|| 数学の言語の述語について
一言で言うと、こいつは数学の「言語」です。
「命題論理」に『述語を加えた』ものになります。
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目次
・数学の言語
一階述語論理「数学の基礎知識（五十音的な）」
二階述語論理「一階述語論理より幅広い表現ができるやつ」
高階述語論理「表現の制限がほぼ無いやつ」
・無限論理「無限に長い文を許しちゃう理屈」
・量化記号の概要
全称量化「全ての（もの）は（条件）を満たす」
存在量化「（条件）を満たす（もの）が存在する」
一階述語論理 First-Order (PL)
|| 数学の基礎そのものと言って良いレベルのもの
「命題論理」を拡張した述語論理のこと。
「述語論理」っていうと
だいたいこれのことを指してると思ってOKです。
「二階述語論理」も少しは見ますが、
基本的に扱うのは「一階」のものだけ。
なんでこれがメインかというと、
これだけ「完全性」と「健全性」が証明されていて、
「実効性」ってやつも保証されているからになります。
ちなみに完全性というのは
「正しけりゃ証明できちゃうぜ」って感じで、
健全性は「証明できるなら正しいぜ」って感じ。
こいつはまあ「一階」って言ってますが、
「二階」「高階」から削りに削って出来上がったものです。
そんな感じで、これはだめあれもだめをひたすら繰り返して、
色々と性質を確認して、ようやく得られた集大成になります。
一階という字面のせいであれですが、
基本というよりは「成果」と言うべきものになります。
そんなわけなので
これは「数学と論理学の成果」って感じのものになります。
だからこそ結果的に
「数学の言語」としてこれが最も適しているわけです。
二階述語論理 Second-Order (PL)
「個体（変数）」だけじゃなく「関数」と「述語」もOKなやつ。
一階述語論理を拡張したものです。
割と実用的ではあります。
推論は妥当（正→正）なもので、健全性は確かです。
なので、これをベースに推論を行っても基本的には大丈夫です。
ただ、完全性は今のところ保証されていません。
実効性の面でも、今後も保証されない可能性が高いです。
なので、なんで正しいのかを「証明」することはできません。
ここで「実効性」（決定可能性）というやつが出てきました。
これについては、詳しくは「再帰理論」でやります。
ざっと言うと「正しいのか確実に確認できる」みたいな性質です。
二階の文法規則（量化して良いやつについて）
・ t が一階の「項」なら「 t∈S 」も原子論理式で良いよ
要は『個体だらけ（まだ真偽不明）の集合』も、
『二階では』個体扱いしちゃいますってこと。
・項「 t_1,t_2,...,t_n 」で関数記号「 f 」なら、
「 f(t_1,t_2,...,t_n) 」も原子論理式ってことにしてOK
（関数も量化してOKってこと）
・関係も同じ（ = とか ≥ とか ）
「自然数 k 」（なんでも良い）で、「 k 項関係 R 」なら、
「 R(t_1,t_2,...,t_k) 」も原子論理式ってことにして良い。
（これは要は述語のこと）
こうするとこんなのもいける。
「 ∀S∃t\,(t∈S),∀x∃f\,(f(x)=x),∀R∀t\,(R(t)) 」
一階は個体のみ量化可能だから無理
高階述語論理 Higher-Order (PL)
二階述語論理の「拡張のやり方」を延々と繰り返したやつです。
もはやなに言ってるか分からんものでも許しちゃいます。
あれもそれもこれも、なんでも「量化」して良いです。
それをぐちゃっとしたものを更に「量化」したものもOKです。
もうなにを「量化」しても許しちゃう
そんなわけでいろんなものが表現できちゃいます（真偽はどっか行く）
「階」の高さに関しては「量化」を許せる範囲の広さ、
もしくは「表現」できるものの多さ、とかだと思って大丈夫です。
一階では「個体」の量化まで許されていて、
二階では「個体の集合・ n 項関数・ n 項関係」の量化までOKです。
高階では「個体の集合の集合の集合の…」みたいな感じ。
要は制限を取っ払ってるわけですね。
無限論理 Infinitary Logic
簡単に言うと「無限？ ああ、いいよいいよ」って感じのやつです。
「 1,2,3,... 」みたいなのを許しちゃう論理になります。
「言明（はっきりした主張）」も「証明」でもOKです。
というか、上の二つがメインになります。
なんとなく直観で分かる通り「無限」を許しちゃうので、
それがあってるかどうかの確認ができません。
帰納的に定義したりして「有限」に収めたらいけますが、
そういうのができないやつはお手上げです。
なので完全性の証明も有限の範囲じゃ無理です。
規則の概要
式「 A_α 」なら、
「 A_0∧A_1∧A_2∧... やら A_0∨A_1∨A_2∨... 」も、
「式」ってことにして OK みたいな感じのものになります。
この辺の詳細は、あらかた書き終わった後に追加します。
とりあえず一旦この辺りで終わりにして、
ちょくちょく出てきていた「量化」について見ていきましょうか。
量化子 Quantifier
|| 量で表すやり方
簡単に言うと、なにかの「量を指定する述語」のこと。
具体的には、
「そこにあれが少なくとも1つある」の「少なくとも～ある」とか。
「全てのものには意味がある」の「全て～ある」とか。
「ほとんどいけるって」の「ほとんど～」とか。
「何個かちょうだい」の「何個～」とか。
こんな感じの、
なんか「量を指定する」ことを量化と言います。
基本量化子
はい、そんな「量化」ですが、基本的なものが2つ存在します。
その二つについてざっくりと紹介をしていきましょう。
結論から行くと「全称」と「存在」のことです。（？）
説明のために、
なんらかの条件（命題）を「 A 」として（趣味であるみたいな）
その条件を満たすものを「 x 」としましょう。（読書みたいな）
全称量化 All,Any
記号だと「 ∀x\,A,∀x\,A(x),∀x\,(A),∀x\,[A(x)] 」みたいに書きます。
これの意味は、直観的なものとしては、
「 全ての x は、条件（命題） A を満たします」だとか。
「 命題 A を満たす、全ての x 」だとか。
よく見る形式的な言い回しだと、
「全ての x に対して、 A が成立する」だとか。
存在量化 Exist
記号は「 ∃x\,A,∃x\,A(x),∃x\,(A),∃x\,[A(x)] 」と書きます。
全称量化もそうですが、この辺は好みです。
（自分は一番右のが好きですね。分かり易いんで）
直観的に理解しやすい意味としては、
「条件 A を満たす x が存在しますよ」だとか。
「条件 A に合う x はある」だとか。
お堅いやつだと、
「 A を満たす x は存在する 」だとか。
詳細は「量化子」の別記事にて。
