可測関数 Measurable Function


|| 必ず測度を定義できる関数のこと

要するに普通の関数のこと

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目次

 

可測関数「普通の関数の厳密な定義」

 

   可測関数の条件「定義域と像が可測集合」

   可測関数の実数上での条件「区間内にある感じ」

 

 

可測関数の具体例「連続関数とか定義関数とか」

 

   連続関数は可測関数

   定義関数は可測関数

 

 

可測関数の性質「いろいろやっても可測関数」

 

   可測関数の定数倍は可測関数

   可測関数同士の和は可測関数

 

   可測関数同士の積は可測関数

   可測関数の冪乗は可測関数

 

   可測関数の合成関数は可測関数

   可測関数の列の上限下限も可測関数

 

   可測関数の正成分・負成分は可測関数

   可測関数の絶対値は可測関数

 

 

 

 

 


 

厳密に理解したいなら

測度」「ルベーグ測度」「位相空間

可測空間」「完全加法族」「ボレル集合

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(A∪B)&=&μ(A)+μ(B) \end{array}

 

この辺りを知っておく必要がありますが

 

 

かなり込み入ってるので

簡単に理解したいのであれば

この辺りの話はスルーしながら読み進めてください。

 

 

 

 

 


可測関数 Measurable Function

 

|| 可測空間の構造が破綻しない関数

可測空間同士を繋ぐ関数のこと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,σ_X)&→&(Y,σ_Y) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&X&\to&Y \end{array}

 

\begin{array}{cclllllll} D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

 

まあ要は「普通の関数」のことで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&x && x∈D_X∈σ_X \\ \\ f(x)&=&2x && x∈D_X∈σ_X \\ \\ f(x)&=&\sin x && x∈D_X∈σ_X \\ \\ f(x)&=&e^x && x∈D_X∈σ_X \end{array}

 

ほぼ全ての関数は可測関数になります。

 

 

 

補足しておくと

X,Y の中身にはだいたい実数 R,R^2 が来ます。

(その場合はボレル集合族上で定義される)

 

 

 

 

 

可測関数の条件

 

可測空間まわりの話はちょっと面倒ですが

こいつの定義自体はすごく単純です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

 

というのも、ちょっと記号があれですが

これは要は「両側が可測集合」ってことなので

定義自体はほんとにそのまま

 

\begin{array}{ccccccl} \displaystyle σ_X && σ_Y \\ \\ f^{-1}(D_Y) &←&D_Y \\ \\ f^{-1}(y) &←&y \end{array}

 

ちょっと迂遠な言い回しかもしれませんが

特に変な条件ではありません。

 

 

 

 

 

単純な疑問

 

これはどうしてか

逆関数 f^{-1}:X←Y で定義されてますが

 

\begin{array}{ccccccccccccccl} \displaystyle D_X∈σ_X &&\to&& f(D_X)∈σ_Y \\ \\ x∈D_X &&\to&& f(x)∈D_Y \end{array}

 

別にこれでもよくない?ってなりますよね。

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle x&∈&D_X&∈&σ_X \\ \\ f(x)&∈&f(D_X)&∈&σ_Y \end{array}

 

これはこれで

D_X,f(D_X) は両方とも可測集合ですし。

 

 

 

 

 

なぜ逆関数なのか

 

これは主に

「逆関数の性質」の良さと

「操作」的な話が理由になっていて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \log x \end{array}

 

例えばこういった関数の可測性を確認する時

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

この集合があらゆる c で可測集合になる

 

 

みたいな条件をよく使うんですが

 

\begin{array}{cccccllll} \displaystyle e^c&=&e^{\log x} \\ \\ e^c&=&x \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle c≤\log x &&\to&& e^c≤x \end{array}

 

これについて確認するためには

このように「逆関数」を求める必要があって

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&(-\infty,\infty) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈I \mid c≤\log x \}&=&\{ x∈I \mid e^c≤x \} \\ \\ &=&[e^c,\infty) \end{array}

 

区間は可測集合である」ことから

 

\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \\ \\ \\ [c,\infty)&∈&σ_Y &&\to&& [e^c,\infty)&∈&σ_X \\ \\ [c,\infty)&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}([c,\infty))&∈&σ_X \end{array}

 

こんな感じの流れで

可測性は「逆関数」から確認されます。

 

 

 

これは他の関数を調べる場合も同様で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

これが「可測集合」であることを調べる際には

だいたい「逆関数」を求めることになります。

(一方向だけじゃなく双方向を調べるので)

 

 

 

 

 

可測集合を意識した条件

 

可測空間 (X,σ_X) 」が定まっているなら

完全加法族である σ_X の要素」は

可測集合 A 」でなければなりません。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle R&=&\{ x \mid -\infty<x<\infty \} \\ \\ &=&(-\infty,\infty) \\ \\ \\ \displaystyle R^+&=&R∪\{-\infty,\infty\} \\ \\ &=&[-\infty,\infty] \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

 

この事実から

 

 

「可測集合 A 上の話」として

 

 

\begin{array}{llllll} D_X&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \\ \\ &=& f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr) \end{array}

 

あらゆる値 c∈R

f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr) が「可測集合 D_X∈σ_X 」である

 

\begin{array}{cccccccll} \displaystyle A &&[c,\infty] \\ \\ f^{-1}\Bigl( f(x) \Bigr)∈σ_X &←& f(x)∈σ_Y \end{array}

 

始めに紹介した条件を

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (Y,σ_Y)&&\to&&\begin{array}{llll} \displaystyle (R,\mathrm{Borel}(R)) \\ \\ (R,\mathfrak{B}(R)) \\ \\ (\mathbb{R},\mathfrak{B}(\mathbb{R})) \\ \\ (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \\ \\ (\mathbb{R},σ(O(\mathbb{R}) ) ) \end{array} \end{array}

 

可測だと分かってる R,R^+ で言い換えたこれが

 

 

関数 f が「可測関数である」ための

最低限の条件として扱われることがあります。

(こっちの方がよく使う)

 

 

 

補足しておくと

c<f(x) のとり方については

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)≤c \} &=& f^{-1}\Bigl( [-\infty,c] \Bigr) \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)<c \} &=& f^{-1}\Bigl( [-\infty,c) \Bigr) \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c<f(x) \} &=& f^{-1}\Bigl( (c,\infty] \Bigr) \end{array}

 

ボレル集合」が「完全加法族」である

つまりこの集合が「可測である」以上

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)≤c \}^c &=&\{ x∈A \mid c<f(x) \} \end{array}

 

可測集合の補集合もまた可測集合」なので

どのようにとってもOKです。

 

 

 

 

 

可測関数であると同値?

 

A が可測集合であること

 

\begin{array}{ccccccccccll} &&(A,σ_A)&&(R^+,\mathfrak{B}(R^+)) \\ \\ \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

 

関数 f がこうであること

 

 

この前提のもと

f が可測関数である」こと

 

\begin{array}{cccccclcccll} \displaystyle D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \\ \\ I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

 

全ての c

 

\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

これが「可測集合になる」こと

 

 

これらが同値であることを

念のため確認しておきます。

 

 

 

 

 

可測関数である → この条件

 

まず以下が正しいことを前提として

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

 

集合 I について

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&[c,\infty] \end{array}

 

任意にとれる値 c を使って

このように定めてみると

 

\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

逆関数の中身はこうで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

 

\begin{array}{ccclll} f^{-1}(I)&∈&σ_A \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \}&∈&σ_A \end{array}

 

これは前提より

「可測集合」になりますから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \}&∈&σ_A \end{array}

 

任意の c でこれが可測集合になる以上

『可測集合である → 実数での条件』

これは成立すると言えます。

 

 

 

 

 

この条件 → f は可測関数である

 

↑ の話とは逆に

 

\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

今度は

任意の c でこれが可測集合になる

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

 

この条件を前提に考えてみます。

 

 

すると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [c,\infty]&∈&\mathfrak{B}(R^+) \end{array}

 

これは単なる事実で

 

\begin{array}{cllllll} \mathrm{True} &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \\ \\ [c,\infty]∈\mathfrak{B}(R^+) &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

 

明らかにこれは成立しますから

 

\begin{array}{cccccccccc}[c,\infty]&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \\ \\ \displaystyle I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

 

すぐにこれが事実として導かれ

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

 

f の定義より

 

\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

f^{-1}(Y)Y

[c,\infty] の形に限定されてますから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [c,\infty]&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

 

f は間違いなく可測関数だと言えるため

 

 

『実数での条件 → 可測集合である』

これもまた成立すると言えます。

 

 

 

 

 

他の範囲のとり方

 

↑ は以下の場合でも

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c<f(x) \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)<c \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)≤c \} \end{array}

 

同様の手順を辿ることができますから

全て「可測関数である」ことの条件になります。

 

 

 

 

 

非可測関数の例

 

「非可測な関数」を作るのは

「ルベーグ非可測な集合」を前提とすれば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_V(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{llllll} \displaystyle 1&&x∈V \\ \\ 0&&x∉V \end{array} \right. \end{array}

 

簡単に生成できます。

(ヴィタリ集合は別記事

 

 

 

 

 


可測関数の具体例

 

可測空間 (X,σ_X),(Y,σ_Y) 上の話とすると

ほぼ全ての関数は可測関数になります。

(より正確にはそうでなければなりません)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&ax+b \\ \\ f(x)&=&ax^2 \\ \\ f(x)&=&\sin x \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle 1 &&x \in A \\ \\ 0 &&x \not\in A \end{array} \right. \end{array}

 

具体的にはこれらは可測関数で

 

 

これらの足し算やら掛け算やら

合成関数やら逆関数も可測関数になります。

(こっちもそうじゃないといけません)

 

 

 

 

 

連続関数は可測関数

 

「連続関数」は「区間→区間」の関数で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 2x&:&1&\to&2 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}x&:&1&←&2 \end{array}

 

「逆関数」はただ逆を辿るだけなので

直感的にはもちろん可測関数です。

(というか可測関数であるべきです)

 

 

 

 

 

連続関数ならなんでも可測関数?

 

定義からちゃんとそうなるのか

きちんと確認するために定義を確認しておきます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to c}f(x)&=&f(c) \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle |x-c|<δ&&⇒&&|f(x)-f(c)|<ε \end{array}

 

まず「連続関数」ですが

これは「全ての c で連続である関数」のことで

 

 

「定義域」の中では

どの点も「繋がっている」状態にあります。

 

 

これで分かると思うんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

 

関数がこのように定義できるなら

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle c&≤&f(x) &&\to&&[c,\infty] \end{array}

 

関数はこの範囲の値をとる上に

 

\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

 

任意の c でこれが成立するので

これはこのようになります。

 

 

 

 

 

開集合と閉集合と連続

 

これを厳密に示すには

位相」「開集合」の説明が必要です。

 

 

ただこの辺りは長くなりすぎるので

省略して結果だけ紹介すると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |x-c|<δ &\to& |f(x)-f(c)|<ε \end{array}

 

「位相空間」上では

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&←&[c,\infty] \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,O_X)&\to&(Y,O_Y) \end{array}

 

「連続写像(関数)」は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}(V)∈O_X &&←&& V∈O_Y \end{array}

 

「開集合 ← 開集合」(開区間 ← 開区間)

「閉集合 ← 閉集合」になる

という形で定義されているので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle O&∈&σ \end{array}

 

開集合・閉集合が可測である」ことから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

 

逆像 f^{-1}([c,\infty]) もまた可測になるため

「連続関数」は「可測」だということになります。

(直感的には (0,1)←(0,2) こんな感じ)

 

 

 

 

 

定義関数は可測関数

 

定義関数については

 

\begin{array}{ccccllll} A&⊂&X \\ \\ \displaystyle A&∈&σ_X \end{array}

 

「逆関数の定義域が 01 」であること

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle 1 &&x \in A \\ \\ 0 &&x \not\in A \end{array} \right. \end{array}

 

その考えられる出力が

以下の 4 通りしかないことから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A^{-1}(1)&→&A \\ \\ 1_A^{-1}(0)&→&A^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} ∅&∈&σ_X \\ \\ \displaystyle A&∈&σ_X \\ \\ A^c&\in&σ_X \\ \\ X&∈&σ_X \end{array}

 

その全ての要素が

σ_X の要素である」

これが確かである以上

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Y&=&0,1 \end{array}

 

\begin{array}{rcccrll} D_Y∈σ_Y &&\to&& 1_A^{-1}(D_Y)∈σ_X \\ \\ \displaystyle 0,1∈σ_Y &&\to&& ∅,A,A^c,X ∈σ_X \end{array}

 

改めて言うまでもなく

「定義関数 1_A(x) 」は

「可測関数」の条件を満たすと言えます。

 

 

 

 

 


可測関数への各操作

 

まず前提として

「普通の関数」は「可測でなければならない」

これが順番的には先であることを意識しておきましょう。

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle f+g \\ \\ fg \\ \\ f\circ g \\ \\ αf &&α∈R \\ \\ |f|^α &&α∈R \end{array}

 

その上で

「可測関数の定義として定めたこと」

 

\begin{array}{llllll} D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

 

これが正しいかどうか確認していきます。

 

 

 

 

 

使う記号の整理

 

ちょっと記号がややこしいので

使うやつを整理しておきます。

 

\begin{array}{ccccccccccc} (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \end{array}

 

まず可測空間はこんな感じ

 

\begin{array}{ccccccccccc} (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ x∈X∈σ_X && y∈Y∈σ_Y && z∈Z∈σ_z \end{array}

 

実数 x,y,z の所在はこんな感じで

 

\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f &X &\to& Y \\ \\ g& && Y &\to &Z \end{array}

 

関数(一意出力の写像)はこんな感じです。

 

 

 

また

 

\begin{array}{ccccccccccc} & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f^{-1} &X &←& Y \\ \\ g^{-1}& && Y&←&Z \end{array}

 

逆関数 f^{-1},g^{-1} はこんな感じで

 

 

合成関数 g \circ f

 

\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f &X &\to& Y \\ \\ g& && Y&\to&Z \\ \\ \\ g \circ f &X&& &\to& Z \\ \\ (g \circ f)^{-1} &X&& &←& Z \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle g \circ f(x)&=&g\Bigl( f(x) \Bigr) \end{array}

 

ちょっとややこしいですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (g \circ f)^{-1} \end{array}

 

経路が Z \to Y\to X であることから

 

\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f^{-1} &X &←& Y \\ \\ g^{-1}& && Y&←&Z \\ \\ \\ (g \circ f)^{-1} &X&& &←& Z \\ \\ f^{-1} \circ g^{-1} &X&& &←& Z \end{array}

 

\begin{array}{llllll} (g \circ f)^{-1}(z)&=&x \\ \\ \\ \displaystyle f^{-1} \circ g^{-1}(z) &=& f^{-1} \Bigl( g^{-1}(z) \Bigr) \\ \\ &=&f^{-1} \Bigl( y \Bigr) \\ \\ &=&x \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (g \circ f)^{-1}(z)&=&f^{-1} \circ g^{-1} (z) \\ \\ && f^{-1} \circ g^{-1}&=&f^{-1} \Bigl( g^{-1}(z) \Bigr) \end{array}

 

こんな感じになっています。

 

 

 

 

 

合成関数の諸注意

 

合成関数は交換ができない

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle g \circ f&≠&f \circ g \end{array}

 

これはちゃんと理解しておく必要があります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&x+1 \\ \\ g(x)&=&2x+1 \end{array} &\to& \begin{array}{llllll} \displaystyle f \Bigl( g(x) \Bigr)&=&(2x+1)+1 \\ \\ \displaystyle g \Bigl(f(x) \Bigr)&=&2(x+1)+1 \end{array} \end{array}

 

記号としては細かく見えますが

交換をしてしまうのは明確な間違いなので

しないようにしましょう。

 

\begin{array}{ccccr} \displaystyle g(y)&=&z && \mathrm{Defined} \\ \\ f(z)&=& ? &&\mathrm{not} \,\, \mathrm{Defined} \end{array}

 

ちなみに表記としては

「出力 z するやつ g(y) が左」で

「その中身 y=f(x) が右」になります。

 

 

 

 

 

可測関数の定数倍は可測関数

 

f が可測関数である

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

 

この事実から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{kf}&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤kf(x) \} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{kf} &\to&\begin{array}{rllllll} \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, \frac{c}{k}≤f(x) \right\}∈σ_X &&0<k \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤0 \right\}∈σ_X &&k=0 \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f(x)≤\frac{c}{k} \right\}∈σ_X &&k<0\end{array} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤0 \right\} &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccclllll} \displaystyle A && c≤0 \\ \\ ∅ && 0<c \end{array} \right. \end{array}

 

これはすぐに導かれます。

 

 

 

 

 

可測関数同士の和は可測関数

 

f,g が可測関数である

これがゴールであることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{f+g}&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \} \end{array}

 

今の時点ではよく分かりませんが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \{ x∈A \mid c_1≤f(x) \}&∈&σ_X \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c_2≤g(x) \} &∈&σ_X \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c_1≤f(x) \}&∪&\{ x∈A \mid c_2≤g(x) \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c_1≤f(x) \}&∩&\{ x∈A \mid c_2≤g(x) \} \end{array}

 

可測だと示したい A_{f+g}

どうにかこんな形にすれば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \} &∈&σ_X \end{array}

 

「可測関数の和」の可測性

これを示すことができそうな気がします。

 

 

 

 

 

力技で分割する

 

ゴールは明確なので

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle c&≤&f(x)+g(x) \\ \\ -g(x)+c&≤&f(x) \end{array}

 

この関係と

 

\begin{array}{llllll} A∩B&=& \displaystyle \{ x \mid x∈A∧x∈B \} \\ \\ &=& \{ x \mid x∈A \}∩\{ x \mid x∈B \} \end{array}

 

集合の共通部分の定義

 

\begin{array}{llllll} (a,\infty)&=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q} (a,q) \end{array}

 

そして和集合の性質から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c && &≤&f(x) \\ \\ -g(x)+c &<& q&<&f(x) \end{array}

 

q で分割して

f(x),g(x) を分離してみます。

 

\begin{array}{llllll} A_{f+g} &=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \} \\ \\ &=&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}∩\{ x∈A \mid q<f(x) \} \end{array}

 

するとこのような形になるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}&∈&σ_X \\ \\ \{ x∈A \mid q<f(x) \}&∈&σ_X \end{array}

 

これが可測で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}∩\{ x∈A \mid q<f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

 

この「共通部分」「和集合」

これらも「可測」になることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \}&∈&σ_X \end{array}

 

結果的として

これは可測関数の条件を満たすことになります。

 

 

 

 

 

変な式変形

 

以下の式変形について

 

\begin{array}{llllll} A_{f+g} &=&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

 

着地を考えると

 

\begin{array}{llllll} A∩B&=& \displaystyle \{ x \mid x∈A∧x∈B \} \\ \\ &=& \{ x \mid x∈A \}∩\{ x \mid x∈B \} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}∩\{ x∈A \mid q<f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

 

最終的にこうなる

ここを目指している

そのことは納得できると思うんですが

 

\begin{array}{llllll} A_{f+g} &=&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

 

これほんと?って感じだと思うので

きちんと確認しておきます。

 

 

 

 

 

代わりの数と全部の数

 

以下の大小関係から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c&≤&f(x) \end{array}

 

以下の関係に切り替える

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c<q&∧&q<f(x) \end{array}

 

これは関数を分離する上で必須の操作ですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle &&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

 

ここで「和集合をとれば両者が一致する」

この部分、なんかちょっと怪しいですよね。

 

 

やってることは

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c&≤&f(x) &&\to && && q&<&f(x) \\ \\ \displaystyle -g(x)+c&≤&f(x) &&\to &&-g(x)+c&<&q \end{array}

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle g(x) && [c-q,\infty) \\ \\ f(x) && [q,\infty) \end{array}

 

「範囲を定数 q で固定する」ことと

(関数 f(x),g(x) のままでは範囲が特定できない)

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q_1∧q_1<f(x) \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q_2∧q_2<f(x) \} \\ \\ \vdots \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

 

定数 q の全域化・変数化なんですが

(関数 f,g が任意の値をとることから)

 

\begin{array}{ccccccclll} \displaystyle q<f(x) &&→&&\displaystyle \forall q \, q<f(x) \\ \\ [q,\infty] &&→&& [-\infty,\infty] \end{array}

 

ちょっと分かり辛いと思います。

 

\begin{array}{cllllll} (a,\infty)&=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q} (a,q) \\ \\ (-\infty,b)&=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q} (q,b) \end{array}

 

これが分かればなんとなく分かると思うんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle &&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

 

やってることが理解できないと

これがこうなる理由は分からないかもしれません。

 

 

 

 

 

有理数の稠密性

 

↑ は「有理数が稠密である」こと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&q&<&b \end{array}

 

これを利用した考え方なんですが

「稠密」とかいきなり言われても

なんかよく分からないですよね。

 

 

「稠密(ちゅうみつ)」の意味は

「ぎっしり詰まってる」とか

なんかそういう感じなんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&q&<&b \end{array}

 

これだけ言われてもって感じだと思います。

 

 

 

 

 

稠密だから間が存在する

 

「稠密である」こと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&q&<&b \end{array}

 

これは数式的には

このような有理数 q が必ず存在する

という感じに定義されていて

 

 

以下の操作は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c &&&& ≤ &&&& f(x) \\ \\ \displaystyle -g(x)+c&<&&&q&&&<&f(x) \\ \\ \displaystyle -g(x)+c&<&q&&∧&&q&<&f(x) \end{array}

 

「稠密である」からこそできることになります。

 

 

大小関係が以下のようになるなら

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c & < & f(x) \end{array}

 

f(x)-g(x)+c の差をどれだけ縮めても

その間に q は必ず存在するので

 

 

 

 

 

可測関数同士の積は可測関数

 

これは関数の積の式変形から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (a+b)^2 &=& a^2+2ab+b^2 \\ \\ (a-b)^2 &=& a^2-2ab+b^2 \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)g(x)&=&\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \Bigl( f(x)+g(x) \Bigr)^2-\Bigl( f(x)-g(x) \Bigr)^2 \right) \end{array}

 

2 乗しても可測である」

 

\begin{array}{llllll} A_{f^2}&=& \displaystyle \left\{ x∈A \,\middle|\, c≤\Bigl(f(x) \Bigr)^2 \right\} \end{array}

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle A_{f^2}&=&A &&c<0 \\ \\ A_{f^2}&=&\displaystyle \left\{ x∈A \,\middle|\, f(x)≤-\sqrt{c} ∧ \sqrt{c}≤f(x) \right\} &&0≤c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle c≤\Bigl(f(x)\Bigr)^2&\to&f(x)≤-\sqrt{c} ∧ \sqrt{c}≤f(x) \end{array}

 

「可測関数の定数倍は可測である」

「可測関数の和も可測である」

これらを踏まえると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \left\{ x∈A \,\middle|\, c≤f(x)g(x) \right\} \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤\frac{1}{4}\left ( \Bigl( f(x)+g(x) \Bigr)^2-\Bigl( f(x)-g(x) \Bigr)^2 \right) \right\} \end{array}

 

f,g が可測であれば

その積 f(x)g(x) が可測であることは

すぐに確かめられます。

 

 

 

 

 

可測関数の絶対値の冪乗は可測関数

 

f が可測関数であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \{ x∈A \mid c≤|f(x)|^α \} \end{array}

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c^{\frac{1}{α}}≤|f(x)| \right\}∈σ_X &&0<α \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤1 \right\}∈σ_X &&α=0 \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, |f(x)|≤ c^{\frac{1}{α}} \right\}∈σ_X &&α<0 \end{array}

 

これもすぐに確認することができます。

 

 

指数の大小関係と

 

\begin{array}{cccllll} \displaystyle 2&<& |x|^{-2} \\ \\ 2&<&\displaystyle \frac{1}{|x|^{2}} \\ \\ 2|x|^{2}&<& 1 \\ \\ |x|^{2}&<&\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}

 

\begin{array}{cccll} \displaystyle 2&<& |x|^{-2} \\ \\ |x|&<&2^{-\frac{1}{2}} \end{array}

 

集合の関係がちょっと大変ですが

 

\begin{array}{llllll} && && \displaystyle c^{\frac{1}{α}}&≤&|f(x)| \\ \\ f(x)&≤&\displaystyle -c^{\frac{1}{α}} && \displaystyle c^{\frac{1}{α}}&≤&f(x) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{|f|^α} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c^{\frac{1}{α}}≤|f(x)| \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f(x)≤-c^{\frac{1}{α}} ∧ c^{\frac{1}{α}}≤f(x) \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f(x)≤-c^{\frac{1}{α}} \right\}∩\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c^{\frac{1}{α}}≤f(x) \right\} \end{array}

 

この辺りが分かれば

特に疑問に思う部分は無いと思います。

 

 

 

 

 

可測関数の合成関数は可測関数

 

これは可測関数の定義から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&(g \circ f)^{-1}(D_Z)&∈&σ_X \end{array}

 

このような形ですぐに導かれます。

 

\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f &X &\to& Y \\ \\ g& && Y&\to&Z \\ \\ \\ g \circ f &X&& &\to& Z \\ \\ (g \circ f)^{-1} &X&& &←& Z \end{array}

 

というのも

f,g は前提より可測関数なので

 

\begin{array}{ccccccccccc} & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ f^{-1} &X &←& Y \\ \\ g^{-1}& && Y&←&Z \end{array}

 

当然 ↓ のようになりますから

 

\begin{array}{llllll} D_Z&∈&σ_Z &&\to&&g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y \\ \\ D_Y&∈&σ_Y &&\to&& \displaystyle f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

 

\begin{array}{cccllllll} g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y&&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

 

の推移律

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A&\to&B&\to&C \\ \\ A && \to &&C \end{array}

 

つまり「三段論法」を考えると

 

\begin{array}{llllll} D_Z&∈&σ_Z &&\to&&g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y \\ \\ && && &&g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y &&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

 

そのまま

このような関係が得られます。

 

 

 

 

 

可測関数の合成関数は可測である

 

以上のことから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (g \circ f)^{-1}(z)&=&f^{-1} \circ g^{-1}(z) \\ \\ &=&f^{-1} \Bigl( g^{-1}(z) \Bigr) \end{array}

 

こうなので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&(g \circ f)^{-1}(D_Z)&∈&σ_X \end{array}

 

こうなりますから

「可測関数 f,g の合成関数 g\circ f 」は

「可測関数の条件」を満たしていると言えます。

 

 

 

 

 

可測関数の列の上限下限も可測関数

 

これは要は「極限」をとっても

それが「可測関数」になるって話で

なんかややこしそうなんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f_1(x),f_2(x),f_3(x),...&∈&\{f_n(x)\} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f_n(x)≤c \right\}&∈&σ_X \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤f_n(x) \right\}&∈&σ_X \end{array}

 

可測関数の列 \{f_n(x)\} をこうだとして

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle \sup \{f_n(x)\} &=& \overline{f}(x) \\ \\ \displaystyle \inf \{f_n(x)\} &=& \underline{f}(x) \end{array}

 

その上限と下限をこんな感じに書くとするなら

 

\begin{array}{lcrllllll} \displaystyle A_{\mathrm{sup}} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, \overline{f}(x)≤c \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ x∈A \, \middle| \, f_n(x)≤c \right\}&∈& σ_X \\ \\ \\ \displaystyle A_{\mathrm{inf}} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤\underline{f}(x) \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ x∈A \, \middle| \, c≤f_n(x) \right\} &∈& σ_X \end{array}

 

関数のとる範囲 \overline{f}(x)≤c に気を付ければ

これは意外と簡単に示すことができます。

 

 

 

 

 

可測関数の正成分と負成分も可測

 

まず正成分 f_+ 負成分 f_- ですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f_+(x)&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle f(x) &&0<f(x) \\ \\ 0 && f(x)≤0 \end{array} \right. \\ \\ &=&\max\{ f(x),0 \} \\ \\ \\ \displaystyle f_-(x)&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle -f(x) &&f(x)<0 \\ \\ 0 && 0≤f(x) \end{array} \right. \\ \\ &=&\max\{ -f(x),0 \} \\ \\ &=&-\min\{ f(x),0 \} \end{array}

 

これはこんな感じのやつで

 

\begin{array}{cccclll} \displaystyle f_+&&+→+ && -→0 \\ \\ f_-&&-→+ && +→0 \end{array}

 

こんな感じのことをやってます。

 

 

でまあ言ってしまえばそれだけなので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{f_+} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c<f_+(x) \right\} \\ \\ A_{f_-} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c<f_-(x) \right\} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{f_+} &=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{cllllll} \displaystyle A &&c<0 \\ \\ \left\{ x∈A \, \middle| \, c<f(x) \right\} && 0≤c \end{array} \right. \\ \\ \\ A_{f_-} &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{cllllll} \displaystyle A &&c<0 \\ \\ \left\{ x∈A \, \middle| \, c<-f(x) \right\} && 0≤c \end{array} \right. \end{array}

 

f_+,f_- が正 + であることに気を付ければ

これの可測性は簡単に確認できます。

 

 

 

 

 

可測関数の絶対値も可測関数

 

これは ↑ の事実から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |f(x)|&=&f_+(x)+f_-(x) \end{array}

 

「可測関数の和」は可測ですから

すぐに可測だということが分かります。

 

 

 

補足しておくと

この「絶対値の可測性」から

ルベーグ積分の近似定理」が導かれます。