|| 数学を説明するやつ
ずばり『数学の基礎』がこれ。
なんでもこれに結びつけようと、みんな頑張ってます。
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役割は『集合』と『写像』という概念を「数学」に与えることです。
目次
・集合「なんか中身が入ってる枠みたいな感じ」
元（要素）「集合の中身のこと」
空集合「中身の無い集合のこと（集合という点に注意）」
外延的記法「中身を全部指定する定義のやり方の一つ」
内包的記法「条件に当てはまるかで判断する定義のやり方」
帰属関係「集合と要素の関係のこと」
部分集合「集合の一部を切り取った集合」
・写像「集合と集合の間にある対応」
関係「集合の中身同士の状態を表す」
定義域（始域）「写像があって、その時の写る前の集合のこと」
値域（終域）「写像があって、その時の写り先の集合のこと」
逆像「終域と逆写像から得られる像」
・公理的集合論「今のところ矛盾の無い集合論」
「濃度（基数）」なり「順序」といった概念がありますが、
これは長くなるので別の記事で扱います。
集合 Set
|| 中身が入ってる枠
これは「数学」に「視覚イメージ」を与えるものです。
中身になにか入れられる「輪っか」のようなものと考えてください。
ただし制約が一つだけあります。
それは『中身が確実に分かる』ことです。
分からないものは「クラス（類）」などと呼ばれます。
元・要素 Element
|| 集合の中身にあるやつ
『集合』の「中身」のことです。
『集合』そのものは「全体」を指します。
形式的には↓みたいに表されます。
『集合』を「 S 」として『元・要素』を「 e 」とすると、
e∈S
意味は「 e は S に属する」です。
これを「帰属関係」と言うので覚えておきましょう。
自分は「要素」の方が意味が分かり易いので好きですが、
文字数の関係か「元」と言われることが多いです。
外延的記法 Extension
|| 中身を全部書くゴリ押し決定法
『集合』の「中身（元・要素）」を『定義』する方法の1つです。
やり方は単純で、単に「中身」をそのまま書き出す力業になります。
やってることは『具体化』です。
数値以外を使うときによく見ます。
具体例
『 S=\{1,2,3,4,5\} 』とか。
『 S=\{●,▼,■,★\} 』だとか。
『 S=\{( ﾟДﾟ),(´Д｀),(；ﾟДﾟ)\} 』とかも。
ちなみに「 ( ﾟДﾟ)∈S 」みたいに書けます。
内包的記法 Intension
|| 条件だけ書く横着なやり方
『集合』の「中身（元・要素）」を『定義』する方法の1つです。
「条件」を指定して、それを満たすものだよ、という感じのやり方。
やってることは『抽象化』ですね。
すごいずぼらな感じのやり方で、基本はこっち。
形式的には↓みたいに書かれます。
S=\{x∈U\,|\,P(x)\}
左が「個体（変数）」（要素を指します）の名前で（なんでもいい）
右が「元・要素」が満たす「命題（条件）」になります。
（条件が「真」になる x みたいな感じの意味）
具体例
なんか『集合・命題（条件）』があるとしましょう。
んで、全体をとりあえず「複素数 x∈C 」とします。
この時に内包的記法を使うと↓みたいになります。
「自然数」なら『 S=\{x\,|\,x\,is\,natural\,number\} 』とか。
「実数じゃない」なら『 S=\{x\,|\,x∉\mathbb{R}\} 』とか。
空集合 Empty Set
|| 空っぽの箱
ある『集合』が「要素を持たない（中身が無い）」とき、
その『集合』のことを「空集合」と言います。
形式的には↓みたいに書かれます。
ただの記号ですが超重要です。
S_{empty}=\{\}=∅
帰属関係 Membership
|| あれはこれの中にあるよって感じの関係
『集合』と『元・要素』の「関係」のことですね。
「 e∈S 」これです。
「 e は S の要素だ」って言ってます。
これは『集合』が『集合の要素』だと示すのもいけます。
例えば「 S∈2^S 」みたいな。
これについて少し注意が（詳しくは↓）
部分集合 Subset
|| 集合の一部
なんかある『集合』の、その『一部の集合』のことです。
「部分」の由来は単純で、単に「元の一部」だからですね。
その「一部である」ことを厳密に言うと、要は↓です。
「部分集合だって思われてる集合」が、
「その元（Original の方）となった集合」の要素だけで作られてる。
これを形式的に表すと、その「命題（条件）」は↓になります。
[\,P(x)\,]≡[\,∀x\,(x∈s→x∈S)\,]
意訳は「 s の要素なら、 S の要素でもある」
この二つの集合にある「関係」のことを『包含関係』と言います。
形式的には『 s⊆S 』もしくは『 s⊂S 』
という記号で定義されてます。
ここで「命題記号」の「論理包含」と、
「集合論」の「包含関係」について確認しておきます。
この二つには、かなり重要な関係があります。それは↓です。
『 [\,A→B\,]≡[\,A⊆B\,] 』（ GEN から）
この関係はめちゃくちゃ良く使うので必ず覚えましょう。
日常でもバリバリ使えます。
応用範囲が広すぎて、具体例が絞り込めません。
良く使う例を挙げるなら、
「～は、～だ」という文の「正しい意味」はこれで理解できます。
そのまま「～なら、～だ」も行けます。
ともかく、この「包含関係」は超重要です。
これを確実に理解して応用するだけで、勘違いが激減します。
なので必ず覚えましょう。
帰属関係と包含関係
最後に、この二つの「違い」について見ていきます。
割と深刻な話題なので、これも確実に覚えておきたいです。
まず押さえておくべきは、この二つは「違う」ということです。
混同するのは厳禁だと思ってください。
具体例からその違いを見てみましょうか。
まず「 s∈S 」と「 s⊂S 」は違います。
適当に要素を（5つくらい入れて）みれば分かると思います。
「 s∈S 」は「 S=\{s,x\} 」を表していて、
「 s⊂S 」は「 S=s∪\{x\}」を表しています。
これだけで全く違うと分かります。
s=\{e_1,e_2,e_3,...\} ですから、
s∈S なら「 S=\{\{e_1,e_2,e_3,...\},x\} 」です。
s⊂S なら「 S=\{e_1,e_2,e_3,...,x\} 」になります。
「 s∈S 」は「集合 s が要素である」ことを示しますが、
「 s⊂S 」は「集合 s が一部の要素を持つ」ことを表します。
これを押さえておかないと大変です。
例えば例のように、
『集合』を「要素」として持つ『集合』（『族』と言われる）
というものを理解しようとしたときに変な感じになります。
自分が体験した勘違いの一例ですが、
「要素である集合の『要素』」を、
そのまま「『その集合を持つ集合』の要素」として扱える、
と勘違いしてしまったことがありました。
（ほとんどの場合扱えません）
要するに直観で「推移関係」を前提にしちゃったわけです。
ちょっと複雑ですが、ここはきちんと押さえておきましょう。
形式的に記号にすると↓みたいな感じです。
『 A⊂B⊂C 』なら、確実に『 A⊂C 』
『 A∈B∈C 』でも、『 A∈C 』であるとは限らない
（これはちょっと↑のやつのことです）
他は長くなるので、別の記事で解説していきます。
主なトピックは『集合の演算』なんかを中心に、
『順序集合』や『台集合（主基集合）』なんかを扱います。
写像 Mapping
|| 像に写らせるやつ
ざっくり言うと、なんか二つのものの「対応」のことです。
「 S 」と「 T 」があって、その二つがどう関わるか、みたいな。
具体的には「元（要素）」同士の対応です。
「あれはこれになる」っていう『決まりの集まり』みたいな。
見た目には「 S の元」を「 T の元」に変える感じ。
（Source と Target の頭文字）
直観的には「フィルター」のようなものと思って良いです。
砂利の塊（集合）を落とすと、ある場所（集合）に落ちる感じ。
当然、落ちないものもあれば同じ場所に落ちたりもします。
形式的には↓みたいな。
『 f:A→B 』の『 f 』が「写像」
関係 Relation
|| あれとそれは～です
これは「元・要素」同士の対応のことですね。（中身）
『写像』は『集合』同士の対応です。（外枠）
具体的には「要素」の写り方という感じ。
例えば「関係」には↓みたいなものがあります。
『 a=b,a>b 』集合上の2項関係（要素同士）
『 A⊂B 』冪集合上の2項関係（要素になった集合同士）
（冪集合は別の記事で）
『 aRb 』みたいな「2項関係」が一般的です。
たくさんの関係も、だいたいこれに分解できるので。
n 項関係『 R(a_1,a_2,...,a_n) 』なんかは、
なにかを上から抑えるために必要な時、
例えば定義かなにかでしか見ませんね。
域・始域・定義域 Domain
|| あれからこれへ、のあれの方
「写る前」（ → の左）の集合です。
あんま見ませんが「始集合」とも言います。
これを形式的に表すと、
「 Source （源）」から「 Sour(f) 」とか。
これに対して「終域」は「 Target 」から「 tar(f) 」とか。
個人的にはこの単語を使うと少し難しくなる感じがします。
なので、必要が無い限りは使わなくていいかと。
ただ知らないと、はい？ ってなるんで覚えときましょう。
閾値・閾値 Range
|| あれからこれへ、のこれの方
用語としては「終域」とか「像」とかのこと。
要は「写る先」（ → の右）のことです。
だいたいは「像」の意味で使われます。
↓のも含めて「定義域」とセットで覚える方が良いです。
「定義域」を矢印の「左のやつ」と。
「閾値（像・終域）」は矢印の「右のやつ」という感じで。
終域 Codomain
これは、なんでも良い「選べる集合」のことです。
「 → 」の右に来ます。
「定義する段階」で指定されるので、任意（なんでも良い）です。
なので「閾値」よりも範囲が広くなります。
像 Image
これは「 → 」の左の「集合」から、
「写像」によって得られた「集合」のことです。
つまるところ「定義域」の「集合」と、
それの「写像」によって決定されるわけです。
なので好きに指定できるものではありません。
まとめ
形式的に見ると、違いがすっきり判ります。
『像』は「 f(A)=\{f(a)\,|\,a∈A\} 」で、
『終域』は f(A) を含んだ集合「 B 」です。
『値域』はこのどちらともを指します。
そして「 f(A) 」が必ずしも「 B 」だとは限らないので、
『 image(f)⊆codomain(f) 』が成立します。
「値域」に関しては「捉え方」になります。
「終域」として捉えるなら『 image(f)⊆range(f) 』です。
「像」として捉えるなら『 range(f)⊆codomain(f) 』
まとめると、これらは↓みたいな関係になります。
『 image(f)⊆range(f)⊆codomain(f) 』
逆像 Inverse Image
これはまあ、そのまま「定義域」のどこかです。
ただしこの概念が決まる順番が「定義域」とは異なります。
「定義域」は写像が定義される段階で決まりますが、
「逆像」は「像」が決まってから決まるんです。
なんでこれで場合分けしなきゃいけないかというと、
「像の部分集合」と「写像」から得られる「逆像」は、
「定義域」からだけでは決定できないからです。
なぜなら「像の一部」から「逆写像」を使って、
「定義域の一部」を得るわけです。
像が分からないと、定義域のどの部分か分かりません。
そんなわけで中身はだいたい同じになりますが、
「定義域・始域」と「逆像」は異なります。
違う点は、その決定のされ方です。
（始域は定義からで、逆像は像と写像から）
詳しい「写り方」については長くなるので別の記事で。
そこで「単射」「全射」「全単射」とかを紹介します。
公理的集合論 Axiomatic Set Theory
|| 間違いが見つかってない集合論
そのまま『集合論』から得られた「公理」の集まりのことです。
この得られた「公理」が、「数学」のあらゆる成果の基礎になります。
詳細は長くなるので別の記事で。
全部で「 11 個」あります。
その内訳の凡その分類は「決まり」と「やれること」になります。
詳しく分けると、
まず大前提として「 \mathrm{Identity} 」（集合の存在）が。
採用されない場合があるものだと「 2 」つ。
範囲の限界として「 \mathrm{Inaccessible\,Cardinal} 」（到達不能基数）
その範囲内でのみ適用可能な「 \mathrm{Choice} 」（選択・選ぶ）
定義のやり方だと「 2 」つ。
要素を記述する「 \mathrm{Extension} 」（外延）と、
論理式で条件を記述する「 \mathrm{Intension} 」（内包）が。
ある「性質」を表すものでは「 2 」個。
正則性、包含、推移関係、比較できる「 \mathrm{Foundation} 」（基礎）
有限に収まらない「 \mathrm{Infinity} 」（無限）
残り「 4 」つは「操作」です。
入れ替えできる「 \mathrm{Permutation} 」（代入・置換）
両方含んでるものがある「 \mathrm{Union} 」（和集合）
セットを作れる「 \mathrm{Pair} 」（直積・対）
あるものを網羅して作った全体「 \mathrm{Power\,Set} 」（冪集合）
以上が「公理」の大まかな全体像になります。
詳しくは別の記事で。