|| 量を扱うための形式的な表現
概要は『述語論理』をどうぞ。
ざっと言うと「量を指定する表現」のことですね。
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目次
・量化子と数学の関係「なんで真偽が判定できるのか」
・全称量化子「条件を満たすもの全てを表す」
・存在量化子「条件を満たすものが存在することを表す」
・量化子についていろいろ
真偽と量化子
さて、そもそもの話ですが、なんでこれ数学で扱えるんでしょう？
疑問ですよね。どうやって「真偽の判定」を行うのやら。
「全て」も「ほとんど」も「存在する」も、
あくまで『人間の作った言語』です。
最初から数学的に扱えると分かって作られたものではありません。
なのに、数学的に扱える。
どうしてなんでしょう？ 不思議ですよね。
というわけで、その理由について考えてみましょうか。
命題記号との関連
というわけで「真偽を確定」させてみましょう。
そのために、まずは『意味』について考えてみます。
まず、量化について語る前に、以下のような文を見てみます。
「 1 は自然数だよ」「 2 は自然数だよ 」…「 k は自然数だよ 」…
見て分かる通り、なんか非効率です。
それに、間にある「…」に、ちょっと誤魔化されてる感じがします。
ともあれ、見やすいように「～は自然数だよ」を「 A 」として、
「 ～ 」の部分を「 x 」と、雑に置き換えてみると、
上の文を「 A(x) 」と省略できちゃいます。（なんでも良いです）
（これはざっくりとした命題の作り方になります）
さて、というわけで『意味』の『解釈』を行っていきましょうか。
上の文を繋げると、
「全部の x 」が「 A を満たしてる」のが分かります。
これを和訳すると、
「 1 は自然数であり 」かつ「 2 は自然数であり」かつ …
と『解釈』するのが自然です。
（どれもそうなんで）
というわけで、この文に「命題記号」を対応させてみましょうか。
すると「 A(1)∧A(2)∧…∧A(x)∧… 」と書けます。
（ ～であり かつ ～であり かつ …）
（↑こいつが正しいのは全部正しい時だけ）
はい、というわけでここで一区切り。
どうやら「 A(1)∧A(2)∧…∧A(x)∧… 」と、
「全ての x は、A を満たします」は、
同じものだと『解釈』するのが、なんか自然なようです。
はい、とにかく『意味』はこんな感じです。
普通に、直観的に理解できると思います。
というわけで、さっそく「全称量化」について見ていきましょうか。
もっと詳しく、使い方から使われ方からなにからなにまで。
（真偽についてもまだですし）
全称量化子 All,Any
|| 全ての～は条件を満たす、の形式的な表現
形式としての「記号」とその「意味」を確認します。
・記号
∀
（ All,Any の A をひっくり返してる ）
・意味
条件（命題）を P
なんか（変数）を x として、
「 ∀x\,P(x) 」の意味は、
全ての x が、条件 P(x) を満たす。
形式的な英語訳だと、
「 \mathrm{For \,any} \,x, \,P(x)」もしくは「 P(x), \,\mathrm{for \,any} \,x 」
Any じゃなく All の方が主流なのかな？「 \mathrm{For \,all} \,x, \,P(x) 」とも。
具体的な話
「量化」された『命題』の作り方を見ていきます。
とりあえずざっと見てみましょう。
まず『なんか』があります。なんでもいいです。
とりあえず「あんぎゃー！」とでもしておきましょうか。
このようなものをいくつか用意して「 x 」とします。
次に、なんらかの『文』を用意します。
これに関しては、上のに合わせて「～は文字ですよ」としましょう。
これを条件として「 Char 」という別の言い方をします。
はい、というわけで「個体 x 」と「命題 Char 」が完成。
そしてこの二つを使って「正しい文」を作ると、
論理式は「 ∀x\,Char(x) 」となります。
そしてその意味は「 x は、全て文字ですよ」です。
なぜなら「あんぎゃー！は文字であり かつ ぐわーは文字であり …」
なので「全ての x は文字」でなければ、正しくはなりません。
これの正しさを決める順番は、
「同じ条件を持つ個体が複数ある」→「正しい文だけ抜き出す」
→「それらをたくさん集める」→「量化子でひとまとめにする」です。
「量化子」はあくまで『正しいものを一纏めにしている』だけで、
「真偽の決定」は、あくまで命題の解釈に依存してます。
厳密な定義
「 x 」を「 命題 P 」を満たす「個体（変数）」としましょう。
その「 x 」の『集合』を、大文字で「 X 」としておきます。
補足
「 x∈X 」の意味は、「 x は X に属する」
例えば「 x 」が「 1 から 100 まで」なら、
「 X 」の中身は「 1,2,3,…,100 」になる。
このとき、
「 ∀x \,P(x) 」は、
\displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x)
と定義されます。
「左のが、右のように定義されてるよ」を示す記号「 := 」を使うと、
\displaystyle∀x \,P(x) \,:= \,\bigwedge_{x∈X}P(x)
と書けます。
補足
「 X 」が「 1 から 10 まで」なら、
\displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x)=P(1)∧P(2)∧…∧P(10)
という意味
これは「 X 」が『無限集合』でもOK。
というかそのためにこういう表現を使ってます。
存在量化子 Exist
|| 条件を満たすような～は存在する、の形式的な表現
定義のされ方は「全称量化」とほとんど同じ。
・記号
∃
（Exist の E を反転させてる）
・意味
「 ∃x\,P(x) 」の意味は、
P(x) を満たす x が存在する。
形式的な訳（英語）だと、
「 \mathrm{There \,exists} \,x \mathrm{\,such \,that} \,P(x) 」
具体的な話
全称量化と似たようなことをしましょう。
まず『なんか』を「 x 」として、
中身の一つを、正しいっぽい「人は全てを覚えられない」
もいっこ変なのを「人はなんでもできる」とします。（なんでもいい）
『文』を「～は正しい（直観頼り）」としましょう。
そんでまあ、さっきのように「 T 」と置きます。
これで「個体（変数）」（仮）と「命題」が完成しました。
というわけで、さっそく「存在量化」にご登場を願います。
すると、論理式（仮）は「 ∃x\,T(x) 」とできます。
意味は「 T を満たす x が存在しますよ 」です。
「全称量化」と違って「存在量化」の『意味』は、
「～が存在する」もしくは「～がある」ことなので、
「 ～でーす もしくは ～でーす もしくは ～でーす …」のように、
その中に「条件」に合うものが、
『一個でもあれば』その「文」は正しくなります。
比較すると、
「全称量化」が『正しい全てのもの』を表すなら、
「存在量化」は『正しいものが、少なくとも一つはある』を表します。
なので、たくさんある内の、どれかが合ってればいいわけです。
厳密な定義
こうです。
前提は全称量化のやつと同じとして、
\displaystyle∃x \,P(x) \,:=\, \bigvee_{x∈X}P(x)
「全称量化」との違いは、主に「 X 」です。
なんとなく分かると思いますが、確認してみましょう。
「全称量化」では、
「 X 」には「条件 P(x) 」を満たすものしか入ってません。
「存在量化」では、
「条件 P(x) 」を満たすものだけとは限りません。
確実なのは、
「条件 P(x) 」を満たす「 x 」が、
「 X 」に「確実に 1 つは」入っていることだけです。
要点
この「量化」についてですが、以下のことは確実に押さえましょう。
全称では「全てが正しい」ということを主張しています。
存在では「それが在る」ことを主張しています。
これらは「断定」ですので『こうだ！』と言ってるわけです。
なので「量化」されたものは「真」でなくちゃいけません。
「全部正しい（確定）存在する（確定）なので」
そんなわけなので「量化」された論理式の、
その「具体的なもの」を挙げるとすると、
「全称量化」なら「正しい（条件を満たす）ものの集合」になって、
「存在量化」であっても「正しいものの集合」になります。
ここは同じなんです。
（両方 X⊇S=\{\,x∈X\,|\,P(x)\,\}）（集合論）
「全称」と「存在」の違い
この二つは、当然「意味」は異なるわけですが、
他にも「正しいもの」の『選び方』が異なります。
「全称量化」では、全てが正しいです。
なので、漠然とした広がりから「正しいものだけ」を選んで、
それらを「正しいものの集合」として扱います。
これに対して「存在量化」では、在ることが確定しています。
漠然とした広がりの中に「正しいものがある」と言ってるわけです。
ですから、そのまま漠然とした広がりを扱えます。
全称では「正しいものだけとなるように、集合を限定」していますが、
存在では「正しいものがあれば、集合に手を加えない」わけです。
全称だと「個体（変数）の集合」に穴が無い
存在だと「個体（変数）の集合」に穴だらけ
と自分は認識しています。
堅い言い方をするなら、
「全称量化」は「条件（命題）」の内側しかない。
「存在量化」は「条件（命題）」の外側がある 。
としても良いでしょう。
具体例
「自然数」と「整数」を使って比較してみましょう。
たぶんそれが一番わかりやすいので。
命題「 N(x) 」を、「 x は自然数 1,2,3,4,5,... だ」
命題「 Z(x) 」を、「 x は整数 0,1,2,...-1,-2,... だ」
としましょうか。
そしてここが重要になるのですが「 x 」の範囲を決めます。
「 x∈N 」と「 x∈Z 」の二通りとしましょう。
というわけで、
「 ∀x∈N\,N(x) 」と「 ∃x∈N\,N(x) 」を見ます。
どっちも正しいです。
それでいて、この条件満たす「 x 」は、
両方、自然数のことを指してます。
しかし、
「 ∀x∈Z\,N(x) 」と「 ∃x∈Z\,N(x) 」を見ると、
左の文だけがおかしいです。
なぜなら「全ての整数」は「自然数である」条件を満たしません。
「 -1,-2 」などは「自然数ではない」ですから。
しかし「 自然数である整数」は「存在します」
なぜなら「自然数」のどの値も「整数」ですから。
（ 1 は自然数であり、整数でもある ）
簡単なものだと、こういう違いがあるわけですね。
といっても、普通は上のような式は作られません。
なぜなら「真となるもの」だけを集めて宣言するので、
「偽と分かる」ものと「真偽が不明」なものは入りませんから。
感覚的には「帰納的定義」に近いです。（全称のこと）
既にあるサンプルから、全体を正しいと言うわけですから。
「量化子の性質」は別記事にて。
「二つの記号の関係」だとか「 ∀x\,∃y\,P(x) 」みたいなのとか。