|| 曖昧さが無い学問の一部分
「記号操作で表現できる部分」のこと
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形式 Form
分かるようで分からない
「形式」というのはそんな概念だと思いますが
\begin{array}{lcl} 広義的意味 && 定まったもの \\ \\ 狭義的意味 && 中身を無視した枠組み \end{array}
それは当然で
\begin{array}{lcl} 狭義的意味 & \left\{ \begin{array}{ccc} 数学的形式 && 形式体系＋意味解釈 \\ \\ 論理的形式 && 形式体系 \\ \\ 芸術的形式 && 美を感じるパターン \\ \\ 社会的形式 && 法などの制度 \end{array} \right. \end{array}
これは典型的な「抽象概念」であるため
「広義」「狭義」の意味は別で考える必要があります。
（つまり複数の意味を持つため混乱しやすい）
体系 System
これの構成は ↓ みたいな感じで
\begin{array}{ccc} 全体 && つながり \\ \\ 体 &+& 系 \end{array}
「広義」の意味は ↓ みたいな感じです。
\begin{array}{lcl} 広義的意味 && 原理を持つまとまり \\ \\ 狭義的意味 && 統一原理に基づく全体 \end{array}
典型的な「抽象概念」ではありますが
\begin{array}{ccc} 狭義的意味 & \left\{ \begin{array}{clc} 論理的な体系 & \left\{ \begin{array}{lcc} 述語論理 \\ \\ 集合論 \\ \\ 古典力学 \\ \\ 量子力学 \\ \\ 意味論 \end{array} \right. \\ \\ \\ 制度的な体系 & \left\{ \begin{array}{lcc} 法律 \\ \\ 金融制度 \\ \\ 教育制度 \end{array} \right. \\ \\ \\ 心理的な体系 & \left\{ \begin{array}{lcc} 認知 \\ \\ 価値観 \\ \\ 習慣 \end{array} \right. \\ \\ \\ 芸術的な体系 & \left\{ \begin{array}{lcc} 物語構成 \\ \\ 色彩理論 \\ \\ 音楽理論 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}
「狭義」の意味に大きな歪みはありません。
（この抽象概念は社会的狭義による歪みがほぼ無い）
形式主義 Formalism
これは一種の哲学で
\begin{array}{ccc} 数学の矛盾排除 \\ \\ ↓ \\ \\ 他の体系はどうなってる？ \\ \\ ↓ \\ \\ 他の体系も形式体系として整理しよう \end{array}
「形式体系という概念に寄せるべし」という
「ヒルベルトさんが提唱した思想」になります。
形式体系の厳密な定義
これは数学的に定義されている概念で
\begin{array}{llcl} 有限個の記号 & \mathrm{Alphabet} && a,b,c,x,y,z,+など \\ \\ 構文規則 & \mathrm{Formation}\,\,\mathrm{Rules} && 厳密な文法 \\ \\ 公理& \mathrm{Axioms} && だいたい存在の宣言 \\ \\ 推論規則 & \mathrm{Rules}\,\,\mathrm{of} \,\,\mathrm{Inference} && 演繹操作 \end{array}
抽象的にはこんな感じになっています。
（公理部分と演繹部分はほぼ数学の分野）
\begin{array}{llcl} 無矛盾性 & \mathrm{Consistency} &&矛盾を導けない \\ \\ 完全性 & \mathrm{Completeness} &&主張の真偽は必ずどちらか \\ \\ 健全性 & \mathrm{Soundness} &&導けるものはすべて真 \\ \\ 決定可能性 & \mathrm{Decidability} &&定理か否か判別可 \\ \\ 公理化可能性 & \mathrm{Axiomatizable} && 公理が機械的に生成可 \end{array}
以上の性質も満たしていて
\begin{array}{ccc} 形式体系である \\ \\ ↓ \\ \\ 形式体系内では記号操作だけで推論が可能 \end{array}
こういうことも要求されています。
（これを突き詰めていくとほぼ数学が出来上がる）