集合論 Set Theory


|| 数学を説明するやつ

ずばり『数学の基礎』がこれ。

なんでもこれに結びつけようと、みんな頑張ってます。

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役割は『集合』と『写像』という概念を「数学」に与えることです。





目次


集合「なんか中身が入ってる枠みたいな感じ」

   元(要素)「集合の中身のこと」

   空集合「中身の無い集合のこと(集合という点に注意)」


   外延的記法「中身を全部指定する定義のやり方の一つ」

   内包的記法「条件に当てはまるかで判断する定義のやり方」


   帰属関係「集合と要素の関係のこと」

   部分集合「集合の一部を切り取った集合」

   帰属関係と包含関係の違い



写像「集合と集合の間にある対応」

   関係「集合の中身同士の状態を表す」


   定義域(始域)「写像があって、その時の写る前の集合のこと」

   値域(終域)「写像があって、その時の写り先の集合のこと」


   逆像「終域と逆写像から得られる像」



公理的集合論「今のところ矛盾の無い集合論」








濃度(基数)」なり「順序」といった概念がありますが、

これは長くなるので別の記事で扱います。





集合 Set


|| 中身が入ってる枠

これは「数学」に「視覚イメージ」を与えるものです。

中身になにか入れられる「輪っか」のようなものと考えてください。




ただし制約が一つだけあります。

それは『中身が確実に分かる』ことです。

分からないものは「クラス(類)」などと呼ばれます。






元・要素 Element


|| 集合の中身にあるやつ

『集合』の「中身」のことです。

『集合』そのものは「全体」を指します。




形式的には↓みたいに表されます。

『集合』を「 S 」として『元・要素』を「 e 」とすると、



e∈S



意味は「 eS に属する」です。

これを「帰属関係」と言うので覚えておきましょう。




自分は「要素」の方が意味が分かり易いので好きですが、

文字数の関係か「元」と言われることが多いです。







外延的記法 Extension


|| 中身を全部書くゴリ押し決定法

『集合』の「中身(元・要素)」を『定義』する方法の1つです。

やり方は単純で、単に「中身」をそのまま書き出す力業になります。



やってることは『具体化』です。

数値以外を使うときによく見ます。




具体例


S=\{1,2,3,4,5\} 』とか。

S=\{●,▼,■,★\} 』だとか。

S=\{( ゚Д゚),(´Д`),(;゚Д゚)\} 』とかも。



ちなみに「 ( ゚Д゚)∈S 」みたいに書けます。






内包的記法 Intension


|| 条件だけ書く横着なやり方

『集合』の「中身(元・要素)」を『定義』する方法の1つです。

「条件」を指定して、それを満たすものだよ、という感じのやり方。



やってることは『抽象化』ですね。

すごいずぼらな感じのやり方で、基本はこっち。




形式的には↓みたいに書かれます。



S=\{x∈U\,|\,P(x)\}



左が「個体(変数)」(要素を指します)の名前で(なんでもいい)

右が「元・要素」が満たす「命題(条件)」になります。

(条件が「真」になる x みたいな感じの意味)




具体例


なんか『集合・命題(条件)』があるとしましょう。

んで、全体をとりあえず「複素数 x∈C 」とします。




この時に内包的記法を使うと↓みたいになります。

「自然数」なら『 S=\{x\,|\,x\,is\,natural\,number\} 』とか。

「実数じゃない」なら『 S=\{x\,|\,x∉\mathbb{R}\} 』とか。







空集合 Empty Set


|| 空っぽの箱

ある『集合』が「要素を持たない(中身が無い)」とき、

その『集合』のことを「空集合」と言います。




形式的には↓みたいに書かれます。

ただの記号ですが超重要です。



S_{empty}=\{\}=∅







帰属関係 Membership


|| あれはこれの中にあるよって感じの関係

『集合』と『元・要素』の「関係」のことですね。



e∈S 」これです。



eS の要素だ」って言ってます。




これは『集合』が『集合の要素』だと示すのもいけます。



例えば「 S∈2^S 」みたいな。



これについて少し注意が(詳しくは↓)






部分集合 Subset


|| 集合の一部

なんかある『集合』の、その『一部の集合』のことです。

「部分」の由来は単純で、単に「元の一部」だからですね。




その「一部である」ことを厳密に言うと、要は↓です。



「部分集合だって思われてる集合」が、

「その元(Original の方)となった集合」の要素だけで作られてる。




これを形式的に表すと、その「命題(条件)」は↓になります。



[\,P(x)\,]≡[\,∀x\,(x∈s→x∈S)\,]



意訳は「 s の要素なら、 S の要素でもある」




この二つの集合にある「関係」のことを『包含関係』と言います。

形式的には『 s⊆S 』もしくは『 s⊂S

という記号で定義されてます。




ここで「命題記号」の「論理包含」と、

「集合論」の「包含関係」について確認しておきます。



この二つには、かなり重要な関係があります。それは↓です。

[\,A→B\,]≡[\,A⊆B\,] 』( GEN から)

この関係はめちゃくちゃ良く使うので必ず覚えましょう。




日常でもバリバリ使えます。

応用範囲が広すぎて、具体例が絞り込めません。




良く使う例を挙げるなら、

「~は、~だ」という文の「正しい意味」はこれで理解できます。

そのまま「~なら、~だ」も行けます。




ともかく、この「包含関係」は超重要です。

これを確実に理解して応用するだけで、勘違いが激減します。

なので必ず覚えましょう。






帰属関係と包含関係


最後に、この二つの「違い」について見ていきます。

割と深刻な話題なので、これも確実に覚えておきたいです。



まず押さえておくべきは、この二つは「違う」ということです。

混同するのは厳禁だと思ってください。



具体例からその違いを見てみましょうか。

まず「 s∈S 」と「 s⊂S 」は違います。

適当に要素を(5つくらい入れて)みれば分かると思います。



s∈S 」は「 S=\{s,x\} 」を表していて、

s⊂S 」は「 S=s∪\{x\}」を表しています。

これだけで全く違うと分かります。



s=\{e_1,e_2,e_3,...\} ですから、

s∈S なら「 S=\{\{e_1,e_2,e_3,...\},x\} 」です。

s⊂S なら「 S=\{e_1,e_2,e_3,...,x\} 」になります。






s∈S 」は「集合 s が要素である」ことを示しますが、

s⊂S 」は「集合 s が一部の要素を持つ」ことを表します。

これを押さえておかないと大変です。



例えば例のように、

『集合』を「要素」として持つ『集合』(『族』と言われる)

というものを理解しようとしたときに変な感じになります。




自分が体験した勘違いの一例ですが、

「要素である集合の『要素』」を、

そのまま「『その集合を持つ集合』の要素」として扱える、

と勘違いしてしまったことがありました。

(ほとんどの場合扱えません)



要するに直観で「推移関係」を前提にしちゃったわけです。

ちょっと複雑ですが、ここはきちんと押さえておきましょう。




形式的に記号にすると↓みたいな感じです。

A⊂B⊂C 』なら、確実に『 A⊂C

A∈B∈C 』でも、『 A∈C 』であるとは限らない

(これはちょっと↑のやつのことです)






他は長くなるので、別の記事で解説していきます。

主なトピックは『集合の演算』なんかを中心に、

順序集合』や『台集合(主基集合)』なんかを扱います。







写像 Mapping


|| 像に写らせるやつ

ざっくり言うと、なんか二つのものの「対応」のことです。

S 」と「 T 」があって、その二つがどう関わるか、みたいな。



具体的には「元(要素)」同士の対応です。

「あれはこれになる」っていう『決まりの集まり』みたいな。

見た目には「 S の元」を「 T の元」に変える感じ。

SourceTarget の頭文字)




直観的には「フィルター」のようなものと思って良いです。

砂利の塊(集合)を落とすと、ある場所(集合)に落ちる感じ。

当然、落ちないものもあれば同じ場所に落ちたりもします。




形式的には↓みたいな。



f:A→B 』の『 f 』が「写像」






関係 Relation


|| あれとそれは~です

これは「元・要素」同士の対応のことですね。(中身)

『写像』は『集合』同士の対応です。(外枠)

具体的には「要素」の写り方という感じ。




例えば「関係」には↓みたいなものがあります。

a=b,a>b 』集合上の2項関係(要素同士)

A⊂B 』冪集合上の2項関係(要素になった集合同士)

(冪集合は別の記事で)




aRb 』みたいな「2項関係」が一般的です。

たくさんの関係も、だいたいこれに分解できるので。



n 項関係『 R(a_1,a_2,...,a_n) 』なんかは、

なにかを上から抑えるために必要な時、

例えば定義かなにかでしか見ませんね。






域・始域・定義域 Domain


|| あれからこれへ、のあれの方

「写る前」( の左)の集合です。

あんま見ませんが「始集合」とも言います。




これを形式的に表すと、

Source (源)」から「 Sour(f) 」とか。



これに対して「終域」は「 Target 」から「 tar(f) 」とか。




個人的にはこの単語を使うと少し難しくなる感じがします。

なので、必要が無い限りは使わなくていいかと。

ただ知らないと、はい? ってなるんで覚えときましょう。






閾値・閾値 Range


|| あれからこれへ、のこれの方

用語としては「終域」とか「像」とかのこと。

要は「写る先」( の右)のことです。

だいたいは「像」の意味で使われます。




↓のも含めて「定義域」とセットで覚える方が良いです。

「定義域」を矢印の「左のやつ」と。

「閾値(像・終域)」は矢印の「右のやつ」という感じで。






終域 Codomain


これは、なんでも良い「選べる集合」のことです。

」の右に来ます。



「定義する段階」で指定されるので、任意(なんでも良い)です。

なので「閾値」よりも範囲が広くなります。






像 Image


これは「 」の左の「集合」から、

「写像」によって得られた「集合」のことです。



つまるところ「定義域」の「集合」と、

それの「写像」によって決定されるわけです。

なので好きに指定できるものではありません。






まとめ


形式的に見ると、違いがすっきり判ります。



『像』は「 f(A)=\{f(a)\,|\,a∈A\} 」で、

『終域』は f(A) を含んだ集合「 B 」です。

『値域』はこのどちらともを指します。




そして「 f(A) 」が必ずしも「 B 」だとは限らないので、

image(f)⊆codomain(f) 』が成立します。




「値域」に関しては「捉え方」になります。

「終域」として捉えるなら『 image(f)⊆range(f) 』です。

「像」として捉えるなら『 range(f)⊆codomain(f)



まとめると、これらは↓みたいな関係になります。

image(f)⊆range(f)⊆codomain(f)






逆像 Inverse Image


これはまあ、そのまま「定義域」のどこかです。



ただしこの概念が決まる順番が「定義域」とは異なります。

「定義域」は写像が定義される段階で決まりますが、

「逆像」は「像」が決まってから決まるんです。




なんでこれで場合分けしなきゃいけないかというと、

「像の部分集合」と「写像」から得られる「逆像」は、

「定義域」からだけでは決定できないからです。



なぜなら「像の一部」から「逆写像」を使って、

「定義域の一部」を得るわけです。

像が分からないと、定義域のどの部分か分かりません。




そんなわけで中身はだいたい同じになりますが、

「定義域・始域」と「逆像」は異なります。

違う点は、その決定のされ方です。

(始域は定義からで、逆像は像と写像から)






詳しい「写り方」については長くなるので別の記事で。

そこで「単射」「全射」「全単射」とかを紹介します。







公理的集合論 Axiomatic Set Theory


|| 間違いが見つかってない集合論

そのまま『集合論』から得られた「公理」の集まりのことです。

この得られた「公理」が、「数学」のあらゆる成果の基礎になります。




詳細は長くなるので別の記事で。

全部で「 11 個」あります。



その内訳の凡その分類は「決まり」と「やれること」になります。




詳しく分けると、

まず大前提として「 \mathrm{Identity} 」(集合の存在)が。




採用されない場合があるものだと「 2 」つ。

範囲の限界として「 \mathrm{Inaccessible\,Cardinal} 」(到達不能基数)

その範囲内でのみ適用可能な「 \mathrm{Choice} 」(選択・選ぶ)




定義のやり方だと「 2 」つ。

要素を記述する「 \mathrm{Extension} 」(外延)と、

論理式で条件を記述する「 \mathrm{Intension} 」(内包)が。




ある「性質」を表すものでは「 2 」個。

正則性、包含、推移関係、比較できる「 \mathrm{Foundation} 」(基礎)

有限に収まらない「 \mathrm{Infinity} 」(無限)




残り「 4 」つは「操作」です。

入れ替えできる「 \mathrm{Permutation} 」(代入・置換)

両方含んでるものがある「 \mathrm{Union} 」(和集合)

セットを作れる「 \mathrm{Pair} 」(直積・対)

あるものを網羅して作った全体「 \mathrm{Power\,Set} 」(冪集合)




以上が「公理」の大まかな全体像になります。

詳しくは別の記事で。