|| 量を扱うための形式的な表現
要は「量を表す時の表現」の話です。
概要は『述語論理』の記事に書いてます。
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目次
・量化子と数学の関係「なんで真偽が判定できるのか」
・全称量化子「条件を満たすもの全てを表す」
・存在量化子「条件を満たすものが存在することを表す」
・量化子についていろいろ
真偽と量化子
そもそもの話、量化子（全て・存在するなど）は、
どうして数学で扱えるんでしょう。
疑問じゃありませんか？
「全て」も「ほとんど」も「存在する」も、
あくまで『人間の作った言語』です。
初めから『数学的に扱える』と
『分かった上でデザインされたもの』ではありません。
なのに、数学的に扱える。
どうしてなんでしょう？ 不思議ですよね。
命題記号との関連
「真偽が確定する」とは何か。
「数学的に扱える」とは何か。
これを考えるために、
まずは『意味』についての話をしてみます。
とりあえず、以下のような文を見てみてください。
「 1 は自然数だよ」
「 2 は自然数だよ 」
…
「 k は自然数だよ 」
…
これの「意味」は分かりますか？
これが「正しいかどうか」分かりますか？
まあたぶん意味は分かるし
正しいかどうかも分かると思うんですが、
実はこの「感覚」ってのが大事で、
数学では、まずこれを『モデル』として確定させます。
\begin{array}{lllll} \displaystyle M[\phi]&=&\mathrm{True \,\, or \,\, False} \end{array}
そうすることで『真偽の判別を可能』とし、
妥当な推論で定理を組み上げる
これがいわゆる『証明』なんですけど、
見ての通り、元は「言語」です。
「正しいと分かる」という『感覚』から
厳密に定義するための『モデル』を構築し、
「結果的に」正しさの判定は可能になる感じで、
根本的に、この辺りは人間の感覚に由来します。
命題と量化子
繰り返しになりますが、
もう一度↓の文を見てみてください。
「 1 は自然数だよ」
「 2 は自然数だよ 」
…
「 k は自然数だよ 」
…
実はこれが、
「量化子」と「命題」の関係
これを端的に表してるんですけど、
\begin{array}{llllllllll} \displaystyle A(k) &:=&k \,は自然数である \end{array}
\begin{array}{lllllll} \displaystyle A(1) & A(2) & A(3) &\cdots & A(n) & \cdots \end{array}
\begin{array}{lllllll} \displaystyle n&=&1,2,3,4,5,6,...,k,... \end{array}
\begin{array}{llllllll} \displaystyle 全ての \, n \, は自然数である \end{array}
どうでしょうか。
なんとなく分かりませんか？
\begin{array}{lllllll} \displaystyle A(1) & A(2) & A(3) &\cdots & A(n) & \cdots \end{array}
というのもこれ、
見て分かる通りなんか非効率です。
間にある「…」みたいな書き方に
ちょっと誤魔化されてる感じもしますし。
\begin{array}{lllllllll} \displaystyle 全ての \, n \, は自然数である \end{array}
まあだから、こうやってまとめてしまう。
この感覚はよく分かると思うんですがいかがでしょう。
全称量化子 All,Any
|| 全ての～は条件～を満たす、の形式的な表現
「 \mathrm{All,Any} 」の頭文字をひっくり返した記号 \forall で表現されます。
\begin{array}{llllllllllll} \displaystyle \mathrm{For \,\, any} &x&,P(x) &&:=&& \forall x &P(x) \\ \\ P(x)&\mathrm{for \,\, any} &x &&:=&& \forall x &P(x) \\ \\ \\ \mathrm{For \,\, all} &x&,P(x) &&:=&& \forall x &P(x) \\ \\ P(x)&\mathrm{for \,\, all} &x &&:=&& \forall x &P(x) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle∀x &P(x) &&:=&&P(a_1)∧P(a_2)∧ \cdots & \mathrm{is} &\mathrm{True} \\ \\ & &&=&& \displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x) &\mathrm{is} &\mathrm{True} \end{array}
とりあえずざっくりと。
大事な部分はこの辺りなんですが、
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall x &P(x) &&:=&& \displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x) &\mathrm{is} &\mathrm{True} \end{array}
この辺りとかよくわかんないと思うので、
これから一個ずつ解説していきます。
意訳
全称量化の定義は「 \begin{array}{llllllll} \mathrm{For \,\, all} &x&,P(x) \end{array} 」
これの直訳は『全ての x について、 x は P である』
こうなんですが、
なんか、よく分かんなくないですか？
まあ分かるならいいんですけど、
念のため、砕けた言い回しを幾つか紹介しておきます。
「全ての x は」「 P(x) という条件を満たす」
「 x は全て」「条件 P(x) を満たす」
「条件 P(x) を満たす。」「全ての x は」
「条件 P(x) は満たされる。」「全ての x で」
命題記号との関連
「全称量化」は↓を意味する
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall x &P(x) &&:=&& \displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x) &\mathrm{is} &\mathrm{True} \end{array}
これについてはちょっと考えると分かると思います。
というのも、
全ての x が条件 P(x) を満たす
ということは \begin{array}{llllll} \displaystyle x&=&a_1,a_2,a_3 \end{array} なら、
\begin{array}{lllllllllll} \displaystyle P(a_1)&∧& P(a_2)&∧& P(a_3)&&\mathrm{is}&&\mathrm{True} \end{array}
「 P(a_1) が正しい」『それでいて』
「 P(a_2) が正しい」『し』
「 P(a_3) 『も』正しい」
ということなわけですから、
つまりは「 \mathrm{and} の集まり」なわけじゃないですか。
その中でも
全称量化は『全部条件を満たす』って言ってるわけで、
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall x &P(x) &&:=&& \displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x) &\mathrm{is} &\mathrm{True} \end{array}
まあだからこうなる。
これはわりと直感的に分かると思います。
P(x) のどれか１つでも偽だと偽ですし。
存在量化子 Exist
|| 条件を満たすような～は存在する、の形式的な表現
「 \mathrm{Exist} 」の頭文字をひっくり返した記号 \exists で表現されます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{There \,\,exists} &x& \mathrm{such \,\, that} &P(x) &&:=&&\exists x &P(x) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \exists x & P(x) &&:=&& P(a_1)∨P(a_2)∨\cdots & \mathrm{is} &\mathrm{True} \\ \\ & &&=&& \displaystyle\bigvee_{x∈X}P(x) & \mathrm{is} &\mathrm{True} \end{array}
これはこんな感じで、
ちょうど、全称量化とは対になっています。
意訳
「 \begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{There \,\,exists} &x& \mathrm{such \,\, that} &P(x) \end{array} 」
これの直訳は『 P(x) となるような x が存在する』
まじでそのままですね。
「条件 P(x) を満たす x が存在する」
「 x が存在する。」「条件 P(x) を満たすような」
他にもまあこういう言い回しがありますが、
これについては特に疑問は無いと思います。
命題記号との関連
これは若干難しいかもしれません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \exists x & P(x) &&:=&& \displaystyle\bigvee_{x∈X}P(x) & \mathrm{is} &\mathrm{True} \end{array}
というのも、
これは『条件を満たさないもの』も含むので、
なんかちょっとふわっとしているというか。
\begin{array}{llllll} \displaystyle P(a_1)&\mathrm{is}&\mathrm{True} \\ \\ P(a_2)&\mathrm{is}&\mathrm{False} \\ \\ P(a_3)&\mathrm{is}&\mathrm{False} \end{array}
\begin{array}{lllllll} \displaystyle P(a_1) &∨& P(a_2) &∨& P(a_3) &&\mathrm{is}&&\mathrm{True} \end{array}
例えばこういうのも OK なわけで、
たった１つでも P(x) が真になる x があれば、
この主張・宣言は真になります。
で、肝心の「存在量化」なんですが、
『条件を満たすものが』「存在する」ということは
「 P(a_1) が正しい」『か』
「 P(a_2) が正しい」『もしくは』
「 P(a_3) が正しい」
ってことなわけですから、
全称量化同様、これは「 \mathrm{or} の集まり」で表現できます。
要点
この「量化」についてですが、
以下のことは確実に押さえましょう。
全称では「全てが正しい」ということを主張しています。
存在では「それが在る」ことを主張しています。
これらは「断定」ですので
『こうだ！』と言っていて、
それ故に、
「量化」されたものは「真」でなくちゃいけません。
「全部正しい（確定）」「存在する（確定）」なので
集合と量化子
「量化された論理式」は、
『条件に合うもの』を抜き出せるので、
\begin{array}{lllllll} \displaystyle S&=&\{ x \in X \mid \forall x \, P(x) \} \\ \\ S&=&\{ x \in X \mid \exists x \, P(x) \} \end{array}
「全称量化」も「存在量化」も
「条件を満たすものの集合」を構築できます。（集合論）
この中でも「全称量化」に関しては
「全て」を指しているわけですから、
\begin{array}{llllllll} \displaystyle \forall x\in X \, P(x) \end{array}
\begin{array}{lllllll} \displaystyle S&=&\{ x \in X \mid P(x) \} \end{array}
集合の感覚に非常に近く、
実際、この２者はこの点で深い関わりを持っています。
「全称」と「存在」の比較
この２つの「視覚的」な話をします。
というのも、これを集合を使って視覚化する場合
記号だけじゃちょっとイメージし辛いので。
\begin{array}{llllllllllllll} \displaystyle x\in X \\ \\ &\forall x &P(x) \\ \\ &\exists x &P(x) \end{array}
全称だと「個体（変数）の集合 X 」の一部を切り取る
存在だと「個体（変数）の集合 X 」の一部を指し示す
このように自分は認識していて、
実際、「存在量化」では X に手を付けません。
というのも、
「存在量化」は、要は砂を鷲掴みして、
その中にいくつか砂鉄があるよ、みたいなことを言っていて、
\begin{array}{rlc} \displaystyle S&=&\{ x \in X \mid \exists x \, P(x) \} \\ \\ &=&X \end{array}
まあつまり、
これはそのまま X である
としても、特に不都合は無いんですよ。
全称量化のように
「条件に合うものだけを抜き出す」わけではないので、
『全体 X の中に条件に合うものがある』なら、
「条件に合う x が含まれている」のあれば、
どのような集合であろうと条件は満たします。
\begin{array}{lllllll} \displaystyle A&=&\{ x \in X \mid \forall x \, P(x) \} \\ \\ B&=&\{ x \in X \mid \exists x \, P(x) \} \end{array}
\begin{array}{llllllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}&⊂&A \\ \\ A_{\mathrm{part}} &⊂&B &⊂&X \end{array}
つまりこの２者はそれぞれ、
「全称量化」であれば『１つの集合』を指していて、
「存在量化」は『条件に合う x を要素に持つ集合』を指している。
この点で、この２つは明確に異なるんです。
でまあこんな感じですから、
基本的に、実用性のある方は限定できる「全」の方で、
「存在」はぶっちゃけあんまり使いませんね。