推移的集合 Transitive Set


|| またいでも関係ある感じ

推移関係」を持った『集合』のこと。

数学の本質の一端を担ってる部分になります。

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形式的には ↓

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_X∀S_Y∀S_{tr}& \Bigl[ \Bigl( (S_X∈S_Y)∧(S_Y∈S_{\mathrm{tr}}) \Bigr)⇒(S_X∈S_{\mathrm{tr}}) \Bigr] \end{array}

 

その集合が「推移的集合 S_{\mathrm{tr}} 」なら ↑ を満たします。

 

\begin{array}{llllllllllllllllllllll} \displaystyle 0&<&1&<&…&<&n&&⇒&&0&<&n \\ \\ \displaystyle S_0&∈&S_1&∈&…&∈&S_n&&⇒&&S_0&∈&S_n \end{array}

 

具体的にはこんな感じ。

 

 

 

 

 

記号の解釈

 

形式で重要なのは ↓ の部分ですね。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_X&∈&S_Y&∈&S_{\mathrm{tr}}&&⇒&&S_X&∈&S_{\mathrm{tr}} \end{array}

 

S_X∈S_{\mathrm{tr}} 」だとすると

S∈S_X 」なら「 S∈S_{\mathrm{tr}} 」になる

 

\begin{array}{llllllllll} \displaystyle 0&<&1&<&5 &&→&&0&<&5 \end{array}

 

言われてみれば当然のことを言ってるだけなので

そんな気にすることは無いと思います。

 

 

 

 

 

具体的な形

 

「推移的集合」は『推移関係』を持つ

これを実現する手段の1つに ↓ みたいなやり方があります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_α∪\{S_α\}&=&S_{α+1} \end{array}

 

確認しておくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{α+1}∪\{S_{α+1}\}&=&S_{α+2} \\ \\ S_α∪\{S_α\}∪\{S_α∪\{S_α\}\}&=&S_{α+2} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_α&∈&S_{α+1} \\ \\ &&S_{α+1}&∈&S_{α+2} \\ \\ S_{α}&&&∈&S_{α+2} \end{array}

 

見て分かる通り

ちゃんと推移的になっています。

 

 

 

 

 


実例

 

「推移的集合」の一番有名な例は『順序数』です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_α∪\{S_α\}&=&S_{α+1} \end{array}

 

その具体的な中身はだいたいこれ。

特に矛盾も出ない上にシンプルなので

この定義が採用されることが多いです。

 

\begin{array}{lllllllllllll} \displaystyle 0&:=&S_0&=&\{\}&=&∅ \\ \\ 1&:=&S_1&=&\Bigl\{ \{\},\{\{\}\} \Bigr\}&=&\{∅,\{∅\}\} \\ \\ &&&\vdots \\ \\ α+1&:=&S_{α+1}&&&=&S_α∪\{S_α\} \end{array}

 

ちなみに『順序数』ってのは

「よく使ってる数字」のことです。

 

 

 

 

 


推移的集合の一般形

 

「推移的集合の作り方」は

だいたい ↑ のやつが採用されるんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{pink}{S_{α}∪\{S_{α}\}}∪X&=&S_{α+1} \end{array}

 

「より広い範囲」で『推移的になる』

そういう条件もまた存在していて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{α}&:=&\displaystyle \bigcup_{β<α}\Bigl( \{S_β\}∪S_β \Bigr) \end{array}

 

まあこれがそうなんですけど、

これは「より多くの集合」を『共有できる』ので

より広い範囲で推移関係を構築できる集合になります。

 

 

 

導出の経緯は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \textcolor{pink}{S_{α}∪\{S_{α}\}}∪X&=&S_{α+1} \end{array}

 

これが最低限の形っぽいから

これにいろいろぶちこんで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{α+1}&=&\{S_α\}∪S_α∪\{S_{α-1}\}∪S_{α-1}∪…∪\{S_0\}∪S_0 \end{array}

 

こんな感じにしてみたら

「より広い範囲の推移的集合」ができた。

 

 

とまあそんな感じで

推移的集合の範囲をできるだけ拡張すると

↓ みたいにも書くことができるわけですね。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{α}&:=&\displaystyle \bigcup_{β<α}\Bigl( \{S_β\}∪S_β \Bigr) \end{array}

 

ちなみにこういう風に創った「推移的集合」は

β<α 」とかを『関係 S_β∈S_α 』で定義できます。