|| 数が並んでる
数が横並びになってるやつ
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目次
数列「そのまま数が並んでる感じ」
用語「項とか初項とか」
等差数列「たくさん足し算」
等比数列「たくさん掛け算」
漸化式「規則性のある数列の表現方法」
数列 Sequence
|| 数の並び
数が並んでる感じ
\begin{array}{cccccccccc} \displaystyle 0&1&2&3&4&5& \\ \\ 8&2&2&2&7&9&1&4&3 \\ \\ a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k \\ \\ 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&\cdots \end{array}
こういうやつです。
規則性が特に無いやつも含みます。
数列に関する用語
「項 a_n 」「初項 a_1 」「末項 a_{n+1} 」
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_1&=&a_1 \\ \\ a_{n+1}&=&a_n+d \\ \\ &=&a_1+nd \end{array}
「等差数列」「公差 d 」
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_1&=&a_1 \\ \\ a_{n+1}&=&a_n+d \\ \\ &=&a_1+nd \end{array}
「等比数列」「公比 r 」
\begin{array}{llllll} a_0&=&a_0 \\ \\ \displaystyle a_{n+1}&=&a_n r \\ \\ &=&a_0r^{n} \end{array}
「漸化式」「隣接二項間漸化式」
「定数係数線型隣接二項間漸化式」
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{n+1}&=&f(a_n) \\ \\ a_{n+1}&=&f(a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0) \\ \\ \\ a_{n+1}&=&pa_n+q \\ \\ a_{n+1}&=&p(n)a_n+q(n) \end{array}
いろいろあって
この辺りは暗記です。
特に語ることはありません。
等差数列 Arithmetic Sequence
|| どんどん足していく感じ
「同じ数 d 」を足して並べる感じ
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_0&=&a_0 \\ \\ a_{n}&=&a_{n-1}+d \\ \\ &=&a_1+(n-1)d \\ \\ &=&a_0+nd\end{array}
\begin{array}{cccccccccccccc} \displaystyle 1&3&5&7&9&11&\cdots&1+(n-1)2 \\ \\ 2&5&8&11&14&17&\cdots&2+(n-1)3 \end{array}
d を「公差」と言います。
（あんま使う単語じゃないです）
等差数列の和
これは「初項・末項」と
「等差」のみに置き換えられるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k &=&a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n \\ \\ &=&\displaystyle\overbrace{ (a_0+0d)+(a_0+1d)+\cdots+\Bigl( a_0+(n-1)d \Bigr)+ \Bigl( a_0+nd \Bigr) }^{n+1} \\ \\ \\ \\ &=&a_n+a_{n-1}+\cdots+a_2+a_1+a_0 \\ \\ &=&\displaystyle \overbrace{ (a_n-0d)+(a_{n}-1d)+\cdots+\Bigl( a_n-(n-1)d \Bigr)+ \Bigl( a_n-nd \Bigr) }^{n+1} \end{array}
「初項 a_1 」と「末項 a_n 」の違いから
\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k+\sum_{k=0}^{n}a_k&=&(n+1)(a_0+a_n) \\ \\ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k&=&\displaystyle\frac{1}{2} (n+1)(a_0+a_n) \end{array}
総和を導くことができます。
等比数列 Geometric Sequence
|| 等差数列の掛け算バージョン
「同じ数 r 」を何回も掛けて並べる感じ
\begin{array}{llllll} a_0&=&a_0 \\ \\ \displaystyle a_{n+1}&=&a_n r \\ \\ &=&a_1r^{n} \\ \\ &=&a_0r^{n+1} \end{array}
\begin{array}{ccccccccc} \displaystyle \textcolor{gray}{1}&2&4&8&16&\cdots&2^n \\ \\ \textcolor{gray}{2}& 6&18&54& 162 &\cdots&2\times 3^n \end{array}
r は「公比」なんて呼ばれたりします。
呼ぶことあんまりないですけど。
等比数列の和
こいつらの和は ↓ みたいになります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k &=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_0r^k \\ \\ &=&a_0+a_0 r+a_0 r^2+\cdots+a_0r^n \end{array}
\begin{array}{rllllll} \displaystyle S&=&a_0r^0+\textcolor{gray}{a_0 r^1}+\textcolor{gray}{a_0 r^2}+\cdots+\textcolor{gray}{a_0r^{n-1}}+\textcolor{gray}{a_0r^{n}} \\ \\ rS&=&\textcolor{gray}{a_0r^1+a_0 r^2}+\textcolor{gray}{a_0 r^3}+\cdots+\textcolor{gray}{a_0r^{n}}+a_0r^{n+1} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle S-rS&=&a_0r^0 -a_0r^{n+1} \\ \\ S(1-r)&=&a_0(r^0-r^{n+1}) \\ \\ &=&a_0(1-r^{n+1}) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_0r^{k}&=&\displaystyle a_0\frac{1-r^{n+1}}{1-r} \end{array}
少々複雑ですけど
わりと簡単に求まります。
漸化式 Recurrence Relation
|| 規則的な数列を表現するためのやつ
「差分方程式」なんて呼ばれることもあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{n+1}&=&f(a_n) \\ \\ \\ a_{n+1}&=&pa_n+q \\ \\ a_{n+1}&=&p(n)a_n+q(n) \end{array}
一般形は ↓ なんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{n+1}&=&f(a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0) \end{array}
まあこっちはほぼ使わないので
「 2 項」「 3 項」のものだけ覚えてれば OK です。
隣接二項間漸化式
|| 一番実践的な規則性のある数列の形
最もよく見る漸化式の形のこと
\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{n+1}&=&f(a_n) \\ \\ \\ a_{n+1}&=&pa_n+q \\ \\ a_{n+1}&=&p(n)a_n+q(n) \end{array}
こいつにはこんな名前がついてますが
まあ使うことはほぼありません。