ルベーグ測度 Lebesgue Measure


|| ジョルダン測度を拡張したやつ

ほとんどの測度を求められる考え方

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目次

 

測度「長さとか面積とかのこと」

ジョルダン測度「ルベーグ測度の雛型」

 

ジョルダン測度では面積が不明

ハルナック集合「ジョルダン非可測の代表例」

 

ルベーグ外測度「ジョルダン外測度を拡張したやつ」

   区間と外測度「測度がちゃんと一致するか確認」

ルベーグ内測度「ルベーグ外測度で定義できる内測度」

   区間と内測度「外測度と同様に一致するか確認」

 

ルベーグ測度「ルベーグ外測度を前提にする測度」

   カラテオドリ条件「可測条件の簡易版」

   可測集合「任意の区間とか開集合とか」

 

ルベーグ非可測「ちょっと考え辛いもの」

ヴィタリ集合「ルベーグ非可測の代表例」

 

可測関数「可測集合 → 可測集合の関数」

 

 

 

 

 


測度 Measure

 

|| 長さとか面積とか体積の総称

なんか「測れるやつ」全般のこと

 

\begin{array}{llllll} μ\Bigl( S \Bigr)&=&|S| \\ \\ \displaystyle μ\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&(b-a) \\ \\ \displaystyle μ \Bigl( [a,b)×[c,d)\Bigr)&=&(b-a)\times (d-c) \end{array}

 

「個数」とかも測度の一種です。

詳しい話は別の記事にまとめてます。

 

 

 

 

 

ジョルダン測度 Jordan Measure

 

|| 長さとかの基本的な計算

直感的な「長さ・面積」とかの求め方

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&(b-a) \\ \\ \displaystyle μ \Bigl( [a,b)×[c,d)\Bigr)&=&(b-a)\times (d-c) \end{array}

 

ルベーグ測度の雛型になるやつです。

 

 

使える範囲には限りが有るんですが

これが問題を起こすことはほぼありません。

 

 

 

 

 

内測度と外測度

 

図形全体を覆う図形 S_{\mathrm{out}}

図形の中に全て収まる図形 S_{\mathrm{in}} から

 

\begin{array}{rccllllll} \displaystyle μ_{\mathrm{out}}(D)&=&\displaystyle\inf_{D⊂S_{\mathrm{out}}} μ(S_{\mathrm{out}}) \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{in}}(D)&=&\displaystyle\sup_{S_{\mathrm{in}}⊂D} μ(S_{\mathrm{in}}) \end{array}

 

 

ジョルダン測度では

内測度と外測度はこのように定められています。

 

 

非常に直感的なので

これについては特に疑問は出ないかと。

 

 

 

 

 


ジョルダン測度で面積が求められない

 

定義関数を除いて

実践的な関数を扱う場合

「ジョルダン測度」ばかり使ったとしても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(A)&≤&μ\Bigl( [a,b)\Bigr) \end{array}

 

問題が出ることはほぼありません。

 

 

しかし特殊な関数の測度を求める場合

特に「測度 0 」の図形を求める時なんかでは

 

\begin{array}{lclll} \mathrm{Set} && \displaystyle \mathrm{Square} &&\mathrm{Length} \\ \\ \\ H_0 && 1&&r_0=1 \\ \\ H_{n+1} && \displaystyle 4^{n+1} && \displaystyle r_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \end{array}

 

「ジョルダン測度」じゃ求めることができない

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{cllllll} \displaystyle 1&&x∈Q \\ \\ 0&&x∈R\setminus Q \end{array} \right. \end{array}

 

そういう図形が

定義関数を使うとわりと簡単に作れたりします。

 

 

 

 

 

ハルナック集合 Harnack

 

|| ジョルダン非可測の代表例

正方形を4つに分解していく感じ

 

 

\begin{array}{lclll} \mathrm{Set} && \displaystyle \mathrm{Square} &&\mathrm{Length} \\ \\ \\ H_0 && 1&&r_0=1 \\ \\ H_1&& \displaystyle 4^1 && r_1=\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_0-\frac{1}{4} \right) \\ \\ H_2&& \displaystyle 4^2 && r_2=\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_1-\frac{1}{4^2} \right) \\ \\ && &\vdots& \\ \\ H_{n+1} && \displaystyle 4^{n+1} && \displaystyle r_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \\ \\ && &\vdots& \end{array}

 

この時に最終的に出来上がる

「加算無限個の正方形」

 

\begin{array}{lcclllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} 4^{n+1}&=&\infty \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} r_{n+1}&=&0 \end{array}

 

正確には

その「共通部分」となる正方形の集まりを

 

\begin{array}{llllll} H&=&\displaystyle \bigcap_{n=0}^{\infty}H_n \end{array}

 

ハルナック集合と言います。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(H)&=&0 &&? \end{array}

 

で、実はこの「測度(面積)」が

ジョルダン測度では求められなくて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&≤&μ(H)&≤&\displaystyle \frac{1}{4} \end{array}

 

具体的には

「外測度」が 0 より大きくなってしまいます。

 

 

 

補足しておくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\left( r_0-\frac{1}{3} \right) \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2}\left( r_0-\frac{1}{4} \right) \\ \\ \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\left( r_0-\frac{1}{n} \right) \end{array}

 

「取り除く十字の辺の長さ」の値 n

計算しやすいのでだいたい 4 が採用されます。

 

 

 

 

 

ジョルダン測度とハルナック集合

 

「正方形の個数」が無限に

「正方形の面積」が 0 に近づいていく

 

\begin{array}{lclll}\mathrm{Set} && \displaystyle \mathrm{Square} &&\mathrm{Length} \\ \\ \\ H_0 && 1 && r_0=1 \\ \\ && &\vdots& \\ \\ H_{n+1} && \displaystyle 4^{n+1} && \displaystyle r_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \\ \\ && &\vdots& \end{array}

 

そのようになるよう作られたこれを

「ジョルダン測度」で求めようとすると

 

\begin{array}{llllll} μ_{\mathrm{in}}(A)&≤& \displaystyle μ(H) &≤& μ_{\mathrm{out}}(H_n) \end{array}

 

実は「外測度」と「内測度」が一致しないため

「測度」を求めることができません。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{in}}(A)&=&0 \\ \\ μ_{\mathrm{out}}(H_{n+1})&=&\displaystyle \left( \frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \right)^2\times 4^{n+1} \end{array}

 

具体的には

直感的には明らかに面積 0 なのに

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{1}{4}&<&\cdots&<&μ(H_{n+2})&<&\displaystyle μ(H_{n+1}) \end{array}

 

「外測度」だけこのような値になるため

これ以上 0 に近付けない

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}μ(H_n)&=&0 &&× \end{array}

 

直感的には近づきそうなものですが

どうしてもこの値が残ってしまいます。

 

 

 

 

 

ハルナック集合の内測度

 

内測度はいくらでも小さくできるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&=&μ(A)&≤&μ(H) \end{array}

 

図形から

直感的にこのように置いていいです。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&≤&μ(X) \end{array}

 

補足しておくと

まあ当然ですが

0 は全ての測度の内測度になります。

 

 

 

 

 

ハルナック集合の外測度

 

問題はこっちです。

といってもやることは式変形だけで

 

\begin{array}{lclll} \mathrm{Set} && \displaystyle \mathrm{Square} &&\mathrm{Length} \\ \\ \\ H_0 && 1&&r_0=1 \\ \\ H_{n+1} && \displaystyle 4^{n+1} && \displaystyle r_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle r_{n+1}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \end{array}

 

正方形の一辺の長さを求めると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle r_{n+1}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left( r_n-\frac{1}{4^{n+1}} \right) \end{array}

 

\begin{array}{lclclllll} r_1&=& \displaystyle \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{4} \right) \\ \\ r_2 &=& \displaystyle \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4^2} \right) &=&\displaystyle \frac{1}{2^2}\left( 1-\frac{1}{4} -\frac{2}{4^2} \right) \\ \\ r_3 &=& \displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle \frac{1}{2^2}\left( 1-\frac{1}{4} -\frac{2}{4^2} \right)-\frac{1}{4^2} \right)&=&\displaystyle \frac{1}{2^3}\left( 1-\frac{1}{4} -\frac{2}{4^2}-\frac{2^2}{4^3} \right) \\ \\ && &\vdots \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle r_{n} &=& \displaystyle \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{4} -\frac{2}{4^2}-\frac{2^2}{4^3}-\cdots -\frac{2^{n-1}}{4^n} \right) \\ \\ &=& \displaystyle \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{4}\left(1+ \frac{2}{4}+\frac{2^2}{4^2}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{4^{n-1}} \right) \right) \\ \\ &=& \displaystyle \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{4}\left(1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} \right) \right) \end{array}

 

\begin{array}{rclllllll} S&=& \displaystyle 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}S &=& \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n}} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S-\frac{1}{2}S &=&\displaystyle 1 - \frac{1}{2^{n}} \\ \\ \displaystyle S \left( 1-\frac{1}{2} \right) &=&\displaystyle 1 - \frac{1}{2^{n}} \\ \\ \displaystyle S&=& \displaystyle 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle r_{n} &=& \displaystyle \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{4}\left(1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} \right) \right) \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{4}2 \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \right) \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \right) \end{array}

 

ちょっと大変ですが

こうなるので

 

 

後は面積とその総和を求めれば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle r_n^2 \times 4^{n}&=&\displaystyle \left( \frac{1}{2^n}\left( 1-\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \right) \right)^2 4^{n} \\ \\ &=&\displaystyle \left( \frac{1}{2^n}\right)^2 \left( 1-\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \right)^2 \left(2^{n}\right)^2 \\ \\ &=&\displaystyle \left( 1-\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \right)^2 \end{array}

 

外測度の下限として

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(H_{n+1})&≤&μ(H_n) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n^2 \times 4^{n}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \right)^2 \\ \\ &=&\displaystyle \left( 1-\frac{1}{2} \left( 1 - 0 \right) \right)^2 \\ \\ \\ &=&\displaystyle \left( 1-\frac{1}{2} \right)^2 \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{4} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{1}{4}&≤&\cdots&≤&μ(H_{n+1})&≤&μ(H_n) \end{array}

 

このような関係が求められます。

 

 

 

 

 


ルベーグ外測度 Lebesgue Outer

 

|| 長方形で覆ったやつの下限

「領域」で作った「長方形の集まり」の下限

 

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle D&=&[a,b)\times [c,d) \\ \\ μ(D)&=&(b-a)(d-c) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \end{array}

 

D は測度を求めたい図形を意味する有界な集合

D_k は「図形 D 」をカバーできる

長方形を定義する「領域 \mathrm{Domain} 」とします。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D) \end{array}

 

この時の「測度 μ^* 」が「ルベーグ外測度」です。

S_{\mathrm{out}} を分割したジョルダン外測度)

 

 

 

補足しておくと

μ(D_k) なんですが

 

\begin{array}{cclllll} \displaystyle μ\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a \\ \\ \Bigl|[a,b) \Bigr|&=&b-a \\ \\ \mathrm{vol}\Bigl( [a,b)\Bigr) &=&b-a \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{vol}(D_k)&=&(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots \end{array}

 

これはこんな風に表現されることもあります。

(基本区間と呼ばれることがあります)

 

 

 

 

 

ジョルダン外測度との違い

 

ジョルダン外測度は「カバーできる図形 S_{\mathrm{out}} の全形」

ルベーグ外測度は「個々の図形 D_k の集まり」

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{jordan}}(D)&=&\displaystyle\inf_{D⊂S_{\mathrm{out}}} μ(S_{\mathrm{out}}) \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{lebesgue}}(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right)\end{array}

 

とまあそんな具合なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigcup_{k=1}^{n}D_k &&←&&\displaystyle S_{\mathrm{out}} \end{array}

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(D_1)+μ(D_2)+\cdots+μ(D_n)+\cdots&&←&&μ(S_{\mathrm{out}}) \end{array}

 

ルベーグ測度の方が細かいというのは

数式からすぐに読み取れると思います。

 

 

 

実際

ルベーグ測度側からは図形を寄せれるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigcup_{k=1}^{n}D_k &→&\displaystyle S_{\mathrm{out}} \end{array}

 

「ルベーグ可測である」ということが

「ジョルダン可測である」ことも意味する

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigcup_{k=1}^{n}D_k &=&\displaystyle S_{\mathrm{out}} \end{array}

 

この「ジョルダン外測度の拡張」という感覚も

視覚的に明らかだと分かると思います。

(厳密な話は拡張定理の記事を参照)

 

 

 

 

 

区間とルベーグ外測度

 

直感的には ↓ は明らかですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(I)&=&μ(I) \\ \\ &=&b-a \end{array}

 

ルベーグ外測度の定義が複雑なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(I)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) \end{array}

 

本当にきちんとこうなるのか

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle μ^*(I)&=&μ(I) \end{array}

 

念のため確認しておきます。

 

 

 

 

 

区間とルベーグ外測度の一致

 

ジョルダン外測度

ルベーグ外測度の双方で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ\Bigl( [a,b)\Bigr)&=&b-a \\ \\ \displaystyle μ\Bigl( [a_1,b_1)\times [a_2,b_2) \Bigr)&=&(b_1-a_1)(b_2-a_2) \end{array}

 

これはこう定義されているわけですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(I)&=&\displaystyle\inf_{I⊂S_{\mathrm{out}}} μ(S_{\mathrm{out}}) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(I)&=&\inf μ\Bigl( [a,b+ε)\Bigr) &&∀ε>0 \\ \\ &=&\inf \Bigl( b -a+ε \Bigr) &&∀ε>0 \\ \\ &=&b-a \end{array}

 

ジョルダン外測度とは異なり

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle μ^{*}(I)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) \end{array}

 

ルベーグ外測度の定義では

区間 I は分割されてしまっています。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&=&b-a \end{array}

 

なので本当にこうなるのか

この時点ではまだ不明

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) \\ \\ &=&b-a \end{array}

 

きちんとこの結果になるよう計算が可能かは

確認しないと分かりません。

 

 

 

 

 

まあ一致するだろう

 

まだ分かっていないと言っても

直感的には明らかに成立するので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&=&b-a \end{array}

 

これを示すために

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle && μ^{*}(I)&=&μ(I) \\ \\ μ(I)&≤&μ^{*}(I)&≤&μ(I)&≤&μ^{*}(I) \end{array}

 

例えば

こんな感じにならないか確認してみます。

 

 

そこで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&=&μ(I) \end{array}

 

サッとやりたいので

まずこれを考えてみたいんですが

これはパッと思いつきそうで思いつきません。

 

\begin{array}{llllll} μ(I)&≤&μ^{*}(I)&≤&μ(I) \\ \\ μ^{*}(I)&≤&μ(I)&≤&μ^{*}(I) \end{array}

 

でもこっちならなんとか行けそうなので

とりあえずこっちを採用して話を進めていきます。

 

 

 

 

 

区間の測度を下から抑える

 

というわけで事実を確認していくと

 

\begin{array}{llcllll} \displaystyle \displaystyle μ^{*}(I)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) \\ \\ &≤&\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \end{array}

 

まずこの関係から

外測度の右辺が下限をとる以上

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [0,3)&=&[0,1)∪[1,2)∪[2,3)&&μ(I)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \\ \\ &=&[0,2)∪[2,3) &&μ(I)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \\ \\ &=&[0,1)∪[0,2)∪[0,3) &&μ(I)≤\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \end{array}

 

適当な右半開区間 I_n=[a_n,b_n) を考えると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle a&≤&a_n \\ \\ &&a_n&≤&b_n \\ \\ &&&& b_n&≤&b \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&I_1∪I_2∪\cdots ∪I_n \\ \\ &=&[a_1,b_1)∪[a_2,b_2)∪\cdots ∪[a_n,b_n) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{k}{n} \end{array}

 

\begin{array}{llrllll} \displaystyle a_k &=&\displaystyle a+\frac{k-1}{n}b \\ \\ b_k &=&\displaystyle \frac{k}{n}b \end{array}

 

例えばこのようにすれば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(I)&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \end{array}

 

この関係は成立し得るので

 

\begin{array}{cccllllll} μ^{*}(I)&≤&\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) &=&μ(I)\end{array}

 

ルベーグ外測度が下限をとる以上

以下の前提の元では

 

\begin{array}{cclll} \displaystyle \left( \begin{array}{ccclll} \displaystyle i≠j&\to&I_i≠I_j \\ \\ \displaystyle I&=&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \end{array} \right) \\ \\ ↓ \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k)&=&μ(I) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&≤&μ(I) \end{array}

 

この関係が得られます。

 

 

 

 

 

区間の測度を上から抑える

 

区間を上から抑えるには

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) \\ \\ \displaystyle &&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) &<&μ^{*}(I)+ε \end{array}

 

単純に考えるなら

任意の実数 ε>0 を使って

このような形を考える必要があるわけですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) &<&μ^{*}(I)+ε \end{array}

 

これだけではまだちょっと不足

 

 

というわけで

事実を列挙してみると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle I&⊆&\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k \end{array}

 

この事実から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(I)&≤&\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}μ(I_k) \end{array}

 

これが導かれるので

 

 

[a,b) を分割した

右半開区間 [a_n,b_n)I_n だとすれば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) &≤&\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \end{array}

 

さっき示したように

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} &=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2} \right)^n }{1-\frac{1}{2}} \\ \\ &=&1 \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [0,1)&=&\displaystyle \left[ 0,\frac{1}{2} \right)∪\left[ \frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)∪ \left[ \frac{1}{2}+\frac{1}{4},\frac{1}{2}+\frac{1}{4} +\frac{1}{8} \right) ∪\cdots \end{array}

 

例えばこのようにすれば

これらの同値関係は成立し得ることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) &=& \displaystyle \inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) &<&μ^{*}(I)+ε \end{array}

 

I_n[a,b) を分割した右半開区間であれば

この関係が成立します。

 

 

そしてこの結果から

 

\begin{array}{llllll} μ(I)&≤&\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) &<&μ^{*}(I)+ε \end{array}

 

この関係が導かれます。

 

 

 

 

 

同じ前提で上と下から抑えられる

 

「ルベーグ測度」は『下限をとる』ので

 

\begin{array}{cclll} \displaystyle \left( \begin{array}{ccclll} \displaystyle i≠j&\to&I_i≠I_j \\ \\ \displaystyle I&=&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \end{array} \right) \\ \\ ↓ \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle \inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \right) &=&\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(I_k) \end{array}

 

区間 I=[a,b) が単純な形であることから

I_n[a,b) を分割する半開区間である

この前提が採用出来て

 

\begin{array}{llllll} μ^{*}(I)&≤&μ(I)&<&μ^{*}(I)+ε \end{array}

 

その結果として

測度の間にはこのような関係が導かれます。

 

 

そしてここから

 

\begin{array}{llllll} μ^{*}(I)&≤&μ(I)&<&μ^{*}(I)+ε \\ \\ μ^{*}(I)-μ^{*}(I)&≤&μ(I)-μ^{*}(I)&<&μ^{*}(I)-μ^{*}(I)+ε \\ \\ 0&≤&μ(I)-μ^{*}(I)&<&ε \end{array}

 

この関係が導かれて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |μ(I)-μ^{*}(I)|&<&ε \end{array}

 

極限の定義」より

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)-μ(I)&\to&0 \\ \\ μ^{*}(I)&\to&μ(I) \end{array}

 

この結果を導くので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(I)&=&μ(I) \\ \\ &&μ(I)&=&b-a \end{array}

 

半開区間 I のルベーグ外測度 μ^{*}(I)

下限をとると μ(I)=b-a に収束する

ということが分かります。

 

 

 

 

 

ルベーグ内測度 Lebesgue Inner

 

|| 切り抜いて求める感じ

求めたい図形全体をカバーできる

「線」や「長方形 \mathrm{Rectangle} 」から

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D)&=&μ^*(\mathrm{Rect})-μ^*(D^c∩\mathrm{Rect}) \end{array}

 

求めたい図形の補集合を引いて求める感じ。

 

 

感覚的には

内測度というより外測度の感覚に近いですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D^c∩\mathrm{Rect} \end{array}

 

この部分は外測度しか分からないため

(実際より大きい → 合わせていく)

 

 

\begin{array}{rccllllll} μ^*(\mathrm{Rect})-μ^*(D^c∩\mathrm{Rect})&≤& μ(D) \\ \\ μ_*(D)&≤& μ(D) \end{array}

 

求めたい「図形 D の測度 μ(D) 」との大小関係は

必ずこうなります。

 

 

これは

 

 

「長方形 \mathrm{Rect} 」が内部にある場合でも同様で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Rect}&⊂&D \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle D^c∩\mathrm{Rect}&=&∅ \end{array}

 

\begin{array}{rccllllll} μ^*(\mathrm{Rect})-μ^*(D^c∩\mathrm{Rect})&≤& μ(D) \\ \\ μ^*(\mathrm{Rect})-μ^*(∅)&≤& μ(D) \\ \\ μ_*(\mathrm{Rect})&≤& μ(D) \end{array}

 

この関係がこうなることから

 

\begin{array}{rccllllll} μ^*(\mathrm{Rect})-μ^*(D^c∩\mathrm{Rect})&≤& μ(D) \end{array}

 

この形は崩れません。

 

 

ということはつまり

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle D&⊂&\mathrm{Rect} \\ \\ \mathrm{Rect}&⊂&D \end{array}

 

このどちらの条件でも

 

\begin{array}{rccllllll} μ^*(\mathrm{Rect})-μ^*(D^c∩\mathrm{Rect})&≤& μ(D) \end{array}

 

この関係は常に成立します。

(後述する可測の条件で使える)

 

 

 

 

 

区間とルベーグ内測度

 

ルベーグ外測度と区間の関係が分かってるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*\Bigl( [a,b) \Bigr)&=&b-a \end{array}

 

ここに落ち着くのはまあ明らか。

 

 

とはいえこの時点ではまだ不明なので

きちんと示していきます。

 

 

というわけで確認しておくと

 

\begin{array}{rccllllll} μ_*(I)&=&μ^*(X)-μ^*(I^c∩X) \\ \\ &&μ^*(X)-μ^*(I^c∩X)&≤& μ(I)&=&b-a \end{array}

 

ルベーグ内測度の定義はこうです。

 

 

で、区間 [a,b) をカバーする図形 X

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&[a,b+ε) \end{array}

 

なんでもいいので

とりあえず適当にこれを採用

 

\begin{array}{llllll}I^c&=&(-\infty,a)∪[b,\infty) \\ \\ \displaystyle I^c∩X&=&[b,b+ε) \end{array}

 

この上で

集合の関係を整理していくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&(b+ε)-a \\ \\ μ^*(I^c∩X)&=&(b+ε)-b \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)-μ^*(I^c∩X)&=&-a-(-b) \\ \\ &=&b-a \end{array}

 

後はそのまま計算するだけで

この結果に至ります。

 

 

 

区間のルベーグ外測度が分かってるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( [a,b) \Bigr)&=&b-a \end{array}

 

特に疑問の余地は無いかと。

 

 

 

 

 


ルベーグ測度 Lebesgue Measure

 

|| ジョルダン測度の範囲を広げたやつ

ルベーグ外測度に完全加法性を与えたもの

(ルベーグ外測度は一般には完全加法性を持たない)

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \left( \begin{array}{llllll} A∩B=∅ \\ \\ \displaystyle A,B∈σ \\ \\ A∪B∈σ \end{array} \right) &\to& μ^*(A∪B)=μ^*(A)+μ^*(B) \end{array}

 

この μ^* を「ルベーグ測度」と言います。

 

 

「ルベーグ可測」の条件は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig}_{\mathrm{simple}})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}_{\mathrm{simple}}) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D)&=&μ^*(D) \end{array}

 

「ジョルダン測度」と同様

「外測度と内測度が一致する」という

 

\begin{array}{llrllll} \displaystyle μ(D)&≤&\displaystyle \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ &↓ \\ \\ μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \end{array}

 

完全加法性から来る

自然なものが与えられています。

 

 

 

 

 

カラテオドリ条件 Carathéodory

 

|| ルベーグ可測の代表的な条件

可測集合を定義する簡単な条件

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}

 

D が「可測であるか判定したい図形」

μ^{*} は「ルベーグ外測度」で

 

 

あらゆる S⊆R^n でこの関係が成り立つ時

「集合 D は可測である」となります。

 

 

 

補足しておくと

この条件で出てくる DS

可測集合に限定されていません。

 

 

なので問題が出そうですが

「図形全体をカバーする集合 S 」が

「可測集合ではない」としても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S∩D&⊆&D \\ \\ S∩D^c&⊆&D^c \end{array}

 

共通部分をとるので

判定したい図形 D の要素のみで議論できます。

S に入るかもしれない変な要素は除外されるので)

 

 

 

 

 

カラテオドリ条件の役割

 

「可測集合」の定義は

「完全加法族である」ことの他に

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \\ \\ μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

外測度と内測度が一致する

なんてものもあるんですが

これはこのまま扱うのは大変

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \end{array}

 

どこから手を付ければ良いのか

いまいちよく分かりません。

 

 

そこで

この条件を具体化して簡略化したのが

「カラテオドリ条件」で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^{*}(S∩D)+μ^{*}(S∩D^c) \end{array}

 

この条件のおかげで

「可測であるかどうか」が

簡単に判定できるようになっています。

 

 

 

 

 

条件の導出

 

これはわりとそのままで

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \mathrm{Fig}&⊂&R \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&R^2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \mathrm{Fig}&⊂&R^n \end{array}

 

範囲をどのようにとっても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(D) &=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) &≤& μ(D) \end{array}

 

「内測度」と

 

\begin{array}{ccccclll} D&⊂&\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle D&=&D∩\mathrm{Fig} \end{array}

 

 

\begin{array}{ccccclll} \mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ \displaystyle \mathrm{Fig}&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle ∅&=&D^c∩\mathrm{Fig} \end{array}

 

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D∩\mathrm{Fig}&⊂&D \\ \\ D∩\mathrm{Fig}&⊂&\mathrm{Fig} \end{array}

 

 

この単純な関係から

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle \displaystyle D&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle μ^*(D)&=&\displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \\ \displaystyle \mathrm{Fig}&=&D∩\mathrm{Fig} \\ \\ \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&\displaystyle μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \displaystyle μ^*(∅)&=&\displaystyle μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

「外測度」より

 

\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*(D)&=&μ_*(D) \\ \\ μ^*(D∩\mathrm{Fig})&=&μ^*(\mathrm{Fig})-μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

「可測」の条件から

ここが着地なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

「任意の \mathrm{Fig} で成立する」ものとして

関係自体は簡単に導けます。

\mathrm{Fig} がなんでもいい理由は別記事で)

 

 

 

 

 

代表的な可測集合

 

この可測条件を使うと

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle X&⊂&R \\ \\ X&=&X∩R \\ \\ ∅ &=&X∩R^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X∩R)+μ^*(X∩R^c)&=&μ^*(X)+μ^*(∅) \\ \\ &=&μ^*(X) \end{array}

 

こうやれば

「実数 R 」が可測集合である

ということがすぐに導けます。

 

 

 

 

 

可測集合の補集合もまた可測集合

 

カラテオドリ条件を使うと

これもすぐに導けます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

というのも

「集合 D は可測である」を前提とすると

 

\begin{array}{llllll} μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (D^c)^c&=&D \end{array}

 

補集合のとこを変形するだけで

 

\begin{array}{llllll} &&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ \\ &=&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*(D∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

これが得られますから

「集合 D がルベーグ可測である」ため

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(\mathrm{Fig})&=&μ^*(D∩\mathrm{Fig})+μ^*(D^c∩\mathrm{Fig}) \\ \\ &=&μ^*(D^c∩\mathrm{Fig})+μ^*((D^c)^c∩\mathrm{Fig}) \end{array}

 

結果、明らかにこうなります。

 

 

 

 

 

可測集合の和集合も可測

 

長くなるので詳細を省くと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ μ^*(X)&=&μ^*(B∩X)+μ^*(B^c∩X) \end{array}

 

A,B は可測なのでこう

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

これが μ^*(X) と一致するのがゴール

 

\begin{array}{llllll} (A∪B)^c&=&A^c∩B^c \end{array}

 

この辺りが分かってるので

集合の演算から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ μ^*(X)&=&μ^*(B∩X)+μ^*(B^c∩X) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(A^c∩X)&=&μ^*\Bigl( B∩(A^c∩X) \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩(A^c∩X) \Bigr) \\ \\ &=&μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

この式はこんな感じになりますから

 

 

後はゴールに寄せていくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&\textcolor{pink}{μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)}+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

整理したいこの部分が

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)&=&μ^* \Bigl( (A∩X) ∪(B∩A^c∩X) \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (A∩X) ∪(B∩A^c∩X)&=&\displaystyle \Bigl( A∪(B∩A^c) \Bigr)∩X \\ \\ &=&(A∪B)∩X \end{array}

 

うまいことこうなるため

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A∩X)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (B∪A)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl( (A∪B)∩X\Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

結果、こうなる。

だから可測集合の和集合は可測になります。

 

 

 

 

 

共通部分も当然のように可測

 

「集合の演算」から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (A∩B)^c &=&A^c∪B^c \\ \\ (A^c∪B^c)^c &=&(A^c)^c∩(B^c)^c \\ \\ &=&A∩B \end{array}

 

着地より

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\Bigl( (A∩B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl( (A∩B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

可測集合の補集合が可測であることと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(X)&=&μ^*(A∩X)+μ^*(A^c∩X) \\ \\ &=&μ^*(A^c∩X)+μ^*((A^c)^c∩X) \end{array}

 

和集合が可測であることから

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

\begin{array}{cccl} \displaystyle (A∩B)^c &=& A^c∪B^c \\ \\ A∩B &=&(A^c∪B^c)^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X)&=&\displaystyle μ^*\Bigl((A^c∪B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A^c∪B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B)^c∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B)∩X \Bigr) \end{array}

 

これもまた直ちに導かれます。

 

 

 

ちなみに

これと補集合が可測であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A\setminus B&=&A∩B^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(X) &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A∩B^c)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A∩B^c)^c∩X \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^*\Bigl((A\setminus B)∩X \Bigr)+μ^*\Bigl((A\setminus B)^c∩X \Bigr) \end{array}

 

差集合が可測であることも導けます。

 

 

 

 

 

零集合ももちろん可測

 

これも簡単で

 

\begin{array}{cccllllll} \displaystyle C∩D&⊂&D \\ \\ μ(C∩D)&≤&μ(D) \\ \\ \\ C∩D^c&⊂&C \\ \\ μ(C∩D^c)&≤&μ(C) \end{array}

 

 

集合(図形)の関係から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ(P)&=&0 \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(C)&≤&\displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C) &≤&μ^*(P)+μ^*(P^c∩C) \\ \\ &≤&μ^*(P^c∩C) \\ \\ &≤&μ^*(C) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} μ^*(C)&≤&\displaystyle μ^*(P∩C)+μ^*(P^c∩C)&≤&μ^*(C) \end{array}

 

すぐに導けます。

詳細は別の記事で)

 

 

 

 

 


可測集合 Measurable Set

 

|| ルベーグ可測な集合のこと

だいたい「区間」あるいは「」のこと

 

\begin{array}{lccllll} \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Point})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Line})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \\ \\ \displaystyle μ^{*}(\mathrm{Area})&&←&&μ^{*}(\mathrm{Interval}) \end{array}

 

厳密には

「実数上の区間」について議論する場合

 

\begin{array}{rccllllll} \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)-α&=&0 \\ \\ |f(x)-α|&<&ε &&\Bigl( |x-a|<δ\Bigr) \end{array}

 

もっと言うと

極限」が使える環境を考える場合

ボレル集合」の知識が必要なんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Borel}(R) &&\to&& \displaystyle \left( \begin{array}{clllll} \displaystyle [a,b) \\ \\ (a,b) \\ \\ [a,b] \\ \\ \{a\} \\ \\ N \\ \\ Q \\ \\ R\setminus Q \end{array} \right) \end{array}

 

これは長くなるので別の記事で扱います。

位相空間上で定義されるので説明が大変)

 

 

 

 

 

ルベーグ可測集合の集合は完全加法族

 

ルベーグ可測の定義上

完全加法性を持つのは当然なんですが

 

\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle R∈L&\to&∅∈L \\ \\ D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array}

 

念のため確認しておくと

ルベーグ可測集合 D の集まりを L とすると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle\left( \begin{array}{llllll} \displaystyle S≠∅ \\ \\ σ⊂2^S \\ \\ A^c = S\setminus A \end{array} \right) &\to& \displaystyle \left( \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} \right) \end{array}

 

完全加法族の定義はこれなので

 

\begin{array}{llllll} \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} &&&& \begin{array}{rcrllllll} \displaystyle R∈L&\to&∅∈L \\ \\ D∈L &\to&D^c∈L \\ \\ D_n∈L &\to&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n∈L \end{array} \end{array}

 

まあ当然ではありますが

ルベーグ可測集合の集まり(集合族)は

完全加法族であると言えます。

 

 

 

 

 


ルベーグ非可測 Non-Measurable

 

|| 測度論が必要になる主な理由

ルベーグ外測度上で出てくる例外のこと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^{*}(D)&=&\displaystyle\inf \left( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}μ(D_k) \right) \end{array}

 

これまでの話を考えると

なんかほとんど行けそうですが

 

 

「全部」いけるのか

みたいなことを考えると

ちょっと分かりませんよね。

 

 

まあ結論からいくと全部は無理なんですが

その無理なものって何?ってなると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_*(X)&≠&μ^*(X) \end{array}

 

ちょっとよく分からないと思うので

これから紹介していきます。

 

 

 

 

 

ヴィタリ集合 Vitali Set

 

|| 非可測を実現するために作られた集合

「平行移動不変性」から導かれる集合 V のこと

 

\begin{array}{ccccrcccccccll} \displaystyle r+q &\equiv & r \mod Q && (r+q)-r ∈Q \\ \\ e &\not\equiv & π \mod Q && e-π\not\in Q \end{array}

 

選択公理」を認めると定義可能な

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle r+Q&=&\{r+q \mid q∈Q \} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle R/Q&=&\{r+Q \mid r∈I \} \end{array}

 

剰余類 r+Q

剰余群 R/Q で定義されていて

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle [r]&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{cllllll} \displaystyle r+q_1 &&\mathrm{Select} \\ \\ r+q_2 &&\mathrm{Select} \\ \\ &\vdots \end{array} \right. \end{array}

 

剰余類 r+Q の代表元 [r] の集まりとして

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle V&=&\{ [r]∈r+Q \mid r+Q ∈R/Q \} \end{array}

 

「ヴィタリ集合」はこのように定義されています。

 

 

具体的には

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle V&=&\{0,...,\log 2,...,\sqrt{2},...,e,...,π,...,e^{10},...\} \\ \\ V&=&\{1,...,\log 2+1,...,\sqrt{2}+3,...,e+0.1,...,π-2,...\} \end{array}

 

こういうのが「ヴィタリ集合」です。

(実際には横並びで書けません)

 

 

 

 

 

ヴィタリ集合の主な性質

 

これは以下の性質を持つように作られています。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&\displaystyle \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V+q_n \right) &<&\infty \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V+q_n \right) &=& \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle i≠j&&\to&& V+q_i∩V+q_j=∅ \end{array}

 

これもこの記事で説明したかったんですが

ちゃんとやると長くなるので詳細は別の記事で

 

 

 

 

 

ルベーグ外測度は完全加法性を持たない

 

この「ヴィタリ集合」の存在から

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<& \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V+q_n \right) &<&\infty \end{array}

 

「ルベーグ外測度 μ^* 」が

必ず「完全加法性を満たす」わけではない

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V+q_n \right)&=&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right)&=&μ^*(V)+μ^*(V)+\cdots \end{array}

 

そんな事実が導けます。

 

 

 

 

 

完全加法性の仮定と矛盾

 

確認しておくと

「互いに素」であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle i≠j&&\to&& V+q_i∩V+q_j=∅ \end{array}

 

感覚的には

 

 

「完全加法性」は問題なく仮定できるわけですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right)&=&μ^*(V)+μ^*(V)+\cdots \end{array}

 

詳細は省きますが

ヴィタリ集合の集まりは

 

\begin{array}{cccccccccll} \displaystyle μ^*\Bigl([0,1) \Bigr)&<&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V+q_n \right) &<&μ^*\Bigl([-1,2) \Bigr) \\ \\ μ^*\Bigl([0,1) \Bigr)&<&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right) &<&μ^*\Bigl([-1,2) \Bigr) \end{array}

 

このような範囲にある、とできるので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&<&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right) &<&3 \end{array}

 

間違いなくこうなるんですが

 

 

「同じ値 μ^*(V) が無限に加算される」以上

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right)&=&μ^*(V)+μ^*(V)+\cdots \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(V) =0 &→&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right)=0 \\ \\ μ^*(V)≠0 &→&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right)=\infty \end{array}

 

こうなるはずなのに

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&<&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right) &<&3 \end{array}

 

この範囲にある

というのは明らかな矛盾です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&<&\displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} V \right) &<&3 \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(V)& \not\in &R \end{array}

 

この条件を満たす実数は存在しません。

 

 

 

まとめると

「完全加法性」を仮定する場合

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} V+q_n \end{array}

 

矛盾が出るため

このパターンでは完全加法性を満たしません。

 

 

 

 

 

補足しておくと

この結果は「選択公理」を認める場合に限るので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{0\},\{1\},\{2\},\cdots&∈&G&⊂&2^N \end{array}

\begin{array}{llllll} N&=& \displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\cdots \} \end{array}

 

この範囲を制限した

「従属選択公理」などを採用する場合

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle V&=&\{ [r]∈r+Q \mid r+Q ∈R/Q \} \end{array}

 

「ヴィタリ集合の存在」は保証できず

「ルベーグ外測度」は「完全加法性」を持ちます。

 

 

 

 

 


可測関数 Measurable Function

 

|| 可測空間を繋ぐ感じの関数

可測空間の構造が破綻しない関数

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,σ_X)&→&(Y,σ_Y) \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&X&\to&Y \end{array}

 

\begin{array}{cclllllll} D&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D)&∈&σ_X \end{array}

 

まあ要は「普通の関数」のことで

だいたいはこの関数に含まれます。

 

 

 

補足しておくと

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle D&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D)&∈&σ_X \end{array}

 

ちょっと記号があれですが

これは要は「両側が可測」ってことなので

定義自体はほんとにそのままです。

 

 

それと X,Y ですが

これはだいたい実数 R,R^2 が来ます。

(その場合はボレル集合族上で定義される)

 

 

 

 

 

可測関数の具体例

 

可測空間 (S,σ) 上の話とすると

当然ですが、だいたいの関数は可測関数です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&ax+b \\ \\ f(x)&=&ax^2 \\ \\ f(x)&=&\sin x \end{array}

 

「連続関数」は「区間→区間」の関数で

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 2x&:&1&\to&2 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}x&:&1&←&2 \end{array}

 

「逆関数」はただ逆を辿るだけなので

もちろん可測関数ですし

 

\begin{array}{llllll} A&⊂&X \\ \\ \displaystyle A&∈&σ \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle 1 &&x \in A \\ \\ 0 &&x \not\in A \end{array} \right. \end{array}

 

定義関数にしても

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A^{-1}(1)&→&A \\ \\ 1_A^{-1}(0)&→&A^c \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle A&∈&σ \\ \\ A^c&\in&σ \end{array}

 

逆関数は基本辿るだけなので

これも可測関数になります。

 

 

 

それと詳細は省きますが

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle f+g \\ \\ fg \\ \\ αf &&α∈R \\ \\ |f|^α &&α∈R \end{array}

 

可測関数にこういった操作を加えても

これらは可測関数になります。

 

 

 

 

 

非可測関数の例

 

「非可測な関数」を作るのは

「ルベーグ非可測な集合」を前提とすれば

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_V(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{llllll} \displaystyle 1&&x∈V \\ \\ 0&&x∉V \end{array} \right. \end{array}

 

簡単に生成できます。

(ヴィタリ集合は別記事

 

 

 

 

 

性質やらなんやら

そういったものについては意外と長くなるので

詳しい話は別の記事にまとめておきます。