|| 主張自体は当たり前すぎる定理
数学で便利なやつらを証明できる存在定理
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「コーシーの平均値の定理」と
「ラグランジュの平均値の定理」の２つがあります。
（ラグランジュの方が基本的なので先に紹介）
内容は図で見た方が分かりやすいと思います。
数式的には
「連続で微分可能な関数 f(x) （黒線）」があって
この黒線と 2 点 a,b で交わる青線 y=mx+k がある
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}&=&m \end{array}
この青線の傾き m
これと同じ傾きを持つ赤線が存在する
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)&=&m \\ \\ &=&\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{array}
つまりこのような条件を満たす点 c が
a,b の間に存在する
これが「平均値の定理」の主張なんですが
図を見るとめちゃくちゃ直感的というか
当たり前すぎて特に疑問を持てません。
厳密な言い回し
区間 [a,b] で連続
(a,b) で微分可能な関数 f(x) について
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&c&<&b \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}&=&f^{\prime}(c) \end{array}
これを満たす c が存在する。
ラグランジュの平均値の定理を証明
この定理をより単純化した形の
「ロルの定理」に注目して考えてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(a)&=&f(a) \\ \\ f(b)&=&f(b) \\ \\ \\ g(a)&=&0 \\ \\ g(b)&=&0 \end{array}
比較すると
ロルの定理は g(a)=g(b)=0 で考えるのに対し
平均値の定理は f(a)≤f(b) で考えています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)&=&m \\ \\ f^{\prime}(c)-m&=&0 \end{array}
傾きについても
ロルの定理が 0 なのに対して
平均値の定理は m で考えています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle g^{\prime}(c)&=&f^{\prime}(c)-m \\ \\ &&f^{\prime}(c)-m&=&0 \end{array}
以上のことを見てわかると思いますが
これらの違いを「ロルの定理」に合わせて
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)&=&m \end{array}
最後にこの形に行き着けば
平均値の定理は証明されることになる。
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(a)&&→&&g(a)=g(b)=0 \\ \\ f(b)&&→&&g(b)=g(a)=0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)=m&&→&&g^{\prime}(c)=0 \\ \\ f^{\prime}(c)=m&&←&&g^{\prime}(c)=0 \end{array}
つまりそのような操作が考えられるなら
平均値の定理は証明されることになります。
ゴールに寄せる
ゴールは見えているので
どうにかして g(a)=g(b)=0 と
g^{\prime}(x)=0=f^{\prime}(x)-m を目指してみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle m&=&\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle y&=&f(a)+m(x-a) \\ \\ y&=&f(b)+m(x-b) \end{array}
このやり方はいくつかあるかもしれませんが
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(a)&&→&&g(a)=0 \\ \\ f(b)&&→&&g(b)=0 \\ \\ \\ f(x)&&→&&f^{\prime}(x) \\ \\ mx&&→&&m \end{array}
真っ先に思いつくのは
「 f(x) と a,b で交わる直線」に注目し
それを利用する方法、になると思います。
\begin{array}{cllllll} \displaystyle ？&=&\displaystyle f(x)-\left( f(a)+m(x-a) \right) \\ \\ ？&=&\displaystyle f(x)-\left( f(b)+m(x-b) \right) \\ \\ \\ 0&=&\displaystyle f(a)-\left( f(a)+m(a-a) \right) \\ \\ 0&=&\displaystyle f(b)-\left( f(a)+m(b-a) \right) \end{array}
2 点 a,b で「 f(x) と直線は交わる」
つまり「点 a,b で f(x) と直線の差は 0 」となる
これが明らかな上に
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&&&&m(x-a) \\ \\ f^{\prime}(x)&&&&m \end{array}
微分すると f^{\prime}(x) と m が
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(x)&=&\displaystyle f(x)-\left( f(a)+m(x-a) \right) \end{array}
このような関数 g(x) からは
間違いなく取り出せるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)-\left( f(a)+m(x-a) \right) \end{array}
結果、この方法は非常に理に適ってると言えます。
確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(a)&=&\displaystyle f(a)-\left( f(a)+m(a-a) \right) \\ \\ &=& f(a)-f(a)-m(a-a) \\ \\ &=&0 \\ \\ \\ \displaystyle g(b)&=&\displaystyle f(b)-\left( f(a)+m(b-a) \right) \\ \\ &=&\displaystyle f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) \\ \\ &=&f(b)-f(a)-(f(b)-f(a)) \\ \\ &=&0 \end{array}
間違いなくこのようになる上に
この都合の良い関数 g(x) は
「 f(x) と直線（１次式）の差」であるため
\begin{array}{llllll} \displaystyle g^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(x)-m \end{array}
微分するとこのような形になります。
ロルの定理を適用する
ここまで分かってしまえば
後は「ロルの定理」を適用するだけで証明できます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(x)&=&\displaystyle f(x)-\left( f(a)+m(x-a) \right) \end{array}
というのも、この g(x) は
「閉区間 [a,b] 」内で「連続」であり
「開区間 (a,b) 」で「微分可能」です。
\begin{array}{rllllll} \displaystyle \lim_{x\to t}g(x)&=&g(t) \\ \\ \displaystyle g^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(x)-m \end{array}
つまり「ロルの定理」が適用可能なため
\begin{array}{llllll} \displaystyle g^{\prime}(c)&=&0 \end{array}
このような「点 c が区間 [a,b] 内に存在する」
\begin{array}{llllll} \displaystyle g^{\prime}(c)&=&0 \\ \\ g^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(x)-m \\ \\ g^{\prime}(c)&=&f^{\prime}(c)-m \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)-m&=&0 \\ \\ f^{\prime}(c)&=&m \end{array}
ということはつまり
こういうことだとも言えるため
\begin{array}{llllll} \displaystyle y&=&f(a)+m(x-a) \\ \\ y&=&f(a)+f^{\prime}(c)(x-a) \end{array}
結果、平均値の定理の主張も満たされる。
とまあこのような流れで
この平均値の定理は証明することができます。
拡張平均値の定理
|| ラグランジュの平均値の定理より複雑なやつ
「コーシーの平均値の定理」と呼ばれる方が多い。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(b)}{b-a}&=& && f^{\prime}(c) \\ \\ \displaystyle \frac{f(b)-f(b)}{g(b)-g(a)}&=&\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{f(b)-f(b)}{b-a}}{\displaystyle\frac{g(b)-g(a)}{b-a}} &=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
見ての通り、複雑になってはいますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle x-a&&→&&g(x)-g(a) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle m&=&\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \end{array}
ただこの部分を置き換えただけなので
そんな難しく考える必要はありません。
細かな話
条件はほぼそのままなんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(b)-g(a)&≠&0 \\ \\ g^{\prime}(x)&≠&0 \end{array}
この定理では
「分母が 0 にならない」よう
こんな条件が付け足されています。
後はそのまま
f(x),g(x) は区間 [a,b] で連続
区間 (a,b) 内で微分可能
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&c&<&b \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} &=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
その時にこの条件満たす c が存在する。
証明
「ラグランジュの平均値の定理」の証明
これと流れはほぼ同様です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}&&←&&\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{array}
拡張平均値の定理の主張が
単に x を g(x) に置き換えているだけであることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)-\Bigl( f(a)+m(x-a) \Bigr) \end{array}
都合の良い関数を
\begin{array}{llllll} \displaystyle x-a&&→&&g(x)-g(a) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle m&=&\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \end{array}
単純にこう書き換えてしまえば
後はもう「ロルの定理」を適用するだけ。
これでこの定理は証明できてしまいます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle && f(x)-\Bigl(f(a)+ m(x-a) \Bigr) \\ \\ h(x)&=&f(x)-\Bigl(f(a)+ m \left( g(x)-g(a) \right) \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle h(a)&=&\displaystyle f(a)-\Bigl(f(a)+ m \left( g(a)-g(a) \right) \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle f(a)-f(a)- m \left( g(a)-g(a) \right) &=&0 \\ \\ \\ h(b)&=&\displaystyle f(b)-\Bigl(f(a)+ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \left( g(b)-g(a) \right) \Bigr) \\ \\ &&\displaystyle f(b) - f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \left( g(b)-g(a) \right) &=&0 \end{array}
確認しておくと
もちろんこの結果はこうなりますから
\begin{array}{llllll} \displaystyle h^{\prime}(c)&=&0 \end{array}
ロルの定理より
こういう c が a,b の間に存在する。
\begin{array}{llllll} \displaystyle h^{\prime}(x) &=&\displaystyle f^{\prime}(x)-\Bigl(0+ m \left( g^{\prime}(x)-0 \right) \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle f^{\prime}(x)-mg^{\prime}(x) \end{array}
以降もほぼそのまま
\begin{array}{llllll} \displaystyle h^{\prime}(c)&=&f^{\prime}(c)-mg^{\prime}(c) \\ \\ &&f^{\prime}(c)-mg^{\prime}(c)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)-mg^{\prime}(c)&=&0 \\ \\ f^{\prime}(c)&=&mg^{\prime}(c) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}&=&m&=&\displaystyle\frac{f(b)-f(b)}{g(b)-g(a)} \end{array}
ラグランジュの平均値の定理と同様
この定理の正しさは示されます。