定理 Theorem


|| 公理と定義で作られたもの

「証明された真な命題」のことを、定理と言います。



公理もしくは定義 → 妥当な推論規則 → 証明可能 → 定理 → 真

これが定理の基本的な枠組みです。

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公理や定義より、法則に近い概念と言えます。

とはいえ、法則と違って「定理は必ず真」です。




法則と定理は成立するための条件がセットという点では同じです。

しかし、その成立過程に違いが存在します。



定理は、定義や公理と言った「真となる命題」から、

「真となる命題を推論する規則」を経て得られる


という点で法則とは異なります。




法則に関しては、特にそういった記述はありません。

「こういった性質である」という感じに書かれます。

特に規則のようなものはありません。




しかし「定理」は『定義』と『公理』のブロックです。

正しいものから、正しい手順で導かれてます。

いわゆる「法則」の、絶対に正しい版みたいな感じ。






具体例


数学における非常に重要なものだと、

一階述語論理に関する「完全性定理」「健全性定理」

そして「不完全性定理」なんかがあります。



他にも各分科には「基本定理」という前提のような定理があります。

いわゆるその分野の土台みたいな感じの。






使われ方


基本的には、論述を省略する為に使われます。



「公理」「定義」という小さなブロックから得られた、

一つのオブジェのようなものだと思って特に間違いはないでしょう。




例えるなら、公理や定義を原材料、例えば「鉄」とするなら、

定理は、それで作られた「ネジ」みたいな感じです。

この例えから分かる通り、定理は用途から生まれたものが多いです。




なんかこれ正しくね?

というところから始まって、確かめてみたら正しかった。

そんな流れで、多くの定理は発見されました。






定理の基本的な形式


前提「なにが成り立って」「なにがあるとき」(複数の条件)

結論「なにが成立する」(一つの性質)




定理のおおまかな書き方はこんな感じになります。