公理的集合論 Axiomatic Set Theory


|| 集合論から得られた数学の公理

『集合論』を基礎に得られた「成果」のこと。

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あらゆる『数学』の知識は、これに正しさを保証されてます。

そしてこれらは、どれも「正しいと言わざるを得ない」ものです。







目次


同一律「それがそれ自身だっていう保証」


定義の一意性

   外延性の公理「中身が同じなら同じもの」

   内包性の公理「条件を使って集合が作れる」


性質の保証

   基礎の公理「下地がちゃんとある」

   無限公理「有限じゃない集合がある」


操作の保証

   置換公理「集合から別の集合が作れる」

   和集合の公理「全体みたいな集合がある」

   対の公理「ペアリングできる」

   冪集合の公理「部分集合を全部集めた集合がある」



選択とその限界

   到達不能基数「中身が分かるサイズの限界」

   選択公理「選んだものだけで集合が作れる」



空集合の存在「要素を持たない集合の存在」



基本操作

   積集合「共通部分になる集合」



その他の公理







必要な知識


これを基盤にしてる『集合論』と『集合』は必須ですね。

それを表す形式的表現として『量化記号』が使われます。

そして上から抑える概念として『基数』も知っておきたいです。







集合の存在公理 \mathrm{Identity}


|| これがないとはじまらない

いわゆる『同一律』です。


∃S\,[\,S=S\,]



なにかがそれ自身だっていう保証ですね。

当たり前すぎて語ることは特にありません。







外延性公理 \mathrm{Extension}


|| 定義のやり方その 1

いわゆる「外延的記法」の下地になるやつです。


∀S_X∀S_Y\,(\textcolor{skyblue}{∀e}\,[\,(e∈S_X)⇔(e∈S_Y)\,]⇒[\,\textcolor{skyblue}{S_X=S_Y}\,])




意訳すると「中身が一緒なら同じ」って言ってます。

具体的には『 \{1,2,3\}=\{2,1,3\}=\{1,1,2,3,3\} 』です。



順番が意味を持つ場合、要素は順番とセットのペアになります。

例えば『 \{(1,2),(2,1),(3,3)\} 』みたいに。

なので↑の書き方だと順番は特に決まってません。






内包性公理 \mathrm{Intension}


|| 定義のやり方その 2

いわゆる「内包的記法」についてのルールです。

具体的には「 S_{\mathrm{intension}}=\{e∈S\,|\,φ(e)\} 」みたいな。




論理式の有限の列「 φ=(w_1,w_2,...,w_n) 」から、

論理式(条件)を満たす『要素』が得られます。



論理式の中身っていうのは、具体的には、

例えば「 e∉S 」とか「 e∈A∧e∈B 」とかです。




つまりは『命題の解釈』から、論理式を正しいとして、

その条件に合う『要素 e∈w 』を得たい感じです。



見た感じ分かる通り、ここで『整論理式 Well-formed Formula』は、

「条件を満たす要素」を持った『集合』とみなせます。




すると↓みたいに「内包性の公理」を書けます。


∀S_d∀w_1,...,w_n\,[\,\textcolor{skyblue}{∃S}\,∀e\,[\,(e∈S)⇔(\textcolor{skyblue}{e∈S_d∧φ})\,]\,]



省略してますが『 e∈S_d∧φ 』は↓です。

(e∈S_d)∧(e∈w_1)∧(e∈w_2)∧…∧(e∈w_n)






具体例を見てみましょう。



「区間」なんかは馴染みがあるかもしれません。

こんな『 \{n∈N\,|\,1≤n<10\} 』です。



ここでの『論理式 φ 』は、「 1≤n<10 」になります。




数学では、この『論理式』は「一階述語論理」の中のものです。

ですから基本的には論理記号やら非論理記号での形式になります。

例えば「 P(x)∧Q(x) 」とか「 α∈ON 」とか。







正則性公理 \mathrm{Foundation}


|| 基礎

別名「基礎の公理」とも言われます。整礎的とも。

要は下地がちゃんとあるっていう保証です。




『無限降下列 S_1∋…∋S_n∋… は存在しない』とか、

S∈S ってなる集合は存在しない』がメイン。




無限降下列があると『 s∈S 』の「 S を上」とすると、

ずっと下( の左側)になる「一番下」が無くなっちゃいます。

これじゃなにで出来てるのか分からなくなってしまうんで、ダメ。




そして『 S∈S 』は集合じゃなくてクラスになります。

同じように「循環してしまう S∈s∈S 」みたいなのもダメ






これを表すと↓みたいになります。


\textcolor{skyblue}{∀S}\,([\,S≠∅\,]⇒\textcolor{skyblue}{∃s}\,[\,(s∈S)∧\textcolor{skyblue}{¬(∃e_c\,(e_c∈S∧e_c∈s)})\,])



「『共通する要素 e_c 』が存在しない、

そんな条件を満たす『集合』が存在する」がメイン。




書き換えると『 \textcolor{skyblue}{∀S≠∅}\,[\,\textcolor{skyblue}{∃s∈S\,[\,s∩S=∅\,]}\,] 』です。

『共通する要素を持たない下の集合の存在』を保証してます。




この集合の存在から「要素の 1 つ」に着目するので、

この条件に当てはまる集合を下に辿っていくと、

最終的に『空集合』に行き着きます。






具体的に見てみましょう。



そのために『集合 N=\{0,1,2,3,4,...\} 』を用意します。

更に、この『数』の構成は「比較確実性」を満たす集合とします。

つまり『 \mathrm{Suc}(n)=n∪\{n\} 』。




そして『数 0:=\{\}=∅(∈N) 』と定義していると、

この集合 0 は『要素が無い』状態になります。



そして定義から、要素が無いわけですから『 N∩∅=∅ 』なので、

当然の話、『 0∩N=∅ 』です。



これは「 0∩1 」でもまた同様。

なぜなら「 1:=\{∅,\{∅\}\} 」ですから、

きちんと「集合 0:=∅ 」が存在してます。






これの重要な点は「存在する」という部分です。

そして、全ての集合でこれは保証されています。



ですから、このように存在が保証されていることから、

下へ行けばいつかは必ず「一番下」に行き着くことになります。



それもそのはずで『 s=∅ 』はOKですから、

仮に「 s=∅ 」なら、必ず『 S∩s=∅ 』です。

他のはこれをおっきくしただけ。




そしてこれは、そのような集合が必ず存在するという保証から、

S=∅ 』になるまで続けられるわけです。






要は「整礎的」ってことを言ってる感じ。

これで↑の矛盾を生むものが解消されることになります。






無限公理 \mathrm{Infinity}


|| 限りが無い集合がありますよ

一般形は「原子帰納的関数」の一種の、

「後者関数 Successor Function」で表されます。




しかしこれだとなんかよく分かりにくいので、

より具体的な「無限公理」を先に紹介します。



一つは↓です。


∃S\,[\,(∅∈S)∧(∀e∈S\,(\textcolor{skyblue}{e∪\{e\}∈S)})\,]


これは『後者関数 \mathrm{Suc}(e)=e∪\{e\} 』の時のものになります。



∅∈S から始まって、後者の定義から、

∅∪\{∅\}∈S の存在が確定して、また後者の定義から、

∅∪\{∅\}∪\{∅∪\{∅\}\}∈S が、と延々処理が続くことになります。




「後者関数 \mathrm{Suc}(e) 」を使った一般形は↓です。


∃S\,[\,(∅∈S)∧(∀e∈S\,(\textcolor{skyblue}{\mathrm{Suc}(e)∈S)})\,]






これは『無限』に大きな集合の存在を保証してますが、

その保証のやり方は結構乱暴です。



例えば↑で示した「公理」が存在を保証する集合は、

『有限だと矛盾する集合』になります。

つまりは『有限じゃないから』無限だって言ってるわけです。




それにこれ、見覚えがあると思います。



はい、これは「自然数」や「順序数」の構成方法の一つです。

連中が無限に存在することの保証はこれでされてます。






実際、この操作を「有限」回で終えると一致しなくなります。



それもそのはずで、定義で『後者 \mathrm{Suc}(e)∈S 』です。

となると、有限で止めると『後者』が抜け落ちてしまいます。






簡単に確認してみましょう。

有限になる時の最大の集合(仮定)を『 S_{\mathrm{lim}} 』とします。

後者は『 \mathrm{Suc}(e)=e∪\{e\} 』にしましょうか。



すると、これは定義通りなら『 S_{\mathrm{lim}}∪\{S_{\mathrm{lim}}\}∈S_{\mathrm{suc}} 』があります。

しかし『 S_{\mathrm{lim}}∪\{S_{\mathrm{lim}}\}∉S_{\mathrm{lim}} 』は確実です。

つまりは定義で保証された集合より『 S_{\mathrm{lim}} 』は小さくなります。




そんなわけで最大(仮定)な有限集合は最大じゃなくなりました。

つまり矛盾ですから、有限になるのはアウトというわけですね。



つまりはそういうことです。

要は後出しOKという感じ。




この公理を認めるなら、保証された集合は、

『どんなに大きな有限集合より大きくなってしまう』ことになります。






これを踏まえた上でまとめると、

要するに「人間に理解できる」『無限の本質』は、

後付けできる『後者』にある、という感じ。




例えば「一番でかい数」を仮定しても、

それ「プラス 1 」の方がでかいよね?って具合に。







置換公理 \mathrm{Permutation}


|| 置き換え

要は『写像』の「像」があるよと言ってます。

「像」はあれです。定義域と写像からできる「集合」のことです。



要は「 y=f(x) 」を表したい感じで、

この f は『直積集合』として定義されてます。

定義されてるんで、ただの決まりです。




基本的に 2 ブロックで形式化されてます。

ここでは『論理式 f_{\mathrm{wf}}(x,y) 』を使って形式化。



要は、論理式の中身を意訳すると、

xy へ、こう置き換える」となるなので、

これを「直積集合 f_{\mathrm{wf}}(x,y):=X×Y 」で実現する感じ。



ちなみに直積集合 S_A×S_B の定義は↓です。

S_A×S_B:=\{(a,b)\,|\,a∈S_A∧b∈S_B\}






準備ができたので、さっそく形式化をしてみましょう。




まずは、写像(論理式)の一意性ですね。

論理式の具体例を『 f_{\mathrm{wf}}:S_{\mathrm{dom}}→S_{\mathrm{img}} 』とすると、



∀S_{\mathrm{dom}}∀S_{\mathrm{img}_A}∀S_{\mathrm{img}_B}

[\,(f_{\mathrm{wf}}(S_{\mathrm{dom}},S_{\mathrm{img}_A})∧f_{\mathrm{wf}}(S_{\mathrm{dom}},S_{\mathrm{img}_B}))⇒(\textcolor{skyblue}{S_{\mathrm{img}_A}=S_{\mathrm{img}_B}})\,]



そういう「写像の像(集合)」は一個しかないって言ってます。

同じ『写像と定義域』から「複数の像」が得られるのは変でしょう。



例えば「 y=f(x) 」と「 z=f(x) 」は、

記号は違っても、『 y=z 』にならないと変です。






んで、↑が成立する『なら』↓が成立します。



∀S_{\mathrm{dom}}\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{img}}}∀f(e)

[\,(\textcolor{skyblue}{f(e)∈S_{\mathrm{img}}})⇔(e∈S_{\mathrm{dom}}\,[\,\textcolor{skyblue}{f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))}\,])\,]



これは『値域・像』があるよっていう宣言ですね。

↑ので一意性を確保して、これで存在を保証してます。






唯一存在記号を使ってまとめると↓

∀S_{\mathrm{dom}}\,[\,(\mathrm{Unique})⇒(\mathrm{Permutation})\,]



\mathrm{Unique}:=

e∈S_{\mathrm{dom}}\,(∃!f(e)\,[\,f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))\,])



\mathrm{Permutation}:=

\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{img}}}∀f(e)\,[\,(\textcolor{skyblue}{f(e)∈S_{\mathrm{img}}})⇔(e∈S_{\mathrm{dom}}\,[\,\textcolor{skyblue}{f_{\mathrm{wf}}(e,f(e))}\,])\,]




集合から得た「集合(値域・像) f(e)∈S_{\mathrm{img}} 」が存在する。

意訳すると「像の集まり」も集合になる。

この主張がミソ。




見易さ重視で『論理式 f_{\mathrm{wf}} 』を「写像」のように表していますが、

一般形はきっちり『論理式(直積集合)』です。

写像に限定してません。



なので「 f(e) 」って書いてますけど、

これは別に『変数 e 』からの「像の要素」に限定されてないです。

単に見やすいようにしただけなんで、他の文字に置き換えてOK。




それと『論理式』は内包性の公理から『集合』にできます。

なので『論理式』は『像』として見ても特に問題はありません。

ですから「写像」として見立てても大丈夫です。






具体例を見てみましょう。



「定義域 S=\{1,2,3\} 」と「写像 f 」から、

一意に「写像」を『 1↦2,2↦3 』みたいに決めると、

外延性の公理から『像 f(S)=\{2,3\} 』は一個しかできませんよね。




要はこれを保証してるだけです。

それを一般的にすると↑みたいにごちゃってなります。






和集合公理 \mathrm{Union}


|| 全部

集合と、それとは別の集合の『要素全部を持った集合』の保証。

ある集合があって『それを分割できる』ことも保証してます。



字面通りの意味です。

『和がある』なら、その『分割したものがある』って感じ。

同時に『分割したものがある』なら『分割されたものがある』とも。



記号は『 』が使われてます。






要は「候補 Candidate 」となる集合があって、

それらの「要素の全て」を持った集合があるっていってます。



その言い換えとして、ある集合がある上で、

それをいくつかの「候補」に『分解できる』とも。


∀U\textcolor{skyblue}{∃S_U}∀e\,[\,(\textcolor{skyblue}{e∈S_U})⇔\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{cnd}}}\,(\textcolor{skyblue}{e∈S_{\mathrm{cnd}}}∧S_{\mathrm{cnd}}∈U)\,]






具体例を見るとわかりやすいです。



上の『全体になる集合族 U 』を「 \{S_A,S_B\} 」とします。

そこで「 e_A∈S_A,e_B∈S_B 」としましょう。



すると、ここで保証される集合は↓のようなものになります。

e_A,e_B∈S_U 』ですから『 S_U=S_A∪S_B 』です。



なぜかというと『 ∀e∈S_U 』なので、

e_A,e_B 』は「 e 」の取れる要素の一部になるからです。






対公理 \mathrm{Pair}


|| ペア

要は「 xy から (x,y) っていうペアを作る」って感じ。

つまりは「要素」のセットから、新しい『要素』を作るわけです。




形式は単純で↓みたいな感じ。


∀e_1∀e_2\textcolor{skyblue}{∃S_{\mathrm{pair}}}\,[\,\textcolor{skyblue}{(e_1∈S_{\mathrm{pair}})∧(e_2∈S_{\mathrm{pair}})}\,]


要は『 2 つの要素で集合を作れる』っていう保証です。




これによって保証されている「集合 S_{\mathrm{pair}} 」は、

S_{\mathrm{pair}}=\{e_1,e_2\} 』みたいな集合になります。






これはこんだけですが、注意点がいくつか。



例えば、同じ要素『 \{e,e\} 』なら、

外延性の公理から「 \{e\} 」になります。

なぜなら『 ∀e\,[\,e∈\{e\}\,] 』で『 ∀e\,[\,e∈\{e,e\}\,] 』なので。






これを使って作ることができる、

『順序対』に関しては、定義になります。



ただこれについては、無限公理と同じように、

あくまで一つのやり方があるという感じ。




良く使われる「順序対」の構成は↓の形式になります。

これは「包含関係 」で順序を定義。


(e_1,e_2):=\{\{e_1\},\{e_1,e_2\}\}



これは↑のときのように、同じ『 e_1=e_2 』なら、

(e,e)=\{\{e\},\{e,e\}\}=\{\{e\},\{e\}\}=\{\{e\}\}






冪集合公理 \mathrm{Power Set}


|| パゥワー

ある「集合」の『部分集合』を『全部』集めた集合があるよ、

みたいなことを保証してます。



形式的には↓みたいな感じです。


∀S\textcolor{skyblue}{∃2^S}\,[\,∀S_{\mathrm{pt}}\,[\,(S_{\mathrm{pt}}⊆S)⇒\textcolor{skyblue}{(S_{\mathrm{pt}}∈2^S)}\,]\,]






具体例を見ましょう。

たぶんそれが一番わかりやすいです。




集合『 S=\{1,3,5\} 』をとりあえず用意します。

するとこれの「冪集合 2^S 」は↓みたいになります。


\displaystyle 2^S=\{∅,\{1\},\{3\},\{5\},\{1,3\},\{1,5\},\{3,5\},\{1,3,5\}\}




『空集合 』は単に定義として、

全ての集合が「部分集合に含む」ことになってます。



はい、というわけで冪集合はこんな感じです。

要素が「部分『集合』」という点には注意しておきましょう。







ここまでを『 ZF 』と言います。

これは公理の名前です。由来は人命「 Zermelo Fraenkel 」。







到達不能基数 \mathrm{Inaccessible\,Cardinal}


|| 基礎が保証される限界

要は↑の操作で作れる大きさの限界になります。



詳細は『到達不能基数』の別の記事で。




結論だけを述べるなら、

↓の条件を満たす『基数 κ_{\mathrm{inacs}} 』のことです。



『正則』であり、かつ、

『非可算』な『極限基数 κ 』で、


∀κ\textcolor{pink}{∃κ_{\mathrm{inacs}}}\,[\,\textcolor{pink}{2^{κ}<κ_{\mathrm{inacs}}}\,]






選択公理 \mathrm{Choice}


|| 選んだもので作る

要は『いろんな集合から要素を 1 つ選んで』、

その「選んだ要素から集合を作れる」ということの保証です。



1つである理由は「単位として考えたい」からになります。

要は「1つ選ぶ」を何度も繰り返せば、

n 個選ぶ」を実現できる感じ。




具体例だと「集合 S_A=\{1,2,3\},S_B=\{m,n\} 」があって、

選択公理が存在を保証する集合『 S_c=\{2,m\} 』がある

というような感じ。




他にも自然数を作りたいなら、例えば、

集合族 \{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},...,\{n\},...\} から、

\{0,1,2,3,4,5,...n,...\} が得られるよ、っていう感じ。






厳密にはどんな操作かというと、↓



『集合族(集合が要素の集合)』の要素(集合)から、

好きなように「集合の要素 1 個」を選んで、新しい『集合』を作る。



ちょっとややこしいんで記号で書くと↓みたいな。



『集合族 G 』として、

『集合 S 』として、その『要素 e 』を考えます。

つまり『 e∈S∈G 』ってこと。




そして、ここで『空ではない集合 S_i 』を考えます。

これは空ではないので『要素 e_i 』を持つとします。




これより『選択公理』で保証される集合は↓になるわけです。



S_{\mathrm{choice}}=\{e_1,e_2,e_3,...\}




要は『集合から 1 つずつ』が本命になります。

ですから『 S_{\mathrm{choice}} 』は↑みたいになるわけです。






この時点でもちょっとややこしいですが、

形式的な命題、公理はもっと直観的に分かりにくくなります。



ただ、要は↑のことを書いたやつです。

けっこう長いですけど、↑をやりたいってことをただ宣言するだけ。




というわけで、そんな長くて分かり難い論理式を、

いっそ分割して見てみることにしましょうか。




先に大雑把な形式を紹介しておくと、要は↓みたいな感じ。

よく分からんと思いますが、ほんとにこんな感じです。



『空集合じゃなくて、違う集合同士は共通部分を持たない』(前提)

なら、『集合から一つずつ要素を取り出した集合が存在する』(結論)






ともかく、まず『集合族 G 』があって、

その「要素 S 」があるとします。当然の宣言です。



そして、これらの持ってる性質がとりあえず書かれます。2 つ。

ここまでが『前提』になります。




・「空集合じゃない」って宣言がまず一つ


∀G∀S∈G\,[\,S≠∅\,]



・集合と集合が「共通部分を持たない」という宣言が一つ

厳密には「異なる集合同士は、共通部分を持たない」です。


∀G∀S_X∈G∀S_Y∈G\,[\,(S_X≠S_Y)⇒(S_X∩S_Y=∅)\,]




以上の『前提』を踏まえた上で、『結論』がきます。

この意訳は『選択した結果得られる集合が存在する』です。




・「集合から一個ずつ要素を持ってきた集合がある」って言ってます。

これを言い換えると↓です。



選び先の集合 S と、

保証される集合 S_c は、

共通部分を唯 1 つだけ持つ


∃S_c∀S∈G\,[\,∃!e\,[\,e∈(S∩S_c)\,]\,]



選択公理が保証する集合は「一つずつ取り出している」ので、

「取り出された集合」と「共通部分を一つだけ持つ」ことになります。



これが選択公理です。

きちんと↑の操作を実現できていますね。






まとめると↓みたいな感じになります。




・前提


意訳すると、「空じゃない」かつ「共通部分なし」。



∀G\,\,\,∀S∈G\,[\,S≠∅\,]\,\,\,\,\,∧

∀G\,\,\,∀S_X∈G∀S_Y∈G\,[\,(S_X≠S_Y)⇒(S_X∩S_Y=∅)\,]




・結論


意訳すると、『前提』が成立する上で、

「集合と一個だけ共通部分を持つ、新たな集合が存在する」。


⇒\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,∃S_c∀S∈G\,[\,∃!e\,[\,e∈(S∩S_c)\,]\,]






余談ですが、これと「同値」となる命題がいくつかあって、

有名なのだと、 1 つは『ツォルンの補題』で、

他には『整列可能定理』とか。







空集合 \mathrm{Empty\,Set}


|| 空っぽの集合? 枠の間違いじゃ?

「要素を持たない『集合』」のことです。

そういう集合だということを押さえておく必要があります。




これは『空集合の公理』とされている場合もありますね。

これを入れる場合は「内包性の公理」と入れ替えられます。




入れ替えができるわけですから、

これは「内包性の公理」から導くことが可能です。

さっそくやってみましょう。




「同一律」によって集合の存在が確定して、

「内包性の公理」から『 S_{\mathrm{empty}}=\{e∈S\,|\,e≠e\} 』が。



S の要素 e 」が全て排除されて空になるので、

この『 S_{\mathrm{empty}} 』が「空集合 」になります。



つまりこの形式は『 ∃S_{\mathrm{empty}}∀e\,[\,e∉S_{\mathrm{empty}}\,] 』です。



特に奇抜なことをするでもなく、あっさり出来上がります。

 

 

 

 

 

空集合の解釈

 

ただこれ、『 e≠e 』の部分でちょっと引っかかるんですよ。

「中身が何も無い」って考えると。

 

 

というのも、これを「中身が何も無い」として成立させるためには、

e≠e の判定が可能』ってことが前提になってなきゃいけません。

つまり「ドメイン S の中身」は、それに限定されてしまうわけです。

 

 

何が言いたいかと言うと、

つまり『 e≠e の判定が不可能な e を持つ集合』を考えると、

「中身が無い」という表現では、なんか変な感じになります。

 

 

この問題は「無限集合」を想定すると分かり易くて、

例えば『違いが無限に近い位置に、あるかもしれない』場合、

「違いの存在を確認できない」ので、判定ができないんです。

(大きさが約 10^{-1000}m の2つの物の違いとか)

 

 

感覚的には、見分けがつかない2つのものを考えてみてください。

その違いから、本物を見分けようと思った時、

さて、それは可能でしょうか?

 

 

できませんよね。

そもそも『どっちがどっちかわからない』ですから。

 

 

まあ、2つあるので、『違いは間違いなく存在する』のでしょう。

しかし、その「違いそのものが分からない」なら判定は不可能です。

 

 

とまあ、要はこんな感じの話ですね。

 

 

つまりこれ、たぶん『中身が無い』ではないんですよ。

こう考えると、↑みたいな問題が出てくるので。

 

 

じゃあなんなのかって話なんですが、

多分これ、『分かる中身が無い』なんです。

こう考えると、けっこう自然な感じに解釈できます。

 

 

どういうことかというと、

要は『存在してるのかしていないのかも分からない』って感じ。

 

 

つまり「空集合と呼ばれているものの中身」っていうのは、

『存在していると確定できるものが何も無い』のであって、

「中身が無いかどうかも分からない」状態なんです。

 

 

ですから、「中身が何も無い」と解釈するより、

『存在していると確定できるものが何も無い』と、

こう解釈するのが自然なわけですね。

 

 

 

ですから「空集合 \mathrm{Empty} 」というよりは、

個人的には「不定集合 \mathrm{Indefinite} 」とでも呼んだ方が、

なんか適切な感じがします。







積集合 Intersection


|| 集合と集合の共通する部分だけ

『共通部分』だけで作られた「集合」のこと。




「内包性の公理」から導けます。

まず導くために『全体集合 U 』を用意。

その上で、『集合 S_{\mathrm{inter}}∈U 』を考えましょう。



S_{\mathrm{inter}}=\{e\,|\,∀S_{\mathrm{cnd}}∈U\,[\,e∈S_{\mathrm{cnd}}\,]\}



これであっさり出来上がりです。




要は『全部の e∈S_{\mathrm{cnd}} 』を満たす「 e 」を集めたものです。

S_{\mathrm{cnd}} 』は候補なので、いくつかあるということになります。

「その条件を満たすものだけ」なので、これが「共通部分」です。







様々な公理


基礎的な公理的集合論である公理系『 ZF 』に、

選択公理『 Choice 』を加えたものが『 ZFC 』になります。



また、これに「一般連続体仮説 GCH 」を加えたりも。

これは『 ZFC 』とは独立になっていますので。




『実数直線』に関する「ススリンの仮説 SH 」なんてものもあります。

これも『 ZFC 』とは独立です。

ただし↑の『 GCH 』と独立かどうかは分かってないですね。