推移的集合 Transitive Set


|| またいでも関係ある感じ

いわゆる「推移関係」を持った『集合』のことです。

これが数学の本質の一端を担ってる、と言っても良いでしょう。

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形式的には↓みたいになります。

その集合が「推移的集合 S_{tr} 」なら、↓を満たす。



∀S_X∀S_Y∀S_{tr}\,[\,((S_X∈S_Y)∧(S_Y∈S_{tr}))⇒(S_X∈S_{tr})\,]




これは『 S_0∈S_1∈…∈S_n\,⇒\,S_0∈S_n 』を満たします。

またいでも同じ関係が適用できるってのは、要はこんな感じです。




S_X∈S_Y∈S_{tr}\,⇒\,S_X∈S_{tr} 」から処理してみたら分かります。

S_X∈S_{tr} 」なので、「 S∈S_X 」なら「 S∈S_{tr} 」です。



これを繰り返していけば、最終的に一番下に行き着きます。

一番下になるのは、だいたい「空集合 」ですね。






一般形


これの一般形は結構えぐいです。

なので、とにかく基本から確認してみましょう。




ともかく「推移的集合」は、「持ってる集合の要素」を持ってます。

これまで持っていたものを、次のやつも持ってる感じです。

推移的集合の性質を意訳するとこんな感じになります。




その事実から、一般形を考えてみましょうか。

まずパッと思いつくのは『 S_α∪\{S_α\}=S_{α+1} 』ですね。

これで直前の「要素と全体」を『要素』として持てます。




そして一般形は、この拡張になるでしょう。







実例


これの一番有名な例は『順序数』です。

これは↑の『 S_α∪\{S_α\}=S_{α+1} 』みたいに定義されます。




0:=S_0=\{\}=∅ 」と定義して、

α+1:=S_{α+1}=S_α∪\{S_α\} 』です。

つまり、こうやれば「推移的集合」の一例ができあがります。




実際「 S_α∈S_{α+1}∈S_{α+2} 」なので、

S_{α+1}=S_α∪\{S_α\}∈S_{α+2} 』ですから、

明らかに「 S_α∈S_{α+2} 」になります。







推移的集合の一般形


↑の実例から分かる通り、



\textcolor{pink}{S_{α}∪\{S_{α}\}}∪X=S_{α+1}


ってなれば、なんか十分っぽい気がします。




といっても↑のは一般形っていうより、最低限な感じがしますね。

ただまあ、こんな感じにやれば一般形が得られそうです。

とりあえず強引に行ってみれば、一般形が得られるかも?






ともかく、要は「前の要素」を含んでりゃいいわけです。

そんだけですから、なら↓みたいに強引にやれば行けそう。



S_{α+1}=\{S_α\}∪S_α∪\{S_{α-1}\}∪S_{α-1}∪…∪\{S_0\}∪S_0




凄まじいまでに強引ですけど、こうやればもっと確実です。

確認するまでもなく「前の要素」を持つことになります。




定式化すると↓みたいな感じでしょうか。

こうすれば、一般形だって言えそうですね。



\displaystyle S_{α}:=\bigcup_{β<α}(\{S_β\}∪S_β)




そう創ったんですけど、「 β<α 」として、

これなら確実に『 S_β∈S_α 』です。

『推移的集合』の条件を確実に満たしてます。






ついでに、直前の要素を全部持ってるので、

部分集合についても、「 S_β⊂S_α 」を満たします。

これも『推移的集合』の基本的な性質の一つ。