|| 後出し膨張野郎
要は『集合のようなもの』です。
なんらかの集まりなんですけど、なんかよく分からん感じ。
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目次
・概要「クラス（類）の雰囲気を説明」
・ラッセルのパラドックス「クラス（類）の存在の保証」
・ブラリ=フォルティのパラドックス「順序数の不合理」
・真のクラス「集合ではないものの集まり」
・クラス（類）の定義「いろいろな定義のやり方」
議論の『モデル』によって意味が変わります。
例えば「 ZF 」では『クラス』は定式化できません。
しかし「 NBG 」では『クラス』は公理化されてます。
つまるところ、証明も反証もできない集合っぽいものなわけですね。
ただしあることはある感じで、無いとするのは無理がある感じ。
ちょっとした腫れ物みたいな。
もちょっと詳しく言うと、
『中身が確実に分かる』ことが決まってる「集合」と違って、
この『クラス（類）』は「よく分からないものも入ってる」感じです。
例えば「大き過ぎるもの」なんかは、
ほんとに入ってるかどうか、確認さえもできません。
例えば「到達不能基数」を超える大きさのものは、
あることは分かっても、『作る手順』が分からないんです。
となると、原材料が不明なでっかいのができるわけで。
原材料も作る手順も分からないから、逆算して確認したりも無理で。
でもなんか、定義通りなら入ってるはず、だよね？
みたいな、なんかそんな感じのものが「クラス」になります。
いわゆる形式化できないものも含めた『なんらかの集まり』です。
念のため比較『 (\mathrm{Set}\,∪\,\mathrm{Proper\,Class})\,⊂\,\mathrm{Class} 』
『集合』は「中身が確定している、なんかの集まり」です。
『クラス』は「中身かどうか不明なものも含めた集まり」になります。
その中でも「集合ではない」ものを、特別に、
『真のクラス \mathrm{Proper\,Class} 』と言ったりします。
そんな「クラス」の代表的な例は『集合全体の集合』です。
なんか分かりますけど、でもなんかちょっと怖いですよね。
ほんとにあんの？って感じなので、頑張って確かめてみましょう。
とりあえず、間違いなく『 SET∈SET 』です。
だって「集合全体の集合」は、当然「集合」ですから。
でもこれだと『集合』全体の集合 SET は、厳密に定義できません。
いや、できてんじゃんって感じですけど、そうでもないです。
どういうことか見ていきましょう。
「集合全体の集合 SET∈SET 」を定義するには、
まず「集合全体」を定義しなくてはいけません。
しかし「集合全体」は「集合全体の集合」を含むので、
『集合全体の集合』を定義しなくては「中身」が確実に分かりません。
これはどれだけ遡及しても分からんままです。
結局、「集合全体の集合」とやらの正体は分かりません。
つまり「集合全体の集合」は分からないままなわけです。
中身はある程度分かっても、「集合全体の集合」自体が不明なまま。
これでは『集合』の「中身が確実に分かる」を満たしません。
はて、では「集合全体の集合」とはなんなのでしょう？
どうして中身はなんとなく分かるのに、定義できないんでしょうか？
といっても↑の確認で見ると、その理由がなんとなくわかります。
おかしくなっている原因と思える処理は、一か所だけです。
その原因を一言で言うとするなら、たぶん↓みたいになります。
定義のために「後出しで自身を参照」してしまうから。
ラッセルのパラドックス
|| クラスの存在証明
素朴な「集合論」で見つかった単純な矛盾のことです。
具体的には、集合全体の集合『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』の存在ですね。
要は『自身を含まない』集合全体の集合のことです。
つまるところ「 S∈S 」を解消するためのものになります。
これがあるとおかしくなりますし。
（ ZFC では正則性公理で排除）
ここまでは当たり前の話です。
あらゆる集合は、基本的には↑のようなものです。
まずほとんどの場合、自身を含むことはありません。
でも、そうなんですけど、それでもなんか矛盾します。
矛盾を解消するための↑の定義が、また矛盾を生むわけです。
確認してみましょうか。
ともかく前提として、「自身を含まない普通の集合の集まり」である、
『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』は確実に存在します。
要は、「これは普通の集合だ」って話です。
「普通じゃない集合」なら、 S∈S になります。
確認しておくと、「普通の集合なら S∉S 」で、
「変な集合なら S∈S 」っていう、 2 択の話です。
つまり「集合ならどっちかに含まれる」ことになります。
つまり、『どっちも違う』ってことにはならないはず。
ちゃんとやるために順番に見ていきますね。
まず、見るべきポイントは「この集合の居場所」です。
こいつはいったいどこにあるんだ、ってことを確認していきます。
・まず S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} である場合を考えてみましょう。
これは自身を中身に持ってると、そう「仮定」してます。
この時点で変な集合なんですけど、
一応、普通の集合の中に入ってるよ、という仮定です。
すると定義から、
「 S_{\mathrm{pdx}} 」は、そもそも S∉S を満たす集合の集まりです。
つまり「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」ですから、中身にはありません。
ということは、「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」だということです。
あら、仮定「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」に反する結果になってしまいました。
・じゃあ「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」の場合ならどうでしょうか。
自分の中に自分を持ってないよ、と「仮定」してみます。
普通の集合っぽいですけど、
普通の集合の集まりの中には入ってないよ、って感じ。
定義の条件は「 S∉S 」ですから、
「 S_{\mathrm{pdx}} 」は、 S∉S を満たす集合の集まり。
ということは「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」ですから、中身にあるはず。
つまり「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」です。
というわけで、こっちも「仮定」に反する結果になりました。
「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」から「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」が導かれたので。
つまり、こいつは「 S_{\mathrm{pdx}}∈S_{\mathrm{pdx}} 」でもなければ、
同時に「 S_{\mathrm{pdx}}∉S_{\mathrm{pdx}} 」でもないわけです。
つまり中にも外にも、どこにも無いという結論になりました。
「自身を含まない普通の集合の集まり」のはずが、
こいつ自身は「自身を含まない普通の集合」ではないし、
更には「自身を含む変な集合」でもないわけですね。
じゃあいったいなんやねん。
これは、昨今では『公理的集合論』などによって解消されました。
その要因は「集合の定義が明確になった」為です。
そりゃいったいどういうことなのか、一言で言うなら↓
集合論の公理からは『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』が作られない。
要は↑のような、
矛盾すると分かってるものは「集合」として扱わない
ということにしたわけです。
そしてそれこそが『クラス』と「集合」の違いになります。
ちなみにこれは「分出公理」とかいうものによって、
『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S\,|\,S∉S\} 』の存在は矛盾する、としています。
具体的には『 S_{\mathrm{pdx}}=\{S∈S_{\mathrm{dom}}\,|\,S∉S\} 』みたいに、
「 S∈S_{\mathrm{dom}} 」を前提にすることで、
全体の枠を指定して「無制限」な内包を回避したわけです。
こんな感じで「集合の性質」を担保しつつ、
「当てはまるもの全部」を禁止して、
『この中の、当てはまるもの全部』にして矛盾を回避してます。
はい、そういうわけで、
ただの「ものの集まり」は『集合』と『クラス』へ、
このパラドックスによって、分類分けされることになりました。
そう、つまり『クラス』の存在が示唆されたわけです。
「ものの集まり」の一種として、『集合』とは別に。
はい、これによって『クラス』の存在が明示されました。
ただの「ものの集まり」は『集合』だけじゃないんですね。
そんなわけで『クラス（類）』というのはこんな感じです。
「ものの集まり全般」って思ってれば、まあ大体あってます。
『集合』は「クラス」の特殊な場合になりますので。
ブラリ=フォルティのパラドックス
|| 順序数について
要は『順序数』を考えるとおかしくなるっていう主張です。
まずは簡単に確認してみましょう。
「『順序数』全体の集合 ON 」を考えると、
順序数の性質から『後続順序数 ON∈ON+1 』が得られます。
しかしこれは「 ON∈ON+1∈ON 」になるんで、変です。
つまり、このパラドックスの主張を要約すると、
『順序数』に対応付けられるものは全部おかしくなるよ
ってことですね。
現代数学では、これは解消されてはいます。
ただ、解消のやり方は『ルールによる制限』です。
本質的に、これは間違った主張ではありません。
ラッセルのパラドックスと同様に、これは、
『無制限な内包』を許すから出てくる問題です。
ですから、これはそれを禁止することで解消されました。
例えば『条件 P を満たす全てのもの』みたいな、
そういうちょっとふわっとした表現を禁止した感じです。
この「全て」というのがとにかく曲者なので。
真のクラス Proper Class
「真のクラス」の判定には『全単射』が使われます。
なにと対応づけるかと言えば『順序数のクラス ON 』です。
まあ、妥当なところですね。
やり方はわりと単純です。
要は『順序数』で集合を作ってみれば良いわけです。
大雑把に形式化すると↓みたいな。
\displaystyle CL:=\bigcup_{α∈ON}CL_{α}
もしそれが『整礎的集合』なら、自動的にこうなります。
整礎的集合は同時に「推移的」でもありますから、構築は簡単です。
これ以外の場合は、気合でどうにかするしかないですね。
クラスの定義
結論から行くと、扱われる「公理」に左右されます。
なので普遍的にこう、というものはありません。
分かってるのは『ものの集まり』だということくらいです。
例えば『公理的集合論 ZFC 』では、
全体として『到達不能基数 GCH 』を使って上から抑えて、
その全体の『部分集合』として「クラス」を定義します。
『ノイマン-ベルナイス-ゲーデルの公理系 NBG 』では、
『集合全体』という「集合」の「量化」を、
「集合の上でのみ」と限定して『クラス』を「公理化」してます。
つまるところ、公理みたいなもんです。
あることは分かるけど、『全ては』厳密に形式化しきれない。
そういう後出しででかくなる「集まり」を『クラス』と呼びます。
具体例
『真のクラス』には↓みたいなのがあります。
基本的なものでは、『集合』全体の集合 SET
次いで有名なのは『順序数』全体の集合 ON ですね。
他には↓みたいなのもそうです。
『基数』全体の集合 CN
『論理式』全体の集合 WFF
要は「～全体の集まり」みたいなものは、だいたいそうです。
これらは『圏論』では「大きな圏」とか言ったりしますね。
「圏論」に関しては、また別で。
個人的な見解
実用的数学でも扱っていることですが、
これは順番に考えると、そんなに変なものだとは思えません。
というのも、パソコンを使ってる人なら分かると思いますが、
『何を入れるのか決めてる、自身へのショートカットを含むフォルダ』
これがですね、類・クラスのイメージにめちゃくちゃ近いんです。
具体的には、これは『中身は後入れができる』状態で、
『自身を参照することができる』状態でもあって、
『何が入るのかの基準が存在する』状態でもあるんです。
↑で挙げた、数学で見られる「集合・類（クラス）」は、
『基準に当てはまるものを全て中身として持っている』状態で、
この場合は「まだ入っていないものもある」状態なわけですが、
個人的には『中身が全て入っている』という外延的な前提は、
『中身を後で入れることができる』という内包的な前提とは、
区別して考える方が自然に感じられます。
というのも、「類（クラス）」のパラドックスは、
外延的な定義では生じないものです。
つまり「内包」と「外延」は、別ものなんです。
であるのなら、この場合もまたそのように考えるのが自然で、
具体的には、
「外延」の場合は『中身が全て入っている状態』とし、
「内包」の場合は『中身の後入れが可能な状態』とする。
こうすることで、「内包」の感覚をより自然に、
外延的な感覚とは別のものとして解釈できます。
実体としては、
初期状態は『中身がまだ無い』状態として、
『中身であるとする判定基準』と『入れ物』がある感じ。
で、ここに「中身と思われるもの」が与えられて、
それが「中身だと判定される」ことによって、
その時、初めて中身が増えるわけです。
で、ここに『参照先を設定できる』という、
いわゆるアドレス設定の感覚を加えると、
「類（クラス）」の存在が浮き彫りになる、って感じでしょうか。
要は↑で言った通り、
これはそのまま「フォルダ」の構造の話です。
とまあこんな感じですね。
こう考えると、「類（クラス）」っていうなんか馬鹿でかいものも、
人間に理解できるスケールのものとして扱えるようになります。