|| 基数で無限を扱いたい
『無限』を考えると出てくる
ある「特殊な基数」を『極限基数』と言います。
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この記事は
『基数』を知っている前提で書かれています。
なので、他にも『順序数』とか
その辺りの知識が無いと
読んでも意味わかんないと思います。
目次
・概要「極限基数の雰囲気」
・順序数と基数「要素の数を表す数」
・フォンノイマンの割り当て「順序数を使った基数の定義」
・共終数「上限が同じやつの中で一番小さな部分集合」
共終数の具体例「共終数を実際に求めてみた」
・正則基数「要は普通の基数（共終数と一致）」
・特異基数「よく分からん基数（共終数より大きい）」
『極限基数』っていうのは
「基数」の分類の一つで
基本的には
「順序数」と似たり寄ったりのものになります。
まあつまり「極限基数」は
「極限順序数」とほぼ同じものです。
（違うところもわりとあります）
そもそもの話
「基数」の割り当ての方法
それ自体がそもそも「順序数」基準ですし
似てるもなにも
ほとんど同じじゃんって感じではあるんですが
『正則』って概念を考える時とか
そういう場面でこれは必要になったりします。
基数と順序数
「超限基数（無限基数）」は
『記号 κ 』で表されることが多いです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle κ&=&ω \end{array}
基本的に「順序数」とほぼ同様
似たようなグレードで定義されていて
まず「有限」の範囲の話だと
「自然数」は全て基数として定義されています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0 \end{array}
「最小の無限基数 \aleph_0 」も
「最小の極限順序数 ω_0 」で定義されていて
まあ見ての通り
ここまでは順序数と全く同じです。
他の基数についても
基本的にこれと同様の形で定義されています。
基数の分類
「自然数」周りの話を含め
「基数」は大まかには３つに分類されています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle n∈ω∈ω^+ &&⇒&&n<ω<ω^+ \end{array}
「自然数 n 」
「極限基数 κ=ω 」
『後続基数 κ^+ 』
後続基数とは
「後続型基数 κ^+ 」は
「無限基数 κ よりも大きな基数」の中では
特に「最小の基数」のことを指すもので
\begin{array}{llllll} \displaystyle κ&<&κ^+ \end{array}
まあつまり
ある「無限基数」の「次の基数」のことを指します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle κ^+&=&κ+1 \end{array}
有限の場合はそのままです。
ただの足し算。
極限基数とは
「後続型」では表せない「無限基数」
これを『極限基数』と言います。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0 \end{array}
感覚的には『例外』って感じで
だから固有の名前がついてる感じです。
ちなみに「加算無限 ω_0 」みたいな
\begin{array}{llllll} \displaystyle n&<&\aleph_0 \\ \\ &&\aleph_0&<&2^{N} \end{array}
『小さいのから作れない』やつなんかが
「極限基数」と呼ばれるものになります。
順序数と基数
「基数」の定義は
『要素の個数を表す』性質上
「順序数」を使って表現されることが多いです。
\begin{array}{rllllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(S)&=&|S| \\ \\ && |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&|N| \\ \\ |Z|&=&|N| &&N+N \\ \\ |Q|&=&|N| &&N\times N \end{array}
「順序数」での定義自体は
「割り当ての方法の一つ」でしかないんですけど
\begin{array}{llllll} \displaystyle α&<&α+1 \end{array}
「順序数」はいろんな性質を満たす
これが既に保証されていて
基数自体がだいたい同じようなものなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}
「基数」の定義といったら
だいたい「順序数」がベースに来ます。
フォン・ノイマンの割り当て
|| 順序数による基数の定義
「基数」の中身は直感的に明らかですが
↑ の時点では厳密には定まっていません。
\begin{array}{cllllll} \displaystyle ∀β \left[ ∃α \Bigl[ (β<α)⇒(|β|<|α|) \Bigr] \right] \\ \\ ↓ \\ \\ |S|=\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}
でもまあ『普通の数』だとは分かるので
「順序数」で定義する。
これを『フォン・ノイマンの割り当て』と言い
基本、基数はこのように解釈されます。
補足
最小になるこの定義の \min(α) は
「始順序数 Initial Ordinal 」と呼ばれるもので
\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}
最小値にしてる理由は
「無限基数」の要請を満たすため。
それ以上でも以下でもありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&\aleph_0 \\ \\ &&\aleph_0&=&ω_0 \end{array}
まあつまり
この『始順序数』を
無限濃度の「整列集合 S の濃度」として割り当てる。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&ω_0 \\ \\ |S|&=&α_{\mathrm{min}} \end{array}
これがフォン・ノイマンの割り当ての本質になります。
定義の妥当性
上の定義について
具体的な値を入れて確認してみます。
有限の場合
これは確認するまでも無く妥当でしょう。
\begin{array}{llllll} \displaystyle S=\{1\} &&→&&|S|=1 \\ \\ S=\{1,4,8\} &&→&&|S|=3 \end{array}
|S| は１つしかないので当然こうなります。
無限の場合
『最小値』で定義している理由は
「無限濃度」の定義を確認すると分かります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\aleph_0 \\ \\ |N|&=&ω_0 \end{array}
というのも
『最小の無限濃度 \aleph_0 』を
そのまま『自然数全体 ω_0 』で割り当てるとすると
\begin{array}{rlrlllll} \displaystyle 2|N|&=&2ω_0 \\ \\ 2|N|&=&|N| \\ \\ \\ n|N|&=&nω_0 \\ \\ n|N|&=&|N| \end{array}
当然ながら
「他の無限集合」の中でも
「自然数全体」と同じ濃度を持つものはありますから
\begin{array}{llllll} \displaystyle 2|N|&=&2ω_0 \\ \\ 2|N|&=&|N|&=&ω_0 \end{array}
このような「順序数」を割り当てても
これは特に問題が出ない。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0 &2ω_0&3ω_0&\cdots&nω_n \end{array}
でも、この濃度は全て \aleph_0 であるはず。
ということは「違う値にはならないはず」なので
「無限基数」を「順序数」で定義する
この割り当ての問題点として
\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}
↑ の定義にある条件『 |α|=|S| 』を満たす
『順序数 α の候補』が
\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ω_0,2ω_0,3ω_0,...,nω_0\} \end{array}
「複数存在してしまう」
という事実が挙げられます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0,2ω_0,3ω_0,...,nω_0 \end{array}
しかし「全単射」で定義される基数は
その候補から『一つに絞る』ことができてしまうので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0 \end{array}
『基数』の定義から
「最小の無限に合わせなければならない」
という要望・要請を叶える必要が出てくる。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&\min \{ω_0,2ω_0,3ω_0,...,nω_0\} \end{array}
だから「全単射をとれる集合」を
『ひとまとめにする』ために『最小』を使う。
とまあこんな感じの流れで
最小値が使われることになった
とまあ、そういう経緯でこんな感じになってます。
全体と部分集合
↑ の 2|N| なんかの話は
\begin{array}{cccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&\cdots \\ \\ (1,1)&(1,2)&(2,1)&(2,2)&\cdots \end{array}
まあこんな感じの話なんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&2&3&4&\cdots \\ \\ 10&20&30&40&\cdots \end{array}
こういう「自然数の一部」でありながら
「全単射 10n がある」やつも基数は \aleph_0 です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&3&5&7&\cdots \\ \\ 10&20&30&40&\cdots \end{array}
しかしこいつに対応する順序数は
\begin{array}{llllll} \displaystyle |\{1,3,5,7,...\}|&=&ω_0 \end{array}
これ以外にはうまく想像ができません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle N_{\mathrm{pt}}&⊂&N \end{array}
このような部分集合は
作ろうと思えばいくらでも考えられるんですけど
\begin{array}{llllll} \displaystyle 2|N| &=&2ω_0 \end{array}
こういったものと違い
「部分集合に割り当てるもの」については
順序数的にはよく分からない。
でも極限基数をうまく定義したいなら
当然これらの性質もまた考慮しなければならない。
とまあそんな感じで
こういった部分集合についての問題も
この極限基数は抱えていたりします。
終端を共有している
これらが持ってる『共通の性質』として
『終端（右端）が見えない』っていう性質を考えると
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&7&8&\cdots \\ \\ 1&&3&&5&&7&&\cdots \\ \\ &2&&4&&6&&8&\cdots \end{array}
「終端を共有している」
という概念を考えることができます。
で、実はこの「終端が同じ」って感覚には
「共終」という名前がついていて
\begin{array}{lclllll} \displaystyle α_1&=&\{1,3,5,7,...\} \\ \\ α_2&=&\{2,4,6,8,...\} \\ \\ &\vdots \end{array}
この「共終な集合」の中でも
\begin{array}{llllll} \displaystyle \min \{ ω_0,α_1,α_2,α_3,... \}&=&ω_0 \end{array}
特に『最も小さい集合』には
「共終数」なんて名前がついていたりします。
共終数 Cofinality
|| 終端を共有してる感じ
ある「特殊な順序数」のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle α_{\mathrm{pt}}&⊆&α \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&α_{\mathrm{pt}}&→&α \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sup_{α_{\mathrm{<}}∈α_{\mathrm{pt}}}\{ f(α_{<}) \} &=&α \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&\min{α_{\mathrm{pt}}} \end{array}
「順序数 α 」の『部分集合 α_{\mathrm{pt}} の上限』が
『順序数 α である \sup(α_{\mathrm{pt}})=α 』時
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α_{\mathrm{pt}} \end{array}
その中の『最小の部分集合 α_{\mathrm{pt}} 』を
「共終数」と言います。
ちなみに α=0 の場合は
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(0)&=&0 \\ \\ &&0&=&\{\} \end{array}
「空集合の部分集合」は
「空集合しかない」ので当然こうなります。
共終数の役割
基本的に
これは 2 つの『極限順序数』の判定に使われます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)=α&&→&&\mathrm{Regular} \\ \\ \mathrm{cf}(α)<α &&→&&\mathrm{Singular} \end{array}
『正則 \mathrm{Regular} 』か
『特異 \mathrm{Singular} 』か
ちなみに共終数 \mathrm{cf}(α) は
定義より「 α の部分集合」なので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&>&α \end{array}
このようになることはありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \\ \\ \mathrm{cf}(α)&<&α \end{array}
必ずこのどちらかになります。
正則性と共終
「ふつう」の『極限順序数』であれば
『上限が一致する部分集合』は「共終」であるはず
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0&=&\{1,2,3,4,...\} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \sup\{1,2,3,4,...\}&=&ω_0 \\ \\ \displaystyle \sup\{2,4,6,8,...\}&=&ω_0 \\ \\ \displaystyle \sup\{1,3,5,7,...\}&=&ω_0 \end{array}
自然数全体を見てみればこれは明らかで
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \end{array}
普通（正則）であれば
これは間違いなくこうなります。
正則ではない
「共終数」をとってみると
なぜか「上限 α 」と同じにならない。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&<&α \end{array}
普通「正則（直感的・基礎が明確）」なら
どう考えても「同じになるはず」なのに。
とまあそんな感じになるような
直観から外れたものは「特異」と表現されます。
後続順序数の共終数
「特異順序数」の具体的な中身については
『後続順序数 ω+1 』などが挙げられます。
\begin{array}{llllll} ω_0+1&=&ω_0∪ \{ ω_0 \} \\ \\ \displaystyle ω_0+1&=& \{ 0,1,2,3,4,...,ω_0 \} \end{array}
こいつの部分集合の中でも
特に ω_0+1 と『上限』が一致するものの中で
\begin{array}{rllllll} \displaystyle \{0,2,4,6,8,...,ω_0\} \\ \\ \{1,3,5,7,9,...,ω_0\} \\ \\ \{ω_0\} \end{array}
特に「最小」のものは
\begin{array}{llllll} \displaystyle α&<&β \\ \\ α&∈&β \end{array}
大小関係 < が
帰属関係 ∈ で定義されている事実から
\begin{array}{llllll} ω_0&∈&\{ω_0\}&∈&ω_0+1 \\ \\ \displaystyle ω_0&<&\{ω_0\}&<&ω_0+1 \end{array}
この「変な部分集合 \{ω_0\} 」になるので
この場合、明らかに要素数は 1 であることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle α+1&=&α∪\{α\} &&\Bigl( \mathrm{or} \,\, 2^α \Bigr)\end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle |\{α\}|&=&1 \end{array}
『後続順序数の定義』より
「後続順序数」の共終数は必ず 1 になります。
ちなみに「基数」の大小関係は
\begin{array}{llllll} \displaystyle |A|&≤&|B| \end{array}
「単射の存在」で定義されています。
正則基数 Regular Cardinal
|| 普通な感じの無限基数
「見慣れた基数」のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \end{array}
「極限基数」の一種です。
無限基数の厳密な定義
「フォン・ノイマンの割り当て」では
『無限基数』は ↓ のように定義されています。
『最小の無限基数 \aleph_0 』は
「自然数全体（最小の無限順序数）」とする。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0 \end{array}
『後続基数 κ^+ 』は
「他のより小さな基数で作れる基数」とする。
\begin{array}{llllll} \displaystyle κ^{+}&=&f_+(κ) \end{array}
『極限基数 κ_{\mathrm{lim}} 』は
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle κ_{\mathrm{lim}}&=&\displaystyle \sup\left\{ \bigcup_{κ<κ_{\mathrm{lim}}}κ \right\} \end{array}
「自身より下の基数」の『上限』とする。
まとめると
つまりは『 ω=\aleph 』ってことで
\begin{array}{llllll} \{ 0,1,2,3,4,5,6,... \}&=&\displaystyle\bigcup_{α<ω_0}α \\ \\ \displaystyle \{ 0,1,2,3,4,5,6,... \}&=&ω_0 \end{array}
この感覚をそのまま使って表現されています。
以上が無限基数の定義で
この中でも「共終数」が
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \end{array}
このようになるものを「正則基数」と言い
これ以外のあんまり見ないものは
「特異基数」と呼ばれます。
弱極限基数と強極限基数
条件が緩い
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle κ_{\mathrm{lim}}&=&\displaystyle \sup\left\{ \bigcup_{κ<κ_{\mathrm{lim}}}κ \right\} \end{array}
これは「弱極限基数」と呼ばれることがあって
\begin{array}{llllll} \displaystyle κ<κ_{\mathrm{lim}} &&→&&2^κ<κ_{\mathrm{lim}} \end{array}
条件が絞られているこれは
「強極限基数」と呼ばれることがあります。
特異基数 Singular Cardinal
|| ちょっとよくわからない無限基数
『正則ではない極限基数』のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&<&α \end{array}
基数が「特異順序数」の時
その基数は特異基数になります。
これについては
「強制法」「ケーニヒの補題」「pcf理論」
「イーストンの定理」「シルバーの定理」などなど
まあいろいろあって長くなるので
別の記事にまとめることにします。