|| 知ってるけど実はよく分からんやつ
学生さんなんかはちょくちょく見かけると思いますが、どうでしょう？
よく考えると、こいつの意味ってよく分からんと思います。
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変数は、変数ですよね。
なんかいろんな値をとる、なんかですよね。分かります。
自分もこいつに関しては最初よく分からんかったです。
というかまあほとんどそんな感じではありましたが、さておき。
ここで、しっかりとその意味を確認していこうと思います。
目次
・個体変数・変項「変数（範囲内のどれかの値をとる）全般のこと」
自由変数・変項「値が定まっていない個体」
束縛変数・変項「値が定まっている個体」
・変数と変項の違い「実は特にない（みんな好き勝手使ってる）」
変数の定義に関しては『量化子』などの、
「真偽を確定させる演算子」を知っていると理解しやすいです。
以上を頭の片隅に入れつつ、変数の定義について見ていきましょう。
大きく分けて、3つの用語に分けられます。
個体変数 Individual Variable
|| 範囲内のどれか一つを取り得るやつ
要は「変数」のことです。
「変数」には「自由変数」と「束縛変数」があるのですが、
これを総称するものが「個体変数」になります。
この説明から分かる通り、多くの人が思う「変数」はこれのことです。
文献によっては「個体」とか呼ばれたりします。
一階述語論理では「個体の量化のみを許す」という記述があって、
ここで使われている「個体」の意味は、これのことになります。
なんだかんだと見かけるので、是非覚えておきましょう。
具体例
「 f(x),P(x),∀x\,A(x),g(x,y) 」という論理式があるとします。
この場合「個体変数（個体）」は「 x 」「 y 」のことです。
要はこんだけなので、難しく考える必要はありません。
ただ、なんかあやふやになりやすい用語なので覚えときましょう。
自由変数 Free Variable
|| 自由に値を取れる感じの変数
「量化」されてない「個体変数」のこと。
「量化されていない」を、「真偽が曖昧」と言い換えても良いです。
これの分かり易い性質は「実際に値を入れてみる」まで、
「真なのか偽なのか分からない」というところですね。
要は、これがあると曖昧になっちゃうわけです。
ですから「証明」なんかではこれを取り除いてから行います。
取り除き方は単純です。
単に、自由変数に具体的な値をぶち込んでしまうだけです。
この手順は現実でよく見られるので、
直観的に分かり易いかと思われます。
具体例
例えば「 P_1(x)∨∀x\,P_2(x)∧∀y\,P_3(x,y) 」だと、
「 P_1(x),∀y\,P_3(x,y) 」にある「 x 」は量化されていません。
なので、この部分の「 x 」は「自由変数」です。
地味にこれも用語なのですが、
このような「 自由な x の現れ」を、
そのまま「 自由に表れている（occur free） 」と言います。
（地味に見ます）
これに関連する用語
開論理式 Open Formula
|| 開けてる感じの論理式
「自由変数」を含む「論理式」のことです。
以下に紹介する「閉論理式」ではない「式」という認識でOKです。
核は「自由変数の有無」なので、そこだけ押さえておきましょう。
束縛変数 Bound Variable
|| 束縛されてるっていうワードセンス
「量化」されている（真偽が決まってる）「個体変数」のこと。
「束縛されている」と言っても良いです。
「ある値しかとりませんよ」というような状態なので。
要は「真偽に関与しない」変数のことですね。
「自由変数」はとる値によって真偽に関係しますが、
「束縛変数」はその値によって真偽が変化することはありません。
具体例
例えば「量化子」を和訳したものだとこんなのが。
∀x\,[x=x]「 x=x は、全部の x で成立しますよ」
∃x\,[x^2=1]「 x^2=1 を満たす x が存在しますよ」
上のはどっちも真になります。
「成立する」「存在する」という断言なので。
関連する用語
閉論理式 Closed Formula
|| 閉じてる論理式
「自由変数」を含まない「論理式」のことです。
項の場合は「閉項」といったりします。
これを作ると「真偽が確定する」ので非常に便利です。
名前の通り、きちんと閉じています。
束縛子
|| 束縛してくるやつ
「真偽を確定させる」「演算子」のことです。
代表的かつ基本的なものは「量化子 ∀,∃ 」で、
これは数学全体に適応することが可能です。
とはいえ、当然これだけではありません。
他にもあります。
というわけで、有名なものを4つほど紹介してみましょうか。
総和（あれもこれも全部足す）
\displaystyle\sum_{x∈S} …
x だけは下限と上限が束縛されています。
総乗（あれもこれも全部掛ける）
\displaystyle\prod_{x∈S} …
ここでも x だけは下限と上限が束縛されています。
極限（どこまでもそこに近づける）
\displaystyle\lim_{x \to \infty} …
これも x だけは束縛します。
積分（線みたいな長方形を全部足し合わせる）
\displaystyle\int_a^b … dx
これも x だけ束縛
余談
「変数と変項の違い」に関してですが、
申し訳ありません。よく分かりませんでした。
「数値」なら変数で、
「それ以外のも含む」なら変項かな？
と、そんな風に分ければいいのかなと考えていたのですが、
どうやらそういうわけでもないようなのです。
上記の見解も、恐らく間違えてはいません。
ただ「数」の定義というものが、ここにきて事を曖昧にしています。
詳しくは集合論で扱いますが、こうなるともうよく分からんのです。
ざっと言うと「数」はあるブロックのラベルで、
決まってないそれらを「 x 」としてまとめて、変数と呼べます。
でもラベルはなんでもいいので、
「数」ではなく「別のなんか」にしてみました。
中身は変わっていませんが、そのラベルは「数」ではなくなりました。
見解通りなら、これだと同じものでも「変項」と呼べてしまいます。
すると、あれ？ これ区別する必要ある？ となってしまいます。
なにより様々な文献にて、
変数も変項も上記のようには区別されていません。
なんだか好きな方を使ってる感じです。
専門用語大好きマンだと「変項」を使う感じで、
区別めんどくさいマンだと「変数」を使っている印象です。
（ちなみに自分はめんどくさいマンです）
結論
わざわざ区別してるやつはそんなにいません。
ちょっと気に食わん感じですが、同じと思って良いです。
なんせ英語ならまとめて「Variable」ですよ。
これ見ると、わざわざ区別するのがあほらしく思えてきます。
最後に「自由変数」の厳密な定義を。
自由変数の再帰的定義
主に「自由変数」の振る舞いについての話になります。
初期値以外は、「記号」との関係ですね。
というわけで定義の準備をしましょう。
まず「原子論理式」を用意。「 φ,ψ 」とします。
そして「変数（個体）」を用意。「 x 」とします。
最後に確認で「集合論」の記号や定義について確認してください。
というわけで初期値に関して（最初の決め事）
「 fr(φ) 」を、「 φ 」の中の「変数（個体）」の『集合』とします。
（これが定義したいやつ）
んで、↓の性質を満たす「変数（個体）」が「自由変数」なわけです。
主に記号に関するルールですね。
どれも分からんもんは分からんって言ってます。
「命題記号」では（変わんなーいって言ってる）
fr((￢φ))=fr(φ)
（分かってないやつは分からんまま）
fr(φ∧ψ)=fr(φ∨ψ)=fr(φ→ψ)=fr(φ↔ψ)
=fr(φ)∪fr(ψ)
（知らんやつらは知らんやつら全部って感じ）
「量化記号」では（束縛されてたら自由じゃない）
『 fr(∀x\,φ)=fr(∃x\,φ)=fr(φ)-\{x\} 』
（束縛されてるやつだけ除く）
要するに「変数（個体）」の「束縛されてない」やつってことです。
↑はこれを詳しく言った感じです。まんまですね。
これはなんか「集合」っぽいですけど、
『候補の中から一つの値をとる』という点で明確に異なります。
ここは確実に押さえておきましょう。
余談になりますが『 fr(φ)=∅ 』のとき（自由変数無し）
『 φ 』は、「閉論理式」もしくは「文」と呼ばれます。
（真偽が確定してる論理式だってこと）