定義 Definition


|| 意味と解釈

感覚的には、ルールのようなものになります。

中身が全部わかっている箱みたいな感じです。

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形式的な表し方は主に2種類あります。



「外延」的記法


中身を全部、一個ずつはっきりさせる表し方。

これとそれとあれを合わせて、こういう、みたいな感じ。



「内包」的記法


条件だけ書いて、それに当てはまるものがそれ、みたいな表し方。

これはこういうもの、みたいな感じ。




中身が確実に全部わかってるんで、

いわゆる一意性(それはそれ)というやつがこれで保証されます。

一意性っていうのは「それ以外にない」みたいな感じの意味です。




具体例


ゲーム系全般を思い浮かべれば、まあ大体がそうです。

いわゆる決まり、ルールがあって、初めて勝敗が決まる感じ。



将棋も囲碁も「ルールが決まってるから」こそ、

箱の中身は有限で「一意」に定まります。



まあ、有限って言っても数えきれないくらいにはあるんですが、

そこはうまいこと『再帰』という考え方を使ってどうにかします。






どんな感じで使われるか


数学ではどういう感じに扱われるかというと、

帰納的定義」あるいは「再帰的定義」とかで扱われます。

(英訳はどちらも \mathrm{Recursive \,Definition} で、意味は同じ)




最初のなんかがあって、

「例えば 1


次のなんかがあって、

「例えば 2


n 番目が分かる、みたいな。

「例えば上の例だと n 番目は n になりそう」




だから、以下のように定義しよう。



最初のもの(原子的なもの)

「上の例なら 1


n 番目のもの

「上の例なら n


n+1 番目のもの

「上の例なら n+1




このようなやり方が、

帰納的定義もしくは再帰的定義と呼ばれるものになります。

(要は「最小のもの」と「満たす性質」みたいな感じ)




これ、かなり使えます。

めちゃくちゃ実用的な数学の成果の一つです。






公理との違い


定義が「人の作った決まり」なら、

公理は「決まりにしないといけないなにか」です。



定義は正しいですが、人が勝手に決めた感じのものになります。




公理は「正しいとしか言いようがない」って感じで、

定義は「これはこう」という感じです。




他の言い回しをするなら、

公理は「人間の直観が判断する世界の決まり」で、

定義は「人間が作った決まり」という感じ。






定義可能性について


「公理」との違いはここにもあります。



定義は、うまく定義できるもの( \mathrm{well}\mathrm{defined} )と、

うまく定義できないもの( \mathrm{ill}\mathrm{defined} )の二つがあります。




判定の方法は、一言で言うと結果論です。

ただまあ、見ればだいたい直観的にわかります。




「明らかにおかしい」ものだとか、

「正しいとするとおかしなことになる」ものだとか、

「真偽を判定する境界が曖昧」なものだとか。




こういう明らかに変で曖昧な感じのものを、

まとめて「うまく定義できない」と言います。




逆に「矛盾が出てこない」とか、

「なんの問題も見つからない」とか、

「真偽判定の境界がはっきりとしている」とか。



こういう感じに定義できると、うまく定義できたと言い表します。

当然な感じですね。ルールを作るなら抜け穴は綺麗に消すべきです。

勝敗の基準が曖昧なゲームとか、なにがしたいんだって感じですし。




意外なものだと、「実数上」では「測度」がうまく定義できません。

『測度』は「長さ」とか「面積」とか「体積」の総称です。

詳しくは「測度論」で。






まとめ


以上を踏まえて、形式風味に意味を記述します。

言いたいことは単純で「こういうことにしよう」って感じ。




堅い言い方ですが、要は↓みたいな意味になります。


ある概念の「内包」が明確で、その概念の「外延」が確定してるもの



要は、中身がはっきりしている箱みたいな。

その中身はルールでも決められてる感じ。