変数・変項 Variable


|| 知ってるけど実はよく分からんやつ

学生さんなんかはちょくちょく見かけると思いますが、どうでしょう?

よく考えると、こいつの意味ってよく分からんと思います。

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変数は、変数ですよね。

なんかいろんな値をとる、なんかですよね。分かります。




自分もこいつに関しては最初よく分からんかったです。

というかまあほとんどそんな感じではありましたが、さておき。



ここで、しっかりとその意味を確認していこうと思います。







目次


個体変数・変項「変数(範囲内のどれかの値をとる)全般のこと」

   自由変数・変項「値が定まっていない個体」

   束縛変数・変項「値が定まっている個体」


変数と変項の違い「実は特にない(みんな好き勝手使ってる)」


自由変数の厳密な定義





変数の定義に関しては『量化子』などの、

「真偽を確定させる演算子」を知っていると理解しやすいです。



以上を頭の片隅に入れつつ、変数の定義について見ていきましょう。

大きく分けて、3つの用語に分けられます。







個体変数 Individual Variable


|| 範囲内のどれか一つを取り得るやつ

要は「変数」のことです。

「変数」には「自由変数」と「束縛変数」があるのですが、

これを総称するものが「個体変数」になります。




この説明から分かる通り、多くの人が思う「変数」はこれのことです。

文献によっては「個体」とか呼ばれたりします。



一階述語論理では「個体の量化のみを許す」という記述があって、

ここで使われている「個体」の意味は、これのことになります。

なんだかんだと見かけるので、是非覚えておきましょう。






具体例


f(x),P(x),∀x\,A(x),g(x,y) 」という論理式があるとします。

この場合「個体変数(個体)」は「 x 」「 y 」のことです。



要はこんだけなので、難しく考える必要はありません。

ただ、なんかあやふやになりやすい用語なので覚えときましょう。







自由変数 Free Variable


|| 自由に値を取れる感じの変数

「量化」されてない「個体変数」のこと。

「量化されていない」を、「真偽が曖昧」と言い換えても良いです。




これの分かり易い性質は「実際に値を入れてみる」まで、

「真なのか偽なのか分からない」というところですね。



要は、これがあると曖昧になっちゃうわけです。

ですから「証明」なんかではこれを取り除いてから行います。




取り除き方は単純です。

単に、自由変数に具体的な値をぶち込んでしまうだけです。



この手順は現実でよく見られるので、

直観的に分かり易いかと思われます。






具体例


例えば「 P_1(x)∨∀x\,P_2(x)∧∀y\,P_3(x,y) 」だと、

P_1(x),∀y\,P_3(x,y) 」にある「 x 」は量化されていません。

なので、この部分の「 x 」は「自由変数」です。




地味にこれも用語なのですが、

このような「 自由な x の現れ」を、

そのまま「 自由に表れている(occur free) 」と言います。

(地味に見ます)






これに関連する用語




開論理式 Open Formula


|| 開けてる感じの論理式

「自由変数」を含む「論理式」のことです。



以下に紹介する「閉論理式」ではない「式」という認識でOKです。

核は「自由変数の有無」なので、そこだけ押さえておきましょう。







束縛変数 Bound Variable


|| 束縛されてるっていうワードセンス

「量化」されている(真偽が決まってる)「個体変数」のこと。



「束縛されている」と言っても良いです。

「ある値しかとりませんよ」というような状態なので。




要は「真偽に関与しない」変数のことですね。



「自由変数」はとる値によって真偽に関係しますが、

「束縛変数」はその値によって真偽が変化することはありません。






具体例


例えば「量化子」を和訳したものだとこんなのが。



∀x\,[x=x]x=x は、全部の x で成立しますよ」

∃x\,[x^2=1]x^2=1 を満たす x が存在しますよ」



上のはどっちも真になります。

「成立する」「存在する」という断言なので。






関連する用語




閉論理式 Closed Formula


|| 閉じてる論理式

「自由変数」を含まない「論理式」のことです。

項の場合は「閉項」といったりします。



これを作ると「真偽が確定する」ので非常に便利です。

名前の通り、きちんと閉じています。






束縛子


|| 束縛してくるやつ

「真偽を確定させる」「演算子」のことです。



代表的かつ基本的なものは「量化子 ∀,∃ 」で、

これは数学全体に適応することが可能です。




とはいえ、当然これだけではありません。

他にもあります。

というわけで、有名なものを4つほど紹介してみましょうか。






総和(あれもこれも全部足す)


\displaystyle\sum_{x∈S} …

x だけは下限と上限が束縛されています。




総乗(あれもこれも全部掛ける)


\displaystyle\prod_{x∈S} …

ここでも x だけは下限と上限が束縛されています。




極限(どこまでもそこに近づける)


\displaystyle\lim_{x \to \infty} …

これも x だけは束縛します。




積分(線みたいな長方形を全部足し合わせる)


\displaystyle\int_a^b … dx

これも x だけ束縛







余談


「変数と変項の違い」に関してですが、

申し訳ありません。よく分かりませんでした。




「数値」なら変数で、

「それ以外のも含む」なら変項かな?



と、そんな風に分ければいいのかなと考えていたのですが、

どうやらそういうわけでもないようなのです。




上記の見解も、恐らく間違えてはいません。

ただ「数」の定義というものが、ここにきて事を曖昧にしています。

詳しくは集合論で扱いますが、こうなるともうよく分からんのです。




ざっと言うと「数」はあるブロックのラベルで、

決まってないそれらを「 x 」としてまとめて、変数と呼べます。



でもラベルはなんでもいいので、

「数」ではなく「別のなんか」にしてみました。




中身は変わっていませんが、そのラベルは「数」ではなくなりました。

見解通りなら、これだと同じものでも「変項」と呼べてしまいます。



すると、あれ? これ区別する必要ある? となってしまいます。




なにより様々な文献にて、

変数も変項も上記のようには区別されていません。

なんだか好きな方を使ってる感じです。



専門用語大好きマンだと「変項」を使う感じで、

区別めんどくさいマンだと「変数」を使っている印象です。

(ちなみに自分はめんどくさいマンです)






結論


わざわざ区別してるやつはそんなにいません。

ちょっと気に食わん感じですが、同じと思って良いです。



なんせ英語ならまとめて「Variable」ですよ。

これ見ると、わざわざ区別するのがあほらしく思えてきます。






最後に「自由変数」の厳密な定義を。







自由変数の再帰的定義


主に「自由変数」の振る舞いについての話になります。

初期値以外は、「記号」との関係ですね。




というわけで定義の準備をしましょう。

まず「原子論理式」を用意。「 φ,ψ 」とします。

そして「変数(個体)」を用意。「 x 」とします。



最後に確認で「集合論」の記号や定義について確認してください。






というわけで初期値に関して(最初の決め事)


fr(φ) 」を、「 φ 」の中の「変数(個体)」の『集合』とします。

(これが定義したいやつ)






んで、↓の性質を満たす「変数(個体)」が「自由変数」なわけです。

主に記号に関するルールですね。

どれも分からんもんは分からんって言ってます。




「命題記号」では(変わんなーいって言ってる)


fr((¬φ))=fr(φ)

(分かってないやつは分からんまま)


fr(φ∧ψ)=fr(φ∨ψ)=fr(φ→ψ)=fr(φ↔ψ)

=fr(φ)∪fr(ψ)

(知らんやつらは知らんやつら全部って感じ)




「量化記号」では(束縛されてたら自由じゃない)


fr(∀x\,φ)=fr(∃x\,φ)=fr(φ)-\{x\}

(束縛されてるやつだけ除く)






要するに「変数(個体)」の「束縛されてない」やつってことです。

↑はこれを詳しく言った感じです。まんまですね。




これはなんか「集合」っぽいですけど、

『候補の中から一つの値をとる』という点で明確に異なります。

ここは確実に押さえておきましょう。




余談になりますが『 fr(φ)=∅ 』のとき(自由変数無し)

φ 』は、「閉論理式」もしくは「文」と呼ばれます。

(真偽が確定してる論理式だってこと)