|| 順序数を知っておきましょう
これは『基数』を知っていることが前提のものになります。
いわば、ある『特殊な無限な基数』が『極限基数』です。
スポンサーリンク
目次
・概要「極限基数の雰囲気」
・順序数と基数「要素の数を表す数」
・フォンノイマンの割り当て「順序数を使った基数の定義」
・共終数「上に限りが無い、一番小さな部分集合」
共終数の具体例「共終数を実際に求めてみた」
・正則基数「共終数と、元になった基数とが一致」
・特異基数「共終数より、元になった基数が大きい」
基数の分類も、基本的には「順序数」と似たり寄ったりです。
まあ「基数」の割り当ての方法がそもそも「順序数」基準ですし、
似てるもなにも、ほとんど同じじゃんって感じではありますが。
ともかく形式としては、
「超限基数（無限基数）」は、基本的に『 κ 』と表されます。
ですが、ここではあまり使わないことにしましょう。
そんな「基数」にも「順序数」と同じようなグレードがありまして、
まず「有限」の範囲だと「自然数」は全て基数です。
そして「最小の無限基数」は「最小の極限順序数 ω 」と一致します。
この辺り、まったく順序数と同じですね。
これと似たような流れで、基数もまた大まかに分類できます。
一つが↑にあるように「自然数」のことで、
次に「超限基数 κ=ω 」が来て、
そして『後続型基数 κ^+ 』が来ます。
要は↓みたいな感じ。
n∈ω∈ω^+\,\,\,⇒\,\,\,n<ω<ω^+
「後続型基数 κ^+ 」は、
「無限基数 κ 」よりも大きな、最小の「基数」になります。
つまり、ある「無限基数」の「次の基数」ってことですね。
そして↑では表せない、
けれど「基数」な「無限基数」のことを『極限基数』と言います。
感覚的には、「極限基数」っていうのは『例外』な感じ。
例えば有限の自然数から見た「 ω 」みたいな。
順序数と基数
通常、「基数」は『順序数』を使って表されます。
これは割り当ての方法の一つでしかないわけですが、
これがなかなか都合が良いんです。
というのも『順序数』は、ある「集合」です。
そしてそのある「集合」の『要素の個数』と一致します。
「基数」もまたサイズを表すので『要素の個数』と同じです。
これだけで『基数』と『順序数』の一致具合が分かると思います。
そしてこの一致具合から、
「基数」は『順序数』によって『定義』されることがあります。
フォン・ノイマンの割り当て
「基数」は『全単射』による判定が直感的ですが、
その他に『順序数』による割り当てもまた直観的になります。
この「順序数」を使った『基数』の解釈のことを、
『フォン・ノイマンの割り当て』と言います。
厳密には↓みたいに割り当てられてます。
記号がガチャガチャしてますが、自然数で考えると普通な感じ。
∀β\,[\,∃α\,[\,(β<α)⇒(|β|<|α|)\,]\,] なら、
card(S)=min\{α∈ON\,|\,card(S)=card(α)\}
↑の min(α) は「始順序数 Initial Ordinal 」と呼ばれたりします。
最小値にしてる理由は「無限基数」に対応するためです。
この『始順序数』を、「整列集合 S の濃度」として割り当てる。
これが、フォン・ノイマンの割り当ての形式になります。
とりあえず確認してみましょう。
「有限」であるなら、きちんと『自然数』が対応できています。
例えば「整列集合 S=\{1\} の濃度」なら「順序数 1 」が。
「整列集合 S=\{1,4,8\} の濃度」なら「順序数 3 」が。
そして問題となってくるのが、『無限濃度』の場合です。
最小値と定義している意味は、ここから分かります。
例えば最小の無限濃度『 \aleph_0 』であれば、
始順序数として『自然数全体 ω=ω_0 』が割り当てられます。
「 ω+1 やら ω+n 」ではなく、これが。
「無限基数」の割り当てでなにが問題になるのかというと、
↑の定義にある条件『 card(α)=card(S) 』の、
『 α 』の候補が「複数存在する」ことです。
しかし「全単射」で定義される基数は、
その候補から『一つに絞る』ことが、できてしまいます。
なぜなら「 ω+1 」も「 ω+n 」も、
その『要素数』は「 ω+ 有限の値」なんです。
有限である以上、サイズ的には結局「 ω 」あれば十分なわけで。
そしてこれは「 ω- 有限の値」でも同じことが言えます。
なぜなら、見かけの上では小さな、
「 α 」の『部分集合 α_{cf} 』を↓のようにとると、
∀e∈α\,[\,∃e_{lim}∈α_{cf}\,[\,e<e_{lim}<α\,]\,]
この濃度は『 α=ω なら |α_{cf}|=ω 』になります。
例えば「自然数全体の一部」である「 10 の倍数だけ」でも、
自然数全体との間に「全単射 10k 」はしっかりあるので。
そしてこのような「極限順序数の部分集合」を、
『共終（Cofinal）である』と言ったりします。
その中でも最小の部分集合を『共終数』と言う感じです。
まあ、感覚的には「最小」というより「最低限」って感じですけど。
なにせ「 10,20,30,... 」は確実に部分集合でありながら、
同時に「自然数全体を 10 倍したもの」でもあるわけで。
なんか感覚狂う感じですけど、一部のくせに、でかくもあるんですよ。
えーって感じですけど、確実にそうです。
無限っていうのはそんなもん。
ですから、それ以上分解しようのない『自然数』が最低限になります。
一応↑の言い方だと「最小」なわけですが。
共終数 Cofinality
|| 終端を共有してる感じ
これは『極限順序数』の上で定義されます。 ω とか。
一言で言えば、ある特別な「順序数」のことですね。 ω みたいな。
形式的には「順序数 α 」の『部分集合 α_{pt} 』が、
『非有界（上に有界じゃない） sup(α_{pt})=α 』を満たす、
『最小の部分集合 α_{pt}⊆α 』を「共終数」と言います。
↓みたいな感じです。
要するに『濃度』を表してます。
「 ∈ 」で順序付けられている『順序数 α 』の上で、
\mathrm{cf}(α):=min\{card(α_{pt})\,|\,α_{pt}\,\,\mathrm{is\,\,unbounded}\,\}
あるいは「部分集合 α_{pt} 」が「 α 」について『共終である』とは、
『上に有界じゃない α_{pt} が sup(α_{pt})=α 』を満たすということです。
これは「無限順序数」じゃないと、満たすものを見つけられません。
ちなみに『極限順序数』は「無限順序数」の一種です。
それと「有限順序数」の場合は、部分集合は必ず『有界』になります。
自然数とかでより感覚的に表すと「有限」ってことですね。
つまり「非有界」という条件がある以上、『有限』ではありません。
これの存在意義は「濃度の定義を厳密にする」ことにあります。
この定義のために『共終』があると言っても良いでしょう。
そしてその判定の基準は「正則（下地がある）」かどうかになります。
「有限順序数」の後続順序数は、間違いなく「有界」です。
要するに「自然数」のことなので。
ですから「有限」で共終を考える必要はありません。
なにより、共終を考えなくても確実に比較できます。
問題となるのは「有限」ではなく、やはり「無限」です。
「無限」からは直観が通用しなくなってくるので。
例えば『 α 』とサイズが同じ『部分集合 α_{pt} 』
この二つの比較とか、どうするんでしょ。
「自然数全体」と「二の倍数全体」だと、どっちも同じですけど。
どちらも『有界ではない』ですし、サイズはどちらも『 \aleph_0 』です。
しかし無限順序数の候補は、このようにすればいくらでも出てきます。
そう、このようにして「無限順序数の部分集合」をとると、
『濃度』が同じものは、いくらでもできてしまうわけです。
このままだと「順序数」を「基数」として定義できません。
ともあれ、これが「順序数」の興味深い性質になります。
そしてこれを強調している概念が「共終」なわけですね。
具体的に見てみましょう。
極限順序数 α の「共終数」を「 \mathrm{cf}(α) 」と表すと、
「順序数」が『正則』であるなら「 \mathrm{cf}(α)=α 」です。
これを満たす条件を形式的に表してみましょう。
すると「 α 」の部分集合を考えると、非有界なので、
「 α_{cf} が共終である」ことを満たす条件は↓になります。
∀e∈α\,[\,∃e_{lim}∈α_{cf}\,[\,e<e_{lim}<α\,]\,]
この条件からなんとなく分かると思いますが、
これは大から小へのアプローチになります。
意訳すれば、一部も上限に限りなく近づくと言ってるわけです。
つまるところ、感覚的には「極限」みたいなものですね。
「部分集合」に『非有界（上に）』という条件が入りさえすれば、
どこまでも小さな『上限が α になる順序数』を作れるわけです。
そしてその最小のものは、「濃度」が『 \aleph_0 』のときでは、
『自然数全体 ω:=\{1,2,3,4,...\} 』になります。
定義から、並べると「自然数の最後尾」にこれがくるので。
より「直感的に大きなもの」と比較してみたいなら、
「有理数の濃度 \aleph_0 」と比較すれば直観的に理解できるかと。
なんだかんだと「自然数全体」が最小な気がしてきます。
では、どういう使い方をされているのか見てみましょうか。
これだけじゃ、だから？って感じなので。
基本的には、これは2つの『極限順序数』の判定に使われます。
一つが『正則』なら、条件は「 α=\mathrm{cf}(α) 」で、
一つが『特異』なら、条件は「 α>\mathrm{cf}(α) 」です。
その違いは見て分かる通りです。
『有界ではない部分集合』をとったのに、
なぜか「上限」が同じにならない。
普通「正則（基礎が明確）」なら、
どう考えても「同じになるはず」なのに。
こんな感じに、直観から外れたものを「特異」と表してます。
いわゆる「正則（直観的）」かどうかを判定する基準なわけです。
そしてなにより、『共終』であるかどうかを確認することは、
「同じ上限になるもの」として一塊にできる、（同値類）
ということでもあります。
基数はこの中から一番小さなものを抜き出すわけですし。
なにより「順序数」は『整列集合』です。
比較が確実にできるので、「最小」が求められます。
正則基数 Regular Cardinal
|| 基礎がしっかりしてる無限基数
『順序数』の割り当てなら「正則順序数」のことです。
これは「極限基数」の一種になります。
てなわけで、実際にどういうものかじっくり見てみましょうか。
まあ、どうせ毎度のごとく「自然数っぽく」考えるわけですが。
「フォン・ノイマンの割り当て」では、
『基数 \aleph_α 』は↓のように定義されています。
使うのは「アレフ数」と「順序数」の二つ。
↓は「アレフ数 \aleph 」の定義になります。
『最小の無限基数』として、
「自然数全体（最小の無限順序数）」を
\aleph_0=ω
『後者基数』として、
「後続順序数」を
\aleph_{α}^{+}=\aleph_{α+1}
そして『極限順序数』なら、
「以下の順序数を全て持ってる順序数」として
\displaystyle \aleph_{α_{lim}}=\bigcup_{α<α_{lim}}\aleph_α
これ、要は『 ω_α=\aleph_α 』って言いたい感じです。
目的は一貫して「順序数で基数を表したい」わけですから。
ちなみに添え字に使われる「 α 」は、
比較確実な順序数ですから、自然数より大きなものも扱えます。
そしてこれによる『正則基数』とは、
『 ω_0=\aleph_0 』や『 ω_n=\aleph_n 』などのことになります。
つまりは最小の濃度を表す「始順序数」とかいうやつのことです。
これ以外のものは、基本的に「特異基数」となります。
逆説的ですが、要するにあんま見ないやつはだいたいそうです。
特異基数 Singular Cardinal
|| ちょっとよくわからない無限基数
『特異順序数』のことですね。（特異 α>cf(α) ）
これも「極限基数」の一種です。
定義が「順序数」依存なので、そちらをメインに見ていきましょう。
ここでは『特異基数』と『特異順序数』は同じと思って良いです。
共終数と特異基数
形式的には『 ω_ω=\aleph_ω 』みたいなやつのことです。
これは『共終数』が『 ω 』となるので、
『 \mathrm{cf}(\aleph_ω)=ω=\aleph_0<\aleph_ω 』になります。
なぜなら「共終数」を求めると、
「 ω_ω 」の部分集合 ω_{ω_{pt}} は↓のようにとれます。
非有界なものでは『 ω_{ω_{pt}}=\{ω_n\,|\,n∈ω\} 』が。
これは『濃度 card(ω_{ω_{pt}})=ω 』がとれるので、
『共終数』は、少なくとも「 ω 」以下です。
つまり『 \mathrm{cf}(ω_ω)=ω<ω_ω 』と言えます。
『 ω+1:=\{0,1,2,3,...,ω\} 』も特異です。
というのも、これはそもそも「極限順序数」ではありません。
それに「 \aleph_0 の次の基数」なので「後者基数」になります。
ちなみにこの「共終数」は『最大元 ω 』の存在から、
非有界な部分集合の最小濃度は『 |\{ω\}| 』になるので、
『 \mathrm{cf}(ω+1)=1<ω+1 』になります。
なぜ「 \{ω\} 」が非有界かというと、
例えば「非有界な部分集合 \{n\,|\,n∈ω\} 」をとってみると、
これと「 ω:=\{n\,|\,n∈ω\} 」は同じ要素になるからです。
『 ω+ω 』もまた「正則」ではありません。
ただし、これは「極限順序数」です。
しかし『奇数と偶数の類別』から分かる通り、
これの濃度は『 \aleph_0 』です。
つまり「正則ではない極限基数」になります。
「共終数」に関しても『 \{ω+n\,|\,n∈ω\} 』から、
これは非有界で、しかも濃度は『 ω 』になります。
つまり「 \mathrm{cf}(ω+ω)=ω<ω+ω 」です。
このように『共終』を考えると、
「正則か否か」以外にも「順序型」というものも見つかります。
ですから、とても大事な性質なわけですね。
