類・クラス Class


|| 後出し膨張野郎

要は『集合のようなもの』です。

なんらかの集まりなんですけど、なんかよく分からん感じ。

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目次


概要「クラス(類)の雰囲気を説明」



ラッセルのパラドックス「クラス(類)の存在の保証」

ブラリ=フォルティのパラドックス「順序数の不合理」



真のクラス「集合ではないものの集まり」



クラス(類)の定義「いろいろな定義のやり方」








議論の『モデル』によって意味が変わります。

例えば「 ZF 」では『クラス』は定式化できません。

しかし「 NBG 」では『クラス』は公理化されてます。



つまるところ、証明も反証もできない集合っぽいものなわけですね。

ただしあることはある感じで、無いとするのは無理がある感じ。

ちょっとした腫れ物みたいな。




もちょっと詳しく言うと、

『中身が確実に分かる』ことが決まってる「集合」と違って、

この『クラス(類)』は「よく分からないものも入ってる」感じです。




例えば「大き過ぎるもの」なんかは、

ほんとに入ってるかどうか、確認さえもできません。



例えば「到達不能基数」を超える大きさのものは、

あることは分かっても、『作る手順』が分からないんです。




となると、原材料が不明なでっかいのができるわけで。

原材料も作る手順も分からないから、逆算して確認したりも無理で。



でもなんか、定義通りなら入ってるはず、だよね?

みたいな、なんかそんな感じのものが「クラス」になります。

いわゆる形式化できないものも含めた『なんらかの集まり』です。






念のため比較『 (\mathrm{Set}\,∪\,\mathrm{Proper\,Class})\,⊂\,\mathrm{Class}



『集合』は「中身が確定している、なんかの集まり」です。

『クラス』は「中身かどうか不明なものも含めた集まり」になります。



その中でも「集合ではない」ものを、特別に、

『真のクラス \mathrm{Proper\,Class} 』と言ったりします。






そんな「クラス」の代表的な例は『集合全体の集合』です。

なんか分かりますけど、でもなんかちょっと怖いですよね。

ほんとにあんの?って感じなので、頑張って確かめてみましょう。



とりあえず、間違いなく『 SET∈SET 』です。

だって「集合全体の集合」は、当然「集合」ですから。



でもこれだと『集合』全体の集合 SET は、厳密に定義できません。

いや、できてんじゃんって感じですけど、そうでもないです。





どういうことか見ていきましょう。

「集合全体の集合 SET∈SET 」を定義するには、

まず「集合全体」を定義しなくてはいけません。



しかし「集合全体」は「集合全体の集合」を含むので、

『集合全体の集合』を定義しなくては「中身」が確実に分かりません。




これはどれだけ遡及しても分からんままです。

結局、「集合全体の集合」とやらの正体は分かりません。




つまり「集合全体の集合」は分からないままなわけです。

中身はある程度分かっても、「集合全体の集合」自体が不明なまま。

これでは『集合』の「中身が確実に分かる」を満たしません。




はて、では「集合全体の集合」とはなんなのでしょう?

どうして中身はなんとなく分かるのに、定義できないんでしょうか?




といっても↑の確認で見ると、その理由がなんとなくわかります。

おかしくなっている原因と思える処理は、一か所だけです。



その原因を一言で言うとするなら、たぶん↓みたいになります。

定義のために「後出しで自身を参照」してしまうから。







ラッセルのパラドックス


|| クラスの存在証明

素朴な「集合論」で見つかった単純な矛盾のことです。

具体的には、集合全体の集合『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』の存在ですね。




要は『自身を含まない』集合全体の集合のことです。

つまるところ「 S∈S 」を解消するためのものになります。

これがあるとおかしくなりますし。

ZFC では正則性公理で排除)




ここまでは当たり前の話です。

あらゆる集合は、基本的には↑のようなものです。

まずほとんどの場合、自身を含むことはありません。




でも、そうなんですけど、それでもなんか矛盾します。

矛盾を解消するための↑の定義が、また矛盾を生むわけです。




確認してみましょうか。

ともかく前提として、「自身を含まない普通の集合の集まり」である、

S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』は確実に存在します。



要は、「これは普通の集合だ」って話です。

「普通じゃない集合」なら、 S∈S になります。



確認しておくと、「普通の集合なら S∉S 」で、

「変な集合なら S∈S 」っていう、 2 択の話です。

つまり「集合ならどっちかに含まれる」ことになります。



つまり、『どっちも違う』ってことにはならないはず。






ちゃんとやるために順番に見ていきますね。

まず、見るべきポイントは「この集合の居場所」です。

こいつはいったいどこにあるんだ、ってことを確認していきます。




・まず S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} である場合を考えてみましょう。

これは自身を中身に持ってると、そう「仮定」してます。



この時点で変な集合なんですけど、

一応、普通の集合の中に入ってるよ、という仮定です。




すると定義から、

S_{\mathrm{pdx}} 」は、そもそも S∉S を満たす集合の集まりです。



つまり「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」ですから、中身にはありません。

ということは、「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」だということです。



あら、仮定「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」に反する結果になってしまいました。




・じゃあ「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」の場合ならどうでしょうか。

自分の中に自分を持ってないよ、と「仮定」してみます。



普通の集合っぽいですけど、

普通の集合の集まりの中には入ってないよ、って感じ。




定義の条件は「 S∉S 」ですから、

S_{\mathrm{pdx}} 」は、 S∉S を満たす集合の集まり。



ということは「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」ですから、中身にあるはず。

つまり「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」です。



というわけで、こっちも「仮定」に反する結果になりました。

S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」から「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」が導かれたので。




つまり、こいつは「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」でもなければ、

同時に「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」でもないわけです。

つまり中にも外にも、どこにも無いという結論になりました。



「自身を含まない普通の集合の集まり」のはずが、

こいつ自身は「自身を含まない普通の集合」ではないし、

更には「自身を含む変な集合」でもないわけですね。



じゃあいったいなんやねん。






これは、昨今では『公理的集合論』などによって解消されました。

その要因は「集合の定義が明確になった」為です。




そりゃいったいどういうことなのか、一言で言うなら↓

集合論の公理からは『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』が作られない。



要は↑のような、

矛盾すると分かってるものは「集合」として扱わない

ということにしたわけです。



そしてそれこそが『クラス』と「集合」の違いになります。



ちなみにこれは「分出公理」とかいうものによって、

S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』の存在は矛盾する、としています。




具体的には『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S∈S_{\mathrm{dom}}\,|\,S∉S\} 』みたいに、

S∈S_{\mathrm{dom}} 」を前提にすることで、

全体の枠を指定して「無制限」な内包を回避したわけです。



こんな感じで「集合の性質」を担保しつつ、

「当てはまるもの全部」を禁止して、

『この中の、当てはまるもの全部』にして矛盾を回避してます。






はい、そういうわけで、

ただの「ものの集まり」は『集合』と『クラス』へ、

このパラドックスによって、分類分けされることになりました。



そう、つまり『クラス』の存在が示唆されたわけです。

「ものの集まり」の一種として、『集合』とは別に。




はい、これによって『クラス』の存在が明示されました。

ただの「ものの集まり」は『集合』だけじゃないんですね。




そんなわけで『クラス(類)』というのはこんな感じです。

「ものの集まり全般」って思ってれば、まあ大体あってます。

『集合』は「クラス」の特殊な場合になりますので。







ブラリ=フォルティのパラドックス


|| 順序数について

要は『順序数』を考えるとおかしくなるっていう主張です。

まずは簡単に確認してみましょう。




「『順序数』全体の集合 ON 」を考えると、

順序数の性質から『後続順序数 ON∈ON+1 』が得られます。

しかしこれは「 ON∈ON+1∈ON 」になるんで、変です。




つまり、このパラドックスの主張を要約すると、

『順序数』に対応付けられるものは全部おかしくなるよ

ってことですね。






現代数学では、これは解消されてはいます。

ただ、解消のやり方は『ルールによる制限』です。

本質的に、これは間違った主張ではありません。




ラッセルのパラドックスと同様に、これは、

『無制限な内包』を許すから出てくる問題です。

ですから、これはそれを禁止することで解消されました。



例えば『条件 P を満たす全てのもの』みたいな、

そういうちょっとふわっとした表現を禁止した感じです。

この「全て」というのがとにかく曲者なので。






真のクラス Proper Class


「真のクラス」の判定には『全単射』が使われます。

なにと対応づけるかと言えば『順序数のクラス ON 』です。

まあ、妥当なところですね。




やり方はわりと単純です。

要は『順序数』で集合を作ってみれば良いわけです。

大雑把に形式化すると↓みたいな。



\displaystyle CL:=\bigcup_{α∈ON}CL_{α}



もしそれが『整礎的集合』なら、自動的にこうなります。

整礎的集合は同時に「推移的」でもありますから、構築は簡単です。

これ以外の場合は、気合でどうにかするしかないですね。







クラスの定義


結論から行くと、扱われる「公理」に左右されます。

なので普遍的にこう、というものはありません。

分かってるのは『ものの集まり』だということくらいです。




例えば『公理的集合論 ZFC 』では、

全体として『到達不能基数 GCH 』を使って上から抑えて、

その全体の『部分集合』として「クラス」を定義します。




『ノイマン-ベルナイス-ゲーデルの公理系 NBG 』では、

『集合全体』という「集合」の「量化」を、

「集合の上でのみ」と限定して『クラス』を「公理化」してます。






つまるところ、公理みたいなもんです。

あることは分かるけど、『全ては』厳密に形式化しきれない。

そういう後出しででかくなる「集まり」を『クラス』と呼びます。






具体例


『真のクラス』には↓みたいなのがあります。

基本的なものでは、『集合』全体の集合 SET

次いで有名なのは『順序数』全体の集合 ON ですね。



他には↓みたいなのもそうです。

『基数』全体の集合 CN

『論理式』全体の集合 WFF




要は「~全体の集まり」みたいなものは、だいたいそうです。

これらは『圏論』では「大きな圏」とか言ったりしますね。

「圏論」に関しては、また別で。

 

 

 

 

 

個人的な見解

 

実用的数学でも扱っていることですが、

これは順番に考えると、そんなに変なものだとは思えません。

 

 

というのも、パソコンを使ってる人なら分かると思いますが、

『何を入れるのか決めてる、自身へのショートカットを含むフォルダ』

これがですね、類・クラスのイメージにめちゃくちゃ近いんです。

 

 

具体的には、これは『中身は後入れができる』状態で、

『自身を参照することができる』状態でもあって、

『何が入るのかの基準が存在する』状態でもあるんです。

 

 

 

↑で挙げた、数学で見られる「集合・類(クラス)」は、

『基準に当てはまるものを全て中身として持っている』状態で、

この場合は「まだ入っていないものもある」状態なわけですが、

 

 

個人的には『中身が全て入っている』という外延的な前提は、

『中身を後で入れることができる』という内包的な前提とは、

区別して考える方が自然に感じられます。

 

 

というのも、「類(クラス)」のパラドックスは、

外延的な定義では生じないものです。

 

 

つまり「内包」と「外延」は、別ものなんです。

であるのなら、この場合もまたそのように考えるのが自然で、

 

 

具体的には、

「外延」の場合は『中身が全て入っている状態』とし、

「内包」の場合は『中身の後入れが可能な状態』とする。

 

 

こうすることで、「内包」の感覚をより自然に、

外延的な感覚とは別のものとして解釈できます。

 

 

 

実体としては、

初期状態は『中身がまだ無い』状態として、

『中身であるとする判定基準』と『入れ物』がある感じ。

 

 

で、ここに「中身と思われるもの」が与えられて、

それが「中身だと判定される」ことによって、

その時、初めて中身が増えるわけです。

 

 

で、ここに『参照先を設定できる』という、

いわゆるアドレス設定の感覚を加えると、

「類(クラス)」の存在が浮き彫りになる、って感じでしょうか。

 

 

要は↑で言った通り、

これはそのまま「フォルダ」の構造の話です。

 

 

 

とまあこんな感じですね。

こう考えると、「類(クラス)」っていうなんか馬鹿でかいものも、

人間に理解できるスケールのものとして扱えるようになります。