命題論理 Propositional Logic


|| 思えば命題ってなんだっけ?

数理論理学の基礎だということは、先に述べた通りです。



ではなぜ基礎なのかというと、

要は主題として「命題を扱う」からになります。

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目次


命題「真偽が確定している主張・文・言明・断言」

命題変数「命題を表す『文字』のこと」

命題定数「真偽が確定してる命題を表す『文字』のこと」

原子命題・原子式「命題変数と命題定数でできた命題」


命題記号へ続く









さて、じゃあそもそも命題って何?

となると思いますので、命題について見ていきましょう。







命題 Proposition


|| 意味あるもの

「真偽が確定した言明」のこと。

(言明:はっきりした主張, 断言)



これは論理学での意味となります。

ただ、見て分かる通りこの「命題」は、

数学的に重要な性質を持っています。



その性質とは、他の記事でも散々語られた通り、

「真偽が確定している」という性質のことです。



この性質のおかげで、ある「なにかしらを主張する文」を、

数学的に扱えるようになります。






具体例


そんな命題の具体例をいくらか紹介します。




真のものだと、

2 は偶数である」だったり、

「俺は俺だ」とかであったり。



偽のものだと、

0 は超越数である」だとか、

「あのおっさんは全知全能の神である」だとか。

(うるさい人のために「同一律」と「全知全能の神は観測できない」
という公理を採用していると宣言しておきます)




これに対して、真偽が確定していないもの、

例えば「あれら(分からん)は、数である」みたいな。



書き直すと「 x は数である」みたいなものだと、

これを「述語」と言います。






命題に関する用語


3つ紹介します。

この3つですが、最終的には論理式に行き着くので、

そこを念頭に見ていきましょう。



ではまず「文字」に関する用語を見ていきます。

これらはこのまま、文字として覚えておけば良いと思います。






命題変数 Propositional Variable


|| 命題を変数で表す感じ

まんま「命題を示す変数」を表す『文字』のことを指します。

いわゆる形式的な表現方法のことですね。



代表的なものであると、頭文字から、

P,Q,R 」というような文字で命題を表すことが多いです。






命題定数 Propositional Constant


|| 命題を定数で表す感じ

これも文字通りで「命題を示す定数」を表す『文字』のことです。



定数といっても「真な命題」と「偽な命題」の2種類しかありません。

なぜなら「命題」は真偽が確定していますので、

とり得る値は「真か偽だけ」となるからです。




「真なる命題」を「恒真(いっつも真)命題」と言って、

1,⊤,T,True 」のように表します。



「偽なる命題」は「恒偽命題」と言って

0,⊥,F,False 」というように表します。




命題変数と同様、

あまり多用される単語ではありませんが、覚えておきましょう。

普通に「変数」「定数」と覚えてもそう差支えはありませんので。




次に、上で紹介された2つの「文字」から「論理式」を作ります。






原子命題・原子式 Atomic Proposition


|| 原子っていうと大体一番ちっさい感じ

「単一の」命題変数もしくは命題定数で作られる『論理式』のこと。

(命題定数を含めない場合もある)



要は、論理式の最小単位のようなものですね。

「命題」から論理式を得た、ということを強調しています。




似たような概念として「原子論理式・整式」があるかと思われます。



これもまた論理式の最小単位ではあるのですが、

意味が若干、「原子命題」とは異なります。




というのも『原子論理式』は「採用される記号」で決定されますが、

『原子命題』は「命題定数」と「命題変数」によって定まります。



そして「命題変数」は『原子論理式』によって定まるので、

『原子命題』は、『原子論理式』の後に決定されるわけです。






まとめるとこんな感じ。



『採用される記号』が決定

→ 『原子論理式』が定義される

→「命題変数」が厳密に定義される

→ 『原子命題』が完成







命題記号


|| 命題(命題論理)で使われる記号

これは『命題を組み立てる』で紹介した「結合記号」のことです。




これに関しては長くなってしまうので、独自に項目を設けます。