公理的集合論 Axiomatic Set Theory

 

|| 集合論から得られた数学の公理

『集合論』を基礎に得られた「成果」のこと。

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あらゆる『形式体系』の「正しさ」は

この公理によって保証されています。

 

 

 

 

 


目次

 

同一律「それがそれ自身だっていう保証」

 

 

定義の一意性

   外延性の公理「中身が同じなら同じもの」

   内包性の公理「条件を使って集合が作れる」

 

 

性質の保証

   基礎の公理「下地がちゃんとある」

   無限公理「有限じゃない集合がある」

 

 

操作の保証

   置換公理「集合から別の集合が作れる」

   和集合の公理「全体みたいな集合がある」

   対の公理「ペアリングできる」

   冪集合の公理「部分集合を全部集めた集合がある」

 

 

選択とその限界

   到達不能基数「中身が分かるサイズの限界」

   選択公理「選んだものだけで集合が作れる」

 

 

空集合の存在「要素を持たない集合の存在」

 

 

基本操作

   積集合「共通部分になる集合」

 

 

その他の公理

 

 

 

 

 


必要な知識

 

これの基盤になる部分なので

集合論』と『集合』の知識は必須です。

 

 

またそれを表す形式的表現として

量化記号』が使われるのでこれも必須。

 

 

最後に、上から抑える概念として

基数』も知っておきたいところです。

 

 

 


 


集合の存在公理 \mathrm{Identity}

 

|| これがないとはじまらない

いわゆる『同一律』のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S&\Bigl( S=S \Bigr) \end{array}

 

「それがそれ自身だ」っていう保証ですね。

当たり前すぎて語ることは特にありません。

 

 

 


 


外延性公理 \mathrm{Extension}

 

|| 定義のやり方その 1

「外延的記法」の形式的な表現。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_X∀S_Y &\Bigl( & \Bigl( \textcolor{skyblue}{∀e} \Bigl[ (e∈S_X)⇔(e∈S_Y) \Bigr]\Bigr) ⇒ \Bigl[ \textcolor{skyblue}{S_X=S_Y} \Bigr] & \Bigr) \end{array}

 

これは意訳は「中身が一緒なら同じ」です。

まあこれも当然の話ですね。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{1,2,3\}&=&\{2,1,3\} \\ \\ &=&\{3,1,2\} \\ \\ &=&\{1,1,2,3,3\} \end{array}

 

具体的にはこういう感じ。

 

 

順番が意味を持つ場合

要素は「順番とセットのペア」にしなければ

この場合、区別されることはありません。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1,2,3 &&→&&\{ (1,1),(2,2),(3,3) \} \\ \\ 2,1,3 &&→&&\{(2,1),(1,2),(3,3)\} \\ \\ 1,2,3,2 &&→&&\{ (1,1),(2,2),(3,3),(2,4) \} \end{array}

 

まあつまりこういう風にしなければ

「並び順」や「重複」は無視されます。

 

 


 

 

内包性公理 \mathrm{Intension}

 

|| 定義のやり方その 2

「内包的記法」の形式的な表現のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{intension}}&=&\{e∈S_{\mathrm{domain}} \mid φ(e) \} \end{array}

 

これの意訳は ↓ みたいな感じです。

「条件 φ 」を満たす『要素 e の集まり』

 

 

厳密な定義は

『論理式の有限の列 φ=(w_1,w_2,...,w_n) (条件)』から

論理式(条件)を満たす『要素』が得られる、という感じで

 

 

まあつまり意訳のような内容のことを言っているので

そんな難しく考えなくて良いです。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle e∉S \\ \\ e∈A∧e∈B \\ \\ 1≤n<10 \end{array}

 

実際、有限列の論理式 φ の中身はこんな感じで

そんな複雑なのはあまり使われません。

 

 

 

 

 

論理式と集合

 

「内包性公理」を見て分かると思いますが

『整論理式 Well-formed Formula』は

「条件を満たす要素」を持った『集合』とみなせます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle e∈S_d∧φ \\ \\ (e∈S_d)∧(e∈w_1)∧(e∈w_2)∧…∧(e∈w_n) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_d∀w_1,...,w_n&\Bigl( &\textcolor{skyblue}{∃S}\,∀e\,\Bigl[\,(e∈S)⇔(\textcolor{skyblue}{e∈S_d∧φ}) \,\Bigr] & \Bigr) \end{array}

 

まあつまり「内包性の公理」は

こういう風に書くことも可能です。

 

 

 

 

 

余談になりますが

この『論理式』というものは

「数学」上では「一階述語論理」のものに限定されます。

 

 

まあつまり基本的には

「論理記号」「非論理記号」で書かれるものに限定されます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∧&∨&→&¬&&\forall &\exists \\ \\ ∩&∪&⊂&\overline{S} \end{array}

 

ちなみに「非論理記号」には特に制限が無いので

『矛盾が生じない限り』という制約はありますが

どのような記号を追加しても特に問題はありません。

 

 

 


 


正則性公理 \mathrm{Foundation}

 

|| 基礎(材料と作り方)があることの保証

「基礎の公理」「整礎的」なんて言われることもあります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{skyblue}{∀S}&\Bigl( &[\,S≠∅\,]⇒\textcolor{skyblue}{∃s}\Bigl[ \,(s∈S)∧\textcolor{skyblue}{¬(∃e_c\,(e_c∈S∧e_c∈s)}) \, \Bigr] &\Bigr) \\ \\ \textcolor{skyblue}{∀S≠∅}&\Bigl(&\,\textcolor{skyblue}{∃s∈S\,[\,s∩S=∅\,]} &\Bigr) \end{array}

 

まあ要は「下地がちゃんとある」って話で

『それがどうやって』『なにで』作られたのか

きちんと分かる、ってことをこれは主張しています。

 

 

言い換えるなら ↓

『無限降下列 S_1∋…∋S_n∋… は存在しない』

S∈S となる集合は存在しない』

 

 

 

 

 

論理式の解説

 

公理を表現する論理式がちょっとごちゃってるので

↓ を意訳して内容を整理してみます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \textcolor{skyblue}{∀S}&\Bigl( &[\,S≠∅\,]⇒\textcolor{skyblue}{∃s}\Bigl[ \,(s∈S)∧\textcolor{skyblue}{¬(∃e_c\,(e_c∈S∧e_c∈s)}) \, \Bigr] &\Bigr) \end{array}

 

Ss の間には『共通する要素 e_c 』が存在しない」上に

「帰属関係 s∈S が成立する」ような

「そんな条件を満たす『集合 s 』が存在する」

 

 

すると、これはこういう意味ですから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{skyblue}{∀S≠∅}&\Bigl(&\,\textcolor{skyblue}{∃s∈S\,[\,s∩S=∅\,]} &\Bigr) \end{array}

 

『共通する要素を持たない下の集合』

そんなの『集合 s の存在』を保証してることが分かります。

 

 

ただこれだけじゃ

「なんでこれが『基礎』を保証するのか」

よく分かんないと思うので、これから解説していきます。

 

 

 

 

 

正則性公理の役割

 

根本的に、こいつは『クラス』を排除するためのもので

論理式は『無限降下列』『自己参照』に矛盾する

 

\begin{array}{cccccccccccccc} \displaystyle \cdots &∈&S_{n-3}&∈&S_{n-2}&∈&S_{n-1}&∈&S_n \\ \\ \cdots &∈&S&∈&S&∈&S&∈&S \end{array}

 

その結果として

「降下列の一番下」が存在する

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_0&∈&\cdots&∈&S_{n-2}&∈&S_{n-1}&∈&S_n \end{array}

 

つまり『基礎 S_0 』が存在しなければおかしい。

 

 

とまあこんな感じになっていて

この論理式のみから、直接的に、直感的に

『基礎』の存在を読み取ることはできません。

 

 

 

 

 

矛盾する集合

 

「無限降下列」が存在しないこと

こちらはわりと直感的に分かると思います。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots &∈&S_{n-3}&∈&S_{n-2}&∈&S_{n-1}&∈&S_n \end{array}

 

ただ、クラスの方はよく分からないですよね。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \cdots &∈&S&∈&S&∈&S&∈&S \end{array}

 

なんでこれが存在しないと保証できるのか。

この時点じゃよく分からないと思います。

 

 

ただ、これはわりと単純な話で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{pdx}}&=&\{S\} \\ \\ &≠&∅ \end{array}

 

例えば『自己参照する集合 S 』を「要素に持つ」

こういった「一元集合 S_{\mathrm{pdx}} 」を考えてみると、

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{pdx}}&≠&∅ \\ \\ S&∈&S_{\mathrm{pdx}} \\ \\ S&=&S_{\mathrm{pdx}}∩S \end{array}

 

『正則性公理が保証する集合 s 』が

「集合 S_{\mathrm{pdx}} のパターンでは存在しない」

ということが分かるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S&=&\{ ...,S,...\} \end{array}

 

「自己参照する集合 S を要素に持つ」

『全ての S_{\mathrm{pdx}}≠∅ で成立する』に反しますから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S&∈&\{...,S,...\}&=&S&∈&S_{\mathrm{pdx}} \end{array}

 

こういった自己参照する集合 S は存在しない

ということが間接的に保証される、と言えます。

 

 


 

 

無限公理 \mathrm{Infinity}

 

|| 限りが無い集合がありますよ

一般形は「原子帰納的関数」の一種である

「後者関数 \mathrm{Successor \,\, Function}」で表現されます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S&\Bigl(& (∅∈S)∧\Bigl( ∀e∈S\,(\textcolor{skyblue}{\mathrm{Suc}(e)∈S}) \Bigr) &\Bigr) \end{array}

 

ただこれだとなんかよく分かんないですよね。

「後者関数」が抽象的でふわっとしてますし。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S&\Bigl(& (∅∈S)∧\Bigl( ∀e∈S\,(\textcolor{skyblue}{e∪\{e\}∈S}) \Bigr) &\Bigr) \\ \\ ∃S&\Bigl(& (∅∈S)∧\Bigl( ∀e∈S\,(\textcolor{skyblue}{2^e∈S}) \Bigr) &\Bigr) \end{array}

 

というわけで書き直すと

「無限公理」はこのように書くことができます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(e)&=&e∪\{e\} \\ \\ \mathrm{Suc}(e)&=&2^e \end{array}

 

『後者関数』の代表的なパターンですね。

この辺りは「自然数」の話で見慣れているかと。

 

 

 

 

 

無限の存在

 

『無限が存在すること』を確認してみます。

そのために以下のような集合を定義。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall S∈N&S∈S_{\mathrm{lim}} \end{array}

 

S_{\mathrm{lim}} は『有限の最大の集合(仮定)』とします。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(e)=e∪\{e\} \end{array}

 

この上で後者をこのようにしてみましょうか。

すると、これは定義通りなら

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{lim}}∪\{S_{\mathrm{lim}}\}∈S_{\mathrm{suc}} \end{array}

 

『後者』を作ることができます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{lim}}∪\{S_{\mathrm{lim}}\}&∉&S_{\mathrm{lim}} \\ \\ \end{array}

 

そしてこの『後者は最大のものより大きい』ので

S_{\mathrm{lim}} 』はそれより小さいものに。

 

 

つまり「最大(仮定)な有限集合」は

『後者の存在』を認める場合

確実に最大じゃなくなりますから

 

 

「最大である」という仮定は事実と反する

つまり矛盾してしまうので、

有限になるのはアウト、となります。

 

 

 

まとめると、

「人間に理解できる」『無限の本質』は

後付けできる『後者』にある。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Number}_{\mathrm{max}}&<&\mathrm{Number}_{\mathrm{max}}+1 \end{array}

 

「後者」を『限りなく定義できる』以上

『有限でないもの』は存在する。

 

 

つまり『最大』は「後出し」で更新され、

「限りなく」大きくすることができる。

この事実が『無限』の存在を保証します。

 

 

以上、無限についてはこんな感じ。

 

 

 


 


置換公理 \mathrm{Permutation}

 

|| 置き換え

『写像』の操作ができる保証のこと。

『集合の像』が『集合である』こととかを保証します。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_{\mathrm{dom}}\Bigl(\mathrm{Unique}\Bigr)&&⇒&&∀S_{\mathrm{dom}}\Bigl(\mathrm{Permutation}\Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Unique}&:= \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀e∈S_{\mathrm{dom}}&\Bigl( ∃!f(e)\,\Bigl[\,f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))\,\Bigr] \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Permutation}&:= \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{img}}}&∀f(e)& \Bigl( (\textcolor{skyblue}{f(e)∈S_{\mathrm{img}}})⇔\Bigl( ∃e∈S_{\mathrm{dom}} \Big(\textcolor{skyblue}{f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))}\Bigr) \Bigr) \end{array}

 

まあ要は「 y=f(x) 」ができることを保証する感じで

この f を『直積集合』として定義することで

その「像」の存在を表現しています。

 

 

ちなみに直積集合 S_A×S_B の定義は ↓

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_A×S_B&:=&\{(a,b) \mid a∈S_A∧b∈S_B\} \end{array}

 

以下で紹介する「対の公理」で

この集合の存在は保証されています。

 

 

 

 

 

論理式の解説

 

これは「一意性」と「像の存在」

この 2 ブロックで形式化されていて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle &&∀S_{\mathrm{dom}}∀S_{\mathrm{img}_A}∀S_{\mathrm{img}_B}&\displaystyle \Bigl( \Bigl( f_{\mathrm{wf}}(S_{\mathrm{dom}},S_{\mathrm{img}_A})∧f_{\mathrm{wf}}(S_{\mathrm{dom}},S_{\mathrm{img}_B}) \Bigr)⇒\Bigl( \textcolor{skyblue}{S_{\mathrm{img}_A}=S_{\mathrm{img}_B}} \Bigr) \Bigr) \\ \\ &⇒&∀S_{\mathrm{dom}}\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{img}}}∀f(e)&\displaystyle \Bigl( (\textcolor{skyblue}{f(e)∈S_{\mathrm{img}}})⇔\Bigl( ∃e∈S_{\mathrm{dom}} \Big(\textcolor{skyblue}{f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))}\Bigr) \Bigr) \end{array}

 

全体で見るとちょっと見難いかもしませんが

要するに「関数」の保証なので

そんな難しく考えないでください。

 

 

 

実際、まず前提になる「(論理式の)一意性」は

 

∀S_{\mathrm{dom}}∀S_{\mathrm{img}_A}∀S_{\mathrm{img}_B}

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Bigl( \Bigl( f_{\mathrm{wf}}(S_{\mathrm{dom}},S_{\mathrm{img}_A})∧f_{\mathrm{wf}}(S_{\mathrm{dom}},S_{\mathrm{img}_B}) \Bigr)⇒\Bigl( \textcolor{skyblue}{S_{\mathrm{img}_A}=S_{\mathrm{img}_B}} \Bigr) \Bigr) \end{array}

 

そういう「写像の像(集合)」は一個しかない

同じ『写像と定義域』から「複数の像」が得られるのは変

っていう当たり前のことを言ってるだけですし

 

∀S_{\mathrm{dom}}\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{img}}}∀f(e)

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Bigl( (\textcolor{skyblue}{f(e)∈S_{\mathrm{img}}})⇔\Bigl( ∃e∈S_{\mathrm{dom}} \Big(\textcolor{skyblue}{f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))}\Bigr) \Bigr) \end{array}

 

これは『像がある』

あるいは『像は集合だよ』って言ってるだけ。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_{\mathrm{dom}}\Bigl(\mathrm{Unique}\Bigr)&&⇒&&∀S_{\mathrm{dom}}\Bigl(\mathrm{Permutation}\Bigr) \end{array}

 

\mathrm{Unique}:=

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀e∈S_{\mathrm{dom}}&\Bigl( ∃!f(e)\,\Bigl[\,f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))\,\Bigr] \Bigr) \end{array}

 

\mathrm{Permutation}:=

\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{img}}}&∀f(e)& \Bigl( (\textcolor{skyblue}{f(e)∈S_{\mathrm{img}}})⇔\Bigl( ∃e∈S_{\mathrm{dom}} \Big(\textcolor{skyblue}{f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))}\Bigr) \Bigr) \end{array}

 

そんな難しいことを言ってはいません。

 

 

ちなみに「 ∃! 」は『ただ1つだけ存在する』

という述語を表現する「唯一存在記号」です。

 

 

 

最後、補足しておくと

見易さ重視で『論理式 f_{\mathrm{wf}} 』を「写像」のように表していますが

一般形は『論理式(直積集合)』で表現されています。

 

 

このような「写像」に限定してはいません。

f_{\mathrm{wf}} は『写像と解釈できるもの』全般になります。

 

 

 

 

 

置換公理が保証するやつの具体例

 

「定義域 S=\{1,2,3\}

『像 f(S)=\{2,3\}

「写像」を『 1↦2,2↦3 』みたいに決めると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&1&→&2 \\ \\ &&2&→&3 \end{array}

 

こういうのが1つだけあるよ

あるいは「右側(像)」は『集合だよ』

ってことを、この『置換公理』は保証してます。

 

 


 

 

和集合公理 \mathrm{Union}

 

|| 全部

これは『集合の足し算』を保証するもので

集合同士を合体させる時なんかで必要になります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀U&\textcolor{skyblue}{∃S_U}&∀e&\Bigl(\,(\textcolor{skyblue}{e∈S_U})⇔\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{cnd}}}\,\Bigl(\textcolor{skyblue}{e∈S_{\mathrm{cnd}}}∧S_{\mathrm{cnd}}∈U\Bigr)\,\Bigr) \end{array}

 

使う記号は『 』こういうやつで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A&=&\{a,b\} \\ \\ B&=&\{1,2,3,4\} \\ \\ \\ A∪B&=&\{a,b,1,2,3,4\} \end{array}

 

こんな感じの + みたいな操作を行う時

あるいは全体をまとめる時なんかで使われます。

 

 


 

 

対公理 \mathrm{Pair}

 

|| ペア

xy から (x,y) みたいなペアを作れる」保証。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀e_1&∀e_2&\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{pair}}}&\Bigl(\,\textcolor{skyblue}{(e_1∈S_{\mathrm{pair}})∧(e_2∈S_{\mathrm{pair}})}\,\Bigr) \end{array}

 

これによって保証されている「集合 S_{\mathrm{pair}} 」は、

S_{\mathrm{pair}}=\{\{e_1\},\{e_1,e_2\}\} 』みたいな集合になります。

 

 

 

 

 

順序対の表現方法

 

これが良く使われる「順序対」の構成

その形式は ↓ みたいになります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (e_1,e_2)&:=&\Bigl\{ \{e_1\},\{e_1,e_2\} \Bigr\} \end{array}

 

この場合、順序は「包含関係 」で定義されます。

 

 

確認しておくと

同じ要素『 \{e,e\} 』である場合

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Bigl\{ \{e_1\},\{e_1,e_2\} \Bigr\}&=&\Bigl\{ \{e\},\{e,e\} \Bigr\} \\ \\ &=&\Bigl\{ \{e\},\{e\} \Bigr\} \\ \\ &=&\Bigl\{ \{e\} \Bigr\} \end{array}

 

外延性の公理からこのようになるので

一致する場合には「同じ要素 \{e\} 」となります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (e_1,e_2) &&〇 \\ \\ (e_2,e_1)&&× \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (e,e)&=&(e) \end{array}

 

まあつまり

『順序が定義できる』上に

『被ったものを省略できる』ようになっています。

 

 


 

 

冪集合公理 \mathrm{Power \,\, Set}

 

|| パワー

『部分集合』を「全部集めた」集合のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S&\textcolor{skyblue}{∃2^S}& \Bigl(\,∀S_{\mathrm{pt}}\,\Bigl[\,(S_{\mathrm{pt}}⊆S)⇒\textcolor{skyblue}{(S_{\mathrm{pt}}∈2^S)}\,\Bigr] \,\Bigr) \end{array}

 

集合が『 S=\{1,3,5\} 』こんな感じなら

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle 2^S&=&\Bigl\{ ∅,\{1\},\{3\},\{5\},\{1,3\},\{1,5\},\{3,5\},\{1,3,5\} \Bigr\} \end{array}

 

これの「冪集合 2^S 」はこのようになります。

 

 

 

 

 


ここまでを『 ZF 』と言います。

公理の名前です。由来は人命「 Zermelo Fraenkel 」

 

 

 


 


到達不能基数 \mathrm{Inaccessible\,Cardinal}

 

|| 基礎が保証される限界

集合の操作で作れる「大きさの限界 κ_{\mathrm{inacs}} 」のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀κ & \textcolor{pink}{∃κ_{\mathrm{inacs}}}&\Bigl(\,\textcolor{pink}{2^{κ}<κ_{\mathrm{inacs}}}\,\Bigr) \end{array}

 

『極限基数 κ 』は「正則」かつ「非加算」とします。

詳細は『到達不能基数』の記事で解説。

 

 


 

 

選択公理 \mathrm{Choice}

 

|| 選ぶという操作

『いろんな集合から要素を 1 つ選んで』

その「選んだ要素から集合を作れる」ということの保証。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle &\left( \begin{array}{llllll} \displaystyle &∀G∀S∈G&\Bigl(\,S≠∅\,\Bigr) \\ \\ ∧& ∀G∀S_X∈G∀S_Y∈G&\Bigl(\,(S_X≠S_Y)⇒(S_X∩S_Y=∅)\,\Bigr) \end{array} \right) \\ \\ ⇒&\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S_{\mathrm{choice}}∀S∈G&\Bigl(\,∃!e\,\Bigl(\,e∈(S∩S_{\mathrm{choice}})\,\Bigr)\,\Bigr) \end{array} \end{array}

 

形式表現はこんな感じになります。

 

 

 

 

 

具体的な感じ

 

これの主張自体はかなり単純です。

例えば ↓ みたいな集合があるとすると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle G&=&\{S_A,S_B\} \\ \\ S_A&=&\{1,2,3\} \\ \\ S_B&=&\{m,n\} \end{array}

 

選択公理が存在を保証する集合として

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{choice}_1}&=&\{2,m\} \\ \\ S_{\mathrm{choice}_2}&=&\{1,n\} \end{array}

 

このような集合を作ることができます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \Bigl\{ \{0\},\{1\},\{2\},\{3\},...,\{n\},... \Bigr\} \end{array}

 

まあつまりこういう集合があるとすると

 

\{0,1,2,3,4,5,...n,...\}

 

まあこんな感じのやつが作れます。

 

 

 

 

 

論理式の解説

 

選択公理の操作自体はすごく単純です。

ただ、形式は少し面倒な感じになっています。

その理由は使うことになる「集合」に制約があるためで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀G∀S∈G&\Bigl(\,S≠∅\,\Bigr) \end{array}

 

『集合族(集合が要素の集合) G

その「要素(集合) S 」には

「空ではない」ことが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀G∀S_X∈G∀S_Y∈G&\Bigl(\,(S_X≠S_Y)⇒(S_X∩S_Y=∅)\,\Bigr) \end{array}

 

『その集合族の中にある集合』には

「互いに素(要素が被らない)」であることが

 

 

それぞれ前提となる条件になっていて

これが論理式を長くしちゃっています。

 

 

 

ただ、ここを除けば後は単純で、

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S_{\mathrm{choice}}∀S∈G&\Bigl(\,∃!e\,\Bigl(\,e∈(S∩S_{\mathrm{choice}})\,\Bigr)\,\Bigr) \end{array}

 

『選択』によって創られる集合自体は

そんなに長い論理式にはなりません。

 

 

 

まとめると

「選びたい集合」は『空じゃないし要素が被らない』

その上で『選んだ要素を取り出した集合が存在する』

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle &\left( \begin{array}{llllll} \displaystyle &∀G∀S∈G&\Bigl(\,S≠∅\,\Bigr) \\ \\ ∧& ∀G∀S_X∈G∀S_Y∈G&\Bigl(\,(S_X≠S_Y)⇒(S_X∩S_Y=∅)\,\Bigr) \end{array} \right) \\ \\ ⇒&\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S_{\mathrm{choice}}∀S∈G&\Bigl(\,∃!e\,\Bigl(\,e∈(S∩S_{\mathrm{choice}})\,\Bigr)\,\Bigr) \end{array} \end{array}

 

この論理式はそんなことを言っています。

 

 

 

 

 

使用上の諸注意

 

これは『直感的に明らか』な操作ですが

実は問題を抱えていて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Card}(G)&≤&ω_0&&〇 \\ \\ \displaystyle \mathrm{Card}(G)&>&ω_0&&? \end{array}

 

『選ぶ数』が「無限」になる時

より正確には『非加算無限 ω>ω_0 』になる時

矛盾を生む可能性が出てきます。

 

 

これは『選択』という行為を行う際に

「非加算無限個の集合から」要素を選ぶ

 

 

こういう感じの

「直感的によく分からない操作」を行う結果で

 

 

有名なところだと

「バナッハタルスキーの定理」とか

 

 

なんかこういった変な結果が出る類の問題には

だいたいこの選択公理が絡んでいます。

 

 

まあですから「選択公理」を使う場合

「非加算無限」のサイズを扱いたいのなら

矛盾が出る可能性があるので注意が必要です。

 

 

 

 

 

同値の命題

 

これと「同値」となる命題

つまり『意味するところ』はけっこうたくさんあって

 

 

有名なのだと

『ツォルンの補題』ってのがあります。

 

 

これは『順序集合』の「一部」

つまり「順番が分かる集まりの一部」を切り取ると

 

 

それが「有界(大きさに限界がある)」であり

「全ての順番が分かる」とするなら

 

 

その中に『一番でかいのがある』って感じの主張で

この形で選択公理が使われることもある程度には

これは有名だったりします。

 

 

 

この他にも

『整列可能定理』とか

『直積定理』『比較可能定理』とかもありますが

 

 

まあ意味はだいたい同じなので、

そんな難しく考えなくて良いです。

 

 

 


 


空集合 \mathrm{Empty\,Set}

 

|| 空っぽの集合? 枠の間違いじゃ?

「要素を持たない『集合』」のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∃S_{\mathrm{empty}}∀e& \Bigl[ \,e∉S_{\mathrm{empty}} \, \Bigr] \end{array}

 

これは『空集合の公理』とされる場合もあります。

これを公理とする場合は「内包性の公理」が定理に。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{empty}}&=&\{e∈S \mid e≠e\} \end{array}

 

当然、入れ替えができるわけですから

これは「内包性の公理」から導くことができます。

 

 

 


 


積集合 Intersection

 

|| 集合と集合の共通する部分だけ

『共通部分』だけで作られた「集合」のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{intersection}}&=&\left\{ e \,\middle| \, ∀S_{\mathrm{cnd}}∈U\,\Bigl[\,e∈S_{\mathrm{cnd}}\,\Bigr] \right\} \end{array}

 

「内包性の公理」から導けます。

 

 

『見たい集合の集まり U 』を考えて

『その中の使う集合 S_{\mathrm{cnd}} 』を用意

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_{\mathrm{cnd}}∈U&\Bigl[ e∈S_{\mathrm{cnd}} \Bigr] \end{array}

 

その中でも「全ての候補 S_{\mathrm{cnd}} が持つ要素」

という感じで、これは表現することができます。

 

 

 


 


様々な公理

 

基礎的な公理的集合論である公理系『 ZF 』に

『選択公理 \mathrm{Choice} 』を加えたものが『 ZFC

 

 

そして、これに「一般連続体仮説 GCH 」を加えたものが

ZFC+GCH 』なんて呼ばれるものになります。

 

 

『連続体仮説 GCH 』自体は

ZFC 』とは独立したものなので

考える時は考えて、考えないときは無視してOK。

 

 

 

他にも『実数直線』に関するもので

「ススリンの仮説 SH 」なんてものもありますね。

 

 

これも『 ZFC 』とは独立なんですが

↑ の『 GCH 』と独立かどうかは分かっていません。

 

 

とまあこんな感じで

数学だけでも「公理」にはいろんなものがあります。

 

 

 

ちなみにわたしたちがよく使う「公理」は

ある出来事を『事実として認める』とか

ある前提を『明らかなことと仮定する』とかです。