&ε &&\Bigl( |x-a|<δ\Bigr) \end{array}
もっと言うと
「極限」が使える環境を考える場合
「ボレル集合」の知識が必要なんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Borel}(R) &&\to&& \displaystyle \left( \begin{array}{clllll} \displaystyle [a,b) \\ \\ (a,b) \\ \\ [a,b] \\ \\ \{a\} \\ \\ N \\ \\ Q \\ \\ R\setminus Q \end{array} \right) \end{array}
これは長くなるので別の記事で扱います。
（位相空間上で定義されるので説明が大変）
ルベーグ可測集合の集合は完全加法族
ルベーグ可測の定義上
完全加法性を持つのは当然なんですが
\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle R∈L&\to&∅∈L \\ \\ D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array}
念のため確認しておくと
ルベーグ可測集合 D の集まりを L とすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle\left( \begin{array}{llllll} \displaystyle S≠∅ \\ \\ σ⊂2^S \\ \\ A^c = S\setminus A \end{array} \right) &\to& \displaystyle \left( \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} \right) \end{array}
完全加法族の定義はこれなので
\begin{array}{llllll} \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} &&&& \begin{array}{rcrllllll} \displaystyle R∈L&\to&∅∈L \\ \\ D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array} \end{array}
まあ当然ではありますが
ルベーグ可測集合の集まり（集合族）は
完全加法族であると言えます。
「実数全体」が可測
可測集合の「補集合」「無限和」が可測
\begin{array}{llllll} R∈L \\ \\ \displaystyle D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array}
これについては ↓ で示していきます。
カラテオドリ条件 Carathéodory
|| ルベーグ可測の代表的な条件
可測集合を定義する簡単な条件
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}
D が「可測であるか判定したい図形」
μ^{*} は「ルベーグ外測度」で
あらゆる S⊆R^n でこの関係が成り立つ時
「集合 D は可測である」となります。
補足しておくと
この条件で出てくる D と S は
可測集合に限定されていません。
なので問題が出そうですが
「図形全体をカバーする集合 S 」が
「可測集合ではない」としても
\begin{array}{llllll} \displaystyle S∩D&⊆&D \\ \\ S∩D^c&⊆&D^c \end{array}
共通部分をとるので
判定したい図形 D の要素のみで議論できます。
（ S に入るかもしれない変な要素は除外されるので）
カラテオドリ条件の役割
「可測集合」の定義は
「完全加法族である」ことの他に
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
外測度と内測度が一致する
なんてものもあるんですが
これはこのまま扱うのは大変
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \end{array}
どこから手を付ければ良いのか
いまいちよく分かりません。
そこで
この条件を具体化して簡略化したのが
「カラテオドリ条件」で
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}
この条件のおかげで
「可測であるかどうか」が
簡単に判定できるようになっています。
条件の導出
これはわりとそのままで
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \mathrm{Fig}&⊂&R \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&R^2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&R^n \end{array}
範囲をどのようにとっても
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤& μ(D) \end{array}
「内測度」と
\begin{array}{ccccclll} D&⊂&\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle D&=&D∩\mathrm{Fig} \end{array}
\begin{array}{ccccclll} \mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ \displaystyle \mathrm{Fig}&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle ∅&=&D^c∩\mathrm{Fig} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ D∩\mathrm{Fig}&⊂&\mathrm{Fig} \end{array}
この単純な関係から
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \displaystyle D&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \\ \displaystyle \mathrm{Fig}&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&\displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \displaystyle μ^*(∅)&=&\displaystyle μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
「外測度」より
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \\ \\ μ^*(D∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
「可測」の条件から
ここが着地なので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
「任意の \mathrm{Fig} で成立する」ものとして
関係自体は簡単に導けます。
内測度と外測度が一致するかどうか
関係は分かりましたが
任意の \mathrm{Fig} で成立するかは微妙なので
とりあえずきちんと確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D)&≤&μ(D)&≤&μ^*(D) \end{array}
まず「外測度と内測度の関係」はこうなので
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle D&⊂&\mathrm{Fig} \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&D \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&≤&μ(D) \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}
内測度はこれらのパターンではこう
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ_*(D)&≤&μ^*(D) \\ \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) &&\Bigl( D⊂\mathrm{Fig}\Bigr) \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) &&\Bigl( \mathrm{Fig}⊂D\Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&=&\mathrm{Fig} &&\Bigl(\mathrm{Fig}⊂D \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&&\Bigl( D⊂\mathrm{Fig}\Bigr) \\ \\ μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) && \Bigl( \mathrm{Fig}⊂D\Bigr) \end{array}
つまりこれらのパターンではこうなります。
内側にも外側にも無いパターン
となると残りは ↓ のパターンですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ D∩\mathrm{Fig}&⊂&\mathrm{Fig} \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle D^c∩\mathrm{Fig} \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*\Bigl(\mathrm{Fig} \setminus (D^c∩\mathrm{Fig}) \Bigr)&=&\displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
集合の関係から
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Fig} \setminus (D^c∩\mathrm{Fig}) &⊂&D \\ \\ \mathrm{Fig} \setminus (D^c∩\mathrm{Fig})&=&D∩\mathrm{Fig} \end{array}
\begin{array}{rllllll} \displaystyle \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&≤&μ(D) \\ \\ μ_*(D)&≤&μ(D) \end{array}
\begin{array}{rlll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \end{array}
このパターンでもこうなります。
常に成立する関係
以上を踏まえると
D と \mathrm{Fig} の関係がどうであれ
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
この関係は成立するので
\begin{array}{rlll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \end{array}
初めから等しくなる
このパターンではもちろん等しくなり
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&≤&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) && \Bigl( \mathrm{Fig}⊂D\Bigr) \end{array}
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&=&\mathrm{Fig} \\ \\ D^c∩\mathrm{Fig}&=&∅ \end{array}
内測度を定義しない
このパターンでも等しくなることから
等しいとは限らない
この外測度と内測度を定義できるこのパターンで
\begin{array}{llllll} μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig}) \\ \\ \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&≤&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}
結果、このようになれば
任意の図形 \mathrm{Fig} で
可測の条件が満たされると言えます。
まとめると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
この式は
このパターン以外では
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig}) \end{array}
D と \mathrm{Fig} がなんであろうと
必ずこうなるので
\begin{array}{llllll} μ^*(\mathrm{Fig}) &≤& \displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
内測度と外測度が定まるこのパターンで
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \\ \\ μ^*(D∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
等しくなれば
「可測」の条件が満たされる。
実数はルベーグ可測
この可測条件を使うと
\begin{array}{cllllll} \displaystyle X&⊂&R \\ \\ X&=&X∩R \\ \\ ∅ &=&X∩R^c \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}
こうやれば
実数が可測集合である
ということがすぐに導けます。
拡大実数も可測
実数が可測であるように
\begin{array}{lcclllll} \displaystyle R&=&\{ x \mid -\infty<x<\infty \} \\ \\ &=& (-\infty,\infty) \\ \\ \\ R_+&=&\{ x \mid -\infty≤x≤\infty \} \\ \\ &=&[-\infty,\infty] \\ \\ &=&R∪\{-\infty,\infty\} \end{array}
「拡大実数 R_+ 」も
\begin{array}{cllllll} \displaystyle X&⊂&R_+ \\ \\ X&=&X∩R_+ \\ \\ ∅ &=&X∩R_+^c \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R_+)+μ^*(X∩R_+^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}
同じく「全体」ですから
同様の手順で可測であることが示せます。
また同様の理屈で
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R^2)+μ^*(X∩(R^2)^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \\ \\ \\ μ^*(X∩R^n)+μ^*(X∩(R^n)^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}
2 次元以上も可測だと言えます。
零集合ももちろん可測
これも簡単で
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle C∩P&⊂&P \\ \\ μ(C∩P)&≤&μ(P) \\ \\ \\ C∩P^c&⊂&C \\ \\ μ(C∩P^c)&≤&μ(C) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(P)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(C)&≤&\displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C) \end{array}
遠くならないように記号を消していけば
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C) &≤&μ^*(P)+μ^*(P^c∩C) \\ \\ &≤&μ^*(P^c∩C) \\ \\ &≤&μ^*(C) \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(C)&≤&\displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C)&≤&μ^*(C) \end{array}
すぐに導けます。
可測集合の補集合もまた可測集合
カラテオドリ条件を使うと
これもすぐに導けます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
というのも
「集合 D は可測である」を前提とすると
\begin{array}{llllll} μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle (D^c)^c&=&D \end{array}
補集合のとこを変形するだけで
\begin{array}{llllll} &&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \\ &=&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
これが得られますから
「集合 D がルベーグ可測である」ため
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &=&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}
結果、明らかにこうなる。
とまあこのように
これもまた特に何の障害も無く示せます。
可測集合の和集合も可測
X⊂R として
不定形回避のために μ^*(X)<\infty ってことにし
まずはとりあえず前提を確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ μ^*(X)&=&μ^*(B∩X)+μ^*(B^c∩X) \end{array}
A,B は可測なのでこう
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}
そしてこれが μ^*(X) と一致するのがゴール
良い感じの式変形
以上の感じから
式を変形していくと
\begin{array}{llllll} (A∪B)^c&=&A^c∩B^c \end{array}
集合の演算から
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ μ^*(X)&=&μ^*(B∩X)+μ^*(B^c∩X) \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(A^c∩X)&=&μ^*\Bigl( B∩(A^c∩X) \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩(A^c∩X) \Bigr) \\ \\ &=&μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩A^c∩X \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle B^c∩A^c&=&(B∪A)^c \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(A^c∩X)&=&μ^*\Bigl( B∩(A^c∩X) \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩(A^c∩X) \Bigr) \\ \\ &=&μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \end{array}
この式はこんな感じになります。
ゴールに寄せていく
後はゴールに寄せていくと
\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&\textcolor{pink}{μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)}+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \end{array}
整理したいこの部分が
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)&=&μ^* \Bigl( (A∩X) ∪(B∩A^c∩X) \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} (A∪B)∩X&=&(A∩X)∪(B∩X) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle (A∩X) ∪(B∩A^c∩X)&=&\displaystyle \Bigl( A∪(B∩A^c) \Bigr)∩X \end{array}
\begin{array}{llllll} (A∩B)∪X&=&(A∪X)∩(B∪X) \end{array}
\begin{array}{llllll} A∪(B∩A^c)&=&(A∪B)∩(A∪A^c) \\ \\ &=&(A∪B)∩R \\ \\ &=&A∪B \end{array}
\begin{array}{llllll} (A∩X) ∪(B∩A^c∩X)&=&\displaystyle \Bigl( A∪(B∩A^c) \Bigr)∩X \\ \\ &=&(A∪B)∩X \end{array}
うまいことこうなるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}
結果、こうなる。
だから可測集合の和集合は可測である。
意外と複雑ですが
可測集合の和集合が可測であるのは明白なので
わりと適当に式変形しても同様の結果が得られます。
和集合の一般化
和集合が可測であることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \\ \\ \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( ((A∪B)∪C)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl(((A∪B)∪C)^c∩X \Bigr) \end{array}
一般化すると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
これも可測になります。
無限和も可測
一般形から
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} A_k&=&\displaystyle A_1∪A_2∪A_3∪\cdots ∪A_n \\ \\ \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} A_k ∪A_{n+1}&=&\displaystyle A_1∪A_2∪A_3∪\cdots ∪A_n∪A_{n+1} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
後者が定義できるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
これも可測になります。
極限の定義で厳密に確認
補足しておくと
これは以下の様にすれば確認できます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n+1}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
まず有限和と後者が示す通り
何を加えても関係式が変化しない
これが最後まで続くとすると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
当然、変化しないので最終的にはこうなります。
（これは有限の範囲では確定）
問題なのは無限に近いところの話ですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) &&？ \end{array}
有限和の範囲でこれが確定である以上
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left| μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) -μ^*(X) \right| &<&ε \end{array}
どのように ε>0 を定めても
n はどれだけでも大きくできる
つまり極限の定義より
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c∩X \right) &=&μ^*(X) \end{array}
このように収束することが明らかなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
このようになることが分かります。
可測集合の共通部分も可測
「集合の演算」から
\begin{array}{llllll} \displaystyle (A∩B)^c &=&A^c∪B^c \\ \\ (A^c∪B^c)^c &=&(A^c)^c∩(B^c)^c \\ \\ &=&A∩B \end{array}
着地より
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( (A∩B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (A∩B)^c∩X \Bigr) \end{array}
可測集合の補集合が可測であることと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A^c∩X)+μ^*((A^c)^c∩X) \end{array}
和集合が可測であることから
\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}
\begin{array}{cccl} \displaystyle (A∩B)^c &=& A^c∪B^c \\ \\ A∩B &=&(A^c∪B^c)^c \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A^c∪B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A^c∪B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B)^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B)∩X \Bigr) \end{array}
これもまた直ちに導かれます。
ちなみに
これと補集合が可測であることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle A\setminus B&=&A∩B^c \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(X) &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A\setminus B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A\setminus B)^c∩X \Bigr) \end{array}
差集合が可測であることも導けます。
実数上の任意の区間は可測
これは一番使うので
ここできちんと確認しておきます。
\begin{array}{ccclll} \displaystyle [a,b) &\to&b-a \\ \\ [a,b] &\to&b-a \\ \\ (a,b) &\to&b-a \end{array}
といっても
「区間の測度」がこうなのは
定義なので明らかです。
特に疑問の余地はありません。
どう考えても区間は可測です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \end{array}
ただ
これが「任意の・全ての・あらゆる」
となってくるとちょっと怪しくて
\begin{array}{llllll} \displaystyle [a,\infty) \end{array}
というのも
このような「無限」が絡む区間を考える場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( [a,\infty) \Bigr)&=&\infty &&？ \end{array}
それが可測であるかどうか
無限が絡んで直感から外れる以上
安易に断言するのは避けたくなります。
任意の区間とカラテオドリ条件
これを示すために
\begin{array}{llrllll} \displaystyle X∩I&⊂&I \\ \\ X∩I^c&⊂&X \end{array}
調べたい区間 I⊂R と
任意の図形 X⊂R をざっくり定めて
カラテオドリの条件を考えてみます。
\begin{array}{llllll} μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(I)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(I)+μ^*(I^c) \\ \\ μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(X)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(X)+μ^*(I^c) \end{array}
するとこのようになるので
結果、うまくいかない。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&μ^*(X) \end{array}
ここに着地したいんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&≤&μ^*(I)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(I)+μ^*(I^c)&=&μ(R) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(X)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(X)+μ^*(I^c) \end{array}
このままでは難しいです。
任意の区間
そのままやると無理そうですが
「区間が可測」は直感的に明らかです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X) &=& μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}
なので示す方法があるはず。
（完全性定理）
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&≤&μ^*(I)+μ^*(X) \\ \\ μ^*(X)&≤&μ^*(X)+μ^*(I^c) \end{array}
特にこのパターンは良い感じですから
「区間」を具体的に定めてみれば
どうにかできそうな感じがします。
というわけで
分かっていることを確認しておくと
「 a,b が有限」のパターンは
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a&=&μ^*\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}
「ルベーグ外測度」の項目で確認した通り
明らかに可測です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \end{array}
それに実数全体も可測
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}
「和集合」「共通部分」も「可測」
「補集合」もまた「可測」
\begin{array}{llllll} \displaystyle [a,b)&\to&\displaystyle \left( \begin{array}{llllll} \displaystyle [a,b] &=&b-a \\ \\ (a,b) &=&b-a \end{array} \right) \end{array}
そして
任意の開区間も閉区間も可測ですから
後考えるべきは
\begin{array}{cllllll} \displaystyle (-\infty,b) \\ \\ [a,\infty) \end{array}
こういった形のやつだけになります。
（他は和集合・共通部分・補集合で）
無限区間が可測であることの証明
そのままだと無理なのは分かってるので
具体的な区間の中身を考えてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle\inf \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n) \\ \\ &&\displaystyle\inf \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}
そのためにやることは
だいたいルベーグ測度と区間でやった話と同じで
とりあえず区間を具体的に定めて
\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&\displaystyle [a,\infty) \end{array}
着地したいところが ↓ であることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}
X_n の中身を具体的に決め
\begin{array}{llllll} \displaystyle c&=&a-ε &<&a \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&[c,\infty) \\ \\ &=&[c,c+1)∪\cdots∪[c+(n-1),c+n)∪\cdots \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty [c+n-1,c+n) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(X_n) \end{array}
前の話と同じように
「下限の１つ」としてこれを定義し
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}
ほぼ答えのこの関係式を得ます。
着地したいところに寄せていく
ここから着地に寄せていけば
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}
任意性を求められているのは X で
集合の関係は ↓ なので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I∩X_n &=&(I∩X_1)∪(I∩X_2)∪\cdots ∪(I∩X_n)∪\cdots \\ \\ &=& I∩(X_1∪X_2∪\cdots ∪X_n ∪\cdots) \\ \\ &=& I∩X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I^c∩X_n &=&I^c∩X \end{array}
X と X_n の関係を考えると
この関係が導かれて
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_n&=&I∩X_n \\ \\ B_n&=&I^c∩X_n \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle (I∩X_n)∪(I^c∩X_n)&=&(I∪I^c)∩X_n \\ \\ &=&R∩X_n \\ \\ &=&X_n \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle I∩X&⊆& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ \displaystyle I^c∩X&⊆& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \end{array}
これは X_n を良い感じに定めれば
このようにできるため
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(X_n)&=&μ(A_n)+μ(B_n) \end{array}
そのままこれを考えると
任意の X に対しては
\begin{array}{llllll} \displaystyle (c,\infty) \\ \\ [c,\infty) \end{array}
X が左半開区間のパターン
「和集合」のパターンなども考えられるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ^*(X_n)\\ \\ &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n)+\sum_{n=1}^{\infty}μ(B_n) \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) &≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n)+\sum_{n=1}^{\infty}μ(B_n) \end{array}
結果、こうなります。
ということは
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}μ(X_n)&<&μ^*(X)+ε \end{array}
こうなるので
\begin{array}{llllll} μ^*(X)&≤&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c)&<&μ^*(X)+ε \end{array}
この関係から
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}
これが導かれます。
(-\infty,b) のパターンについては
\begin{array}{llllll} \displaystyle b&<&b+ε&=&c \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&(-\infty,c) \\ \\ &=&[c-1,c)∪\cdots∪[c-n,c-(n-1))∪\cdots \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty [c-n,c-(n-1)) \end{array}
このようにおけば
同様の手順で示すことができます。
任意の区間は可測
「 a,b が有限」のパターンでは
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a&=&μ^*\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}
もちろん可測
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \end{array}
実数全体も可測で
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(D∩X)+μ^*(D^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(D^c∩X)+μ^*((D^c)^c∩X) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A^c∪B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A^c∪B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B)^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B)∩X \Bigr) \end{array}
「補集合」「和集合」「共通部分」も可測
\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&\displaystyle\left( \begin{array}{cllllll} \displaystyle [a,\infty) \\ \\ (-\infty,b) \end{array} \right) &&\displaystyle I^c&=&\displaystyle\left( \begin{array}{cllllll} \displaystyle (-\infty,a) \\ \\ [b,\infty) \end{array} \right) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}
そして無限区間も可測なので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*(X∩I)+μ^*(X∩I^c) \end{array}
結果、全ての区間は可測だと言えます。
（全ての操作に関して閉じている）
区間や点の感覚を定義する開集合
\begin{array}{ccclll} (a-ε,a+ε)&=& \displaystyle\{ x∈R \mid |x-a|<ε \} \\ \\ (a-ε,a+ε)&⊂&O \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall a∈O &\exists ε>0 &(a-ε,a+ε)⊂O \end{array}
この辺りの話がぼんやりしていますが
こちらはこちらで込み入ってるので
とりあえずここでは飲み込んでおいてください。
\begin{array}{llllll} (a,b)&=&\{ x∈R \mid a<x<b \} \end{array}
というわけで「開集合 O 」ですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle (a-ε,a+ε) \end{array}
具体的には
こういった「開区間（近傍）」がそうで
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall a∈O &\exists ε>0 &(a-ε,a+ε)⊂O \end{array}
より厳密には
このような条件を満たす
集合 O のことを「開集合」と言います。
これは「位相幾何学」における基礎的な概念で
主に「点（点の近く）」を厳密に定義していて
だからこそ
直感的にはもちろん「可測」なんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(O)&=&μ^*(O∩X)+μ^*(O^c∩X) \end{array}
ちゃんとそうなるのか。
ちょっと不安なので
ここできちんと確認しておきます。
開集合はルベーグ可測
これは「区間」の定義から
どう考えても可測なんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(O)&≤&μ^*(O∩X)+μ^*(O^c∩X) \end{array}
式にするとちょっと面倒で
「区間」の時と同様
このままでは証明できません。
それに「開集合」の厳密な話になってくると
「位相空間」に触れないといけないので大変です。
なので
ここでは厳密な話はとりあえずスルーし
なんとなく分かる証明を書いておきます。
開集合は開区間の可算和で表現できる
「開集合が可測である」ことは
ある一つの事実を飲み込むと簡単に証明できます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a&=&μ^*\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}
というのも
「任意の区間は可測」です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c∩X \right) \end{array}
また「可測集合の和集合」も可測で
\begin{array}{llllll} (a,b)&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}[a+ε_n,b) \end{array}
\begin{array}{rllllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} ε_n&=&\displaystyle 0 \\ \\ \displaystyle ε_n&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{clll} \displaystyle \frac{1}{n} \\ \\ \displaystyle e^{-n} \end{array} \right. \end{array}
例えばこのようにすれば
「基本区間 [a,b) 」から
「開区間 (a,b) 」を表せるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}[a+ε_n,b) \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}[a+ε_n,b) \right)^c∩X \right) \end{array}
「任意の開区間」もまたもちろん可測
\begin{array}{llllll} \displaystyle O_n&=&(a-ε_n,a+ε_n) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle O&=&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}O_n \end{array}
ということは
『開集合 O は開区間の可算和で表せる』
（厳密には実数上の普通の位相での話）
\begin{array}{llllll} \displaystyle O_n&⊂&O \end{array}
定義からして
直感的には明らかなこの事実を飲み込めば
（開集合は全部の点で開球・開区間を定義できる）
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}O_k \right)∩X \right)+μ^*\left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}O_k \right)^c∩X \right) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( O∩X\Bigr)+μ^*\Bigl( O^c∩X \Bigr) \end{array}
「可測集合である開区間」の「和集合」として
「開集合 O 」は可測である
ということを示すことができます。