|| 判断基準の集まりを扱う感じ
ここでは、主に『意味』について扱っていきます。
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言語学の大分野になる『意味論 Semantics』と考えて良いです。
まあ、よく分からん人は『意味』についてって考えて良いと思います。
（自分もそんな感じの認識）
目次
・モデル「これはこう、と決める判断基準の集まり」
真理値「真偽を表す値のこと（ 0,1 とか）」
真理値割り当て「真理値を命題に割り当てる関数」
・解釈「基準に、判断されるもの（文）を入力する感じ」
・まとめ
なんとなく見て分かる通り『哲学』っぽいです。
実際、下半身は『哲学』にずっぽりです。
まあ上半身は『数学』に飲み込まれてるわけですが。
モデル Model
|| 判断基準の塊
モデルって何？ という感じだと思うんで、
とりあえずこれについての説明を行っていきます。
結論だけを述べると、これは「基準（付値）」のことです。
情報が入ってきたら、その基準を使ってどっちか判断します。
具体的には「分かるもの」と「分からないもの」の二つに。
「真理値を割り当てるもの」と言い換えても良いでしょう。
直観的な話をすると『意味』を与える枠のようなものです。
この最低限の基準である「分かる」「分からない」がメイン。
それを決定する「判断の基準」が大量に詰まってます。
（例えば法律とか個人の価値観とか）
プログラミング的な感じで言うなら、
なにか情報が入ってきたら「Yes,No」のどっちかを返す感じ。
感覚的な話をすると、いわゆる人の判断がこれの一部です。
金銭に余裕があれば、誰かに施しをする人もいます。
しかし、同じような条件でも施しをしない人もいる、と。
プログラミングで言うなら「 \mathrm{if} 文の塊」ですね。
そのときはそれ、このときはこれ、とする基準が詰まってます。
その塊のことを「モデル」と呼んでるわけです。
これの作られ方はいろいろ考えられますが、
その作り方は、基本的に『構造』と言われます。
これについての詳細は別の記事で。
充足する Satisfy
この「充足する」という言葉の意味は、
「モデルである」ということと同じ意味になります。
単なる用語です。
なので、とりあえずその内訳をざっと見ていきましょう。
そのために、いくつか決まりを用意します。
まずなんらかの「論理式」を「 ( ﾟДﾟ) 」と置きます。（なんでもいい）
次に「真を示す値」を「 ⊤ 」とします。
（真を「正しいと分かる」と考えて良いです）
ここから、未だに紹介していないものになります。
ともあれ、先に大枠を見せるためにこんな感じに書きます。
ある「モデル」を「 M\,(Model) 」と表します。
これを使って、実際にどういう振る舞いをするか見てみましょう。
その振る舞いから「モデル理論」の大雑把な感じを掴んでください。
というわけで、実際に「真理値を割り当て」てみましょう。
結論としては「 M[( ﾟДﾟ)]=⊤ 」となります。
これがなにを表しているかというと、
意訳すると↓みたいな感じ。
『文 ( ﾟДﾟ) 』は、この『モデル』の『解釈』によると『真』
ここでの「 M 」が『モデル』のことで、
「 M[( ﾟДﾟ)] 」を『解釈』と言います。（？）
これが『モデル理論』の、全体像の感覚になります。
はい、まあよく分からんですよね。
（自分は最初 は？ ってなりました）
ともかく用語が多くてあれなので、
一つずつじっくりと見ていきましょうか。
真理値 Truth Value
|| 正しいか変かを表すなにか
主に「真」「偽」を表す「値」のことです。
詳しくは『真理値』の記事を参考にしてください。
真理値割り当て Truth Assignment
|| 真理値の割り当てをするやつ
「なにか（論理式とか）」に「真理値」を割り当てるものです。
『モデル』の一種と思って良いです。
こんだけじゃ、まあそうだろってなると思います。
けど、だからそれどういうことなの？ となると思うので、
どんな感じのものなのか見ていきましょう。
実際に真理値を割り当ててみる
なにか「文」だったり「論理式」だったりがあるとします。
これを「 φ 」としましょう。（お好きに）
この時点では、まだ「 φ 」には「真偽」が定まってません。
でも、なんとかして「真偽を定めたい」ので、
「 φ 」に、その値を割り当てる「付値 M 」を用意します。
（要するに真偽を定める基準を持ってくるということ）
これを使って「 φ 」を「真（ 1 ）」だと示してみましょう。
すると「 M[φ]=1 」という感じになります。はい。
そして、この「 M 」こそが「真理値割り当て」の正体なわけです。
（M は Model の M）
以上、詳細は『真理値割り当て』にて。
解釈 Interpretation
|| これはこれだという判断
要は『文』を『モデル』にぶち込んだ『結果を返す』もののこと。
形式的には「 M[φ] 」のことです。
（ M をモデル、 φ を文とします ）
直観的には「判断」のようなものと考えて良いと思います。
これを詳しく理解するためには『論証』の知識が必要ですが。
ともかく大枠としては↓みたいな。
直観を形式にしたものが「 M[φ] 」です。
なんか「基準（モデル） M 」があって、
「主張（文） φ 」が与えられて、
「真」にするか「偽」にするか迷うような感じ。
感覚的な「解釈」とそう違いは無いように感じます。
ですから、この形式的な表現で特に問題ないでしょう。
実際、今までこれで特に問題らしい問題は無かったので。
厳密な定義
形式としては、これは「帰納的に定義」されています。
ざっくり言えば「命題論理」を元に定義されてる感じです。
厳密に、数学的に扱いたいんで。
ともかく、まずは「定義」に必要な材料を並べてみましょうか。
ざっと用語について見てみましょう。
命題変数
「 P 」を、なにかを主張する『文』としておきます。
この「 P 」が命題変数です。
『 P 』を和訳すると「～は～だよ」「～は～です」みたいな。
真理値割り当て
記号「 M 」としておきます。
「 M[φ] 」は「真か偽」を出力します。
論理式
「命題変数」から作られた「式」として「 φ,ψ 」とします。
この「 φ,ψ 」がいわゆる論理式です。
その中身を、例えば 3 個のものから作られたなら、
「 A(P_1,P_2,P_3) 」と表します。
解釈の定義
大きく分けて4つ、それを分けて2ブロックで構成されてます。
繰り返しますが、あくまで「形式的な表現」であることに注意。
この構成をざっと説明すると、
「命題定数」についてと「命題変数」について。
「アリティ 1 の記号」についてと「アリティ 2 の記号」について。
分けてこの四つで、
「命題について」と「記号について」で二つです。
1. 「命題定数」と「命題変数」
つまり「原子命題・原子式」について。
1.1 「命題定数」について
原子式「 ⊤,⊥ 」（真もしくは偽）とすると、
『 M[⊤]=⊤,M[⊥]=⊥ 』であるとする。
（要は正しけりゃ正しくて、変なら変って言ってるだけ）
1.2 「命題変数」について
原子式「 P_i 」とすると（ i は変数じゃなくて添え字）
『 M[P_i] 』は、P_i の「真理値割り当て M 」が決める、
「値（真か偽）」である。
（要は『解釈』は『モデル』によって決まるってこと）
「 解釈 ⊨ 閉論理式 」となってしまうことを覚えておきましょう。
（真偽が確定するので）
2. 「論理式」と「命題記号」について
当然に感じられることを決めています。
（真理値を見れば明らか）
2.1 「否定」の「記号」について（アリティ 1 の記号）
論理式を「 φ 」とすると、
『 M[￢φ]=￢M[φ] 』である。
（要は「真偽の入れ替え」なので、直観的に納得できます）
2.2 「結合」の「記号」について（アリティ 2 の記号）
論理式を「 φ,ψ 」とすると、
『 M[φ∧ψ]=M[φ]∧M[ψ] 』
『 M[φ∨ψ]=M[φ]∨M[ψ] 』
『 M[φ→ψ]=M[φ]→M[ψ] 』
『 M[φ↔ψ]=M[φ]↔M[ψ] 』
以上が『解釈の形式的な表現』になります。
どれも特別なことを言ってるわけではありませんので、
単にこういう感じだと思っておけば良い感じです。
まとめ
「真理値割り当て M 」が「論理式」の「モデル」である。
もしくは「真理値割り当て」が「論理式」を「充足する」とは、
どういうことか整理してみます。
これを意訳すると↓のようなことを言ってます。
命題変数「 P_1 」に、真理値「 M[P_1] 」を割り当てる。
命題変数「 P_2 」に、真理値「 M[P_2] 」を割り当てる。
…
命題変数「 P_n 」に、真理値「 M[P_n] 」を割り当てる。
こうすると、論理式「 A(P_1,P_2,...,P_n) 」の、
『真理値』が「真になる」ということ。
要は「その論理式のモデル」なら、
「そのモデルでは、その論理式は正しいよ」ってことです。
もっとふわっといくなら、
「その中じゃ、正しいってことにしました（根拠なし）」みたいな。
「正しい」じゃなくて「間違ってる」じゃいけないのか？
となると思うので、ちょっとこれについても話します。
「正しい」ことにする理由というのは、当然あります。
というのも、「正しい」と「正しくない」の二つは、
厳密には正反対ではないのです。
というのも、「正しくない」とは、
「確実に間違っている」ことを表すか、
「正しいかどうか分からない」ことを表しています。
ここで曲者なのが「分からないやつ」です。
これは「正しいかも間違ってるかも分からない」んです。
ですから、「とりあえず分かりやすい」から、
「正しいと分かる」ものと、
「分からないから偽にしておく」ものに分けるわけです。
つまり「間違っていることが分かる」なら、
単にこれを「否定」して「正しい」とできます。
なら、わざわざ二通りでやる理由も無いでしょう。
成果
この『モデル理論』で発見されたすげえのをざっくり紹介します。
『集合論』の知識やらなんやらがいるので説明は省きますが、
その一つが『レーヴェンハイム・スコーレムの定理』です（別記事で）
他にも『コンパクト性定理』なんかがあります（これも別記事）