数理論理学 Mathematical Logic


|| 数学の基礎になるもの

哲学における論理学の、数学バージョンと考えて良いと思います。

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それなりに厳密に述べるなら、論理学の中でも、特に、

「真偽の判定が可能なもの」だけで構成されています。




そしてそれは、基本的には4つの領域に分かれています。

それらを記述する方法を加えて、5つとしても良いでしょう。




まず「基礎付け」である『集合論』

「基礎から新しいものを組み立てる手順」である『証明論』

それが「基礎だと判定する基準」である『モデル理論』

「人に扱えるか」どうかを扱う『再帰理論』

そしてそれらを「記述」する『一階述語論理』があります。




ちなみに「多値論理」なども、

「真か偽」もしくは「他」という風に分ければ、

「分かる」「分からない」にできるので含まれます。



というわけで、一つずつざっと見ていきましょうか。







集合論


これは数学の「基礎」付けになります。

あらゆる数学の概念は、これを元に説明されるわけです。



レゴブロックのブロックのようなものだと考えて良いでしょう。






証明論


ここでは主に「証明」に関して扱っていきます。


「正しいもの」から「正しいもの」を導くという、

『論証』の過程を厳密に扱う領域です。

主に「推論規則」に関することを扱っています。



レゴブロックの例えに倣うなら、ブロック同士の繋ぎ方みたいな感じ。






モデル理論


ここでは主に「意味の解釈」を扱います。

ここでの意味とは「正しいか」「間違っているか」のことです。



その正しさを示す値である、妥当な真理値(真偽を示す値)を、

ある文(なにかを主張する記号の列)に与えるものが、

『モデル』と呼ばれるものになります。



レゴブロック的に言うなら、ブロックの有無みたいな感じでしょうか。






再帰理論


この領域では、主に「人間に扱えるか」を見ていきます。



要は「有限」のなにかに収まるかどうか、

みたいな感じのことを扱うわけです。

無限のものは人間には扱えませんので。



レゴだと、有限個のブロックで目的のものが創れるのか、みたいな。






最後に、これらを記述する「言語」が存在します。




以下、「言語」にあたる用語について解説していきます。

一階述語論理」というものなのですが、詳細は別の記事に。






言語の分野


主に、大きく分けて『命題論理』と『述語論理』があります。



命題論理は「言語」の基礎になります。

述語論理は、命題論理を拡張したものです。



というわけで、これらを分けて見ていきます。