不確定性原理 Uncertainty

 

|| 調べるとズレちゃうって感じの話

これは「測定誤差」の話でもあり、

『同時に決まらない』ことを示すものでもあります。

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目次

 

量子とかの話 <<なんか変なやつらの話

ヒルベルト空間 <<計算のルールの集まり

 

エルミート演算子 <<実数っぽく扱える行列

物理量演算子の行列表示 <<物理量演算子の中身

 

最小作用の原理 <<間は最短になる

波動関数 <<量子の形を表現する関数

 

シュレーディンガー方程式 <<量子力学の基礎

 

 

 

不確定性原理「同時に確定しない」

 

   コンプトン効果「X線と電子の衝突」

   見る「観測における基本中の基本」

   測定での変化「位置と運動量とか」

 

 

ロバートソンの不等式「不確定性関係に関わる式」

 

   不等式のアプローチ「作る手順」

   交換子の不等式「スカラーだと 0 になるけど」

 

   統計と物理量「不等式を作る指針」

   二次方程式「交換子が出てくるもの」

 

   不等式を作る「材料と手順のまとめ」

   

 

 

小澤の不等式「不確定性関係の厳密な式」

 

   測定と交換子「同時固有状態を使う測定」

   交換子の式変形「取り出したいやつを取り出す」

 

   具体的な形「位置と運動量をぶち込んでみる」

   測定誤差と擾乱「厳密な定義」

 

 

 

 

 


不確定性関係

 

|| 片方の誤差が減ると片方が乱れる

これは『同時に決まらないものがある』

ということを保証する式です。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle ε_x η_p&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \\ \\ \displaystyle ε_q η_p+ η_pσ_q+σ_pε_q &\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

慣例としては、

ε が『測定誤差』を表す記号になります。

x は『位置』で p は『運動量』です。

 

 

加えて、

σ は『標準偏差(量子ゆらぎ)』を

η は『擾乱』を表しています。

 

 

 

現時点で意味分かんないのは普通のことなので、

今の時点ではぼやっと覚えておきましょう。

 

 

まあともかく、数式的にはこういう感じです。

詳しくはこれから話していきます。

 

 

 

 

 

測定による物理量の乱れ

 

「位置を調べるため」に何をするのか。

「運動量を調べるため」に何をするのか。

 

 

こういうことを考えてみると、

この2つが『同時に決められない』

ってことがなんとなく分かります。

 

 

 

どういうことかというと、

例えば「電子の位置を調べる」なら、

 

 

どこにあるか調べるために、

『光子などをぶつける』必要がありますよね?

 

 

まあつまり、

「位置はズレる」し「動きも変わる」わけで、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Δ x&≒λ \\ \\ Δp&\displaystyle ≒\frac{h}{λ} \end{array}

 

結果としてその「ズレ」がこのようになってると、

Δx を小さくすればするほど、

Δp が大きくなることがわかります。

 

 

 

 

 

コンプトン効果

 

「 X線 」が『電子に衝突した後』

「波長が長くなる」現象

 

 

これをコンプトン効果と言います。

「光の粒子性」を示す実験結果の一つです。

 

\begin{array}{rlc} p&=mv \\ \\ E&=mc^2 \\ \\ E&=\displaystyle hν \\ \\ &\displaystyle =h\frac{c}{λ} \\ \\ \\ \displaystyle pc&\displaystyle =h\frac{c}{λ} \\ \\ p&\displaystyle =\frac{h}{λ} \end{array}

 

記号を整理しておくとこんな感じで、

「波長 λ 」を使ってこの効果を表すと、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle λ^{\prime}-λ&\displaystyle =\frac{h}{m_e c}(1-\cos θ) \\ \\ \end{array}

 

結論はこうなります。

角度 θ は「電子に衝突して変化した角度」で、

質量 m_e は「電子の質量」ですね。

 

 

 

意味分かんないと思いますが、

これは「光は粒子じゃね?」の根拠の1つです。

 

 

加えて、

『測定』での「電子の位置の変化」

「電子の持つ運動量の変化」の根拠にもなってます。

 

 

 

 

 

コンプトン効果の導出

 

「位置・運動量の変化」を理解するために、

これを『導く手順』を紹介しておきます。

 

 

使うのは「エネルギー保存則」と

「運動量保存の法則」です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle E&=hν \\ \\ &\displaystyle =\frac{hc}{λ} \\ \\ \\ p&\displaystyle =\frac{hν}{c} \\ \\ &\displaystyle =\frac{h}{λ} \end{array}

 

整理しておくと、

まず「X線」のエネルギーと運動量がこうで、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle E&\displaystyle =\frac{1}{2}m_e v^2 \\ \\ p&=m_e v \end{array}

 

「電子」のエネルギーと運動量はこうです。

 

 

 

んでこれらの「衝突のイメージ」なんですけど、

これはあれです。ビリヤードとかビー玉とか、

なんかそういうのをぶつける感じで、

 

 

その時の玉の挙動をイメージしてもらえれば

それでだいたい合ってますね。

 

 

でまあそういうわけなので、

基本的に「一方向的な移動」にはなりません。

 

 

「横方向」の他に、

「縦方向のズレ」も考える必要があります。

 

 

とまあそういうわけなので、

玉の様子は x,y 軸で考える必要があって、

 

\begin{array}{lll} &\mathrm{before} & \mathrm{after} \\ \\ \displaystyle x:&\displaystyle \frac{h}{λ} & \displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ+ m_ev \cos \phi \\ \\ y:&0&\displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ - m_ev \sin \phi \end{array}

 

それを『運動量保存則』で書くとこんな感じの式が。

 

 

他にも「エネルギー保存の法則」だと、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{hc}{λ}&\displaystyle =\frac{hc}{λ^{\prime}}+\frac{1}{2}m_ev^2 \end{array}

 

こういう式も導かれます。

 

 

 

はい。とまあ下準備はこんな感じで、

これから「意味のありそうな式」を導くわけですが、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \frac{h}{λ} & \displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ+ m_ev \cos \phi \\ \\ 0&\displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ - m_ev \sin \phi \\ \\ \\ \displaystyle \frac{hc}{λ}&\displaystyle =\frac{hc}{λ^{\prime}}+\frac{1}{2}m_ev^2 \end{array}

 

これを見てると、

なんとなく意味のある式が導けそうな

そんな気がするようなしないような感じがしませんか?

 

 

 

 

 

三角関数の消去

 

とまあそういう感じで

これからこの式を整理していくわけですが、

 

 

どういう「意味のある式」が導けるのか

この時点じゃよく分かりません。

 

 

なのでこの時点では、

なんとなくで整理をしていきます。

 

\begin{array}{lrl} \displaystyle x:&\displaystyle \frac{h}{λ} & \displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ+ m_ev \cos \phi \\ \\ y:&0&\displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ - m_ev \sin \phi \end{array}

 

\begin{array}{lrl} \displaystyle x:&\displaystyle \frac{h}{λ} - \frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ & \displaystyle = m_ev \cos \phi \\ \\ y:&m_ev \sin \phi&\displaystyle =\frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ\end{array}

 

というわけでとりあえずこのように

「角度 θ,\phi 」で整理してみてみると、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x&=1 \\ \\ (m_ev \sin \phi)^2+(m_ev \cos \phi)^2 &= m_e^2v^2\end{array}

 

式の形から、

「三角関数」を整理できそうなので、

 

\begin{array}{rlc} (m_ev \cos \phi)^2&= \displaystyle \left( \frac{h}{λ} - \frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2 \\ \\ (m_ev \sin \phi)^2&= \displaystyle \left( \frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ \\ (m_ev)^2&\displaystyle =\left( \frac{h}{λ} - \frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+\left( \frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \end{array}

 

こうやって「電子の角度 \phi 」を消してみます。

 

 

 

この時点では、

これに何の意味があるのかまだ分かりません。

ただ、少しだけすっきりした形にはなりました。

 

 

 

 

 

できるだけ変数を消したい

 

「変数を減らす」とちょっとすっきりするので、

できる限りその方向で式を変形してみます。

 

 

というわけでそれを考えていくわけですが、

なんか「エネルギー保存の法則」を見てみると、

「運動量 m_ev を消せそう」な気が。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{hc}{λ}&\displaystyle =\frac{hc}{λ^{\prime}}+\frac{1}{2}m_ev^2 \\ \\ \displaystyle \frac{hc}{λ} - \frac{hc}{λ^{\prime}}&=\displaystyle \frac{1}{2}m_e v^2 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{1}{2}m_e v^2 &\displaystyle =\frac{hc}{λ} - \frac{hc}{λ^{\prime}} \\ \\ m_e^2v^2&\displaystyle =2m_e \left( \frac{hc}{λ} - \frac{hc}{λ^{\prime}} \right) \\ \\ \\ (m_ev)^2&\displaystyle =2m_e \left( \frac{hc}{λ} - \frac{hc}{λ^{\prime}} \right) \end{array}

 

というわけで試してみると、

なんか良い感じになって、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (m_ev)^2&\displaystyle =\left( \frac{h}{λ} - \frac{h}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+\left( \frac{h}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ &\displaystyle =h^2\left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+h^2\left( \frac{1}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ \\ (m_ev)^2&\displaystyle =2m_e \left( \frac{hc}{λ} - \frac{hc}{λ^{\prime}} \right) \\ \\ &\displaystyle =2m_e hc \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}} \right)\end{array}

 

更にこれを整理していくと

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle 2m_e hc \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}} \right)&\displaystyle =h^2\left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+h^2\left( \frac{1}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ \displaystyle \frac{2m_e c}{h} \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}} \right)&\displaystyle =\left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+\left( \frac{1}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \end{array}

 

こういう形に整理できます。

 

 

 

 

 

式の整理

 

右のやつがちょっと整理できそうなので、

\sin^2x+\cos^2x=1 の形にしてみます。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2 \\ \\ =\displaystyle \left( \frac{1}{λ} \right)^2-2 \left( \frac{1}{λ} \right) \left(\frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)+ \left(\frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2 \end{array}

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+\left( \frac{1}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ =\displaystyle \left( \frac{1}{λ} \right)^2-2 \left( \frac{1}{λ} \right) \left(\frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)+ \left(\frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2 +\left( \frac{1}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ =\displaystyle \left( \frac{1}{λ} \right)^2-2 \left( \frac{1}{λ} \right) \left(\frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right) +\left( \frac{1}{λ^{\prime}} \right)^2 \end{array}

 

するとこのように。

 

 

んで次、左のやつをこうして、

 

\begin{array}{lllc} \displaystyle \frac{2m_e c}{h} \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}} \right) & \displaystyle = \frac{2m_e c}{h} \left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right) \end{array}

 

右のやつをこれに寄せてみます。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \left( \frac{1}{λ} \right)^2-2 \left( \frac{1}{λ} \right) \left(\frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right) +\left( \frac{1}{λ^{\prime}} \right)^2 \\ \\ \displaystyle = \left( \frac{1}{λ} \right)^2 +\left( \frac{1}{λ^{\prime}} \right)^2 - 2 \frac{1}{λλ^{\prime}}\cos θ \end{array}

 

すると「分母を合わせることができそう」なので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \left( \frac{1}{λ} \right)^2 +\left( \frac{1}{λ^{\prime}} \right)^2&\displaystyle =\left( \frac{1}{λ}-\frac{1}{λ^{\prime}} \right)^2+2\left( \frac{1}{λ} \right)\left( \frac{1}{λ^{\prime}} \right) \\ \\ &\displaystyle =\left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right)^2+2\frac{1}{λλ^{\prime}} \end{array}

 

このようにしてみると良い感じに。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle 2m_e hc \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}} \right)&\displaystyle =h^2\left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ^{\prime}}\cos θ \right)^2+h^2\left( \frac{1}{λ^{\prime}}\sin θ \right)^2 \\ \\ \displaystyle \frac{2m_e c}{h} \left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right) &\displaystyle =\left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right)^2+2\frac{1}{λλ^{\prime}} - 2 \frac{1}{λλ^{\prime}}\cos θ \\ \\ &\displaystyle =\left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right)^2+2 \frac{1}{λλ^{\prime}}(1-\cos θ) \end{array}

 

で「分母」を消すと↓になって、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{2m_e c}{h} \left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right)& \displaystyle =\left( \frac{λ^{\prime}-λ}{λλ^{\prime}} \right)^2+2 \frac{1}{λλ^{\prime}}(1-\cos θ) \\ \\ \\ \displaystyle \frac{2m_e c}{h} \left( λ^{\prime}-λ \right)& \displaystyle =\frac{(λ^{\prime}-λ)^2}{λλ^{\prime}}+2(1-\cos θ) \end{array}

 

(λ^{\prime}-λ)^2 」が邪魔な部分として残ります。

 

 

 

 

 

小さすぎる部分を 0 に近似

 

「波長の差 λ^{\prime}-λ の2乗」を、

『小さすぎるので無視しても良い』とすると、

 

\begin{array}{llc} (λ^{\prime}-λ)&≒10^{-12} \\ \\ \\ \displaystyle (λ^{\prime}-λ)^2&≒10^{-24} \\ \\ \\ 10^{-24}&<<10^{-12} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{(λ^{\prime}-λ)^2}{λλ^{\prime}}&≒0 \end{array}

 

このように近似することができるので、

後は「波長の差 λ^{\prime}-λ 」で整理すれば、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{2m_e c}{h} \left( λ^{\prime}-λ \right)& \displaystyle =\frac{(λ^{\prime}-λ)^2}{λλ^{\prime}}+2(1-\cos θ) \\ \\ & \displaystyle =0+2(1-\cos θ) \\ \\ \\ \displaystyle \frac{m_e c}{h} \left( λ^{\prime}-λ \right)& \displaystyle =(1-\cos θ) \\ \\ \displaystyle λ^{\prime}-λ& \displaystyle =\frac{h}{m_e c}(1-\cos θ) \end{array}

 

こうなりますよ、と。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Δλ&=λ^{\prime}-λ \\ \\ &\displaystyle =\frac{h}{m_e c}(1-\cos θ) \end{array}

 

まあこういう感じで

「コンプトン効果」の式は導けます。

 

 

 

 

 

最後、

θ=90° の場合の波長の差なんですが、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Δλ&=λ^{\prime}-λ \\ \\ &\displaystyle =\frac{h}{m_e c}(1-\cos θ) \\ \\ \\ &\displaystyle =\frac{h}{m_e c}(1-0) \\ \\ &≒2.4×10^{-12}(m) \end{array}

 

これは「コンプトン波長」と呼ばれています。

 

 

ある種の目安ですね。

頭の片隅に留めておくくらいでOKです。

 

 

 

 

 

見るということ

 

「測定」の中でも、特に『見る』ことは、

『存在の証明』と密接に結びついています。

 

 

「目」にしても「顕微鏡」にしても、

基本的にはこれを実現するためにあるわけで、

 

 

だからこそ、

あらゆるものを『視覚化する技術』は発達し、

それによって「存在」は確認されてきました。

 

 

 

で、この『見る』って行為なんですけど、

思えば、これは具体的にはなにをしてるんでしょう?

 

 

考えてみると、

例えば「反射した光」を「目」で受け取っている。

 

 

あるいはより抽象的には、

『レンズなどで拡大された電磁波』を、

『目で見える形』で受け取っている。

 

 

という感じに説明されると思われますが、

さて、実際はどうなんでしょうか。

 

 

まあ結論としてはそんな感じなわけですが。

 

 

ともかく、要は「反射した波」と

「それを受け取るもの」さえあれば、

この『見る』という行為は実現できる。

 

 

そういう風に言えることは納得できると思います。

 

 

具体的には、例えば

「目」で『可視光線』を

 

 

「光学顕微鏡」で『肉眼より広い範囲』を

「電子顕微鏡」で『原子くらいの大きさ』を

 

\begin{array}{lllll} 10^{-4}\mathrm{m}&:\displaystyle \mathrm{Eye} \\ \\ 10^{-6}\mathrm{m} &:\mathrm{Optical \,\, Microscope} \\ \\ 10^{-12}\mathrm{m} &:\mathrm{Electronic \,\, Microscope} \\ \\ 10^{-19}\mathrm{m} &:\mathrm{Particle \,\, Accelerator} \end{array}

 

それぞれ「反射したもの」を

「目の役割を持つもので拾う」ことで、

 

 

『見える形』にする、という感じで、

 

 

この世界のあらゆるものは、

「位置・運動量など」で『図を描く』ことで、

『見える形』に変換されています。

 

 

 

それこそ『反射された波を増幅』して、

それを「スクリーン」や「蛍光板」で捉える

という具合に。

 

 

 

まとめると、

『何か』を「見る・観測する」ということは、

『反射したものを捉える』ことを指します。

 

 

まあつまり『波を反射させること』

あるいは『波をぶつけること』こそが、

『見る』という行為には必要不可欠なわけで、

 

 

であるなら、

『見る』ことによって「乱れ」は必ず発生するので、

『ミクロの世界では』それを考える必要があります。

 

 

 

 

 

位置の変化と運動量の変化

 

「測定」のためには

『波を反射させる必要がある』ことが分かったので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Δx&≒Δλ \\ \\ Δp&\displaystyle ≒\frac{h}{Δλ} \end{array}

 

「コンプトン効果」の感じから、

このような『ズレがある』ことが予想できます。

 

\begin{array}{rlc} ΔxΔp&≒h \\ \\ \displaystyle Δx Δp &\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

なのでまあこんな感じになって、

なんかよく分からん形になるわけですが、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle Δx Δp &\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

実はこのよく分からん式が

「ハイゼンベルグの不確定性原理」

って呼ばれてるやつなんですよ。

 

 

 

確か80年くらいだったと思うんですが、

その間、これはずっと正しいと信じられてきました。

 

 

その程度には、

これは「そこそこ正しい式」です。

 

 

ただまあ現代では

「正確ではない」

ということが『実証』されていて、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ε_x η_p+η_p σ_x+σ_p ε_x&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

「小澤の不等式」のような、

より厳密な式が求められています。

 

 

 

とはいっても、

「ハイゼンベルグの不確定性原理」は

『不要になった式』というわけではありません。

 

 

というのも、

「発想の元になった」という点で、

この式は非常に有用なんです。

 

 

これに加えて、

これは「確実に正しい式」ではありませんが、

『だいたい正しい式』ではあります。

 

 

なのでまあ、

これは『矛盾した結果も導く式』ではあるんですが、

「大雑把な目安になる式」ではあるんですよ。

 

 

ですから、覚える意味の無い式だ

と言えるほどおかしな式ではありません。

 

 

 

 

 

ケナードの不等式

 

これは『物理量の標準偏差』についての式です。

具体的には↓みたいな式ですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(Q)σ(P)&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

見て何となくわかると思いますが、

これは「不確定性関係」の

『数学的根拠にされた式』になります。

 

 

 

記号の意味を整理しておくと、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ^2(X)&\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i-\overline{X})^2 \\ \\ [X,Y]&=XY-YX \end{array}

 

まあこんな感じですね。

 

 

\overline{X} は「物理量 X の平均」で、

σ^2(X) は「分散」を表しています。

 

 

 

まあこの時点じゃよく分からなくて当然です。

なのでとりあえず覚えておきましょう。

 

 

 

一応、ざっと説明しておくと、

これ、元は「ロバートソンの不等式」と言われるもので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(A)σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [A,B] \rangle | \end{array}

 

これの「物理量 A,B 」が

『位置 Q 』と『運動量 P 』の場合、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [Q,P]&=iℏ \end{array}

 

つまり「正準交換関係」の場合に

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(A)σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}ℏ \end{array}

 

こうなる

という式なので、

現状では分かるはずがありません。

 

 

証明もすごく面倒なので、

これの説明は後回しにします。

 

 

 

 

 

擾乱

 

これは「測定による物理量の乱れ」

つまり『測定による乱れ』を表す単語なんですけど、

すごく耳慣れない言葉だと思います。

 

 

単に「測定による乱れ」と

そのままそう言っても良いんですけど、

これだとちょっと分かり難いですよね?

 

 

というのも「測定」での

「測定誤差」と「測定による乱れ」では、

すごく意味が似通っています。区別し辛いです。

 

 

なので「はっきり別と分かる単語」が欲しくて、

結果、これが採用されました。

 

 

 

再度確認しておくと、

『測定誤差の分かる物理量』と

『その測定によって乱れる』「他の物理量」があって、

 

 

その「乱れ」を「擾乱」と言います。

 

 

具体的には「位置」の測定を行った時の、

『運動量の乱れ』が「擾乱」です。

 

 

 

記号では↓のように表されることが多いですね。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle η_p& η(P) \\ \\ &η(P) &\displaystyle = \sqrt{ \overline{Δp^2} } \\ \\ &Δp&=|p_{\mathrm{real}}-p_{\mathrm{measure}}|\end{array}

 

Δp は「偏差」を

η_p は「偏差の標準偏差」を表しています。

 

 

詳細は後で説明するので、

今はぼんやり覚えておきましょう。

 

 

 

 

 

測定誤差

 

これは「測定の誤差」を表していて、

「擾乱」とはまた別の単語です。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle ε_q &ε(Q)\\ \\ &ε(Q)&\displaystyle = \sqrt{ \overline{Δq^2 } } \\ \\ &Δq&=|q_{\mathrm{real}}-q_{\mathrm{measure}}| \end{array}

 

式だとほぼ同じ感じですが、

「測定されている方」は『片方』なので、

きちんと区別して覚えましょう。

 

 

これもぼんやりしていてあれですが、

現状では適当に覚えておけば十分です。

詳しくは↓で解説。

 

 

 

 

 

ハイゼンベルグの不確定性原理の破れ

 

「ケナードの式」を元に、

昔、ハイゼンベルグさんは

「不確定性の式」を↓のように書きました。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ΔxΔp&≒h \\ \\ σ(X)σ(P)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}ℏ \\ \\ \\ ΔxΔp&\displaystyle ≥\frac{1}{2}ℏ\end{array}

 

これを「不確定性原理」と呼んでいたわけですが、

なんか、違和感ありますよね。

 

 

 

結論を先に言っておくと、

これ、正確な書き換えではありません。

 

 

まあつまり正確な不等式ではないから、

『ある程度の範囲』であれば正しくなるんですけど、

「より精密な実験」を行った時、

 

 

言い換えると、

ℏ/2 より小さくなる」ように

「高精度で実験を行った」場合、

 

 

『この式で示された誤差』よりも、

「より小さな誤差」で測定できたりします。

 

 

 

まあつまり『測定の誤差』は、

「この式より小さくとれる」んです。

 

 

 

詳細は省きますが、

「中性子光学実験装置」での「スピン測定実験」とか

 

 

この辺りを調べると、

『ハイゼンベルグの不確定性原理』が

正しくならない結果を示すことが分かるかと。

 

 

 

 

 

不確定性原理の訂正

 

|| ケナードの不等式との混同

「ハイゼンベルグの不確定性原理」は、

数学的にはわりと適当に定められています。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ΔxΔp&≒h &&〇 \\ \\ \displaystyle ΔxΔp&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} &&\mathrm{?} \end{array}

 

しかし、これは「ある程度正しい式」です。

『完全に間違っているわけではありません』

 

 

そう、「正しくない」わけではなく、

「ある一定の領域までは正しい」んですよ。これ。

 

 

↑で言ったように、

『精密な計測』だとこの不等式は成立しませんが、

 

 

それでも「ある程度は正しい」上に、

『最小値がある』ことは確かなんです。

 

 

 

まあつまり「もっと小さな限界」があって、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle ΔxΔp&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2}-α \\ \\ ΔxΔp+α&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

それはこのように書けるはずなんですよ。

 

 

 

はい。まあですからこの式は元より、

『訂正できる可能性がある』わけで、

実際、訂正されちゃったわけです。

 

 

 

 

 


ロバートソンの不等式

 

|| 不確定性原理の式にかなり似てる式

これは「不確定性原理の根拠っぽい式」です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(A)σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [A,B] \rangle | \end{array}

 

数式的にはこんな感じ。

「標準偏差」と「交換子」の不等式になります。

 

 

 

これは主に「偏差」と「分散」に加えて、

「交換子」と「二次方程式の形」から導けるもので、

 

\begin{array}{lll} \displaystyle ΔA&=A-\langle A \rangle \\ \\ ΔB&=B-\langle B \rangle \\ \\ σ^2(A)&=\langle ΔA^2\rangle \\ \\ \\ [A,B]&=AB-BA \\ \\ (A+αB)(A-αB)&=A^2-α(AB-BA)-α^2B^2 \end{array}

 

この材料を使って思考錯誤していけば、

まあこういう式もあるか、って感じで導けます。

 

 

 

 

 

式変形で使う公式の確認

 

以下、式変形でちょっと変な計算を使うので、

その確認をしておきます。

 

\begin{array}{lll} [ΔA,ΔB]&=[A,B] \\ \\ (i[A,B])^{\dagger}&=i[A,B] \\ \\ \langle i[A,B] \rangle &=\mathrm{Real \,\, Number} \end{array}

 

A,B はエルミート演算子」とします。

A,B の中身はだいたい観測可能量なので。

 

 

 

なにより、

「実数」が絡む『意味のある行列』の中でも、

特に範囲が広いのがこの「エルミート行列」です。

 

 

ですから、この縛りを設けたとしても

かなり広い範囲をカバーできるので、

 

 

狭い範囲じゃないと扱えない

ってことにはまずなりません。

 

 

 

はい。とまあそういう感じなので、

とりあえず一つずつ確認していきましょうか。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle [ΔA,ΔB] &=[ A-\langle A \rangle ,B-\langle B\rangle ] \\ \\ &=ΔAΔB-ΔBΔA \\ \\ \\ ΔAΔB&=AB\textcolor{pink}{-A\langle B\rangle}\textcolor{skyblue}{- \langle A \rangle B} \textcolor{yellow}{+\langle A \rangle \langle B\rangle} \\ \\ ΔBΔA&=BA\textcolor{skyblue}{-B\langle A \rangle} \textcolor{pink}{-\langle B\rangle A}\textcolor{yellow}{+\langle B\rangle\langle A\rangle} \\ \\ \\ ΔAΔB-ΔBΔA&=AB-BA \\ \\ &=[A,B] \end{array}

 

まずこれはこう。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A&=A^{\dagger} \\ \\ (AB)^{\dagger}&=B^{\dagger}A^{\dagger} \end{array}

 

\begin{array}{lll} \displaystyle (i[A,B])^{\dagger} &=\Bigl( i(AB-BA) \Bigr)^{\dagger} \\ \\ &=-i(AB-BA)^{\dagger} \\ \\ \\ &=-i\Bigl((AB)^{\dagger}-(BA)^{\dagger} \Bigr) \\ \\ &=-i\Bigl(B^{\dagger}A^{\dagger}-A^{\dagger}B^{\dagger} \Bigr) \\ \\ &=i\Bigl(-B^{\dagger}A^{\dagger}+A^{\dagger}B^{\dagger} \Bigr) \\ \\ \\ &=i(-BA+AB) \\ \\ &=i[A,B] \end{array}

 

んでこれはこうです。

確認しておくと、これが成り立つので、

i[A,B] はエルミート演算子と言えます。

 

\begin{array}{rlc} (i[A,B])^{\dagger}&=i[A,B] \\ \\ i[A,B]|\psi\rangle &=r|\psi\rangle \end{array}

 

\begin{array}{lll} \displaystyle\langle i[A,B] \rangle &=\langle \psi| i[A,B] |\psi \rangle \\ \\ &=\langle \psi| r |\psi \rangle \\ \\ &=\mathrm{Real \,\, Number} \end{array}

 

で3つ目は

i[A,B] がエルミート演算子」であることから、

「固有値は実数になる」ので結果的にこうなります。

 

 

 

 

 

不等式のアプローチ

 

「実数の2乗は正になる」とか

「絶対値は 0 以上になる」とか

 

\begin{array}{llc} α^2&≥0 \\ \\ \displaystyle |z|&≥0 \\ \\ |z|^2&≥0 \end{array}

 

こういうのを使うと、

「大小比較できる形」の中でも、

特に『下から抑える形にする』ことができます。

 

 

んでまあこれでなんとなく分かると思いますが、

この形が「不等式を作る」やり方の基本で、

 

 

「不等式を作りたい」と思った時、

ほとんどの場合でこの形を経由することになります。

 

 

 

これは「複素数」の場合も同様で、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle z&=a+bi \\ \\ z^*z&=a^2+b^2 \\ \\ |z|&=\sqrt{z^*z} \end{array}

 

その場合は「大小比較できる形にする」ために、

↑の操作がよく使われますね。

 

\begin{array}{lllll} \displaystyle |A|&=\det(A) \\ \\ \langle A \rangle &=\langle \psi| A |\psi \rangle \end{array}

 

「ベクトル」やら「行列」やらの場合も同様です。

これもこのままでは『大小比較できない』ので、

このようにスカラー値に変更する操作が使われます。

 

 

 

はい。とまあそんな感じで、

基本的に不等式はこのような形で書かれていて、

だからこそ↑のような操作がよく使われます。

 

 

 

最後、補足しておくと、

今回の式で使われているのは

「実数の二次方程式の判別式」です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ax^2+bx+c&=0 \\ \\ x&\displaystyle =\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle b^2-4ac&≤0 \end{array}

 

式としてはこんな感じ。

見覚えのある形だと思います。

 

 

 

 

 

意味のありそうな不等式

 

「不等式」というのは

『値の範囲を抑える』ために存在しています。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle α&≥0 \\ \\ |α|&≤1 \\ \\ |α|&<\infty \end{array}

 

「関数の比較」「図形の形」

「確率」「収束」「連続性」などなど、

 

 

そういう「関数の意味」を調べる場合、

不等式は指標として必要になるんですよ。

 

 

 

というのも、

例えば↓の性質を満たす場合、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle 0&≤p&≤1 \end{array}

 

これは『確率としての意味を持つ』かもしれません。

 

 

他にも例えば、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle -1&≤x&≤1 \\ \\ -1&≤y&≤1 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle x^2+y^2&≤1 \end{array}

 

↑はそれぞれ「正方形」「円」を表してます。

 

 

 

とまあそんな感じで、

「不等式」は意味の指標になるんですよ。

 

 

 

 

 

正準交換関係にある物理量

 

スカラー値で考える場合、

「交換関係」は基本的に 0 になります。

 

\begin{array}{rllll} \displaystyle αβ&=βα \\ \\ \\ [α,β]&=αβ-βα \\ \\ &=0 \end{array}

 

「交換法則」が成立する以上、

これは絶対です。

 

 

 

しかしこれは

あくまで「スカラー値」に限った話。

 

 

『物理量演算子』などの

「ベクトル」「行列」を考えると、

「交換」はほとんどの場合で出来ません。

 

 

そう、「交換法則」が成立しない範囲では、

0 になることはまず無いんですよ。

 

\begin{array}{lllll} &B=A \\ \\ ∨&B=E\\ &&→&\displaystyle AB=BA \\ ∨&B=A^{-1} \\ \\ ∨& B=O \end{array}

 

0 になるのは特別な場合だけ。

 

 

加えて「実数になる」のも特別なパターンで、

 

\begin{array}{rllll} \displaystyle \hat{q}&=q \\ \\ \hat{p}&\displaystyle =-iℏ\frac{\partial}{\partial q} \\ \\ \\ [\hat{q},\hat{p}]&=iℏ \end{array}

 

特に、↑の「正準交換関係」のようなものは

たまたま良い感じの値が得られた結果に過ぎません。

 

 

 

繰り返し言っておくと、

「正準交換関係」はかなり特殊なパターンです。

 

 

で、そういう特殊なパターンが存在する以上、

このような「交換子」を使ってみると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [\hat{q},\hat{p}]&=iℏ \\ \\ α&≥0 \\ \\ α&≥|iℏ| \end{array}

 

「スカラー値では無意味な不等式」でも

「ベクトル・行列では意味のある不等式」

 

 

というのが導けるのではないか

という予想ができます。

 

 

 

 

 

正準交換関係を定数に持つ不等式

 

「正準交換関係」のようなものを考えるために、

「交換子を含む不等式」を考えたい

 

 

そう考えた時、不等式の中には

「交換子」が入っていて欲しくなります。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle [A,B]&=AB-BA \\ \\ [A+α,B+β]&=AB-BA+γ \end{array}

 

加えて「交換子が 0 にならない範囲」を考えたいので、

A,B は「行列」だと考えたいです。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |A|&=\mathrm{det}(A) \\ \\ \langle A \rangle &=\langle\psi| A |\psi\rangle \end{array}

 

んで「行列」ですから、

「大小の比較を行えるようにする」ためにも

こういう「スカラー値」にする操作を考える必要が。

 

 

 

また「複素数」のパターンも考えたいので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |\langle A \rangle| &=|\langle\psi| A |\psi\rangle | \\ \\ \displaystyle \langle |A| \rangle &=\langle\psi| \,|A|\, |\psi\rangle \end{array}

 

このような形も考慮して、

「大小比較が可能な形にできる」

ということを確認しておきます。

 

 

 

 

 

統計と物理量

 

↑の時点じゃまだなにをすればって感じです。

しかし、例えば「統計」のような

考える『指標』が与えられたらどうでしょうか。

 

\begin{array}{lllll} \displaystyle [A,B]&=AB-BA \\ \\ [A+α,B+β]&=AB-BA+γ \\ \\ \\ \displaystyle [ΔA,ΔB]&=ΔAΔB-ΔBΔA \\ \\ \\ ΔAΔB&=(A-\langle A \rangle)(B-\langle B \rangle) \\ \\ ΔBΔA&=(B-\langle B \rangle)(A-\langle A \rangle) \end{array}

 

↑で確認しましたが、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [ΔA,ΔB]&=[A,B] \end{array}

 

こうです。

なので『不等式の意味』を考える場合、

この「偏差」は『式を単純にする』のに使えます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ^2(A)&=\langle ΔA^2 \rangle \end{array}

 

現時点ではあまり意味はありませんが、

後でこういう形を見ることがあるので

しっかり念頭に置いておきましょう。

 

 

 

 

 

交換子と二次方程式

 

「二次方程式の形」と

「交換子」を比較すると、

 

\begin{array}{llll} \displaystyle (αx-β)(αx+β)&=α^2x^2+(αβ-βα)x-β^2 \\ \\ [A,B]&=AB-BA \end{array}

 

↑のような形になるので、

「交換子の不等式」を考える時、

この形は使えそうだ、ということが予想できます。

 

 

というのも、

「交換子が出る部分」の代表的な状況は、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (αx-β)(αx+β)&=α^2x^2+(αβ-βα)x-β^2 \\ \\ z^*z&=(a+bi)(a-bi) \end{array}

 

この「係数の計算」です。

 

 

なので「交換子」を考える場合、

最初に思い浮かぶのはこの形になります。

 

 

 

 

 

係数と判別式

 

「二次方程式の形」では、

「交換子」は「係数」に含まれています。

 

 

そして「二次方程式」には

「判別式」という『係数のみを使う』

「不等式を作る材料」があります。

 

 

つまり「交換子の不等式」を考える時、

↓のような「判別式」を考えると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A,B]&=AB-BA \\ \\ (A+αB)(A-αB)&=A^2-α(AB-BA)-α^2B^2 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ax^2+bx+c&=0 \\ \\ \\ a&=-B^2 \\ \\ b&=-[A,B] \\ \\ c&=A^2 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle b^2-4ac \end{array}

 

「交換子を含む不等式」が得られます。

 

 

 

 

 

判別式と不等式

 

「交換子」と「二次方程式」の比較から、

↓のような形が使えそうですが、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A,B]&=AB-BA \\ \\ (A+xB)(A-xB)&=A^2-(AB-BA)x-x^2B^2 \end{array}

 

二次式の右側は確定していません。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (A+xB)(A-xB) &=\mathrm{?} \end{array}

 

まあつまりこのままでは、

「係数」に虚数が来る可能性があるんですよ。

 

 

 

しかし仮に虚数が係数にくると

「判別式が使えない」などの

あらゆる性質を無くしてしまいます。

 

 

そうなると更にいろいろ見直す必要があるので、

できれば「実数の係数だけ」にしておきたいです。

 

 

なので、右には実数しか来ないよう

どうにかする必要があります。

 

 

 

要望をまとめると、

まず前提として、

(αx+β)(αx-β) の形はそのままが良いです。

 

 

判別式と交換子を結ぶ形なので、

この形は崩せません。

 

 

その上で

「係数」を「実数だけにしたい」ので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \Bigl| ax^2+bx+c \Bigr| &=\sqrt{z^*z} \end{array}

 

例えば |X|^2≥0 のような

『実数に変換する操作』を考える必要があります。

 

 

 

とまあそういう感じでいろいろ考えてみると、

 

\begin{array}{lll} | z |&=\sqrt{z^*z} \\ \\ | z |^2&=z^*z \\ \\ \\ | A-ixB |^2&=(A-ixB)^{\dagger}(A-ixB) \end{array}

 

このように「 x を実数」として

「複素共役」を採用した後、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle | A-ixB |^2 \rangle&≥0 \end{array}

 

「行列」をスカラー値に変換するために

「内積」を使って形を整えれば、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle | A-ixB |^2 &\displaystyle = \left( \sqrt{\displaystyle (A-ixB)^{\dagger}(A-ixB)} \right)^2 \\ \\ &\displaystyle = (A-ixB)^{\dagger}(A-ixB) \\ \\ \\ &\displaystyle = (A^{\dagger}+ixB^{\dagger})(A-ixB) \\ \\ &\displaystyle = (A+ixB)(A-ixB) \\ \\ \\ &=A^2-i(AB-BA)x+B^2x^2 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle | A-ixB |^2 \rangle&\displaystyle =\left\langle \left( \sqrt{\displaystyle (A-ixB)^{\dagger}(A-ixB)} \right)^2 \right\rangle \\ \\ &\displaystyle =\left\langle A^2-i(AB-BA)x+B^2x^2 \right\rangle \\ \\ \\ &=\left\langle A^2 \right\rangle+\left\langle -i(AB-BA)x \right\rangle+\left\langle B^2x^2 \right\rangle \\ \\ &=\left\langle A^2 \right\rangle+\left\langle -i(AB-BA) \right\rangle x+\left\langle B^2 \right\rangle x^2 \end{array}

 

実現したい要望を全て満たすことができます。

 

 

ここまで来れば後は簡単ですね。

↑で定めたように「 x は実数」ですから、

y≥0 なので重解以外は存在せず」

 

\begin{array}{llll} \displaystyle b^2-4ac≥0 &→& (x-α)(x-β)=0 \\ \\ b^2-4ac=0&→&(x-α)^2=0 \\ \\ b^2-4ac≤0&→&(x-α)^2≥0 \end{array}

 

「判別式」は↓に定まります。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle b^2-4ac&≤0 \\ \\ (\langle -i(AB-BA) \rangle)^2-4\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle&≤0 \end{array}

 

とまあこのような感じで考えていくと、

「判別式で不等式を得るアプローチ」として

このようなやり方が導けるわけです。

 

 

 

いくらか発想に行き着くまでが大変ですが、

不等式と言えば「2乗」ですから、

あらゆる発想はその辺りを経由します。

 

 

そこから総当たりで思考錯誤してみれば、

どうあれ、この発想にはいずれ行き着けるでしょう。

 

 

 

 

 

形式の整理

 

ちゃんと「行列」「複素数」が、

「大小比較できる形になってるか」

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \langle | A-ixB |^2 \rangle \\ \\ \left\langle A^2 \right\rangle+\left\langle -i(AB-BA) \right\rangle x+\left\langle B^2 \right\rangle x^2 \end{array}

 

なぜこの形になるのか

ざっと確認しておきます。

 

 

 

まず行列 A,B をスカラーにする方法ですけど、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle A \rangle &=\langle\psi|A|\psi\rangle \\ \\ |A|&=\mathrm{det}(A) \end{array}

 

トレースなどもありますが、

考えられるのは主にこの2つ。

 

 

この時点ではどっちを採用するか分かりませんが、

「固有値」「二次方程式の形」を考えると

 

 

「平均・期待値」の方を採用したくなる

というのはなんとなく分かると思います。

 

 

 

「複素数」の「実数への変換」については

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle | z |&=\sqrt{z^{\dagger}z} \end{array}

 

基本的にはこれだけなので、

特に迷う必要はありません。

 

 

 

そして最後

「二次方程式のアプローチ」ですが、

これは↑のものを↓のように組み合わせて

 

\begin{array}{lll} \displaystyle (α+xβ)(α-xβ) \\ \\ \\ | A-ixB |&\displaystyle =\sqrt{ \displaystyle (A-ixB)^{\dagger}(A-ixB) } \\ \\ \langle A-ixB \rangle&=\langle A \rangle+\langle -ixB \rangle \\ \\ \\ \langle A-ixB \rangle^2& \\ \\ |A-ixB|^2& \\ \\ \\ |\langle A-ixB \rangle^2|&≥0 \\ \\ \langle |A-ixB|^2 \rangle &≥0 \end{array}

 

順番に加工していけば、

『大小を比較可能な形にできます』

 

 

 

まとめると、

(A+ixB)(A-ixB) は、

そもそも↓のような形にしないと、

 

\begin{array}{rlc} |\langle A-ixB \rangle^2|&≥0 \\ \\ \langle |A-ixB|^2 \rangle &≥0 \end{array}

 

『比較可能な形』にはできないんですね。

まあですから、結果的にこうなるわけです。

 

 

 

 

 

交換子と不等式と統計

 

ちょっと長くなったので、

↑で話した流れをざっとおさらいしておきます。

 

 

まず『目的』は

「正準交換関係」のようなものがあることから、

「交換子の不等式を求めてみたい」という感じで、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A,B] \end{array}

 

そのために「不等式のアプローチ」を考えよう

というのがスタート地点です。

 

 

 

その過程で、

「行列」「複素数」を考慮する必要があって、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle |\langle [A,B] \rangle| &≥α \end{array}

 

そのためにこのような加工を考えます。

 

 

 

「不等式のアプローチ」については、

「交換子」と「二次方程式の形」から、

「判別式が使えそう」なので

 

\begin{array}{llc} \displaystyle [A,B] &=AB-BA \\ \\ (α+xβ)(α-xβ)&=α^2-(αβ-βα)x-β^2x^2 \\ \\ \\ | A-ixB |^2 &=(A-ixB)^{\dagger}(A-ixB) \end{array}

 

このような形を考えます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle | A-ixB |^2 \rangle&≥0 \end{array}

 

また、着地で「分散を考えたい」ので、

式の形はこれを採用することに。

 

 

 

で、ここから実際に

「判別式」を使って整理してみるわけですが、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A&=A^{\dagger} \\ \\ B&=B^{\dagger} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle | A-ixB |^2 \rangle&≥0 \\ \\ \\ \langle | A-ixB |^2 \rangle &=\langle (A-ixB)^{\dagger}(A-ixB) \rangle \\ \\ &=\langle (A^{\dagger}+ixB^{\dagger})(A-ixB) \rangle \\ \\ &=\langle A^2-i(AB-BA)x+B^2x^2 \rangle \\ \\ \\ &=\langle A^2\rangle-\langle i(AB-BA)x\rangle+\langle B^2x^2 \rangle \\ \\ &=\langle A^2\rangle-\langle i(AB-BA)\rangle x+\langle B^2 \rangle x^2 \end{array}

 

まあ 2次方程式の形はこのようになるので、

後は係数を整理して、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ax^2+bx+c&=0 \\ \\ x&\displaystyle =\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \\ \\ a&=\langle B^2 \rangle \\ \\ b&=-\langle i(AB-BA)\rangle \\ \\ c&=\langle A^2\rangle \end{array}

 

実数解の存在を考慮すると、

y≥0 のパターンでは重解以外は存在しないので、

 

\begin{array}{lll} \displaystyle x&=\mathrm{Real\,\,Number} \\ \\ \langle i[A,B]\rangle &=\mathrm{Real\,\,Number} \end{array}

 

\begin{array}{lll} \displaystyle b^2-4ac&≤0 \\ \\ \Bigl( -\langle i(AB-BA)\rangle \Bigr)^2-4\langle B^2 \rangle \langle A^2\rangle&≤0 \\ \\ \\ \Bigl( -\langle i[A,B] \rangle \Bigr)^2-4\langle B^2 \rangle \langle A^2\rangle&≤0 \\ \\ \Bigl|\langle i[A,B] \rangle \Bigr|^2-4\langle B^2 \rangle \langle A^2\rangle&≤0 \end{array}

 

こうなります。

 

 

 

んで、「絶対値の性質」と

「エルミート演算子の性質」を考えると、

 

\begin{array}{rlc} i[A,B] |\psi\rangle&= r |\psi\rangle \\ \\ \\ \Bigl|\langle i[A,B] \rangle \Bigr| &=\Bigl|\langle \psi| i[A,B] |\psi \rangle \Bigr| \\ \\ &=\Bigl|\langle \psi| r |\psi \rangle \Bigr| \\ \\ &=|\langle r\rangle| \\ \\ &=|r| \\ \\ &=\sqrt{r^*r} \\ \\ &=\sqrt{r^2} \\ \\ \\ \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr| &=\Bigl|\langle\psi| (-i)i[A,B] |\psi\rangle \Bigr| \\ \\ &=\Bigl|\langle\psi| (-i)r |\psi\rangle \Bigr| \\ \\ &=|\langle (-i)r \rangle | \\ \\ &=|-ir| \\ \\ &=\sqrt{(-ir)^{*}(-ir)} \\ \\ &=\sqrt{(ir)(-ir)} \\ \\ &=\sqrt{r^2} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \Bigl|\langle i[A,B] \rangle \Bigr|&=\Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

このようになることが分かるので、

↓のように変形。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr|^2-4\langle B^2 \rangle \langle A^2\rangle&≤0 \end{array}

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr|^2&≤4\langle B^2 \rangle \langle A^2\rangle \\ \\ \\ 4\langle B^2 \rangle \langle A^2\rangle &≥\Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr|^2 \end{array}

 

すると、↓のような式が導かれます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle A^2\rangle \langle B^2 \rangle&\displaystyle ≥\frac{1}{4} \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr|^2 \\ \\ \sqrt{\displaystyle \langle A^2\rangle } \sqrt{\displaystyle \langle B^2 \rangle }&\displaystyle ≥\frac{1}{2} \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

最後に「偏差」や「分散」などの

「統計的な感覚」を考えると、

 

\begin{array}{lll} \displaystyle ΔA&=A-\langle A\rangle \\ \\ ΔB&=B-\langle B\rangle \\ \\ \\ [ΔA,ΔB]&=[A,B] \\ \\ \\ σ^2(A)&=\langle ΔA^2 \rangle \end{array}

 

結果として、

↓のような不等式が導かれる、と。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \sqrt{\displaystyle \langle A^2\rangle } \sqrt{\displaystyle \langle B^2 \rangle }&\displaystyle ≥\frac{1}{2} \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \sqrt{\displaystyle \langle ΔA^2\rangle } \sqrt{\displaystyle \langle ΔB^2 \rangle }&\displaystyle ≥\frac{1}{2} \Bigl|\langle [ΔA,ΔB] \rangle \Bigr| \\ \\ \\ \sqrt{σ^2(A) } \sqrt{σ^2(B) }&\displaystyle ≥\frac{1}{2} \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \\ σ(A) σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2} \Bigl|\langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

まあこのような流れで

「ロバートソンの不等式」は導かれるわけです。

 

 

 

 

 

まとめると、

「不等式を作るアプローチ」は↓で

 

\begin{array}{lll} [A,B]&=AB-BA \\ \\ (α+xβ)(α-xβ) &=α^2-(αβ-βα)x-x^2β^2 \\ \\ \\ \displaystyle \langle |A-ixB|^2 \rangle &≥0 \\ \\ b^2-4ac&≤0 \\ \\ \\ ΔA&=A-\langle A\rangle \\ \\ σ^2(A)&=\langle ΔA^2 \rangle \\ \\ [ΔA,ΔB]&=[A,B] \\ \\ \\ \langle A \rangle &=\langle\psi |A |\psi\rangle \\ \\ |z| &=\sqrt{z^{\dagger}z} \\ \\ A^{\dagger}&=A \end{array}

 

導かれる不等式は↓になります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(A)σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [A,B] \rangle | \end{array}

 

これが「ロバートソンの不等式」です。

 

 

 

最後、補足しておくと、

これに「正準交換関係」を入れたものを

 

\begin{array}{llll} \displaystyle σ(Q)σ(P)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}ℏ \end{array}

 

「ケナードの不等式」と言います。

 

 

 

 

 


小澤の不等式

 

|| 厳密な不確定性関係の式

「不確定性原理の曖昧さ」を解消した式がこれ。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle ε_x η_p+η_p σ_x+σ_p ε_x&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \\ \\ \displaystyle ε(Q) η(P)+η(P) σ(Q)+σ(P) ε(Q)&\displaystyle ≥\frac{ℏ}{2} \end{array}

 

「ロバートソンの不等式」に因む

という点ではハイゼベルグのものと同様なんですが、

 

\begin{array}{llll} \displaystyle ΔxΔp≒h &→&\displaystyle ΔxΔp=\frac{ℏ}{2} &&(\mathrm{?}) \end{array}

 

「書き換え」という点で、

小澤の不等式に曖昧な部分はありません。

 

 

数式的には完全に正しく、

「測定誤差」も「擾乱」も厳密に定義されています。

 

 

 

 

 

ロバートソンの不等式の右側

 

「交換子」に着目した不等式は、

「正準交換関係」の不等式を導きました。

 

 

ということは、

「物理量演算子 A,B 」を置き換えれば、

 

 

意味が不確かな『測定の誤差』を

なんらかの方法で厳密に記述できるはず。

 

 

 

と、なんとなくそう思えませんか?

というのも、例えば『誤差』を考えるために、

 

 

「観測可能量 A 」として

「観測可能量のズレ ΔA 」を考えると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ΔA&=A^{\prime}-A \\ \\ \displaystyle ΔB&=B^{\prime}-B \end{array}

 

「ズレた後の観測可能量を A^{\prime} 」とすれば、

こんな感じに表現できます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(ΔA)σ(ΔB)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [ΔA,ΔB] \rangle | \end{array}

 

その上でロバートソンの不等式を置き換えると

その交換子はこのような不等式を満たすわけで、

 

 

なら、交換子の性質を使えば、

物理量演算子の関係を使えば、

『誤差を含む不等式』が得られそうな気がします。

 

 

 

 

 

持っていて欲しい性質とエルミート演算子

 

A,B などは『観測可能量』で考えたいので、

これらの「固有値」は「実数」でなければなりません。

 

 

なので A,B,A^{\prime},B^{\prime}

「エルミート演算子」だと、そう仮定します。

 

 

 

これからの話は↑の話を押さえた上での話になるので、

出てくる行列はエルミート演算子だと考えてください。

 

 

 

 

 

予想できる着地点

 

この時点ではまだゴールは見えません。

というのも、肝心な発想に繋がるものは

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A^{\prime},B^{\prime}]&=[A+ΔA,B+ΔB] \end{array}

 

これを考えた場合の

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [X+Y,Z]&=[X,Z]+[Y,Z] \\ \\ [X,Y+Z]&=[X,Y]+[X,Z] \end{array}

 

これなんですよ。

 

 

 

どういうことかというと、

「ロバートソンの不等式」の中には

「標準偏差」が入ってるので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(ΔA)&\displaystyle =\sqrt{\displaystyle \langle (ΔA-\langle ΔA \rangle )^2 \rangle} \\ \\ \displaystyle \sqrt{\displaystyle \langle ΔA^2 \rangle}&\displaystyle ≥\sqrt{\displaystyle \langle (ΔA-\langle ΔA \rangle )^2 \rangle} \end{array}

 

求めたい「誤差」のようなものを考える時、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \sqrt{\displaystyle \langle ΔA^2 \rangle}&≥σ(ΔA) \end{array}

 

「誤差 ΔA の偏差」の「標準偏差」から、

「誤差の標準偏差だけ」を取り出すことができます。

 

 

 

つまり「偏差のような ΔA 」は

「標準偏差の不等式」を考えると

『整理できるかもしれない』わけで、

 

 

となると、

なんとなーくうまく整理できる気がしませんか?

 

\begin{array}{llc} \displaystyle σ(A)σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [A,B] \rangle |\\ \\ α&\displaystyle ≥|\langle [A,B] \rangle | \end{array}

 

「交換子」に着目すれば

そのまま「ロバートソンの不等式」を使って、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle σ(ΔA)σ(ΔB)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [ΔA,ΔB] \rangle | \\ \\ \displaystyle \displaystyle \sqrt{\displaystyle \langle ΔA^2 \rangle}\displaystyle \sqrt{\displaystyle \langle ΔB^2 \rangle}&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [ΔA,ΔB] \rangle | \end{array}

 

「不確定性原理の式」に

「似た形の式」を得られそうですし。

 

 

 

 

 

測定と交換子の仮定

 

話は飛びますが、

ここで「同時固有状態」というのを考えます。

 

 

この時点じゃ意味不明だと思いますが、

とりあえず「状態が同時に決まるもの」

 

 

という感じの「2つのもの」を、

この時点では想像しておいてください。

 

 

具体的には「重さ」と「天秤」とか

「温度」と「体積」みたいな。

 

 

 

で、これを確認するとどうなるかって話ですが、

実は「同時固有状態」を考えると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A^{\prime},B^{\prime}]&=0 \end{array}

 

「ズレた後の交換子」を↑だと仮定しても

特に問題が無いことが分かるんですよ。

 

 

 

と言ってもまあ

これだけだとよく分からないですよね。

 

 

なのでとりあえず、

この「仮定に問題が無い」ことを確認するために

まずいろいろと前提を整理しておきます。

 

 

 

 

 

測定で考えられる物理量

 

「測定」の工程を考えると、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle A&=Q(0) \\ \\ A^{\prime}&=M(Δt) \\ \\ \\ B&=P(0) \\ \\ B^{\prime}&=P(Δt) \end{array}

 

例えば「位置」と「運動量」なら

最低限、このような物理量が必要だと予想できます。

 

 

 

というのも、

この時の M が「測定するためのもの」で、

 

 

「観測する粒子 M の状態」で

「観測したい物理量 P の状態」が測れる時、

 

 

例えば「重さ」と「天秤の位置」のように

『連動している』と考えられる時、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle M\psi_n&=m_n\psi_n \\ \\ P\psi_n&=p_n\psi_n \end{array}

 

こういう風にできる、という話で、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [M,P]&=0 \end{array}

 

この関係式から、実は↑が導かれるんですよ。

 

 

 

 

 

測定と固有状態と交換子

 

「測定で使う観測可能量を M 」として、

「測定したい観測可能量 P 」を考える場合

 

\begin{array}{rlc} M | \psi_n \rangle &=m_n | \psi_n \rangle\\ \\ \\ P | \psi_n \rangle &=p_n | \psi_n \rangle \end{array}

 

「同時固有状態」と言われてるものを使って

このような関係を得ると、

 

\begin{array}{rlc} [M,P]&=0 \end{array}

 

実はこのようになります。

 

 

「同時固有状態」の話は少し長くなるので

これの詳細は後で話すとして、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle \hat{A}\psi_n&=a_n\psi_n \\ \\ \hat{B}\psi_n&=b_n\psi_n \end{array}

 

ともかく、↑の関係から交換子を考えると、

 

\begin{array}{rlc} \hat{A}\hat{B}\psi_n&=\hat{A}b_n\psi_n \\ \\ &=b_n\hat{A}\psi_n \\ \\ &=b_na_n\psi_n \\ \\ \\ \hat{B}\hat{A}\psi_n&=\hat{B}a_n\psi_n \\ \\ &=a_n\hat{B}\psi_n \\ \\ &=a_nb_n\psi_n \\ \\ \\ \hat{A}\hat{B}\psi_n&=\hat{B}\hat{A}\psi_n \end{array}

 

数式的にはこのようになるわけで、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A^{\prime},B^{\prime}]&=0 \end{array}

 

ということは、

「同時固有状態」を考える「測定」時には

↑だと考えても特に問題はありません。

 

 

 

まとめると、

「粒子 A の位置を測定したい」時、

「粒子 B の状態が同時に定まる」ことを利用する。

 

 

その時「交換子」は↓になる。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A,B]&=0 \end{array}

 

ということは、

測定時にはこのように仮定できる、と。

 

 

 

まあ以上のことから、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [M(Δt),P]&=0 \end{array}

 

M は「このようになる」ように

「選んで測定される」ことから、

 

\begin{array}{llll} \displaystyle [A^{\prime},B^{\prime}]&=0 \\ \\ [M(Δt),P]&\displaystyle =0 \end{array}

 

このように仮定したとしても

特に問題は無い、と言えるわけですね。

 

 

 

 

 

交換子の式変形

 

交換子の式を変形して

[A,B] を取り出してみます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A^{\prime},B^{\prime}]&=0 \\ \\ A^{\prime}&=A+ΔA \\ \\ B^{\prime}&=B+ΔB \end{array}

 

『仮定』を用いるとこのようになって、

変数を整理するとこんな感じになりますから、

 

 

↓の交換子の性質を考えると、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [X+Y,Z]&=(X+Y)Z-Z(X+Y) \\ \\ &=XZ+YZ-(ZX+ZY) \\ \\ &=(XZ-ZX)+(YZ-ZY) \\ \\ &=[X,Z]+[Y,Z] \\ \\ \\ \displaystyle [X,Y+Z]&=X(Y+Z)-(Y+Z)X \\ \\ &=XY+XZ-(YX+ZX) \\ \\ &=(XY-YX)+(XZ-ZX) \\ \\ &=[X,Y]+[X,Z] \end{array}

 

↓のように分解できることが分かります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A^{\prime},B^{\prime}]&=0 \\ \\ &=[A+ΔA ,B+ΔB] \\ \\ \\ &=[A+ΔA,B]+[A+ΔA,ΔB] \\ \\ &=[A,B]+[ΔA,B]+[A,ΔB]+[ΔA,ΔB] \end{array}

 

すると↑の式から、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [A,B]+[ΔA,B]+[A,ΔB]+[ΔA,ΔB]&=0 \\ \\ [ΔA,B]+[A,ΔB]+[ΔA,ΔB]&=-[A,B] \end{array}

 

このような形で

交換子 [A,B] を取り出すことができる、と。

 

 

 

 

 

ロバートソンの不等式に寄せていく

 

「量子」は『確率的に広がっている』ので、

『平均・期待値』を使って統計的に求められます。

 

 

加えて「観測可能量」は「行列」で書かれるので、

『大小比較できる形にしたい』なら、

 

 

最低限、

『平均・期待値の形』にしておく必要があります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \langle [ΔA,B]+[A,ΔB]+[ΔA,ΔB] \rangle &=\langle -[A,B] \rangle \\ \\ \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle+\langle[A,ΔB]\rangle+\langle[ΔA,ΔB] \rangle &=-\langle [A,B] \rangle \end{array}

 

加えて「着地したい」のは

「ロバートソンの不等式」ですし、

 

 

なにより「複素数」を考えると、

『大小を比較できる形にする』ためには

「実数」へと変換しておく必要があります。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle+\langle[A,ΔB]\rangle+\langle[ΔA,ΔB] \rangle \Bigr|&=\Bigl| -\langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[A,ΔB]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[ΔA,ΔB] \rangle \Bigr|&=\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

なので「絶対値」を使ってこのような形に。

 

 

 

 

 

三角不等式と式の比較

 

「三角不等式」の感覚を使って、

左右の大小を比較してみます。

 

\begin{array}{llll} x&≥0 \\ \\ y&≥0 \\ \\ \\ \displaystyle x^2+y^2&=z^2 \\ \\ (x+y)^2&=x^2+2xy+y^2 \\ \\(x+y)^2&≥z^2 \\ \\ \\ |x+y|&≥|z| \\ \\ |x|+|y|&≥|z| \end{array}

 

確認しておくと、

「三角不等式」ってのはこういうやつです。

 

 

『三角形の辺の長さの比較をする』要領で、

「大小関係」を得ます。

 

\begin{array}{lll} \displaystyle |x|+|y|+|z|&=|a| \\ \\ (|x|+|y|+|z|)^2&≥|a|^2 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \left( \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[A,ΔB]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[ΔA,ΔB] \rangle \Bigr| \right) ^2&≥ \left( \Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \right)^2 \\ \\ \end{array}

 

使い方についてはまあこんな感じで、

↑から↓の大小関係を導きます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[A,ΔB]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[ΔA,ΔB] \rangle \Bigr|&=\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[A,ΔB]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[ΔA,ΔB] \rangle \Bigr|&≥\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

ここまでくると

だいぶ近付いてきた感じがありますね。

 

 

 

 

 

変形後の交換子とロバートソンの不等式

 

↑で導かれた大小関係を、

「ロバートソンの不等式」を当てはめて整理してみます。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle σ(ΔA)σ(ΔB)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [ΔA,ΔB] \rangle | \\ \\ \displaystyle σ(A)σ(ΔB)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [A,ΔB] \rangle |\\ \\ \displaystyle σ(ΔA)σ(B)&\displaystyle ≥\frac{1}{2}|\langle [ΔA,B] \rangle | \end{array}

 

するとまあこんな感じになって、

「交換子より大きなもの」が導けるので、

 

\begin{array}{llc} \displaystyle 2σ(ΔA)σ(ΔB)&\displaystyle ≥|\langle [ΔA,ΔB] \rangle | \\ \\ \displaystyle 2σ(A)σ(ΔB)&\displaystyle ≥|\langle [A,ΔB] \rangle |\\ \\ \displaystyle 2σ(ΔA)σ(B)&\displaystyle ≥|\langle [ΔA,B] \rangle | \end{array}

 

\begin{array}{lll} \displaystyle \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[A,ΔB]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[ΔA,ΔB] \rangle \Bigr|&=L \\ \\ \\ \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+\Bigl|\langle[A,ΔB]\rangle \Bigr|+2σ(ΔA)σ(ΔB)&≥L \\ \\ \displaystyle \Bigl| \displaystyle \langle [ΔA,B]\rangle \Bigr|+2σ(A)σ(ΔB)+2σ(ΔA)σ(ΔB)&≥L\\ \\ \displaystyle 2σ(ΔA)σ(B)+2σ(A)σ(ΔB)+2σ(ΔA)σ(ΔB)&≥L \end{array}

 

こんな感じに置き換えて、

最終的に↓の関係式を導きます。

 

\begin{array}{rll} \displaystyle 2σ(ΔA)σ(B)+2σ(A)σ(ΔB)+2σ(ΔA)σ(ΔB)&≥L&≥\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \displaystyle 2σ(ΔA)σ(B)+2σ(A)σ(ΔB)+2σ(ΔA)σ(ΔB)&&≥\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(ΔA)σ(B)+σ(A)σ(ΔB)+σ(ΔA)σ(ΔB)&≥\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

以上が主な式変形ですね。

この時点でほぼ最終形になります。

 

 

 

 

 

具体的な観測可能量を入れてみる

 

なんらかの『粒子の位置』を『間接的』に

『物理量 M で測定した』時、

 

\begin{array}{llll} \displaystyle 0&→&Δt \\ \\ M(0)&→&M(Δt) \end{array}

 

「照射」→「衝突」→「反射」→「検知」

までの『時間を Δt とする』なら、

 

 

『実際の位置 Q(0) 』と

『測定された位置 M(Δt) 』の間には、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ε(Q)&=|Q(0)-M(ΔT)| \end{array}

 

このような『誤差 ε(Q) がある』

という可能性が考えられます。

 

 

もちろん、

「位置の測定が正確である」と仮定するなら、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle M(Δt)&=Q(0) \end{array}

 

「誤差は無い」のでこのようになり、

だからこそ↓のように A^{\prime} を定め、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle A^{\prime}&=M(Δt) \end{array}

 

これを使って「誤差」を定義します。

 

 

 

 

 

標準偏差の意味

 

「標準偏差」という統計の知識を

念のためざっと確認しておきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ^2(X)&\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\langle X\rangle )^2 \end{array}

 

まず「分散」なんですけど

式としてはこんな感じで、

 

 

意味は『平均との差』の「2乗平均」ですから

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle (X-\langle X\rangle)^2 \end{array}

 

この求められた値が

「データのばらつき具合」を表す

と解釈できるのは見て何となくわかると思います。

 

 

 

んで肝心の「標準偏差」についてですけど、

この意味は『偏差の平均』という感じなんですが、

 

\begin{array}{rlc}ΔX&= \displaystyle X_i-\langle X\rangle \end{array}

 

↑の『偏差』とはまた別に、

 

\begin{array}{rlc} \langle X\rangle &\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \\ \\ \displaystyle σ^2(X)&\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\langle X\rangle )^2 \\ \\ \displaystyle σ(X)&\displaystyle =\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\langle X\rangle )^2 } \end{array}

 

『分散』を使ってこのように定義されています。

 

\begin{array}{rlc} ΔX&=\displaystyle X_i-\langle X\rangle \\ \\ \langle ΔX\rangle&=\displaystyle \langle \displaystyle X_i-\langle X\rangle \rangle \\ \\ \\ \displaystyle σ(X)&\displaystyle =\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\langle X\rangle )^2 } \\ \\ &=\sqrt{ \langle (X_i-\langle X\rangle )^2 } \rangle \end{array}

 

見た目に違いはありますが、

仮に「偏差」を↓のようにとった場合、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ΔX&=\displaystyle |\displaystyle X_i-\langle X\rangle | \\ \\ \end{array}

 

これが似たような計算結果を返す

ということはなんとなーくわかると思います。

 

 

 

 

 

偏差の標準偏差

 

不等式で出てくる σ(ΔA) の意味を考えると、

『偏差の標準偏差』って感じになるんですが、

 

\begin{array}{rlc} ΔA&=\displaystyle A^{\prime}-A \\ \\ σ^2(ΔA)&\displaystyle =\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA_i-\langle ΔA\rangle )^2 } \\ \\ &\displaystyle =\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\Bigl( (A^{\prime}-A)_i-\langle (A^{\prime}-A)\rangle \Bigr)^2 } \end{array}

 

実はこれが、

『誤差 ε(Q) 』の形に近いものを導きます。

 

 

 

 

 

標準偏差と不等式

 

うまいこと『誤差 ε(Q) を取り出したい』と考えた時、

↓の式変形を考えると、

 

\begin{array}{rlc} \langle X \rangle &\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \\ \\ \\ \displaystyle σ^2(X)&\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\langle X\rangle )^2 \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} -2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i\langle X\rangle +\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\langle X\rangle^2 \\ \\ \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} -2\langle X\rangle\langle X\rangle +\langle X\rangle^2 \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} -2\langle X\rangle^2 +\langle X\rangle^2 \\ \\ \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} -\langle X\rangle^2 \end{array}

 

「誤差と解釈できる \langle ΔX^2 \rangle だけ」を

うまいこと取り出せることが分かります。

 

 

 

というのも、

これは「正の値 r^2 しか使われていない」ので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} &≥\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} -\langle X\rangle^2 \end{array}

 

このような関係を導くことができて、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} &≥\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} -\langle (ΔA)\rangle^2 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} &≥σ^2(ΔA) \\ \\ \\ \\ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} }&≥\displaystyle \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} -\langle (ΔA)\rangle^2 } \\ \\ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} }&≥ σ(ΔA) \\ \\ \displaystyle \sqrt{\langle (ΔA)^{2} \rangle }&≥ σ(ΔA)\end{array}

 

これをそのまま当てはめれば、

このような形に変形することができます。

 

 

まあつまり↓が導けるわけで、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \sqrt{\langle (ΔA)^{2} \rangle }&≥ σ(ΔA) \end{array}

 

これを不等式に当てはめれば、

『誤差と解釈できる値 \langle \sqrt{(ΔA)^2} \rangle 』を

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(ΔA)σ(B)+σ(A)σ(ΔB)+σ(ΔA)σ(ΔB)&≥\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

この式に入れることができます。

 

 

 

 

 

測定誤差と擾乱の厳密な定義

 

式の変形を行っていく過程で、

↓のもの以上に

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(ΔA)^{2}_{i} }&≥ σ(ΔA) \\ \\ \displaystyle \sqrt{\langle (ΔA)^{2} \rangle }&≥ σ(ΔA) \end{array}

 

「誤差を表すもの」として

『適切な形』は作れそうにありません。

 

 

ですからここで、

この式自体を『誤差 ε 』『擾乱 η 』として

そのまま定義してしまいます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ε(Q)&≡ \sqrt{\langle ΔQ^2 \rangle} \\ \\ σ(ΔQ) &=\sqrt{\langle ΔQ^2\rangle-\langle ΔQ \rangle^2 } \\ \\ \\ η(P)&≡ \sqrt{\langle ΔP^2 \rangle} \\ \\ σ(ΔP) &=\sqrt{\langle ΔP^2 \rangle-\langle ΔP \rangle^2 } \end{array}

 

こんな感じに。

 

 

 

確認しておくと、

『測定誤差』および『擾乱』は、

「偏差の二乗平均の平方根」を表しています。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \sqrt{\displaystyle \langle (ΔX)^2 \rangle} \end{array}

 

厳密に言うとごちゃりますが、

これはまあ、要は「偏差の平均に近い値」です。

 

 

言い換えるなら、

これは「ズレの平均」に近い値になります。

 

 

なのでこれを「誤差」と定義しても、

特に問題はありません。

 

 

 

 

 

標準偏差と測定誤差の大小比較

 

いよいよ大詰めですね。

「小澤の不等式に近い形」を求めていきます。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(ΔA)σ(B)+σ(A)σ(ΔB)+σ(ΔA)σ(ΔB)&≥\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

\begin{array}{rlc}\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i}&\displaystyle ≥ \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i}-\langle X\rangle^{2} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} &≥σ^2(X) \\ \\ \displaystyle \sqrt{\langle X^{2} \rangle }&≥ σ(X) \end{array}

 

整理しておくと、使うのはこれですね。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \sqrt{\langle (ΔA)^{2} \rangle }&≥ σ(ΔA) \\ \\ \displaystyle \sqrt{\langle (ΔB)^{2} \rangle }&≥ σ(ΔB) \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ω(X)&=\sqrt{\langle (ΔX)^{2} \rangle } \end{array}

 

記号を省略して置き換えておくと

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle σ(ΔA)σ(ΔB)+σ(ΔA)σ(B)+σ(A)σ(ΔB)&≥\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \displaystyle \textcolor{pink}{ω}(A)\textcolor{skyblue}{ω}(B)+\textcolor{pink}{ω}(A)σ(B)+σ(A)\textcolor{skyblue}{ω}(B)&≥\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \end{array}

 

このようになって、

「小澤の不等式」にかなり近い式が得られます。

 

 

 

 

 

正準交換関係と小澤の不等式

 

最後は『位置』と『運動量』を入れて、

「正準交換関係」から式の最終形を求めてみます。

 

\begin{array}{llc} \displaystyle A&=Q(0) \\ \\ A^{\prime}&=M(Δt) \\ \\ B&=P(0) \\ \\ B^{\prime}&=P(Δt) \end{array}

 

そのために、変数はこうしましょうか。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [Q,P]&=iℏ \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [Q,P] \rangle \Bigr| &=\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle iℏ \rangle \Bigr| \\ \\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| iℏ \Bigr| \\ \\ &=\displaystyle \frac{1}{2}ℏ\end{array}

 

するとまあ正準交換関係はこうなので、

後は『誤差 ε(X) 』『擾乱 η(P) 』へ書き換えれば、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ω(Q)&=ε(Q) \\ \\ &=\sqrt{ \langle ΔQ^2 \rangle } \\ \\ &=\sqrt{ \langle (M(Δt)-Q(0))^2 \rangle } \\ \\ \\ ω(P)&=η(P) \\ \\ &=\sqrt{ \langle ΔP^2 \rangle } \\ \\ &=\sqrt{ \langle (P(Δt)-P(0))^2 \rangle }\end{array}

 

後は入れ替えるだけで、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{pink}{ω}(A)\textcolor{skyblue}{ω}(B)+\textcolor{pink}{ω}(A)σ(B)+σ(A)\textcolor{skyblue}{ω}(B)&≥\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl| \langle [A,B] \rangle \Bigr| \\ \\ \\ \displaystyle \textcolor{pink}{ε}(Q)\textcolor{skyblue}{η}(P)+\textcolor{pink}{ε}(Q)σ(P)+σ(Q)\textcolor{skyblue}{η}(P)&≥\displaystyle \frac{1}{2}ℏ \end{array}

 

小澤の不等式が導かれます。

 

 

 

 

 

まとめると、

「小澤の不等式」は↓です。

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ε(Q)&=\sqrt{\langle ΔQ^2 \rangle} \\ \\ η(P)&=\sqrt{\langle ΔP^2 \rangle} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{pink}{ε}(Q)\textcolor{skyblue}{η}(P)+\textcolor{pink}{ε}(Q)σ(P)+σ(Q)\textcolor{skyblue}{η}(P)&≥\displaystyle \frac{1}{2}ℏ \end{array}

 

数学や科学ではよくあることですが、

本来セットで書かれるべきところを

これは単体で書かれることが多いですね。

 

 

ただ ε,η の説明と『仮定』の確認は、

この関係式を成す最低限の決まり事なので、

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle ΔQ&=M(Δt)-Q(0) \\ \\ ΔP&=P(Δt)-P(0) \\ \\ \\ \displaystyle ε(Q)&=\sqrt{\langle ΔQ^2 \rangle} \\ \\ η(P)&=\sqrt{\langle ΔP^2 \rangle} \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle [M(Δt),P(0)]&=0 \end{array}

 

\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{pink}{ε}(Q)\textcolor{skyblue}{η}(P)+\textcolor{pink}{ε}(Q)σ(P)+σ(Q)\textcolor{skyblue}{η}(P)&≥\displaystyle \frac{1}{2}ℏ \end{array}

 

↑のように書くのが、

『不確定性関係』を表す厳密な式と言えるでしょう。

 

 

 

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